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成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U= {x∈Z|(x+l) (x-3)≤0），集合A={0，1，2}，则=(A){一1，3} (B){一1，0）(C){0，3) (D){一1，0，3）2.复数z =i(3 -i)的共轭复数为(A) 1+3i (B) -1+3i (C) -1- 3i (D) 1- 3i3．已知函数f(x) =x3+ 3x．若f(-a)=2，则f(a)的值为(A)2 (B) -2 (C)1 (D) -14．函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期为(A) (B) π(C) 2π(D) 4π5．如图，在正方体ABCD-A1B l C l D1中，已知E，F，G分别是线段A l C1上的点，且A1E =EF =FG =GC l.则下列直线与平面A1BD平行的是(A) CE (B) CF (C) CG (D) CC16．已知实数x，y满足，则z =2x +y的最大值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)47．若非零实数a，b满足2a =3b，则下列式子一定正确的是(A)b>a (B)b<a (C)|b|<|a| (D)|b|>|a|8．设数列的前n项和为S n，则S10=(A) (B) (C) (D)9．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示)．则“5阶幻方”的幻和为(A) 75 (B) 65 (C) 55 (D) 4511.已知双曲线C: =l(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px(p>0)与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且，则双曲线C的离心率为(A) 或(B) 或3 (C)2或(D)2或312.三棱柱ABC -A1BlCl中，棱AB，AC，AA1两两垂直，AB =AC，且三棱柱的侧面积为+1。
成都七中2020届三诊模拟数 学(文科)一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.） 1. 已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则AB =（ ）(A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数11iz =+,则||z =（ ）(B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2()2,f x x =-则((1))f f =（ ） (A)1- (B)2- (C)1 (D)24. 已知单位向量12,e e 的夹角为2π3,则122e e -=（ ）(A)3 (B)7 (C)5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是（ ）(C)10 (D)1096. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是（ ）(A)6?i ≤ (B)5?i ≤ (C)4?i ≤ (D)3?i ≤8. 已知,a b 为两条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,下列命题：①若///,,/ααγβ则//βγ；②若//,//,a a αβ则//αβ；③若,,αγγβ⊥⊥则αβ⊥；④若,,a b αα⊥⊥则//a b .其中正确命题序号为（ ） (A)②③(B)②③④(C)①④(D)①②③9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为（ ） (A)99(B)131 (C)139 (D)14110. 已知2πlog e ,a =πln ,eb =2e ln ,πc =则（ ）得分(A)a b c << (B)b c a << (C)b a c << (D)c b a <<11. 已知一个四面体的每一个面都是以3,3,2为边长的锐角三角形,则这个四面体的外接球的表面积为（ ） (A)11π4 (B)11π2(C)11π (D)22π 12. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点,(2,1),(2,1)A B -,则cos ,PAPB 的最大值是（ ）(D)14二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分.）13.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且111,1(2),n n a a S n -==+≥则4a =14. 已知实数,x y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ,其中BC CD DE EF FA ====且.AB BC ⊥则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是16. 若指数函数xy a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知2.tan sin a bA B= (1)求角A 的大小； (2)若2,a b ==求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分) 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级,再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥M ABCD -中,2,,AB AM AD MB MD AB AD =====⊥(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若//CD AB 且23CD AB =,E 为线段BM 上一点,且 2BE EM =,求三棱锥A CEM -的体积.20.(本小题满分12分)已知函数22e (),(e,).ln x xf x x x x ++=∈+∞ (1)证明：当(e,)x ∈+∞时,3eln ex x x ->+；(2)证明：()f x 在1[2e ,)2++∞单调递增.(其中e 2.71828=是自然对数的底数).21.(本小题满分12分)已知点P 是抛物线21:2C y x =上的一点,其焦点为点,F 且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆:O 221x y +=于不同的两点,A B .(1)若点(2,2),P 求||AB 的值；(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为,F '求||F M '的取值范围.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为233x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0πα≤≤).在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若射线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||||OA OB ⋅的值.23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知0,0,a b >>且24,a b +=函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为.m (1)求m 的值；(2)若22a mb tab +≥恒成立,求实数t 的最大值.参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.A ；6.A ；7.B ；8.C ；9.D ； 10.B ； 11.C ； 12.A.二、填空题(每小题5分,共20分)13.8； 14.15； ； 16.1e (1,e ).三、解答题(共70分) 17. 解：(1)由正弦定理知sin sin a b A B =,又2,tan sin a b A B =所以2.sin tan a aA A= 于是1cos ,2A =因为0π,A <<所以π.3A =6分(2)因为π2,,3a b A ===22π222cos ,3c c =+-⨯⨯即2230.c c --=又0c >,所以 3.c =故ABC ∆的面积为11πsin 23sin223bc A =⨯⨯⨯= 12分18.解：(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.-++=设班级得分的中位数为x 分,于是600.10.20.40.520x -++⨯=,解得70.x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分. 6分(2)由(1)知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2.又班级总数为40.于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8．分层抽样的方法抽取的 “良”、“中”的班级个数分别为4,2. 因为评定为“良”,奖励2面小红旗,评定为“中”,奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为.A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6.从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示,其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分(不含i j =对角线上的点),于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件. 所以114()1()1.1515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为14.1512分19.解：(1)因为2AB AM ==,MB =所以222.AM AB MB +=于是.AB AM ⊥ 又,AB AD ⊥且,AMAD A AM =⊂平面ABD ,AD ⊂平面ADM ,所以AB ⊥平面.ADM 5分(2)因为2,AM AD MD ===所以ADM S ∆=因为2BE EM =,所以1.3C AEM C ABM V V --=又//,CD AB AB ⊥平面.ADM 所以111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====111123333ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯=所以三棱锥A CEM -的体积为912分20.解：(1)令3e ()ln ,(e,).e x g x x x x -=-∈+∞+则22214e (e)()0.(e)(e)x g x x x x x -'=-=>++于是()g x 在(e,)+∞单调递增,所以()(e)0,g x g >= 即3eln ,(e,).ex x x x ->∈+∞+ 5分(2)22222222(21)ln (e )(ln 1)(e )ln (e )().(ln )(ln )x x x x x x x x x x f x x x x x +-+++--++'== 令2222()(e )ln (e ),(e,).h x x x x x x =--++∈+∞ 当(e,)x ∈+∞时,由(1)知3eln .e x x x ->+则222223e 1()(e )(e )2(4e 1)2[(2e )],e 2x h x x x x x x x x x ->--++=-+=-++ 当1[2e ,)2x ∈++∞时,()0h x >,从而()0.f x '> 故()f x 在1[2e ,)2++∞严格单调递增. 12分21.解：设点00(,)P x y ,其中2001.2y x =因为,y x '=所以切线l 的斜率为0,x 于是切线2001:.2l y x x x =-(1)因为(2,2),P 于是切线:2 2.l y x =-故圆心O 到切线l 的距离为d =于是||AB===5分(2)联立22200112x yy x x x⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得22340001(1)10.4x x x x x+-+-=设1122(,),(,),(,).A x yB x y M x y则3122,1xx xx+=+32240001()4(1)(1)0.4x x x∆=--+->又20,x≥于是202x≤<+于是32200120022001,.22(1)22(1)x xx xx y x x xx x+===-=-++又C的焦点1(0,),2F于是1(0,).2F'-故||F M'===9分令21,t x=+则13t≤<+于是||F M'==因为3tt+在单调递减,在+单调递增.又当1t=时,1||2F M'=；当t=时,||F M'=；当3t=+时,11||.22F M'=>所以||F M'的取值范围为1).212分22.解：(1)消去参数α得22(2)3(0)x y y-+=≥将cos,sinx yρθρθ==代入得22(cos2)(sin)3,ρθρθ-+=即24cos10.ρρθ-+=所以曲线C的极坐标方程为2π4cos10(0).3ρρθθ-+=≤≤5分(2)法1：将π6θ=代入2π4cos10(0)3ρρθθ-+=≤≤得210ρ-+=,设12ππ(,),(,),66A Bρρ则121.ρρ=于是12|||| 1.OA OBρρ⋅==10分法2：π3θ=与曲线C相切于点,Mπ||2sin1,3OM==由切割线定理知2|||||| 1.OA OB OM⋅==10分23.解：(1)3, (,),2()2, [,],23, (,).a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+∈-∞-⎪⎪⎪=++-=++∈-⎨⎪+-∈+∞⎪⎪⎩.当(,)2a x ∈-∞-时,函数()f x 单调递减；当(,)xb ∈+∞时,函数()f x 单调递增. 所以m 只能在[,]2a b -上取到.当[,]2ax b ∈-时,函数()f x 单调递增. 所以2() 2.222a a a bm f a b +=-=-++==5分(2)因为22a mb tab +≥恒成立,且0,0a b >>,所以22a mb t ab +≤恒成立即mina b mb t a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.由(1)知2m =,于是a b a mb +≥== 当且仅当2a b ab =时等号成立即1)0,2(20.a b =>=>所以t ≤,故实数t的最大值为10分。
2020年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，1，2，3，，，则A. 1，B. 1，C. 0，1，D. 0，1，2.已知复数，则A. B. 1 C. D. 23.设函数为奇函数，当时，，则A. B. C. 1 D. 24.已知单位向量，的夹角为，则A. 3B. 7C.D.5.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是A. B. C. D.6.在等比数列中，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框处应填入的是A. B. C. D.8.已知a，b为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：若，，则若，，则若，，则若，，则其中正确命题序号为A. B. C. D.9.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为A. 99B. 131C. 139D. 14110.已知，，，则A. B. C. D.11.已知一个四面体的每一个面都是以3，3，2为边长的锐角三角形，则这个四面体的外接球的表面积为A. B. C. D.12.已知P是椭圆上一动点，，，则的最大值是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列的前n项和为，且，，则______．14.已知实数x，y满足线性约束条件，则目标函数的最大值是______．15.如图是一种圆内接六边形ABCDEF，其中且则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF内的概率是______．16.若指数函数且与一次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知．求角A的大小；若，，求的面积．18.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查满分100分，最低分20分根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．19.如图，在四棱锥中，，，，．证明：平面ADM；若且，E为线段BM上一点，且，求三棱锥的体积．20.已知函数，．证明：当时，；证明：在单调递增．其中是自然对数的底数．21.已知点P是抛物线C：上的一点，其焦点为点F，且抛物线C在点P处的切线l交圆O：于不同的两点A，B．若点，求的值；设点M为弦AB的中点，焦点F关于圆心O的对称点为，求的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l的极坐标方程是．求曲线C的极坐标方程；若射线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．23.已知，，且，函数在R上的最小值为m．求m的值；若恒成立，求实数t的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：0，1，2，3，，1，4，9，，1，．故选：B．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：，则．故选：A．利用复数模的运算性质即可得出．本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：根据题意，当时，，则，又由为奇函数，则，则；故选：C．根据题意，由函数的解析式可得，由函数的奇偶性可得的值，据此可得，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，单位向量，的夹角为，则，则，故；故选：D．根据题意，求出的值，由数量积的运算性质可得，代入数据计算可得的值，变形可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．5.答案：A解析：解：由双曲线的方程可得渐近线为：，所以由题意可得：，所以离心率，故选：A．由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由椭圆可得a，b的关系，由a，b，c之间的关系进而求出离心率．考查双曲线的性质，属于基础题．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：在等比数列中，若，即，，，即，则，即成立，若等比数列1，，4，，16，满足，但不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A7.