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在探讨空间点直线平面之间的位置关系之前，我们首先要了解什么是空间点、直线和平面。
空间点是指没有长、宽、高的点，仅有位置坐标的点；直线是由无数个点组成的一条直线；平面是由无数个点组成的一个平面。
这三个概念在空间几何中是非常基础且重要的。
接下来我们来探讨一些例题，以便更好地理解它们之间的位置关系。
1. 空间点A(1,2,3)、直线l:x=2t, y=t, z=t和平面π:2x-y+z=5之间的位置关系是怎样的？首先我们来看点A和直线l之间的位置关系。
点A与直线l之间的位置关系可以通过点到直线的距离来确定。
点到直线的距离是点到直线上的垂线段的长度。
通过计算可以得出点A到直线l的距离是√14/3，可知点A与直线l是不相交的。
接着我们来看点A和平面π之间的位置关系。
点A与平面π之间的位置关系可以通过点是否在平面的同一侧来确定。
通过计算可以得出点A不在平面π的同一侧，因此点A与平面π是相交的。
点A与直线l是不相交的，点A与平面π是相交的。
2. 空间点B(2,1,4)、直线m:x=t+1, y=2t-1, z=t和平面δ: x+2y-z=7之间的位置关系是怎样的？同样的，我们首先来看点B和直线m之间的位置关系。
通过计算可以得出点B到直线m的距离是√6，可知点B与直线m是相交的。
接着我们来看点B和平面δ之间的位置关系。
通过计算可以得出点B在平面δ的同一侧，因此点B与平面δ是相交的。
点B与直线m是相交的，点B与平面δ是相交的。
在本例题中，我们简单介绍了空间点、直线和平面之间的位置关系，同时给出了例题的解答过程。
希望对你有所帮助。
如果你对这个主题或概念有更多的疑问或想了解更多的知识，请随时通联我。
我将很乐意为你提供更深入的解析和知识共享。
空间几何在数学中占据着重要的地位，它研究了空间中点、直线和平面之间的位置关系，是几何学的一个重要分支。
空间点、直线和平面的位置关系不仅仅是数学领域的问题，实际上在日常生活中也经常会涉及到这些概念。
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1．若ba、为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交2．给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。
4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ⇒a ∥b ；③α∥c ，β∥c ⇒α∥β； ④α∥r ，β∥r ⇒α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ⇒a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面．∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH面ABC ，GF面ABD ，由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ．例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN.求证:MN ∥平面AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a a bαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= //αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b ② 判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈④ l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
空间直线平面的垂直知识点一、知识概述《空间直线平面的垂直知识点》①基本定义：- 直线与平面垂直呢，就是说一条直线和一个平面里头的任意一条直线都垂直。
就好比一根直直的旗杆，它和地面上任何一条过它底部的直线都垂直，这时候就说这根旗杆（直线）和地面（平面）是垂直的。
- 两个平面垂直就是说两个平面相交所成的二面角是直二面角，简单讲这两个平面就像两面墙，它们相交的时候拐的那个角是个直角，那这两个平面就是垂直的关系。
②重要程度：- 在立体几何当中这个非常重要啊。
很多建筑设计、机械结构设计里头都会用到这个知识来确保结构稳定啊。
就拿埃菲尔铁塔来说吧，它的很多钢梁和塔柱之间的关系就要满足空间直线平面垂直关系，这样才能立得住稳稳当当的。
这部分知识是我们理解立体空间结构关系的关键。
③前置知识：- 首先要对平面几何里的直线垂直有清楚的概念，知道直角是什么样的。
另外呢，对于空间基本的点线面关系也要有一定的认识，好比说点在面上啊，线在面内这些基础概念。
④应用价值：- 在实际建筑工程当中确定墙体是否垂直啦，像盖房子的时候工人师傅要保证柱子垂直于地面。
在制作一些复杂的工艺品时，要保证某些部件之间的垂直关系，比如说木质的榫卯结构，如果部件之间不垂直装配就不稳。
在航空航天工程里计算飞行器部件之间的合适角度时，也可能会涉及到这种垂直关系。
二、知识体系①知识图谱：- 这部分知识在立体几何当中位于线面关系、面面关系这些核心板块之中。
就像是身体里的重要关节一样，是理解立体空间结构的重要一环。
它和其他线面关系，比如平行关系是并列对比学习的，构成我们对空间结构关系完整的认识体系。
②关联知识：- 它和空间角的知识联系紧密啊。
比如说直线与平面垂直，那条直线和平面内的直线所成的角就是直角了。
还有就是和向量知识也能挂上钩，通过向量法也能判定直线和平面垂直之类的关系。
③重难点分析：- 掌握难度在于空间想象能力要求比较高。
关键点就是要理解垂直的定义，能够准确判断哪些情况下是真正的垂直。
空间中直线、平面之间的位置关系编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.了解空间中两条直线的三种位置关系，并能对直线的位置关系进行分类、判断；2．掌握平行公理及等角定理，并由此知道异面直线所成的角的概念和异面直线垂直的概念；3.了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系．【要点梳理】要点一、空间两直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系：(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点诠释：（1）异面直线具有既不相交也不平行的特点．（2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a ⊂α，直线b β⊂，a ∥b ，不能由a 、b 不同在平面α内就误认为a 与b 异面，实际上，由a ∥b 可知a 与b 共面，它们不是异面直线．（3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示．（4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示．3.异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内．4.平行直线：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：//a b ，////b c a c ⇒.公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角：直线a 、b 是异面直线，经过空间中一点O ，分别引直线'//a a ，'//b b ，相交直线a ＇、b ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 、b 形成的角，如右图所示．当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.要点诠释：异面直线所成角θ的取值范围是090θ<≤o o ；求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.要点二、直线和平面的位置关系1．直线和平面的位置关系（1）直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.如果直线a 和平面α平行，记作//a α.（2）直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交. 如果直线a 和平面α相交于点A ，记作a A α=I .（3）直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作a α⊂.2．