答案：C解析：【分析】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果判断出当i为何值时输出，得到判断框中的条件．【解答】解：初始值，模拟执行程序框图，可得，不满足条件，继续循环；，不满足条件，继续循环；，不满足条件，继续循环；，，此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S的值为31．故判断框中应填入的关于i的条件是？故选C．8.答案：C解析：解：若，，则，故正确；若，，则或与相交，故错误；若，，则或与相交，故错误；若，，则，故正确．正确命题序号为．由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一核对四个命题得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.答案：D解析：解：由题意可知：1，5，11，21，37，61，95，的差的数列为：4，6，10，16，24，34，这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，10，是等差数列，所以前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为：．故选：D．利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的定义的应用，是中档题．10.答案：C解析：解：，，．．又．．故选：C．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：设长方体的长宽高分别是a，b，c，其四个顶点就构成一个四面体满足每个面的边长为3，3，2，则，，，则，即长方体的外接球直径，故外接球的表面积，故选：C．考虑一个长方体，其四个顶点就构成一个四面体恰好就是每个三角形边长为3，3，2，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，可得外接本题考查求一个几何体的外接球表面积，关键是求出外接球的半径，将几何体补成一个长方体是解题的关键，考查数形结合思想，属于中档题．12.答案：A解析：解：过点P作，垂足为H，设，则，，令，当时，，，；当时，，当且仅当，即时取等号，此时最大，且．故选：A．过点P作，垂足为H，设，可得，由正切的和角公式可得，通过换元令，结合基本不等式可得当时最大，由此得解．本题考查圆锥曲线中的最值求解，涉及了正切的和角公式，基本不等式的运用等基础知识点，考查转化思想，换元思想，数形结合思想等，考查运算求解能力，属于较难题目．13.答案：8解析：解：数列的前n项和为，且，，可得，，，故答案为：8．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基本知识的考查．14.答案：15解析：解：先根据实数x，y满足线性约束条件，画出可行域，然后平移直线，当直线过点时，目标函数的纵焦距取得最大值，此时z取得最大值，z 最大值为．故答案为：15．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z 最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.答案：解析：解：因为且．所以该图形是该圆的内接正六边形AMNBCDEF的一部分．易知，以O为顶点，正八边形的各边为底边的八个等腰三角形全等．且它们的腰长为圆的半径r，顶角为．故每个小等腰三角形的面积为．内接六边形ABCDEF的面积为，由正八边形的性质知：四边形ABCF是矩形，且，所以．又，故所求概率为：．故答案为：．易知，题中所给的多边形是该圆的内接正八边形的一部分，并且整个正八边形是由八个全等的等腰三角形组合而成．结合正八边形的对称性，可知内接六边形ABCDEF部分，其面积是六个等腰三角形的面积，由此可求出结果．本题考查几何概型概率的计算，以及圆的内接正八边形的性质．属于中档题．16.答案：解析：解：当时，函数且的图象与一次函数的图象没有交点，设当时，指数函数且与一次函数的图象恰好有两个不同的交点，，且与相切于，，则有，故，，即，，，实数a的取值范围是：．故答案为：．判断，利用函数的导数，转化求解a的最大值，从而求出a的取值范围．本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.答案：解：由正弦定理知，又，所以．于是，因为，所以．因为，由余弦定理得，即．又，所以．故的面积为．解析：由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求A的值．由已知利用余弦定理得，结合，可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：得分的频率为；得分的频率为；得分的频率为；所以得分的频率为．设班级得分的中位数为x分，于是，解得．所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分．由知题意“良”、“中”的频率分别为，又班级总数为40．于是“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗．所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级．记这个事件为A．则为两个评定为“中”的班级．把4个评定为“良”的班级标记为1，2，3，4，2个评定为“中”的班级标记为5，6．从这6个班级中随机抽取2个班级用点表示，其中．这些点恰好为方格格点上半部分不含对角线上的点，于是有种．事件仅有一个基本事件．所以．所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为．解析：利用频率分布直方图，能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数．“良”、“中”的频率分别为，又班级总数为从而“良”、“中”的班级个数分别为16，分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．本题考查中位数、概率的求法，考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：因为，，所以于是．又，且，平面ABD，平面ADM，所以平面ADM．因为，所以．因为，所以．又，平面ADM．所以．所以三棱锥的体积为．解析：推导出，由此能证明平面ADM．推导出，，由此能求出三棱锥的体积．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：证明：令，则．于是在单调递增，，即；．令，．当时，由知．则，当时，，从而．故在上单调递增．解析：令，求其导函数，可得导函数大于0，由得结论；求出原函数的导函数，再令，结合中，把导函数缩小，再由缩小后的解析式在上大于0恒成立，可得在单调递增．本题考查利用导数研究函数的单调性，正确求导是解答该题的关键，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：设点，其中．因为，所以切线l的斜率为，于是切线．因为，于是切线l：故圆心O到切线l的距离为．于是．联立得．设，，则，．又，于是．于是．又C的焦点，于是．故．令，则于是．因为在单调递减，在单调递增．又当时，；当时，；当时，．所以的取值范围为．解析：设点，其中利用函数的导数求出切线的斜率，得到切线方程，通过圆心O到切线l的距离为转化求解即可．联立得设，，利用韦达定理，求出中点坐标，求出的表达式，令，则于是利用函数的单调性求解范围即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.答案：解：消去参数得将，代入得，即．所以曲线C的极坐标方程为．法1：将代入，得，设，则．于是．法2：与曲线C相切于点M，，由切割线定理知．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以m只能在上取到．当时，函数单调递增．所以；因为恒成立，且，，所以恒成立即．由知，于是．当且仅当时等号成立即．所以，故实数t的最大值为．解析：由绝对值的意义，去绝对值，可得的分段函数式，由一次函数的单调性，可得的最小值，进而得到m的值；由参数分离可得恒成立即，运用基本不等式可得此不等式右边的最小值，进而得到所求t的最大值．本题考查含绝对值的函数的最值求法，注意结合一次函数的单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
一、单选题1.已知集合，则中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．42. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则=A．B．C．D．3. 已知命题，“为真”是“为假”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 如图所示，设正方体的棱长为，点是棱上一点，且，过，，的平面交平面于，在直线上，则（）A．B．C．D．5.设向量与向量的夹角为，定义与的向量积：是一个向量，它的模．若，，则（ ）A ．-1B ．1C．D．6.若集合，则（ ）A．B．C．D．7.设函数的定义域为，满足.当时，.若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 定义域为的函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，，，则（ ）A ．1B ．2C．D．9. 已知为递增的等比数列，且满足，，则（ ）A．B ．1C ．16D ．3210. 函数在单调递增，求a 的取值范围（ ）A．B．C．D．四川省成都市2023届高三三诊文科数学试题二、多选题11. 已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝，P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝－x ，则当在内增大时，（ ）A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大C ．E (ξ)减小，D (ξ)减小D ．E (ξ)增大，D (ξ)减小12.设等差数列的前项和为，且，若，则等于（ ）A．B．C ．0D ．213.已知函数若数列满足，且是递减数列，则实数a 的取值范围是 ( )A．B．C．D．14.已知，随机变量的分布列是11则随着的增大，（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大15. 已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．16. 复数满足，则（为的共轭复数）（ ）A．B．C．D ．17. 如图，在等腰梯形ABCD 中，，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．18.已知直角中有一个内角为，如果双曲线以为焦点，并经过点C ，则该双曲线的离心率可能是（ ）A．B ．2C．D．19. 已知四边形和四边形为正方形，，则下列说法正确的是（ ）三、填空题A．B．C．D．20. 函数，若，有，则（ ）A ．的图象与轴有两个交点B．C．D ．若，则21. 有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（ ）A ．事件与事件相互独立B．C．D．22. 设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（ ）A ．的离心率的取值范围为B．的离心率的取值范围为C ．直线斜率的取值范围为D ．直线斜率的取值范围为23.在正方体中，点P满足，则（ ）A ．若，则AP 与BD所成角为B ．若，则C．平面D．24.已知数列满足，，则下列关于的判断正确的是（ ）A ．，，B ．，，C．，，D ．，，25. 若圆：上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是___________.26. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且为抛物线的焦点.设点为两曲线的一个公共点，且，，为钝角，则双曲线的方程为__________．27. 钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则________．28. 在正方体内有一个球，该球与正方体的六个面均相切.记正方体的体积为，球O 体积为，则的值是____________.四、解答题29. 在平面直角坐标系中，已知过点的圆M与圆相切于原点，则圆M 的半径是__．30. 杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）．31. 写一个焦点在轴上且离心率为的双曲线方程________．32._______．33.已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．34.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面 ABCD ，AB =AE =2DF ，AE DF.(1)证明：平面AEC ⊥平面 CEF ；(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.35. （1）求值：；（2）已知，求的值.36. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．0.100.050.0102.7063.8416.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．37. （1）化简；五、解答题（2）计算.38. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.39.三棱锥中，，，，平面，，为中点，点在棱上(端点除外).过直线的平面与平面垂直，平面与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形.（1）在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)；（2）若.求直线与平面所成角的正弦值.40. 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.(1)求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；(2)在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．41. 已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．（1）求的解析式；（2）作出在上的图象（要列表）．六、解答题42. 已知函数.（1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；（2）令，求函数的定义域及不等式的解集.43. 2023年空军航空开放活动·长春航空展于7月26日至30日在长春举行．航展组织者为了了解网民对本届航展的关注度，对网民进行关注度的问卷调查，并从中随机抽取80份对其得分（得分均在内）情况进行统计，得到如下表格：得分频数814182416(1)根据频数分布表作出频率分布直方图；(2)利用分层抽样的方法从得分在和的样本中随机抽取6个样本，再从这6个样本中随机抽取2个样本，求这2个样本的得分均在的概率．44. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.年份年份代号年利润（单位：亿元）（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率.参考公式：，.45. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程（2）若，求证：当时，.46. 如图，在三棱锥中，，，，，直线与平面成角，为的中点，，.（Ⅰ）若，求证：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.47. 已知数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前n项和为，求证：.48. 如图，圆柱的轴截面是正方形，、分别是上、下底面的圆心，是弧的中点，、分别是与中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.49. 如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点.(1)求证平面；(2)求面积的最小值.50. 如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．七、解答题(1)若为中点，求证：；(2)若平面，求线段长度的最小值．51. 随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类APP 让用户的生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉迷于手机游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏APP ，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x 123456平均过关时间y （单位：秒）5078124121137352(1)通过散点图分析，可用模型拟合y 与x 的关系，试求y 与x 的经验回归方程；(2)甲和乙约定举行对战赛，每局比赛通关用时少的人获胜（假设甲､乙都能通关），两人约定先胜4局者赢得比赛.已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，若前3局中甲已胜2局，乙胜1局，求甲最终赢得比赛的概率.参考公式：对于一组数据（x i ，y i ）（i =1，2，3，…，n ），其经验回归直线ŷ=x +的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：，其中.52. 某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负. 并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸球的人摸出的球后不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和 .(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望；53. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率(两人同时答对同一个题目视为答对两个）；(2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.54. 鲁班锁是中国一种古老的益智玩具，它与九连环、华容道、七巧板被称为中国民间的四大传统益智玩具．鲁班锁看似简单，却凝结着不平凡的智慧，是榫卯结构的集中展现，一般由六根木条组成，三维拼插，内部榫卯咬合，外观严丝合缝，十字立体，易拆难装，十分巧妙．某玩具公司新开发了两款鲁班锁玩具，记两款鲁班锁玩具所获利润分别为万元、万元，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下表：（成本利润率利润成本）款鲁班锁玩具：成本利润率概率0.30.60.1款鲁班锁玩具：成本利润率概率0.20.30.5(1)若两款鲁班锁玩具的投资成本均为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差；(2)若两款鲁班锁玩具的投资成本共为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和的最小值．55. 大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：表1水果产量概率表2水果市场价格（元）概率(1)设表示在这块地种植此水果一季的利润，求的分布列及期望；(2)在销售收入超过万元的情况下，利润超过万元的概率．56. 年月日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律《中华人民共和国民法典》颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代.为深入了解《民法典》，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计这名学生比赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？优秀非优秀合计文科生理科生合计参考公式及数据：，.八、解答题57. 在ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量，，且．（1）求角A的大小及向量与的夹角；（2）若，求ABC面积的最大值．58. 如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上两点，四边形是矩形．(1)求抛物线的方程；(2)求矩形的面积．59. 在中，内角所对的边分别为，．(1)求的值；(2)若的面积为，求的值．60. 已知，，、、是的内角；（1）当时，求的值；（2）若，，当取最大值时，求的大小及边的长．61. 春节期间,由于高速公路继续实行小型车免费,因此高速公路上车辆较多,某调查公司在某城市从七座以下小型汽车中按进入服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速（）分成六段:后得到如图的频率分布直方图.(1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法？(2)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数以及平均数的估计值;(3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆,求至少有一辆车的车速在的概率.62. 设，函数，函数.（1）当时，求函数的零点个数；（2）若函数与函数的图象分别位于直线的两侧，求的取值集合；（3）对于，，求的最小值.。