直线与平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类⎧⎪⎨⎪⎩直线与平面相交—有且只有一个公共点直线在平面内—有无数个公共点直线与平面平行—无公共点 （2）按直线是否在平面内分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线与平面相交直线不在平面内（直线在平面外）直线与平面平行 3．直线与平面位置关系的图形表示和符号表示 位置关系直线a 在平面α内 直线a 与平面α相交 （直线不在平面内） 直线a 与平面α平行 （直线不在平面内） 符号表示a α⊂ a A α=I //a α图形表示要点三、两个平面的位置关系1．两个平面的位置关系（1）两个平面平行——没有公共点．（2）两个平面相交——有一条公共直线（或至少有一个公共点）．位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数两平面平行//αβ无公共点两平面相交斜交aαβ=I有一条公共直线垂直αβ⊥且aαβ=I有一条公共直线3．两个平面平行的画法画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如下图（1），而（2）的画法是不恰当的．4．两个相交平面的画法（1）先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如下图（1）．（2）再画出表示两个平面交线的线段，如下图（2）．（3）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图（2）中表示交线的线段，如下图（3）．（4）画出上图（3）中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图上（4））．【典型例题】类型一、空间两条直线的位置关系例1．异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线【答案】D【解析】应根据异面直线的定义“不同在任何一个平面内的两条直线”予以判断．对于A，空间两条不相交的直线有两种可能：一是平行（共面），二是异面，∴A项排除．对于B，分别位于两个不同平面内的直线，既可能平行，也还可能相交，还可能异面，如上图，就是相交的情况，B应排除．对于C，如上图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义，∴应选D．【总结升华】解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面需要掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关模型，特例模型能快速、有效地排除相关的选择项．举一反三：【变式1】 判断下列说法是否正确?若正确，请简述理由；若不正确，请在下列给出的图形中找出反例，并给予说明．（1）没有公共点的两条直线是异面直线；（2）分别在两个平面内的直线一定是异面直线；（3）分别与两条相交直线都相交的两条直线共面；（4）分别与两条异面直线都相交的两条直线异面．【答案】（1）不正确，如下图①③中的直线a ，b ；（2）不正确，如下图②③中的直线AC ，BC 及a ，b ．（3）不正确，如下图②中的直线AB 与l ；（4）不正确，如下图④中，直线AD 与BC 是异面直线AB ，AC 都与AD ，BC 相交，但AB ，AC 是共面直线．例2．已知a ，b ，c 是三条直线，如果a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，那么a 与c 有怎样的位置关系？并画图说明．【答案】平行、相交或异面【解析】对空间直线与直线的三种位置关系逐一判断．直线a 与直线c 的位置关系可以是平行、相交、异面．如下图（1）（2）（3）．【总结升华】不论是在空间还是在同一平面内，平行直线都具有传递性，而异面直线不具有这一特点．本例中的三条直线，由于位置关系不确定，因此，要按照直线位置关系的三种情况逐一分析，而画出示意图对问题的解决是很有帮助的．举一反三：【高清课堂：空间直线与平面的位置关系 例2】【变式1】如图，正方体1111ABCD A B C D 中，点,,E F G 分别是棱11,,AA AB CC 的中点，判断下列直线的位置关系：（1）AB 与1DD ：（2）1D E 与BC ：（3）1D E 与BG ：（4）1D E 与CF ．【答案】（1）异面（2）异面（3）共面（4）共面类型二、平行公理与等角定理的应用例3．如右图所示，在空间四边形ABCD （不共面的四边形称为空间四边形）中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如果AC=BD ，求证：四边形EFGH 是菱形．【解析】 （1）在△ABD 中，∵E ，H 分别为AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD 且12EH BD =，同理在△BCD 中，FG ∥BD 且12FG BD =． ∴EH ∥FG 且EH=FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形． （2）由（1）同理可得：12EF HG AC ==，而BD=AC ， ∴EH=HG=GF=FE ．∴四边形EFGH 是菱形．【总结升华】到现在为止，证明两条直线平行的方法有：一是利用定义，即证在同一平面内的两条直线不相交；二是利用平行公理，即利用第三条平行直线来作传递．例4．如右图所示，△ABC 和△'''A B C 的对应顶点的连线AA ＇，BB ＇，CC ＇交于同一点D ，且2'''3AO BO CO OA OB OC ===． （1）求证：//''AB A B ，//''AC A C ，//''BC B C ；（2）求'''ABC A B C S S ∆∆的值． 【解析】（1）∵AA ＇与BB ＇相交于O 点，且''AO BO OA OB =，∴//''AB A B ．同理，//''AC A C ，//''BC B C ．（2）∵//''AB A B ，//''AC A C ，∴AB 和AC ，''A B 和''A C 所成的锐角（或直角）相等，即∠BAC=∠'''B A C ．同理，∠ABC=∠'''A B C ，∠ACB=∠'''A C B ． ∴△ABC ∽△'''A B C ．又2'''3AB AO A B OA ==，∴2''2439ABC A B C S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立．因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论．在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补． 举一反三：【变式1】 已知E 、E 1分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1的中点．求证：∠BEC=∠B 1E 1C 1．证明：如右图，连接EE 1，∵E 1、E 分别为A 1D 1、AD 的中点，∴A 1E 1//AE ，∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形，∴A 1A //E 1E ．又∵A 1A //B 1B ，∴E 1E //B 1B ，∴四边形E 1EBB 1为平行四边形，∴E 1B 1∥EB ．同理E 1C 1∥EC ．又∠C 1E 1B 1与∠CEB 方向相同，∴∠C 1E 1B 1=∠CEB ．类型三、异面直线所成的角例5．如下图，正方体AC 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．【解析】解法一：（直接平移法）如下图1，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，GA 1，GC 1，则OG ∥DB 1，EF ∥A 1C 1，∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．∵GA 1=GC 1，O 为A 1C 1的中点，∴GO ⊥A 1C 1．∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°．解法二：分别取AA 1，CC 1的中点M ，N ，连接MN ，则MN ∥EF ，如上图2所示，连接DM ，B 1N ，B 1M ，DN ，则B 1N ∥DM 且B 1N=DM ，∴四边形DMB 1N 为平行四边形，∴MN 与B 1D 必相交，设交点为P ，并设正方体的棱长为1，则22MP =，52DM =，32DP =， ∴DM 2=DP 2+MP 2，∴∠DPM=90°，即DB 1⊥EF ．∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°．【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程．通常是通过解三角形求得． 