2020届四川省成都市高中毕业班第三次诊断性检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.若A B ⊆，则实数x 的值为（ ） A ．0或2 B ．0或4C ．2或4D ．0或2或4【答案】C【解析】利用子集的概念即可求解. 【详解】集合{}0,A x =，{}0,2,4B =若A B ⊆，则集合A 中的元素在集合B 中均存在， 则0,2x =或4，由集合元素的互异性可知2x =或4， 故选：C 【点睛】本题考查了子集的概念，理解子集的概念是解题的关键，属于基础题.2．若复数z 满足25zi i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点的坐标为（ ） A ．()2,5 B ．()2,5-C ．()5,2-D ．()5,2-【答案】D【解析】根据题意两边同时除以i 可求出复数z ，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标. 【详解】解：因为25zi i =+，所以2552iz i i+==-，故z 在复平面上对应的点的坐标为()5,2-.故选：D. 【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.3．命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+> B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．0x R ∃∈，20010x x -+≥D ．x R ∀∈，210x x -+>【答案】D【解析】含有全称量词和特称量词的否定是：否量词，否结论，不否范围. 【详解】解：命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是x R ∀∈，210x x -+>.故选：D. 【点睛】本题考查含有全称量词和特称量词的命题的否定，熟练掌握否定的规则是解题的关键，本题属于基础题.4．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果. 【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体为三棱柱，当选A 时，正视的中间的竖线应为虚线，选项BCD 均可能， 故选：A 【点睛】此题考查三视图与几何体之间的转换，考查学生的转换能力和空间想象能力，属于基础题.5．已知函数()22x x f x -=-，则()2log 3f =（ ） A ．2B ．83C ．3D ．103【答案】B【解析】根据函数解析式及指数对数恒等式计算可得； 【详解】解：因为()22x x f x -=- 所以()22log 3log 3218log 322333f -=-=-=故选：B 【点睛】本题考查函数值的计算，对数恒等式的应用，属于基础题.6．已知实数,x y 满足102050x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得当3x =，2y =时，2z x y =+取得最大值8．【详解】作出实数x ，y 满足10,20,50x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中(3,2)A ，(1,2)B ，(1,4)C设(,)2z F x y x y ==+，将直线:2l z x y =+进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值()3,22328max z F ∴==⨯+=．故选：C ． 【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数2z x y =+的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）A ．4002mB ． 24002mC ．6002mD ．8002m【答案】D【解析】连接OD ，设COD θ∠=，则sin CD OD θ=，cos OC OD θ=，2ABCD S OC CD =⋅根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接OD ，设COD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 202sin CD OD θθ==，cos 202OC OD θθ==所以22202202800sin 2ABCD S OC CD θθθ=⋅=⨯⨯=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,θπ∈，所以(]sin 20,1θ∈，所以(]0,800ABCD S ∈，当4πθ∈时()max 800ABCD S =故选：D 【点睛】本题考查三角函数的应用，属于基础题.8．在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（ ）A ．－3B ．3C ．3±D ．9【答案】B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比. 【详解】解：因为190nn n a a +=>，所以11111999nn n n n n n n a a a a a a ++---===， 所以29q =，所以3q =或3q =-，当3q =-时，109nn n a a +=<不合题意，故选：B 【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.9．已知函数()33f x x x =-，则“1a >”是“()()1f a f >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对函数()33f x x x =-进行求导可得到：()()()2()31311f x x x x '=-=-+从而可得出函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性可知：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立，所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 【详解】由题意可得：()()()2()31311f x x x x '=-=-+，令()0f x '>解得1x >或1x <-，即函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立， 所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y ab a b-=>>的左，右焦点，经过点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ≤∠≤.则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．5,7⎡⎤⎣⎦B ．5,13⎡⎤⎣⎦C ．3,13⎡⎤⎣⎦D ．7,3⎡⎤⎣⎦【答案】B【解析】由题意画出图形，求得122tan a F AF b ∠=，再由1264F AF ππ∠求得b a的范围，结合双曲线的离心率公式得答案． 【详解】 如图，由题意，(,)bcA c a，12||2F F c =， 则12122||22tan ||F F c aF AF bc AF b a∠===．由1264F AF ππ∠，得321ab， 即223ba． 21()[5,13]c be a a∴=+． 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等； ②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π；④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE + 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】C 【解析】根据三角形全等判断①，根据sin PAB ∠的值和三角形的内角和得出PAB ∠的范围，计算外接球半径判断③，将棱锥侧面展开计算最短距离判断④． 【详解】解：如图1，AB BC ⊥，D 是AC 的中点，DA DB DC ∴==，又PD ⊥平面ABC ，Rt PDA RtPDB RTPDC ∴∆≅≅，PA PB PC ∴==，故①正确；PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠，又PAB PBA APB π∠+∠+∠=，2PAB π∴∠<，过P 作PM AB ⊥，M 为垂足，如图2，则1PM PD >=，又PA sin2PM PAB PA ∴∠=>=，4PAB π∴∠>，故②正确；AB BC ⊥，D ∴为平面ABC 截三棱锥外接球的截面圆心，设外接球球心为O ，则O 在直线DP 上，如图3，设DO h =，则(1)h ±=0h =，故D 为外接球的球心．∴外接球的体积为344133ππ⨯⨯=，故③错误．若AB BC =，则2BC =，又2PB PC ==，故PBC ∆是等边三角形，将平面PCD 沿PC 翻折到平面PBC 上，如图4，图5. 则DE BE +的最短距离为线段BD 的长．6045105BCD ∠=︒+︒=︒，2BC =1CD =，6221221cos10523BD +∴=+-⨯⨯⨯︒=+④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．12．已知函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是（ ）A ．34π B ．23π C ．712π D ．2π 【答案】A【解析】将点20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭代入解析式，求出A ，然后再利用三角函数的平移变换求出ω，再由()()12min max 2f x f x ≥，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得sin142A π-=，解得1A =+ 函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个长度单位可得()(1sin 314g x x πωπω⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两函数的图象重合，可知32,k k Z πωπ=∈， 解得2,3kk Z ω=∈， 又因为01ω<<，所以23ω=， 对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立， 则()()12min max 2f x f x ≥， 由[]12,0,x x t ∈，则12222,,3434434x x t ππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦， 若要实数t 取最大值，由()()2max1min2f x f x ≥，只需()min 1122f x ≥=， 所以23344t ππ+≤，解得34t π≤， 所以实数t 的最大值是34π. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式、三角不等式恒成立问题、正弦函数的性质，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，则实数λ的值为______. 【答案】23-【解析】由a b ⊥，故1230a b λ=⨯+=，即可解得；【详解】解：因为()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥， 所以1230a b λ=⨯+=，解得23λ=- 故答案为：23- 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.14．某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为y bx a =+.若下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =，则b 的值为______. 【答案】0.54【解析】由已知表格中的数据，求得x 和y ，代入回归方程，再把点()170,117代入y bx a =+，联立方程组即可求解b 的值.【详解】解：由已知表格中的数据，求得：1201101251301151205x ++++==，9283909689905y ++++==，则12090b a +=，①又因为下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =， 则170117b a +=，② 联立①②，解得：0.54b =. 故答案为：0.54. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则12310a a a a ++++的值为______.【答案】792【解析】首先求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得到232344n S n n =-+，再利用作差法求出31322n a n =-+，最后利用分组求和计算可得； 【详解】解：因为15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设公差为d ，所以15S =，525S =，所以513544S S d -==-， 所以32344n S n n =-+，所以232344n S n n =-+①； 当2n ≥时，()()213231144n S n n -=--+-②；①减②得31322n a n =-+，显然15a =符号故31322n a n =-+，当14n ≤≤时0n a ≥，5n ≥时0n a <所以12310a a a a ++++41102356789a a a a a a a a a a -----+-=++()4104S S S --=4102S S =-2232332344101044442⨯+⨯-⎪=⨯⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭+357911222⎛=⎫⨯--= ⎪⎝⎭故答案为：792【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.16．已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过点F 且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M .则4pFM的值为______. 【答案】2【解析】先写出过点F 且倾斜角为4π的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段AB 的中点坐标，从而可得到线段AB 的垂直平分线方程，进而可求出点M 的坐标，于是就得到FM 的值，即可得结果. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF ，则经过点F 且倾斜角为4π的直线为2py x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 为00(,)N x y ， 由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22304p x px -+=，所以12003,22x x px y p +===， 所以线段AB 的垂直平分线方程为3()2py p x -=--， 令0y =，得52p x =，所以5(,0)2pM ， 所以5222p p FM p =-=，所以4422p p FM p ==， 故答案为：2 【点睛】此题考查抛物线方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，运用了根与系的关系，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题17．某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率. 【答案】（Ⅰ）不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）710. 【解析】（Ⅰ）求出月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例，与65%比较判断即可；（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ，利用列举法，列举出5名销售员中随机抽取2名的所有结果和至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果，最后根据古典概型求概率，即可得出结果. 