举一反三：【变式1】如右图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AC 和DD 1所成的角大小为________；（2）AC 和D 1C 1所成的角大小为________；（3）AC 和A 1B 所成的角大小为________．【答案】（1）90°（2）45°（3）60°【变式2】直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则1//BA DE ，1//AC EF ，所以异面直线1BA 与1AC所成的角为∠DEF （或其补角），设12AB AC AA ===，则2DE EF ==，6DF =，由余弦定理得120DEF ∠=o ，故选C ．类型四、直线与平面的位置关系例6．下列命题中正确命题的个数为（ ）①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线，其位置关系除了平行之外，还有异面．如下图（1）中正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，A 1B 1∥平面ABCD ， A 1B 1与BC 的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A 1B 1与BC 所成的角为90°，因此命题①是错误的．对于③，如上图（1），∵A 1B 1∥AB ，A 1D 1∥AD 且AD ，AB ⊂平面ABCD ，A 1D 1，A 1B 1⊄平面ABCD ，∴A 1B 1∥平面ABCD ，A 1D 1∥平面ABCD ，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条．可以想象，经过平面A 1B 1C 1D 1内一点A 1的任一条直线，与平面ABCD 的位置关系都是平行的，∴命题③也是错误的．对于④，我们可以继续借助正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1来举反例，如上图（2），分别取AD ，BC 的中点E ，F ，A 1D 1，B 1C 1的中点G ，H ，顺次连接E 、F 、H 、G ，∵E ，F ，H ，G 分别为AD ，BC ，B 1C 1，A 1D 1的中点，∴可以证明四边形EFHG 为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A ，D 两个点到该截面的距离相等，直线AD ∩平面EFHG=E ，∴命题④也是错误的．对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直．∴正确的命题只有一个，∴应选B ．【总结升华】对于直线与平面位置关系的命题真假的判断问题，要注意想象空间图形，要把直线与平面的各种位置关系都考虑到，特别是有些极端情形．正方体（或长方体）是立体几何中的一个重要又最基本的模型．而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题①③④就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．举一反三：【变式1】 下列命题中正确的个数是（ ）．①如果a 、b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于过b 的任何一个平面；②如果直线a 满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a 、b 满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；④如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α；⑤如果a 与平面α内的无数条直线平行，那么直线a 必平行于平面α．A ．0B ．2C ．1D ．3【答案】C类型五、平面与平面的位置关系例7．已知下列说法：①两平面//αβ，,,a b αβ⊂⊂则//a b ；②若两个平面//αβ，,,a b αβ⊂⊂则a 与b 是异面直线；③若两个平面//αβ，,,a b αβ⊂⊂则a 与b 一定不相交；④若两个平面//αβ，,,a b αβ⊂⊂则a 与b 平行或异面；⑤若两个平面b αβ=I ，a α⊂，则α与β一定相交．其中正确的序号是（将你认为正确的序号都填上）．【答案】③④【解析】①错．a 与b 也可能异面．②错．a 与b 也可能平行．③对．//αβQ ，α∴与β无公共点．又,a b αβ⊂⊂Q ，∴a 与b 无公共点．④对．由已知③知：a 与b 无公共点，那么//a b 或a 与b 异面．⑤错．α与β也可能平行．【总结升华】解答此类问题，要把符号语言转化为自然语言，根据两平面间的位置关系，借助空间想象能力求解．举一反三：【变式1】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面【答案】D【解析】本题主要考查两平面平行的特点．当两平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也必然没有公共点，因此它们不是平行就是异面．【总结升华】两个平面平行的主要特点就是它们没有公共点，这一重要特点是解题时常用的结论．。
高中数学必修3-第10章：空间直线与平面-知识点1、点与直线是属于关系，点与平面是属于关系，直线与平面是包含关系。
平面没有厚薄，且可以无限延展。
2、公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。
证明一条直线在平面内，只需找直线上的两个不同点在该平面内即可。
3、公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面。
推论①：一条直线和这条直线外的一点确定一个平面。
推论②：两条相交直线确定一个平面。
推论③：两条平行直线确定一个平面。
4、公理3：如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
5、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
6、空间直观图的斜二测画法：①两轴的夹角画成45°，②平行于x轴的线段，保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。
7、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，方向相同时，这两个角相等；反向相反时，这两个角互补。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
8、解立体几何最主要最常用的一种方法，是把立体问题转化为平面几何的问题。
9、异面直线判定定理：与平面相交于一点的直线，和这个平面上不经过该交点的所有直线都是异面直线。
10、空间两直线位置关系：共面和异面，其中，共面的直线包括相交和平行。
空间直线和平面位置关系：平行、相交、在平面内。
平面与平面位置关系：相交、平行。
11、求异面直线所成角的一般步骤：①构造，用平移法（常用三角形中位线或平行四边形的性质）做出异面直线所成角；②证明所作角就是所求角；③计算，常放在三角形中求；④写结论，如果求出是锐角或直角，则它就是所求角，如果是求出的是钝角，则它的补角是所求异面直线所成的角。
异面直线所成角θ的范围是 0°＜θ≤90° .112、线面平行判定定理：平面外一直线和平面上一直线平行，则该直线与这个平面平行。
2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a ⊂αa ∩α=Aa||α 图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。
（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////a b a b a ααα⊄⊂⇒、.2.2.2 平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝∅，则a ∥β2、判定定理：1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。
图形条件=αβ∅α,b ⊂β，α∩b ＝P α∥α，b ∥α ⇒β∥αl ⊥α l ⊥β ⇒β∥α结论//αβ //αβ //αβ符号表示：若//,,,//a a b a b αβαβ⊂=则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β l ⊥α α∥β a ⊂β结论a ∥bl ⊥βa ∥α1. 解题方法（1） 证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。
直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
即,//a b a b αα⊥⊥⇒.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。