【详解】解：（Ⅰ）该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元， 分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70， ∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1155%20=， ∵55%65%<，故不需要对该销售小组发放奖励.（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ， 从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，()12,a a ，()13,a a ，()23,a a ，共有10种，其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，共有7种， 故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为710P =. 【点睛】本题考查利用列举法写出基本事件和古典概率求概率，以及利用概率对实际问题进行评估，属于基础题.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()sin()()(sin sin )a c A B a b A B -+=-+.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4b =，求a c +的最大值. 【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）8.【解析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可得()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，再根据正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2216a c ac +-=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）在ABC 中，∵sin()sin()sin A B C C π+=-=， ∴()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+. 由正弦定理，得()()()a c c a b a b -=-+. 整理，得222c a b ac +-=.∴222122c a b ac +-=.∴1cos 2B =. 又0B π<<，∴3B π=.（Ⅱ）∵4b =，∴2216a c ac +-=， 即2()163a c ac +-=，∵22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22()1632a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭. ∴21()164a c ≤+. ∴8a c +≤，当且仅当a c =时等号成立. ∴a c +的最大值为8. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，需熟记定理的内容，属于基础题. 19．如图，在多面体ABCDEF 中，ADEF 为矩形，ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，2BC =，4=AD ，且AB BD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为EF ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ACF ；（Ⅱ）若2DE =，求多面体ABCDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；103. 【解析】（Ⅰ）取AD 的中点O .连接OM ，ON ，可证//OM AF ，//ON AC ，然后利用平面//MON 平面ACF ，可证//MN 平面ACF .（Ⅱ）将多面体分为四棱锥B ADEF -和三棱锥B CDE -两部分，将B CDE V -转化为V E BCD -，然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可. 【详解】解：（Ⅰ）如图，取AD 的中点O .连接OM ，ON .在矩形ADEF 中，∵O ，M 分别为线段AD ，EF 的中点， ∴//OM AF .又OM ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ， ∴//OM 平面ACF .在ACD 中，∵O ，N 分别为线段AD ，CD 的中点， ∴//ON AC .又ON ⊄平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， ∴//ON 平面ACF . 又OMON O =，,OM ON ⊂平面MON ，∴平面//MON 平面ACF又MN ⊂平面MON ，∴//MN 平面ACF . （Ⅱ）如图，过点C 作CH AD ⊥于H . ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，CH ⊂平面ABCD ，∴CH ⊥平面ADEF .同理DE ⊥平面ABCD .连接OB ，OC .在ABD △中，∵AB BD ⊥，4=AD ， ∴122OB AD ==. 同理2OC=.∵2BC =，∴等边OBC 的高为3，即3CH =. 连接BE .∴ABCDEF B ADEF B CDE B ADEF E BCD V V V V V ----=+=+1111124323233332ADEF BCD S CH S DE =⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯△ 103=.【点睛】本题考查利用线线平行，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，考查分割法求多面体的体积，考查四棱锥和三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.20．已知函数()ln xm e f x x e=-，其中m R ∈.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当2m =时，证明：()0f x >.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）利用导数求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）先证明存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =，再利用导数求出()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】解：（Ⅰ）当1m =时，()ln x e f x x e =-.则()1'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增（增函数+增函数=增函数），且()'10f =，∴当()0,1x ∈时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. ∴()f x 的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.（Ⅱ）当2m =时，()2ln x e f x x e =-.则()21'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增，且()1'110f e =-<，()1'2102f =->， ∴存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =.∴当()00,x x ∈时，()'0f x <，即()f x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，即()f x 在()0,x +∞上单调递增， ∴()()0002ln x e f x ef x x ==-最小值.又0201x e e x =，即0201ln ln x ex -=.化简，得002ln x x -=-. ∴()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值. ∵()01,2x ∈，∴()001220x x f x =+->=最小值. ∴当2m =时，()0f x >. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F，点2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-；（ii ）求ABMN的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（Ⅰ）把点Q ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，结合222a b c =+，c =，即可求得椭圆的标准方程.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ,写出切线方程()00y k x x y =-+，联立方程组()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，再由0∆=，结合韦达定理，写出12k k 的表达式，化简得出结果; （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，进而求得直线PA 和PB 的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线AB 的方程，运用弦长公式求得ABMN，结合0y 的范围，可求得ABMN的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵椭圆C 的左焦点()1F ，∴c =将Q ⎛ ⎝⎭代入22221x y a b +=，得221314a b +=. 又223a b -=，∴24a =，21b =.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y k x x y =-+. 由()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=.()()()222200006444144k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()22200004210x k x y k y -++-=.由已知，则212214y k k x -=-. 又22005x y +=，∴()220012220154144x x k k x x ---===---. （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y .当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =-+.由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()22211111111148440k xk y k x x y k x ++-+--=.()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=. 则11111122111444x y x y x k x y y =-=-=--. ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y =--+. 化简，可得22111144x x y y y x +=+，即1114x xy y +=. 经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-，也满足1114x xy y +=. 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=. ∵()00,P x y 在直线PA ，PB 上，∴101014x x y y +=，202014x xy y +=.∴直线AB 的方程为0014x xy y +=.由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得()22200035816160y x x x y +-+-=.∴01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+.∴12x AB =-=)20203135y y +==+. 又由（i ）可知当直线PA ，PB 的斜率都存在时，PM PN ⊥；易知当直线PA 或PB 斜率不存在时，也有PM PN ⊥.∴MN 为圆O 的直径，即MN =∴)2022022003131413535y y y y ABMN++===-++. 又[]200,5y ∈，∴204141,3555y ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦. ∴AB MN 的取值范围为14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力.采用了设而不求的方法，运用韦达定理和弦长公式求得AB MN，结合椭圆纵坐标的有界性可求得范围，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为832432x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos a ρρθ+=，其中0a >.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.若点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，求a 的值.【答案】（Ⅰ）40x y -+=；2260x y x a ++-=；（Ⅱ）4a =.【解析】（Ⅰ）利用消参法消去参数t ，即可将直线l 的参数方程转化为普通方程，利用互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得出关于t 的一元二次方程，根据韦达定理得出12t t +和12t t ，再利用直线参数方程中的参数t 的几何意义，即可求出a 的值.【详解】解：（Ⅰ）由于直线l的参数方程为83243x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y -+=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x a ++-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理，得26409t a +--=，(*) 设1t ，2t 是方程(*)的两个根，则有>0∆，得12t t +=，12649t t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由于点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点， 所以不妨设122t t =-， ∴223250929a t =+=， 解得：4a =，符合条件0a >和>0∆，.∴a 的值为4.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，以及利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中的参数t 的几何意义求参数值，考查化简运算能力.23．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a c ab ac--+的最小值. 【答案】（Ⅰ）1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）36. 【解析】（Ⅰ）根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的取值范围，可得不等式的解集； （Ⅱ）由绝对值三角不等式求出()f x 的最大值为M ，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．【详解】解：（Ⅰ）不等式()f x x <即12x x x --+<.①当1x ≥时，化简得3x -<.解得1x ≥；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ； ③当2x -≤时，化简得3x <.此时无解. 综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立. ∴3M =，即491a b c ++=. ∵193413111c a c a b ab ac ab c a a b c--++=+-=++， 又,,0a b c >， ∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2≥ ()212336=++=. 当且仅当11149a b c a b c==,即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴193c a c ab ac--+的最小值为36. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．。
2022年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U 是实数集R ，已知集合，，则( )A.B.C.D.2.已知i 为虚数单位，则( )A.B. 1C.D.3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是( ) A. 已知函数在区间内有零点，则B. 6是3与9的等比中项C. 若，是不共线的向量，且，，则D. 已知角终边经过点，则4.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )A. B. C. D.5.在区间中随机取一个实数k ，则事件“直线与圆相交”发生的概率为( )A. B.C. D. 6.已知数列是等比数列，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知x，y满足约束条件，若的最大值是16，则a的值为( )A. 2B.C. 4D.8.已知中，点P为BC边上的动点，则的最小值为( )A. 2B.C.D.9.在正方体中，E，F，G分别为，BC，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为；③平面其中所有正确结论的编号是( ) A. ① B. ②③ C. ①② D. ①③10.已知，是双曲线的左，右焦点，其半焦距为c，点P在双曲线E上，与x轴垂直，到直线的距离为，则双曲线E的离心率为( )A. B. C. D. 211.设过定点的直线l与椭圆C：交于不同的两点P，Q，若原点O在以PQ为直径的圆的外部，则直线l的斜率k的取值范围为( )A. B.C. D.12.若关于x的不等式的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.有甲乙丙三项任务，甲乙各需一人承担，丙需2人承担且至少一个是男生，现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是______用数字作答14.已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，若，，且的面积是，则______.15.已知函数，则函数有的零点个数是______个．16.圆锥其中S为顶点，D为底面圆心的侧面积与底面积的比是2：1，则圆锥SD与它的外接球即顶点在球面上且底面圆周也在球面上的体积比为__________.三、解答题：本题共7小题，共82分。
成都市2021级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}21,A x x k k ==+∈Z ，{}41,B x x k k ==+∈Z ，则（）A ．AB =∅B ．A B =ZC ．A B⊆D ．B A⊆2．若复数z 满足()1i 1i z +-=--，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a ，b 是两条不同的直线，α是平面，若a α∥，b α⊂，则a ，b 不可能（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．异面4．“数九”从每年“冬至”当天开始计算，每九天为一个单位，冬至后的第81天，“数九”结束，天气就变得温暖起来．如图，以温江国家基准气候站为代表记录了2023~2024年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温”（单位：℃），下列说法正确的是（）A ．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升B ．“四九”成都市“平均气温”较“多年平均气温”低0.1℃C ．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差D ．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差5．已知向量(),2a λ= ，()1,1b = ，若a b a b +=-，则实数λ的值为（）A ．－2B ．2C ．12-D ．126．设m ∈R ，双曲线C 的方程为()222211x y m m -=+，则“C 1m =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，由观测数据()(),1,2,3,4,5,6i i x y i =的散点图可知，y 与x 的关系可以用模型ln y b x a =+拟合，设ln z x =，利用最小二乘法求得y 关于x 的回归方程ˆˆ1y bz =+．已知12123456e x x x x x x =，6118i i y ==∑，则ˆb=（）A ．1217e B ．1212e C ．1D ．17128．已知sin 221cos 2αα=-，则tan α=（）A ．12B ．12-C ．2D ．－29．已知直线l ：10x ay -+=与C ：()()2211x a y -+-=相交于A ，B 两点，若ABC △是直角三角形，则实数a 的值为（）A ．1或1B ．或C ．17-或－1D ．17-或10．将函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图象向左平移π6个单位后，与函数()()cos g x x ωϕ=+的图象重合，则ω的最小值为（）A ．9B ．6C ．3D ．211．已知函数()2e e xxf x -=-，若实数m ，n 满足()()0f m f n +=，则m n +=（）A ．1B ．2C ．eD ．412．在棱长为5的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是1DD 中点，点P 在正方体的内切球的球面上运动，且CP AQ ⊥，则点P 的轨迹长度为（）A B ．C ．5π4D ．5π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．13．已知函数()3,1,3,1,x x x f x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则()3log 4f 的值为______．14．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b ac =，sin 2sin C A =，则cos A 的值为______．15．若不等式32210x ax -+≥对任意[)0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为______．16．设F 为抛物线C ：22x y =的焦点，过F 的直线与C 相交于A ，B 两点，过点A 作C 的切线，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，则DE OB ⋅（其中O 为坐标原点）的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用，某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t （单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟，时长t [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100学生人数5010020012525（Ⅰ）估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在[)0,20和[)20,40的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在[)0,20的概率．18．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知2n n a S n =+．（Ⅰ）证明：数列{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）设()2log 1n n b a =+，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AB CD ∥，60BAD ∠=︒，1AB =，2AD CD ==，BE CD ⊥．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若AD DE ⊥，DE =F 为CE 中点，求三棱锥F ABE -的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，过点()0,P a 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当l 过坐标原点O 时，2AB =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当l 斜率存在时，线段OP 上是否存在定点Q ，使得直线QA 与直线QB 的斜率之和为定值．若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()()ln f x x x a a =-∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分12分）选修4－4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,x mt y mt⎧=⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 04ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且()6,2M 为线段AB 的三等分点，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()()20f x x m m m =--<．（Ⅰ）求不等式()2f x x ≥的解集；（Ⅱ）当2m =-时，函数()f x 的最小值n ，若非零实数a ，b ，c 满足222a b c n ++=，证明：22222222232a b c b c c a a b ++≥+++．成都市2021级高中毕业班第三次诊断性检测数学(文科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：(每小题５分，共60分)1．D ；2．B ；3．C ；4．D ；5．A ；6．B ；7．C ；8．A ；9．A ；10．C ；11．B ；12．B ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：(每小题５分，共20分)13．4；14．78；15．3；16．14．三、解答题：(共70分)17．解：(Ⅰ)由题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数5010020012525103050709049500500500500500t =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49．(Ⅱ)抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在[)0,20内有：1623⨯=人，在[)20,40内有：2643⨯=人，设[)0,20内的2人记为：A ，B ；[)20,40内的4人记为：,,,a b c d ．从这6人中随机选2人的基本事件有：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,A B A a A b A c A d B a B b B c B d a b ()()()()(),,,,,a c a d b c b d c d 共15种，其中至少有一人每天课外阅读平均时长在[)0,20的基本事件有()()()()()(),,,,,,A B A a A b A c A d B a ()()(),,,B b B c B d 共9种，设M =“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在[)0,20”，则()93155P M ==．18．解：(Ⅰ)当1n =时，111211a S a =+=+，得11a =，由2n n a S n =+，①当2n ≥时，1121n n a S n --=+-②，①－②得：()11211n n n n n a a S S a ---=-+=+，整理得：()1212n n a a n -=+≥，所以()()11212n n a a n -+=+≥，且112a +=，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)得()111122n n n a a -+=+⋅=，∴2log 2nn b n ==，()11111n c n n n n ==-++．∴111111111122334111n nT n n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=-++．19．解：(Ⅰ)在ADB △中，由余弦定理DB ==∵222AD DB AB =+，∴DB AB ⊥．∵CD AB ∥，EB CD ⊥，∴EB AB ⊥，∵DB AB ⊥，EB DB B ⋂=，∴AB ⊥平面EDB ．又AB ⊂平面ABCD ，∴平面EDB ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)∵F 是EC 中点，∴1122F ABE C ABE E ABC V V ---==．由(Ⅰ)得AB ⊥平面EDB ，ED ⊂平面EDB ，∴AB ED ⊥．∵ED AD ⊥，AD AB A ⋂=，∴ED ⊥平面ABCD ，∴1112613323E ABC ABC V S ED -=⋅=⨯⨯=△．∴63F ABE V -=．故三棱锥F ABE -的体积为63．20．解：(Ⅰ)直线l 过坐标原点O 时，22AB b ==，∴1b =．又∵32c a =，∴12b a ==．∴2a =．∴椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)假设存在定点()0,Q m ，[]0,2m ∈，设直线l ：2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由222,44y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，得()224116120k x kx +++=．其中0∆＞，1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+．()()1212121222QA QB m kx m kx m y m y k k x x x x -+-+--+=+=+----()()()()12121211422222222133x x k km k m k m k m x x x x ⎛⎫+-=-++=-+=-+=- ⎪⎝⎭．∴当12m =时，0QA QB k k +=为定值．∴存在定点10,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得直线QA 与直线QB 的斜率之和恒为0．21．解：(Ⅰ)当2a =时，()()ln 20f x x x x =->，()1ln f x x '=+-ln y x =与y =()0,+∞单调递增，∴()f x '在()0,+∞上单调递增．由()10f '=，()0,1x ∈，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减；()1,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增．综上，()f x 的单增区间为()1,+∞，单减区间为()0,1．(Ⅱ)0t =>，设函数()22ln g t t t at a =-+，()10g =．函数()f x 有两个零点等价于函数()g t 有两个零点．①当0a ≤时，()()222ln 2ln 1g t t t at a t t a t =-+=--，当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <；当1t =时，()0g t =．∴()g t 在()0,+∞上只有一个零点，故0a ≤不合题意．②当0a >时，()()22ln 1g t t t a '=+-，令()()22ln 1h t t t a =+-，()()22ln 3h t t '=+，令()0h t '=得321et =，()h t 在3210,e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，321,e ⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()33min2214e e h t h a ⎛⎫-⎪==- ⎪⎝⎭．∵3240ea --<，0t +→时，()0h t a →-<，t →+∞时，()h t →+∞．由零点存在定理得存在0321,e t ⎛⎫⎪∈+∞ ⎪⎝⎭，使得()00h t =，∴()00,t t ∈时，()0g t '<，()g t 单调递减；()0,t t ∈+∞时，()0g t '>，()g t 单调递增．由0t +→时，()0g t a →>，t →+∞时，()g t →+∞，且()10g =，故当01t =时，函数()g t 有且仅有一个零点，不合题意；当01t ≠时，()()()0min 10g t g t g =<=，此时()g t 在()00,t ，()0,t +∞上各有一个零点．满足题意．由()h t 在321,e ⎛⎫⎪+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()12h a =-．故当2a =时，01t =，不合题意；当()()0,22,a ∈+∞ 时，01t ≠，满足题意．综上，a 的取值范围为()()0,22,+∞ ．22．解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程2,x mt y mt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)，消去参数t 可得曲线C 的普通方程为2y mx =．由直线l的极坐标方程得：()cos sin 02ρθρθ--=．∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y --=．(Ⅱ)直线l的参数方程为6,2222x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．与曲线C ：2y mx =联立得：()28120t t m ++-=，0∆>，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-，12812t t m =-．∵M 为线段AB 的三等分点，∴122t t =-．代入12t t +=-可得)14t m =-，)24t m =-．代入12812t t m =-，可得()244812m m --=-．即211180m m -+=，解得2m =或9m =均满足0∆>．故m 的值为2或9．23．解：(Ⅰ)当2x m ≥时，32x m x -≥，解得23m x m ≤≤-；当2x m <时，2m x x -≥，3mx ≤，解得2x m <．综上，所求不等式的解集为{}3x x m ≤-．(Ⅱ)由题意，当2m =-时，()f x 的最小值为2．∴2222a b c ++=．()()()222222222222222222222222b c c a a b a b c b c c a a b b c c a a b -+-+-+++=+++++++2222222223b c c a a b=++-+++()()()22222222222211132b c c a a b b c c a a b ⎡⎤+++++⎛⎫⎣⎦=++- ⎪+++⎝⎭213322⎫≥-=．当且仅当22223a b c ===时等号成立，不等式得证．。