2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。
3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。
其作用是衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作l l βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I .【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a⊥β C ．若a⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a⊥β,l ∥a,则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面α，其中m∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】C【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.【答案】90o【解析】方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1,DN⊥D 1M,所以,DN⊥平面A 1MD 1,又A 1M ⊂平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o方法二:以D 为原点,分别以DA,DC,DD 1为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01-== N MB 1A 1C 1D 1BD C所以,cos<|MA ||DN |111MA DN MA DN •=〉〈，=0,故DN⊥D 1M,所以夹角为90o【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________. 【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=+︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ⋅=+⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________． 【答案】【解析】∵EF∥面AB 1C ，∴EF∥AC .又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点． ∴EF ＝AC ＝.【例7】（2012年山东文）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥. （1）求证:BE DE =;（2）若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE , ∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ⊂平面MND ,故DM ∥平面BEC . 另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以0090,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB ,所以AF AB 21=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,而⊄DM 平面BEC ,⊂EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC .【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点． （1）证明：PB∥平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值． 【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB∥平面ACM .（2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC . （3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt△DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝，从而AN ＝DO ＝.在Rt△ANM 中，tan∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. （1）证明:BD⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ⊂平面PAC,所以BD PC ⊥.（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=o . 由BD ⊥平面PAC,PO ⊂平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD V 中,由DPO ∠30=o ,得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 在等腰三角形AOD 中,2,22,2OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.【解析】（1）在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥得:点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =,则12C O =,111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【课堂练习】．（2012浙江理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 ．（2012四川理）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个4．（2012上海）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 （ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011烟台）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，m ⊥n ，α•AB•β则α∥β；④若m ⊥α，n∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m∥n ，m ?α，n ?β，则α∥βC ．若m∥n ，m∥α，则n∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（）A ．30°B．45°C．60°D．90°8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC1D 所成角的余弦值为（）AB．23D 9.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A ．1B ．2D ．310.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）ABC．11.（2010江西理）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____.13.（2010上海文）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是.14.（2010四川卷）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.15.（江西卷文）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为16.（2010湖南理）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。