2024届四川省成都市高三下学期高考数学数学（文科）试卷（三诊）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．满足且的集合的个数为（ ）{},,,M a b c d ⊆{}{},,M a b c a ⋂=M A ．1B ．2C ．3D ．42．在中，“是钝角”是“”的（ ）ABC ACB ∠CA CB AB+< A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）A ．B ．9x =6y =C ．乙的成绩的中位数为D ．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差284．用数学归纳法证明：（）的过程中，从到()111212322n n f n +=++++≥ *n ∈N n k =时，比共增加了（ ）1n k =+()1f k +()f k A ．1项B ．项C ．项D ．项21k-12k +2k5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()1sin cos 4f x x x =+A ．的图象关于直线对称B ．的周期为()f x π2x =()f x πC ．是的一个对称中心D ．在区间上单调递增(1π,4)()f x ()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()1log b bn P n n +=，则k 的值为（ ）()80*4102log 81()1log 5n kPn k ==∈+∑N A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平2()2ln f x x x =+()()()()1122,,,A x f x B x f x 行，则的取值可以为（ ）12x x +A ．B ．1C ．2D ．141038．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那ABCD Y么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．异面且垂直D ．异面且不垂直9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．316131671691610．在平面直角坐标系中，点，向量，且.xOy ()()1,0,2,3A B -OC mOA nOB =+40m n --=若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和（点在轴上方），双曲线右C 2212x y -=P Q P x 焦点为，则（ ）F POFQOFS S = A ．B．CD3-11．如图，射线与圆，当射线从开始在平面上按逆时针方向绕着l ()()22:111C x y -+-=l 0l 原点匀速旋转（、分别为和上的点，转动角度不超过）时，它被圆O A B 0l l AOB α∠=π4截得的线段长度为，则函数的解析式为（ ）C EF ()L α()L αA ．B ．()L α=()L α=C ．D ．()L α=()L α=12．若存在满足，且使得等式成立，其(),x y 23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩()()324e ln ln 0x a y x y x +--=中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）e a A ．B ．C ．D ．()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(),0∞-30,2e ⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若复数（为虚数单位），则.12z =i 2z z ⋅=14．已知a 是1，2的等差中项， b 是 1， 16的等比中项， 则ab 等于；15．已知函数的定义域为，对于任意实数均满足，若()f x R ,x y ()()2233f x f y x y f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则.()21f =()510f =()724f =16．某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高8cm 6cm 12cm ､､处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.[]15,25(1)求的值；a (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取[)15,17[)17,19的2株高度均在内的概率.[)17,1918．如图，在四边形中，已知点C 关于直线BD 的对称点在直线AD 上，ABCD 'C ，．30CBD CDB ∠=∠=︒75ACD ∠=︒(1)求的值；sin sin BACABC ∠∠(2)设AC =3，求．2AB 19．已知函数.2()ln ,f x ax x a =-∈R (1)讨论函数的单调性；()f x (2)设，且是的极值点，证明：.0,()()a g x f x bx >=+1x =()g x 2+ln 12ln 2b a ≤-20．已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且αβAB α⊂CD β⊂，和的夹角为.2AB CD ==AB CD 60︒(1)证明：四面体的体积为定值；ABCD(2)已知异于、两点的动点，且、、、、的球面上.求点C D Pβ∈P A B C D 到直线的距离的取值范围.P AB21．已知椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>(1)求椭圆的标准方程；C(2)我们称圆心在椭圆的“环绕圆”.过原点作椭圆C C O的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，若直线的斜率存在，并记为C C,A B,OA OB，求的取值范围.12,k k12k k选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数) ，以坐标原点为极点，xOy l122x ty⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x1Cρ=(1)写出直线的普通方程和曲线的参数方程；l1C(2)若将曲线1C，设点是曲线上任意一点，求点到直线距离的最小值.2C P2C P l[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数．()1f x x=-解不等式；()1()()246f x f x++≥若a 、，，，证明：．()2b R ∈1a <1b <()()1f ab f a b >-+1．B【分析】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合中的元素，即可求解集合的个M M 数.【详解】由可得：，，.又因为，{}{},,M a b c a ⋂={}a M ⊆a M ∈,b c M ∉{},,,M a b c d ⊆所以或.{}M a ={},M a d =故选：B 2．C 【分析】先将等价变形为，两边平方后得，且CA CB AB+< CA CB CB CA+<- 0CA CB ⋅<三点不共线，即可做出判断.,,A B C 【详解】“”等价于“”，CA CB AB +< CA CB CB CA+<- 所以，22222222CA CB CA CA CB CB CB CA CA CA CB CB ⋅-+=++<+⋅-= 从而，0CA CB ⋅<在中，显然三点不共线，即两个向量不能方向相反，则是钝角，ABC ,,A B C CA CB,ACB ∠则必要性成立，若是钝角，则，则，则充分性成立，ACB ∠0CA CB ⋅< CA CB AB+< 则“是钝角”是“”的充要条件.ACB ∠CA CB AB+< 故选：C ．3．C【分析】结合茎叶图的数据分布特点，以及统计数据的极差、平均数、中位数、方差，依次分析选项，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，甲得分的极差为31，，解得：，A 正确；30831x +-=9x =对于B ，乙的平均数为，解得，B 正确；()11225262031245x y =⨯+++++=乙6y =对于C ，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数是26，C 错误；对于D ，甲的平均数，与乙的平均数相同，但根据茎叶图可()1813283239245x =⨯++++=甲得乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D 正确；故选：C ．4．D【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论．()1f k +()f k 【详解】因为，()1111232n f n =++++ 所以，共项，()1111232k f k =++++ 2k 则共项，()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 12k +所以比共增加了项，()1f k +()f k 1222k k k +-=故选：D 5．B【分析】利用二倍角公式化简可得，根据函数图象逐项进行判断即可得()12sin214f x x =+到答案．【详解】由函数，()1111sin cos sin 22sin 214244f x x x x x =+=+=⋅+由此可作出的函数图象，如图所示，()f x 对于A 中，由，()()()111π2sin 2π12sin 212sin 21444f x x x x f x -=⋅-+=⋅-+=⋅-≠所以关于直线不对称，所以A 错误；()f x π2x =对于B 中，由，所以B 正确；()()()11π2sin 2π12sin 2144f x x x f x +=⋅++=⋅+=对于C 中，由函数图象可知，不存在对称中心，所以C 错误；()f x ()f x 对于D 中，因为，，，π344f ⎛⎫=⎪⎝⎭π124f ⎛⎫=⎪⎝⎭ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数在上不是单调递增函数，所以D 错误.()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B.6．C【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.【详解】，1010118000128181()()(1)(80)lglg lg lg 180n kk k Pn P k P k P k k k =++=++++=+++=+∑ 而，故．42lg814lg 3log 81lg 42lg 22lg 3lg 9lg 5lg 51log 511lg 2lg 2====+++9k =故选：C ．7．D【分析】求出函数的导函数，依题意可得，再由、、，12122222x x x x +=+10x >20x >12x x ≠即可得到，最后由基本不等式求出的范围，即可判断.121=x x 12x x +【详解】由，则，2()2ln f x x x =+()22f x x x ='+则，，()11122f x x x '=+()22222f x x x '=+依题意可得且、、，12122222x x x x +=+10x >20x >12x x ≠所以，121=x x 所以，122x x +>=经验证，当、分别取、时满足题意.1x 2x 31312103x x +=故选：D 8．B【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断，的位置关系．AB CD 【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且两点重合，所以与相交， ，B C AB CD 故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．9．C【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率.【详解】设甲船到达泊位的时间为，乙船到达泊位的时间为，则，x y 0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则，14x y -≤画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分，010114x y x y ≤≤⎧⎪⎪≤≤⎨⎪-≤⎪⎩，33171244216S =-⨯⨯⨯=阴影则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为.=671S P S =阴影故选：C 10．D【分析】根据向量的坐标运算求得点C 的坐标，消参得其轨迹方程，然后与双曲线的渐近线方程联立求得点P 和Q 的纵坐标，从而把面积比转化为坐标绝对值比即可求解.【详解】由于向量，点，所以，OC mOA nOB =+()()1,0,2,3A B -()2,3C m n n -+因为，所以点，则点的轨迹为，40m n --=()4,3C n n -C 3(4)y x+=与双曲线其中一条渐近线，联立，得2212x y -=y=3(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩Q y =联立，得3(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩P y =因此.1212PPOF P QOFQ Q OF y S y S y OF y ⋅====⋅ 故选：D11．C【分析】根据题意，由直线与圆的位置关系求出()L a 【详解】由圆可得圆的极坐标方程为，()()22111C x y -+-=∶C ()()22cos 1sin 11ρθρθ-+-=化简得到，联立方程组，()22cos 2sin 10ρθθρ-++=()22cos2sin 10ρθθρθα⎧-++=⎨=⎩得到方程，()22cos 2sin 10ρααρ-++=则，()12L αρρ=-==故选：C.12．B【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合可行域可知当时，不成立，所以可以把0a =化为，设，根据可行域求出的取值()()324e ln ln 0x a y x y x +--=322e ln y y ax x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭y t x =t范围；构造函数，利用导数求出函数的最小值，建立不等式求实数的取值范围．a 【详解】画出不等式组表示的平面区域，23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩如图所示，，，，()1,4A ()3,3B ()4,6C 可知当时，原式不成立，0a =所以可转化为，()()324e ln ln 0x a y x y x +--=322e lny y ax x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭设，根据可行域可知，，y t x =14t ≤≤()322e ln t ta -=-设，（），()()22e ln f t t t=-14t ≤≤则，，()()14e 2ln 22e 2ln 2f t t t t t t '=+-⋅=+-()2224e 24e t f t t t t +''=+=因为，所以恒成立，14t ≤≤()0f t ''>则单调递增，且，()f t '()e 0f '=所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，[)1,e t ∈()0f t '<()f t (]e,4t ∈()0f t '>()f t 又，，，()10f =()e 2e f =-()()()4242e ln 442e ln 40f =-=-<所以，()[]2e,0f x ∈-所以，解得，32e 0a -≤-≤32e a ≥故选：B.13．12+【分析】根据复数的性质计算即可.【详解】因为，所以.12z =21111(((2222z z ⋅=⋅⋅故答案为：.1214．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求，即可求解.,a b 【详解】因为是的等差中项，所以，a 1,212322a +==因为是，的等比中项，所以，b 116211616b =⨯=，所以.4b =±6ab =±故答案为：.6±15．2167【分析】通过赋值得到的值，之后猜想的表达式，利用数学归纳法证明，之后(3),(4)f f ()f n 代入表达式即可求得答案.()f n 【详解】令即可求出，5,2x y ==()34f =令即可求出，2,5x y ==()47f =，，()()2323x y f x f f y +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()()()62363233423133f f f f f +⨯⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭结合，，，，可猜想.()21f =()34f =()47f =()510f =()613f =()()31235f n n n =--=-下面用数学归纳法证明：当时，由上述知成立.()*6N n n ≤∈()35f n n =-假设当时有，()*,N n k n k ≤∈()35f n n =-则当时，不妨设，1n k =+6k ≥()()()()()()125132533253k k f k f f k f k f k ⎛⎫++-+=--=--- ⎪⎝⎭.()()()()()33352355315k k k =-----=+-所以成立，所以.()35f n n =-()724372452167f =⨯-=故答案为：.216716【分析】用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线，本题水面到达杯底的瞬间，水面边缘曲线是椭圆，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面，则是椭圆的长轴，O ABCD BD 是椭圆的短轴，是圆台的轴线，作于，记与的交点为MN 12O O BH CD ⊥H BD 12O O 的中点为，由实际情形知，点在圆台的过轴线的中点且与轴线垂12F O O ，E M N E ､､12O O E 直的截面圆上，由垂径定理知垂直平分，再求椭圆的离心率即可.EO MN 【详解】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆，作纸杯（圆台）O 的与水面垂直的轴截面，则是椭圆的长轴，是椭圆的ABCD 6,8,12.AB CD BC BD ===MN 短轴.是圆台的轴线，作于，则12O O BH CD ⊥H12O O BH====BD ====记与的交点为的中点为，则，BD 12O O 12,F O O E 12OE O O ⊥，12122123::4:3,7FO FO O D O B FO O O ===，221212121312714EF EO FO O O O O O O =-=-=，1212222311:::1:6,14762O O O O OE O B EF FO OE O B =====由实际情形知，点在圆台的过轴线的中点且与轴线垂直的截面圆上，M N E ､､12O O E .由垂径定理知垂直平分，()121722EM O DO A =+=EO MN OM ON ===记椭圆的离心率为，长半轴长､短半轴长､半焦距为，e ab c ､､则222222222311,4c a b b e e a a a -===-=-==17．(1)；0.125(2)310【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得的值；a （2）再由和的频率比，确定这5株分别在和的株数，[)15,17[)17,190.120.153=[)15,17[)17,19最后由古典概型的计算公式求得结果即可.【详解】（1）依题意可得，解得；()0.050.0750.150.121a ++++⨯=0.125a =（2）由（1）可得高度在的频率为：；[)15,1720.0500.1⨯=高度在的频率为：；[)17,1920.0750.15⨯=且，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，0.120.153=[)15,17[)17,19因此记高度在植株为，记高度在植株为，[)15,17,m n [)17,19,,A B C 则所有选取的结果为（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（m n m A m B m C n A n B ，）、（，）、（，）、（，）共10种情况，n C A B A C B C 令抽取的2株高度均在内为事件，事件的所有情况为（，）、（，）、（[)15,17M M A B A C ，）共3种情况，B C 由古典概型的计算公式得：.()310P M =18．