立体几何知识归纳+典型例题+方法总结一、知识归纳1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题.（1）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线.（3）证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合.2. 空间直线（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点（2）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.（直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）3. 直线与平面平行、直线与平面垂直（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若PA⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相PO A a交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.4. 平面平行与平面垂直（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行⇒面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行⇒线线平行”）（4两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直⇒面面垂直”）注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.简证：如图，在平面内过O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.所以结论成立 b.最小角定理的应用（∠PBN 为最小角） 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.5. 棱柱. 棱锥（1）棱柱a.①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.b.{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱PαβθM A B O柱}⊃{正方体}.{直四棱柱}I {平行六面体}={直平行六面体}.c.棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各．个侧面都是矩形．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则 1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. （2）棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==. a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α） 附：以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）. b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面l abc多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.（3）球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=.②球的体积公式：334R V π=. b.纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥体体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）（1）. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧，得R a R a a a ⋅⋅+⋅=⋅2224331433643a a a R 46342334/42=⋅==⇒. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=-. ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.6. 空间向量（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.b.共线向量定理：对空间任意两个向量)0(≠a ， ∥的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.c.共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作∥α.d.①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使y x +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件. （简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.（2）空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 z y x ++=(这里隐含x+y+z≠1). O BDO R注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心， 则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵坐标），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+，))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，332211b a b a b a b a ++=⋅ ，a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a .222321a a a ++==(向量模与向量之间的转化：a a =⇒•=空间两个向量的夹角公式232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅•>=<ρρρρρρ（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）. ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.b.法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.c.向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n . ②异面直线间的距离d = (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③直线AB 与平面所成角的正弦值sin ||||AB m AB m β⋅=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平面α的法向量). ④利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.d.证直线和平面平行定理：已知直线⊄a 平面α，α∈∈D C a B A ,,,，且C 、D 、E 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ,使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB二、经典例题考点一 空间向量及其运算1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？解析：要判断点P 与,,A B C 是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对,x y 使AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OA x AB y AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .答案：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，所以，点P 与,,A B C 共面．点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．2.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，13AN AE =．求证：//MN 平面CDE ．解析：要证明//MN 平面CDE ，只要证明向量NM u u u u r 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE u u u r 和DC u u u r 线性表示． 答案:证明：如图，因为M 在BD 上，且13BM BD =， 所以111333MB DB DA AB ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ．同理1133AN AD DE =+u u u r u u u r u u u r ， 又CD BA AB ==-u u u r u u u r u u u r ，所以MN MB BA AN =++u u u u r u u u r u u u r u u u r 1111()()3333DA AB BA AD DE =++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133BA DE =+u u u r u u u r 2133CD DE =+u u u r u u u r ． 又CD uuu r 与DE u u u r 不共线，根据共面向量定理，可知MN u u u u r ，CD uuu r ，DE u u u r 共面．由于MN 不在平面CDE 内，所以//MN 平面CDE ．点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开.考点二 证明空间线面平行与垂直3. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 答案:解法一：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC =3，BC =4AB =5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1； （II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1，∵ DE ⊂平面C D B 1，AC 1⊄平面C D B 1，∴ AC 1//平面C D B 1；解法二：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、C 1C 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C （0,0，0），A （3,0，0），C 1（0,0，4），B （0,4，0），B 1（0,4，4），D （23，2,0） （1）∵AC ＝（－3,0，0），1BC ＝（0，－4,0），∴AC •1BC ＝0，∴AC ⊥BC 1. （2）设CB 1与C 1B 的交战为E ，则E （0,2，2）.∵DE ＝（－23，0,2），1AC ＝（－3,0，4），∴121AC DE =，∴DE ∥AC 1.A B C A B C E x yz4. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点.(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ；(3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦.解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）ΘM 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则 ME CD 21，又AB CD 21 ∴四边形ABME 为平行四边形∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄，PAD EA 平面⊂∴BM ∥PAD 平面（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则())0,0,1B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,1,1M ，()1,1,0E在平面PAD 内设()z y N ,,0，()1,1,1---=→--z y MN ，()2,0,1-=→--PB ，()0,2,1-=→--DB 由→--→--⊥PB MN ∴0221=+--=⋅→--→--z PB MN ∴21=z由→--→--⊥DB MN ∴0221=+--=⋅→--→--y DB MN ∴21=y∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,0N ∴N 是AE 的中点，此时BD MN P 平面⊥（3）设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ()2,2,2-=→--PC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=→--21,21,1MN ，设→--→--MN PC ,为α 3226322cos -=⋅-=⋅=→--→--→--→--MN PC MNPC α 32cos sin =-=αθ 故直线PC 与平面PBD 所成角的正弦为32解法二： （1）ΘM 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则ME CD 21，又AB CD 21 ∴四边形ABME 为平行四边形∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄PAD EA 平面⊂∴BM ∥PAD 平面（2）由（1）知ABME 为平行四边形ABCD PA 底面⊥∴AB PA ⊥，又AD AB ⊥∴PAD AB 平面⊥ 同理PAD CD 平面⊥，PAD 平面⊂AE∴A E A B ⊥ ∴AB ME 为矩形 CD ∥ME ，PD CD ⊥，又A E PD ⊥ ∴PD ⊥ME ∴ABME 平面⊥PD PBD PD 平面⊂∴ABME PBD 平面平面⊥ 作EB ⊥MF 故PBD 平面⊥MFMF 交AE 于N ，在矩形ABME 内，1==ME AB ，2=AE∴32=MF ，22=NE N 为AE 的中点 ∴当点N 为AE 的中点时，BD MN P 平面⊥（3）由（2）知MF 为点M 到平面PBD 的距离，MPF ∠为直线PC 与平面PBD 所成的角，设为θ，32sin ==MP MF θ ∴直线PC 与平面PBD 所成的角的正弦值为32点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来考点三 求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法 另外也可借助空间向量求这三种角的大小.5. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=o 的菱形，M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小；(Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平 移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法答案：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ． 又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP =3∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°．(II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ． 建立空间直角坐标系如图， 则(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0)A P D -, (3,2,0),(0,1,0)B C ．由M 为PB 中点，∴33(1,M ． ∴33((3,0,3),DM PA ==u u u u r u u u r (0,2,0)DC =u u u r ． ∴333203)0PA DM ⋅=⨯-=u u u r u u u u r ，03200(3)0PA DC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ．∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．(III)33(),(3,1,0)CM CB ==u u u u r u u u r ．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z =r ， 则0n CM ⋅=u u u u r r ，从而x +z =0； ……①, 0n CB ⋅=u u u r r 30x y +=． ……②由①、②，取x =−1，则3,1y z =． ∴可取(3,1)n=-r ． 由(II)知平面CDM 的法向量可取(3,0,3)PA =u u u r ， ∴2310cos ,||||56n PA n PA n PA ⋅-<>=⋅u u u r r u u u r r u u u r r 10法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=o ，则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥，又在PAB ∆中，中位线//MN 12AB ，1//2CO AB ，则//MN CO ， 则四边形OCMN 为Y ，所以//MC ON ，在APO ∆中，AO PO =，则ON AP ⊥，故AP MC ⊥而MC CD C =I ，则PA MCD ⊥平面（Ⅲ）由（Ⅱ）知MC PAB ⊥平面，则NMB ∠为二面角D MC B --的平面角， 在Rt PAB ∆中，易得PA=PB ===，cos AB PBA PB ∠===，cos cos()5NMB PBA π∠=-∠=-故，所求二面角的余弦值为5-点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.6. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AD AA AB ===点E 在线段AB 上. （Ⅰ）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（Ⅱ）若二面角1D EC D --的大小为45︒，求点B 到平面1D EC 的距离.解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利1D A B CD E 1A 1B 1C于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.答案：解法一：（Ⅰ）连结1AD .由已知，11AA D D 是正方形，有11AD A D ⊥.∵AB ⊥平面11AA D D ，∴1AD 是1D E 在平面11AA D D 内的射影.根据三垂线定理，11AD D E ⊥得，则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒. 作DF CE ⊥，垂足为F ，连结1D F ，则1CE D F ⊥所以1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角，145DFD ∠=︒.于是111,DF DD D F ==易得Rt Rt BCE CDF ∆≅∆，所以2CE CD ==，又1BC =，所以BE =. 设点B 到平面1D EC 的距离为h .∵1,B CED D BCE V V --=即1111113232CE D F h BE BC DD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴11CE D F h BE BC DD ⋅⋅=⋅⋅，即=，∴4h =.故点B 到平面1D EC 解法二：分别以1,,DA DB DD 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.（Ⅰ）由1(1,0,1)A ，得1(1,0,1)DA =u u u u r设(1,,0)E a ，又1(0,0,1)D ，则1(1,,1)D E a =-u u u u r .∵111010DA D E ⋅=+-=u u u u r u u u u r ∴11DA D E ⊥u u u u r u u u u r则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.（Ⅱ）(0,0,1)=m 为面DEC 的法向量，设(,,)x y z =n 为面1CED 的法向量，则(,,)x y z =n|||cos ,|cos 45||||2⋅<>===︒=m n m n m n ∴222z x y =+. ①由(0,2,0)C ，得1(0,2,1)DC =-u u u u r ，则1D C ⊥u u u u r n ，即10DC ⋅=u u u u r n ∴20y z -= ② 由①、②，可取(3,1,2)=n 又(1,0,0)CB =u u u r ，所以点B 到平面1D EC 的距离||36422CB d ⋅===u u u r n |n |. 点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较容易写出来.考点四 探索性问题7. 如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且DE=2，ED//AF 且∠DAF =90°.（1）求BD 和面BEF 所成的角的余弦；（2）线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值；若不存在，说明理由.解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算. 答案：（1）因为AC 、AD 、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则B （2，0，0），D （0，0，2），E （1，1，2），F （2，2，0）， 则)0,2,0(),2,1,1(),0,0,2(=-==BF BE DB设平面BEF 的法向量x z y x n -=则),,,(0,02==++y z y ，则可取)0,1,2(=n ，∴向量)1,0,2(=n DB 和所成角的余弦为1010)2(21220222222=-++-+⋅. 即BD 和面BEF 所成的角的余弦1010. （2）假设线段EF 上存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，不妨设EP 与PF 的比值为m ，则P 点坐标为),12,121,121(m m m m m +++++ 则向量=),12,121,121(m m m m m +++++，向量=CP ),12,11,121(mm m m ++-++ 所以21,012)2(12101212==+-++++++m m m m m m 所以. 点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求.8. 如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（I ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（II ）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解.答案:解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点，CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 依题意π6CBH ∠=，所以在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 在BHC Rt △中，πsin 62a CH a ==，sin θ=∴． π02θ<<∵，π4θ=∴． 故当π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a a VD θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，，，(0)AB a a =-u u u r ，，． 从而2211(0)0002222a a ABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 02222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，··即AB VD ⊥．又CD VD D =I ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==u u u r，··nn ．得0tan 0222ax ay a a x y θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-u u u r，，，于是πsin 62BC BC θ===u u u r u u u r n n ··，即sin 2θ=π02θ<<∵，π4θ∴=． 故交π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan 22V a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，002DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，(00)AB =u u u r ，．从而(00)AB DC =u u u r u u u r ，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 0AB DV θ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，·，即AB DV ⊥． 