(2)15-【分析】（1）根据对称的性质和已知条件可得‖，则，AD BC CAD ACB ∠=∠，再利用正弦定理可求得结果；45ACB CAD ∠=∠=︒（2）在中利用正弦定理可求出，再在中利用余弦定理可求得结果.ACD CD ABC 【详解】（1）因为C 点关于直线BD 的对称点在直线AD 上，所以DB 平分，所以，ADC ∠ADB CDB ∠=∠因为，所以，BC =CD ，CBD CDB ∠=∠ADB CBD ∠=∠所以‖，AD BC 所以，CAD ACB ∠=∠因为，，30CBD CDB ∠=∠=︒75ACD ∠=︒所以，45ACB CAD ∠=∠=︒所以sin sin sin 45sin sin sin 60BAC BC CD CAD ABC AC AC ADC ∠∠︒====∠∠︒（2）因为在中，由正弦定理得,ACD sin sin CD ACCAD ADC =∠∠所以，3sin 45sin 60CD =︒︒3=所以，CD =CB =在中，由余弦定理得，ABC 2222cos AB CB CA CB CA ACB=+-⋅⋅∠．2233cos 4515=+-⨯︒=-19．(1)答案见解析.(2)证明见解析.【分析】（1）求导分析的符号，讨论的单调性，即可求解.()f x '()f x （2）先对求导，结合导数与单调性及极值的关系，得到，再结合要证不等式()g x 12b a =-构造函数，求导并结合单调性与最值即可证明.()ln 2ln 24h a a b a a =+=+-【详解】（1）函数的定义域为，求导得，2()ln f x ax x =-(0,)+∞2121()2ax f x ax x x -'=-=当时，恒成立，在上单调递减， 0a ≤()0f x '<()f x (0,)+∞当时，由，得，由，得0a >()0f x '<0x <<()0f x '>x >即函数在上单调递减，在上单调递增，()f x )+∞所以当时，函数在上单调递减，0a ≤()f x (0,)+∞当时，函数在上单调递减，在上单调递增.0a >()f x )+∞（2）函数的定义域为，2()()ln g x f x bx ax x bx =+=-+(0,)+∞求导得，1()2g x ax b x =-+'由是的极值点，得，即，1x =()g x (1)210g a b =-+='12b a =-，212(12)1(21)(1)()212ax a x ax x g x ax a x x x +--+-=-+-=='而，则当时，单调递减，当时，单调递增，0a >01x <<()0,()g x g x <'1x >()0,()g x g x >'所以当时，取得极小值.1x =()g x 设，求导得，()ln 2ln 24,0h a a b a a a =+=+->1()4h a a '=-当时，，当时，，10a 4<<()0'>h a 14a >()0h a '<则函数在上单调递增，在上单调递减，()h a 1(0,41(,)4+∞因此，所以.1()()1ln404h a h ≤=-<2+ln 12ln 2b a ≤-20．(1)证明见解析；(2)⎡⎣【分析】（1）用补形法将三棱锥补形为三棱柱，利用三棱锥与三棱柱体积的关系即B ADC -可求解.（2）考查点到直线的距离问题，与球的截面圆相结合，先确定球心位置和动点P 的轨迹即可进一步研究点到直线的距离的取值范围.P AB 【详解】（1）如图，平移线段使得与重合，AB A C 并将四面体补成一个斜三棱柱，ABCD则该斜棱柱的底面积，高，122sin 602S =⨯⨯⨯︒=1h =所以该斜棱柱的体积为定值，V Sh ==又此斜棱柱恰好可以分为三个与三棱锥的底面积相同，高相同的三棱锥，B ADC -于是这三个三棱锥的体积都相等，都是斜棱柱的，13所以四面体的体积为.ABCD 13V Sh =（2）设球心是，并设与平面，平面的距离分别是，，O O αβ1h 2h由OA OB OC OD ====在，的中垂面和，的中垂面（过线段中点且垂直于线段的平面）的交线上，O A B C D设的中点是，的中点是.则由勾股定理得，AB M CD N 12OM ON ==注意到，所以，，共线，且平面，1211h h OM ON =+≤+=O M N MN ⊥α因为，且、、、、均在球上，P β∈P A B C D O 所以在以点为圆心、以为直径的圆上（除去、两点），P N CD C D 过点N 直线AB 的平行线，11A B设点到直线AB ，的距离分别为，，则P 11A B d 1d d又，所以.[]10,1d ∈d ⎡∈⎣【点睛】关键点睛：确定球心位置和动点P 的轨迹是解决点到直线的距离的取值范围P AB 的关键.21．(1)22154x y +=(2)(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据条件可得即可得椭圆方程；225,4a b ==（2）先设切线的方程为，切线的方程为，由题意得环绕圆方程，由直OA 1y k x =OB 2y k x =线与圆相切及同解方程可得是方程的两个不相等的实数根，12,k k ()22200001210x k x y k y --+-=结合圆心在椭圆上得，由的范围可得最终答案.()00,x y C 2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭0x 【详解】（1）由题意，得，又，c a =1222a b ⋅⋅=222a b c =+解得，225,4a b ==所以椭圆的标准方程为.C 22154x y +=（2）设切线的方程为，切线的方程为，“环绕圆”的圆心D 为.OA 1y k x =OB 2y k x =()00,x y 由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为.()()22001x x y y -+-=因为直线与“环绕圆”，1:OA y k x =1化简得.()222100101210xk x y k y --+-=同理可得.()222200201210xk x y k y --+-=所以是方程的两个不相等的实数根，12,k k ()22200001210x k x y k y --+-=所以.22001220110,Δ0,1y x k k x --≠>=-又因为“环绕圆”的圆心在椭圆上，所以代入椭圆方程中，()00,x y C 22154x y +=可得，解得.2200154x y +=2200445y x =-所以.2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭又因为且，所以或.2005x ≤≤2010x -≠20110x -≤-<20014x <-≤所以或，所以或，20111x ≤--201114x ≥-2011111x -≥-20111114x -≤--所以或.20111435x ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭201111454x ⎛⎫--≥-⎪⎝⎭所以的取值范围是.12k k(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭ 22．(1)直线，曲线的参数方程为（为参数）l 0y -+=1C x y θθ⎧=⎪⎨⎪⎩θ；【分析】（1）消去参数t 可得直线的普通方程，极坐标方程先根据公式化为直角坐标方程，l 再化为参数方程即可.（2）利用参数方程，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质确定点到直线的距离P l 的最小值即可.【详解】（1）因为直线的参数方程为(t 为参数) ，曲线的极坐标方程为l 122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1C，ρ=消去参数，直线，l 0y -+=曲线的普通方程为：，所以的参数方程为（为参数）.1C 226x y+=1C x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩θ（2）由（1）有：的参数方程为（为参数），1C x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩θ由题意知，曲线的参数方程为（为参数），2C cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩θ所以可设点，又直线，()cos P θθl 0y -+=故点到直线的距离为：P l d所以当时，，即点到直线sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭min d =P l 23．（1）.（2）见解析. 4{|2}3x x x ≤-≥或【详解】试题分析：（1）用分段讨论法解绝对值不等式．（2）由综合法证明不等式，注意因式分解的应用 ．22221a b a b --+=()()2211a b --试题解析：（1）由得：，()()246f x f x ++≥2136x x -++≥当时，，解得；3x <-2136x x -+--≥3x <-当时，，解得；132x -≤≤2136x x -+++≥32x -≤≤-当时，，解得；12x >2136x x -++≥43x ≥综上，不等式的解集为.4{|2}3x x x ≤-≥或（2）证明：，()()11f ab f a b ab a b >-+⇔--因为，，即，，1a <1b <21a <21b <所以 ，221||ab a b ---=2222212a b ab a ab b -+-+-=22221a b a b --+=()()22110a b -->所以，即，所以原不等式成立.221|||ab a b --1ab a b ->-【点睛】解绝对值不等式常用方法一是数形结合，二是分段讨论，也就是找到每个绝对值的零点再分段讨论．。
2021年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x>3}，B={x|x<4}，则(∁U A)∪B=()A. {x|x<3}B. {x|x≤3}C. {x|x<4}D. {x|x≤4}2.已知复数z=1−3i1−i(i为虚数单位)，则|z|=()A. 1B. √2C. 2D. √53.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=3b，sinA=35，则sin B 的值为()A. 15B. 115C. 13D. 594.某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是()A. 景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98B. 景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283C. 分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的众数为m1，m2，则m1>m2D. 分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为s1，s2，则s1>s25.若实数x，y满足约束条件{y≥0,x−y+1≥0,x+2y−2≤0.，则z=3x+5y的最大值为()A. 10B. 8C. 6D. 56.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸上的小正方形边长为1，则该几何体的表面积为()A. (20+8√2)πB. (20+4√2)πC. (24+8√2)πD. (24+4√2)π7. 已知函数f(x)=lnx +m x(m ∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线l 的斜率为2，则直线l 在y 轴上的截距为( )A. 3B. −3C. 1D. −18. 设向量a ⃗ =(x,x −1)，b ⃗ =(2,−1).若a ⃗ +2b ⃗ 与b ⃗ 共线，则实数x 的值为( )A. 23B. −53C. 10D. −119. 命题p ：函数f(x)=a −x+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(0,1)；命题q ：当t ∈(−2,2)时，函数g(x)=x 2−3tx +1在区间(−3,3)上存在最小值.则下列命题为真命题的是( )A. p ∧qB. p ∨(￢q)C. (￢p)∨qD. (￢p)∧(￢q)10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2，点M ，N 在双曲线的同一条渐近线上，O 为坐标原点.若直线F 2M 平行于双曲线的另一条渐近线，且OF 2⊥F 2N ，|F 2M|=√52|F 2N|，则该双曲线的渐近线方程为( ) A. y =±14x B. y =±12xC. y =±√22x D. y =±2x11. 在三棱锥P −ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，PA =AB =AC =2，∠BAC =2π3.若三棱锥P −ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为( )A. 1B. √2C. √3D. √512. 已知A ，B 是圆x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2√3，点P(√3,√6)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 12B. √32C. 1D. 7−2√6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 计算8−13+lg6lg2−log 23的值为______ ．14.已知sin(π−α)=34，则cos2α的值为______ ．15.已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点.若|AF|−|BF|=√6，则线段AB的长为______ ．16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在区间(7π12,5π6)上单调，且满足f(7π12)=−f(3π4)有下列结论：①f(2π3)=0；②若f(5π12)=1，则函数f(x)的最小正周期为π；③ω的取值范围为(0,4]④函数f(x)在区间[0,2π)上最多有6个零点其中所有正确结论的编号为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平.中国近代建筑之父梁思成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《《营造法式》注释》.为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建模型”的作业.已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3：2，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取100份(每位学生均上交一份作业)，并评出成绩，得到如下频数分布表．(Ⅰ)求y的值，若以频率作为概率，从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，试估计该学生的作业成绩在[60,80)的概率；(Ⅱ)估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．18.已知数列{a n}中a1=1，a2=3，且满足a n+2+3a n=4a n+1，设b n=a n+1−a n，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)记c n=log3(a n+b n)，数列{c n}的前n和为S n，求S20．19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=π，EB=ED，3 EF//AC．(Ⅰ)求证：平面BDF⊥平面ACFE；AC，求多面体ABCDEF的体积．(Ⅱ)若EB=2，EA=EC，EF=1420.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点围成的四边形的面积为2√5，右焦点F2到直线x−y+2=0的距离为2√2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点M(−3,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点F2作直线l的垂线，垂足为N(点A，B在点M，N之间).若|MA|=|BN|，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=cosx−ax2，其中a∈R，x∈[0,π2].(Ⅰ)当a=−12时，求函数f(x)的值域；(Ⅱ)若函数f(x)在[0,π2]上有唯一的极值点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=k2,y=√2k(k为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=1．(Ⅰ)求曲线C与直线l的普通方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M(√2,0)，求|PM|2+|QM|2的值．23.已知函数f(x)=|x2−4|+|x+2|−4．(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=m有唯一实数解，求实数m的值；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的m值，若正实数a，b满足a+b+2m=0，试比较1a+3+1b+5与14的大小，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U =R ，集合A ={x|x >3}，B ={x|x <4}， ∴∁U A ={x|x ≤3}， ∴(∁U A)∪B ={x|x <4}． 故选：C ．推导出∁U A ={x|x ≤3}，由此能求出(∁U A)∪B ．本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z =1−3i 1−i=(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+i−3i−3i 212+(−1)2=4−2i 2=2−i ，∴|z|=|2−i|=√22+(−1)2=√5． 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为a =3b ， 由正弦定理得sinA =3sinB ， 因为sinA =35，则sinB =15． 故选：A ．由已知结合正弦定理即可直接求解． 本题主要考查了正弦定理，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：对于A ，景区A 这七年的空气质量优良天数的极差为313−203=110，故选项A 错误；对于B ，景区B 这七年的空气质量优良天数的中位数为266，故选项B 错误； 对于C ，由折线图可知，m 1=254，m 2=262，显然m 1<m 2，故选项C 错误；对于D，由折线图可知，景区A这七年的空气质量优良天数的数据波动要比景区B这七年的空气质量优良天数的数据波动大，所以s1>s2，故选项D正确．故选：D．根据极差、中位数、众数、标准差的定义，结合题中给出的折线图的数据信息，对四个选项进行逐一的分析判断，即可得到答案．本题考查了简单的合情推理的实际应用，折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A(2,0)，由z=3x+5y，得y=−35x+z5，由图可知，当直线y=−35x+z5过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为2，高为4．则该几何体的表面积为：S=π×22+2π×2×4+π×2×2√2=(20+4√2)π．故选：B．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为2，高为4，再由圆柱、圆锥的侧面积加上圆柱的下底面积得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】B【解析】解：∵f(x)=lnx+mx(x>0)，∴k=f′(x)|x=1=(1x −mx2)|x=1=1−m=2，∴m=−1，∴f(1)=−1，函数f(x)的图象在点(1,−1)处的切线l的方程为：y+1=2(x−1)，令x=0，得y=−3，即直线l在y轴上的截距为−3，故选：B．依题意，利用导数可求得m=−1，继而可得直线l的方程，从而可求得答案．本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵a⃗+2b⃗ =(x+4,x−3)，b⃗ =(2,−1)，且a⃗+2b⃗ 与b⃗ 共线，∴−(x+4)−2(x−3)=0，解得x=23．故选：A．可求出a⃗+2b⃗ =(x+4,x−3)，然后根据a⃗+2b⃗ 与b⃗ 共线即可得出−(x+4)−2(x−3)=0，然后解出x 的值即可．本题考查了向量坐标的加法和数乘的运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：根据题意，对于p ，f(x)=a −x+1，令−x +1=0，则x =1，此时f(x)=1， 函数f(x)=a −x+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(1,1)，p 是假命题； 对于q ，函数g(x)=x 2−3tx +1，其对称轴为x =3t2，又由t ∈(−2,2)，则3t2∈(−3,3)， 则函数g(x)=x 2−3tx +1在区间(−3,3)上存在最小值．q 为真命题； 故p ∧q 、p ∨(￢q)、(￢p)∧(￢q)都是假命题，(￢p)∧q 是真命题； 故选：C ．根据题意，分析p 、q 的真假，由复合命题真假判断方法分析可得答案． 本题考查命题真假的判断，涉及指数函数、二次函数的性质，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：如图，设渐近线y =ba x 的倾斜角为θ，θ∈(0,π2)，则∠NMF 2=2θ，∠ONF 2=π2−θ，在△MNF 2中，由正弦定理可得NF 2MF 2=sin2θsin(π2−θ)，可得sinθ=1√5，tanθ=12，即可得 b a =12， 则该双曲线的渐近线方程为y =±12x ． 故选：B ．设渐近线y =ba x 的倾斜角为θ，在△MNF 2中，利用正弦定理正弦定理可得NF 2MF 2=sin2θsin(π2−θ)，可得tanθ，即可求得双曲线的渐近线方程．本题考查了双曲线的性质、解三角形，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：∵AB =AC =2，∠BAC =2π3，∴BC =√22+22−2×2×2×(−12)=2√3， ∴三角形ABC 的外接圆直径2r =2√3sin 2π3=4，∴r =2，∵PA ⊥面ABC ，PA =2， 由于三角形OPA 为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R =√r 2+(12PA)2=√5，故选：D ．求出BC ，可得△ABC 外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径即可． 本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，是中档题．12.【答案】C【解析】解：设AB 的中点为M ，则OM ⊥AB ，且|OM|=√22−(√3)2=1，则M 在以O 为圆心，以1为半径的圆上， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−3， 要使PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，则|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小， 而|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为|OP|−|OM|=3−1=2， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为22−3=1． 故选：C ．设AB 的中点为M ，由已知可得M 在以O 为圆心，以1为半径的圆上，再由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−3，求得|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值得答案． 本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】32【解析】解：8−13+lg6lg2−log 23=12+log 26−log 23=12+log 22=12+1=32． 故答案为：32．直接利用指数与对数的运算法则化简求解即可．本题考查对数的运算法则的应用，指数式求值，是基础题．14.【答案】−18【解析】解：已知sin(π−α)=34=sinα，则cos2α=1−2sin2α=1−2×916=−18，故答案为：−18．由题意利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．15.【答案】8√5117【解析】解：设直线AB的方程为y=x−p2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程可得{ y2=2pxy=x−p2，消y可得x2−3px+p24=0，则x1+x2=3p，x1x2=p24，∵|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，|AF|−|BF|=√6，∴x1+p2−x2−p2=x1−x2=√6，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−2x1x2=9p2−p22=172p2=6，∴p=2√5117，∴|AB|=x1+x2+p=4p=8√5117，故答案为：8√5117．设过焦点F的直线方程与y2=2px联立，利用韦达定理，即可得出结论．本题考查抛物线的性质和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.【答案】①②④【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在区间(7π12,5π6)上单调，故5π6−7π12≤T2，故T≥π2，由于T=2πω，所以π4≤πω，解得0<ω≤4．由于函数满足f(7π12)=−f(3π4) 所以7π12+3π42=2π3，所以(2π3,0)为函数f(x)的对称中心，故①f(2π3)=0正确；对于②，若f(5π12)=1，则x =5π12是函数的对称轴，由于(2π3,0)为函数f(x)的对称中心， 所以(2π3,0)和x =5π12为函数相邻的对称中心和对称轴，所以T =4×(2π3−5π12)=π，则函数f(x)的最小正周期为π，故②正确； 对于③，由于f(2π3)=0，且函数在区间(7π12,5π6)上单调，所以5π6−2π3≤T4，所以T ≥2π3，即2πω≥2π3，整理得0<ω≤3，故③错误；对于④，由于T ≥2π3，当T min =2π3时，函数f(x)在区间[0,2π)上的零点最多，有6个零点，故④正确；故答案为：①②④．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象和性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意知4+x +20+38+30=100，解得x =8，在这100份作业中，∵大三学生的作业共有3+6+15+y +12=36+y(份)， ∴大四学生的作业共64−y(份)，∵选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3：2， ∴36+y64−y =32，解得y =24，∴大四学生作业共40份，其中成绩在[60,70)，[70,80)的作业份数分别为2，5， ∴成绩在[60,80)的作业共7份，∴从选修该门课程的大四学生中随机选取1名， 估计其作业成绩在[60,80)的概率为740．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知这100份作业中大三学生作业共60份， 设大三学生作业的平均成绩为x −，则x −=360×55+660×65+1560×75+2560×85+1260×95=81， ∴估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩为81分．【解析】(Ⅰ)求出x =8，由大三学生的作业共有3+6+15+y +12=36+y ，大四学生的作业共64−y 份，由选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3：2，求出y =24，得到大四学生作业共40份，其中成绩在[60,70)，[70,80)的作业份数分别为2，5，从而成绩在[60,80)的作业共7份，由此能求出所求概率．(Ⅱ)这100份作业中大三学生作业共60份，由频数分布表能估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩．本题考查概率、平均数的求法，考查频率分布表、概率等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n }中a 1=1，a 2=3，且满足a n+2+3a n =4a n+1，设b n =a n+1−a n ，n ∈N ∗．整理得a n+2−a n+1=3(a n+1−a n )， 即a n+2−a n+1a n+1−a n=3(常数)，即数列{a n+1−a n }是以a 2−a 1=2为首项，3为公比的等比数列； 所以a n+1−a n =2×3n−1， 即b n =2⋅3n−1．(Ⅱ)由于a n+1−a n =2×3n−1， a n −a n−1=2×3n−2， .......，a 2−a 1=2×30，所以a n+1−a 1=2×(30+31+...+3n−1)=2×3n −13−1=3n −1．故a n+1=3n ， 则a n +b n =3n ，所以c n =log 3(a n +b n )=n ，故S 20=c 1+c 2+...+c 20=1+2+ (20)20×(1+20)2=210．【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式和关系式的恒等变换求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用叠加法的应用和对数的运算的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的递推关系式，数列的求和，对数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：设AC与BD交于O，连接OE，由于EB=ED，可得BD⊥OE，由四边形ABCD为菱形，可得BD⊥AC，由于EF//AC，可得平面四边形EFCA，而AC，OE为平面ACFE内的两条相交直线，所以BD⊥平面ACFE，而BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ACFE；(Ⅱ)由AB=AD=2，∠BAD=π3，可得BD=2，AC=2AO=2√3，由ED=EB=2，BD⊥OE，可得OE=√ED2−OD2=√4−1=√3，由EA=EC，可得OE⊥AC，可得OE为梯形ACFE的高，又EF=14AC=√32，所以梯形ACFE的面积为S=12OE⋅(EF+AC)=12×√3×(√32+2√3)=154，由BD⊥平面ACFE，可得多面体ABCDEF的体积为13BD⋅S=13×2×154=52．【解析】(Ⅰ)由等腰三角形的性质和菱形的性质，以及线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得证；(Ⅱ)求得梯形ACFE的两底的长和高、面积S，由由BD⊥平面ACFE，可得多面体ABCDEF的体积为13BD⋅S，计算可得所求值．本题考查面面垂直的判定和多面体的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为2√5，∴12⋅2a⋅2b=2√5，即ab=√5，∵点F 2(c,0)到直线x −y +2=0的距离为√2=2√2，∴c =2， 又a 2=b 2+c 2， ∴a 2=5a 2+4，即a 4−4a 2−5=0，解得a 2=5或a 2=−1(舍去)，∴b 2=1， ∴椭圆方程为x 25+y 2=1；(Ⅱ)由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my −3， 由{x =my −3x 25+y 2=1，消去x ，得(m 2+5)y 2−6my +4=0， 由△=20(m 2−4)>0，解得m <−2或m >2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x N ,y N )，则y 1+y 2=6mm 2+5,y 1y 2=4m 2+5， 设过点F 2与直线l 垂直的直线方程为x =−1m y +2， 由{x =my −3x =−1m y +2，解得y N =5mm 2+1， ∵|MA|=|BN|，∴MA ，BN 在y 轴上的投影相等，即|y 1−0|=|y N −y 2|， ∵点A ，B 在M ，N 之间，∴y 1+y 2=y N ，即6mm 2+5=5mm 2+1，解得m =±√19，满足m <−2或m >2， ∴直线l 的方程为x +√19y +3=0或x −√19y +3=0．【解析】(Ⅰ)根据题意求出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆方程；(Ⅱ)设直线l 的方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x N ,y N )，将直线l 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，过点F 2与直线l 垂直的直线方程为x =−1m y +2，将其与直线l 联立可得点N 的坐标，再根据题意可得y 1+y 2=y N ，即6mm 2+5=5m m 2+1，解出m 即得解．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查推理能力及计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)当a =−12时，f(x)=cosx +12x 2，则f′(x)=−sinx +x ，设g(x)=−sinx +x ，则g′(x)=−cosx +1，∵x ∈[0,π2]，∴0≤cosx ≤1，∴g′(x)≥0，g(x)在[0,π2]上单调递增，∴g(x)≥g(0)=0，即f′(x)≥0，f(x)在[0,π2]上单调递增， 又f(0)=1，f(π2)=π28，故函数f(x)的值域是[1,π28].(Ⅱ)∵f(x)=cosx −ax 2，∴f′(x)=−sinx −2ax ， 设ℎ(x)=−sinx −2ax ，则ℎ′(x)=−cosx −2a ，(1)当a ≥0时，ℎ′(x)=−cosx −2a ≤0，则ℎ(x)在[0,π2]上单调递减， ∴ℎ(x)≤ℎ(0)=0，即f′(x)≤0，f(x)在[0,π2]上单调递减，无极值； (2)当a ≤−12时，ℎ′(x)=−cosx −2a ≥0，则ℎ(x)在[0,π2]上单调递增， ∴ℎ(x)≥ℎ(0)=0，即f′(x)≥0，f(x)在[0,π2]上单调递增，无极值； (3)当−12<a <0时，存在x 0∈(0,π2)，使ℎ′(x 0)=−cosx 0−2a =0， 当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0，当x ∈(x 0,π2)时，ℎ′(x)>0， ∴ℎ(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,π2)递增，∵ℎ(0)=0，∴ℎ(x 0)<0，又ℎ(π2)=−1−aπ， ①当−1−aπ≤0即−1π≤a <0时，ℎ(π2)≤0， ∴f′(x)≤0，f(x)在[0,π2]上递减，无极值； ②当−1−aπ>0即−12<a <−1π时，ℎ(π2)>0， 则存在x 1∈(x 0,π2)，使得ℎ(x 1)=−sinx 1−2ax 1=0， 当x ∈(0,x 1)时，ℎ(x)<0，即f′(x)<0， 当x ∈(x 1,π2)时，ℎ(x)>0，即f′(x)>0， ∴f(x)在(0,x 1)递减，在(x 1,π2)递增，∴x 1是函数f(x)在[0,π2]上的极小值点，且为唯一的极值点， 综上：实数a 的取值范围是(−12,−1π).【解析】(Ⅰ)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a 的取值范围，求出函数的单调区间，根据函数的单调性判断函数的极值点的个数，从而确定a 的取值范围．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．22.【答案】解：(Ⅰ)由{x =k 2y =√2k (k 为参数)，消去参数k ， 可得曲线C 的普通方程为y 2=2x ，由ρcos(θ−π4)=1，得ρ(√22cosθ+√22sinθ)=1，即ρcosθ+ρsinθ−√2=0，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −√2=0； (Ⅱ)由题意可得直线l 的参数方程为{x =√2+√22ty =−√22t，代入y 2=2x ，得t 2−2√2t −4√2=0． 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=2√2，t 1t 2=−4√2，∴|PM|2+|QM|2=t 12+t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=8+8√2．【解析】(Ⅰ)直接把曲线C 的参数方程中的参数消去，可得曲线C 的普通方程，展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；(Ⅱ)写出直线l 的参数方程的标准形式，代入曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，再由此时t 的几何意义与根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=|x 2−4|+|x +2|−4={x 2−x −10,x <−2−x 2+x +2,−2≤x ≤2x 2+x −6,x >2，作出函数f(x)的图象如下图所示，要使方程f(x)=m 有唯一实数解，则函数y =f(x)的图象与直线y =m 有且仅有一个交点，由图象可知，m =−4．(Ⅱ)依题意，a +b =8，则1a+3+1b+5=b+5+a+3ab+5a+3b+15=16a(8−a)+5a+3(8−a)+15=16−a 2+10a+39(0<a <8)，设g(a)=−a 2+10a +39=−(a −5)2+64，0<a <8，由二次函数的性质可知，39<g(a)≤64，则1664≤16g(a)<3964，即1a+3+1b+5≥14，当且仅当a =5，b =3时取等号．【解析】(Ⅰ)将函数f(x)化为分段函数的形式，作出函数图象，由图象观察即可求得实数m 的值；(Ⅱ)由a +b =8可得，1a+3+1b+5=16−a 2+10a+39，设g(a)=−a 2+10a +39=−(a −5)2+64，0<a <8，求出函数g(a)的值域，进而可判断1a+3+1b+5与14的大小． 本题考查函数的零点与方程根的关系，考查二次函数值域的求法，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．。