又DC DV D =I ， AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ， ∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==u u u r u u u r ，··n n ，得2022tan 022ay ax az θ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)n θ=，，，又220BC a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，， 于是22tan π22sin sin 61tan a BC BC a θθθ===+u u u r u u u r n n ···， 即πππsin 0224θθθ=<<，，∵∴=． 故角π4θ=时， 即直线BC 与平面VAB 所成角为π6．点评：证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解,但运用更多的是建空间直角坐标系,利用向量法求解考点五 折叠、展开问题9．已知正方形ABCD E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE V 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<(I) 证明//BF 平面ADE ;(II)若ACD V 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.解: (I)证明:EF 分别为正方形ABCD 得边AB 、CD 的中点,ADBCVxyAEB CF DG∴EB//FD,且EB=FD,∴四边形EBFD 为平行四边形∴BF//ED.,EF AED BF AED ⊂⊄Q 平面而平面,∴//BF 平面ADE(II)如右图,点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,过点A 作AG 垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GDQ ∆ACD 为正三角形,∴AC=AD. ∴CG=GD. Q G在CD 的垂直平分线上, ∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平面角 即G AH θ∠=.设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的∆AEF中,EF=2AE=2a,即∆AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ⋅=⋅.2AG a ∴=在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅AH ∴=.GH ∴=,1cos 4GH AH θ== 点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线.关键要抓不变的量.考点六 球体与多面体的组合问题10．设棱锥M-ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径. 解： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ， ∴AB ⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面AC.记E 是AD 的中点，从而ME ⊥AD. ∴ME ⊥平面AC ，ME ⊥EF.设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球. 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心. 设球O 的半径为r ，则r ＝MFEM EF S MEF++△2设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1. ∴ME ＝a 2.MF ＝22)2(aa +, r ＝22)2(22aa a a +++≤2222+＝2-1. 当且仅当a ＝a2，即a ＝2时，等号成立.∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系. 三、方法总结1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90º；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直.（2）直线和平面相互平行证明方法：○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.（3）直线和平面垂直证明方法：○1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，○2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行.（4）平面和平面相互垂直证明方法：○1证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；○3证明两个平面的法向量相互垂直.2．求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离.（1）两条异面直线的距离。
空间中点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。
难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面LA ·α C ·B·A· α P· αLβ3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
直线与平面投影知识点总结在几何学中，直线与平面的投影是一个重要的概念。
它们常常出现在三维空间的几何关系中，同时也在工程学、物理学等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将主要介绍直线与平面的投影的基本概念、性质和应用。
一、直线的投影：1. 直线的投影定义：在三维空间中，如果一个直线与一个平面相交，那么这条直线在这个平面上的投影就是直线在该平面上的影子。
投影是一个向量，它的方向是垂直于平面，并且与直线平行。
投影的长度等于直线在该方向上的投影长度。
2. 直线的投影性质：（1）如果平行于平面的直线在平面上的投影为一线段，则该线段的中垂线必然在平面上。
（2）如果垂直于平面的直线在平面上的投影是一个点，则该点在平面上。
（3）直线在平面上的投影长度等于直线在法向量方向上的投影长度。
3. 直线的投影应用：（1）在工程制图中，需要将三维物体的投影绘制在二维平面上，这就涉及到了直线的投影。
（2）在几何学中，研究直线在平面上的投影可以帮助我们理解平行与垂直关系。
二、平面的投影：1. 平面的投影定义：在三维空间中，如果一个平面与一个平面相交，那么这个平面在另一个平面上的投影就是该平面在另一个平面上的影子。
平面的投影通常是一个多边形。
2. 平面的投影性质：（1）如果平行于平面的平面在另一个平面上的投影是一个多边形，则该多边形的边界一定是一个多边形的投影。
（2）如果垂直于平面的平面在另一个平面上的投影是一个点，则该点在另一个平面上。
3. 平面的投影应用：（1）在工程制图中，需要将三维物体的投影绘制在二维平面上，这就涉及到了平面的投影。
（2）在建筑设计中，考虑到平面的投影会对建筑物的外观和结构有着重要的影响。
三、直线与平面的投影：1. 直线与平面的投影定义：在三维空间中，如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线在这个平面上的投影就是直线在该平面上的影子。
同样地，如果一个平面与一个平面相交，那么这个平面在另一个平面上的投影就是该平面在另一个平面上的影子。
【知识梳理】（ 1）四个公义公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言： A l , B l ,且 A, B l。
公义 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面② 经过两条订交直线，有且只有一个平面③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面公义它给出了确立一个平面的依照。
3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：P , 且 P l , P l 。
公义 4：（平行线的传达性）平行与同向来线的两条直线相互平行。
符号语言： a // l ,且 b // l a // b 。
（ 2）空间中直线与直线之间的地点关系1.观点异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线a, b ，经过空间随意一点O 作直线a // a,b // b ，我们把 a 与 b 所成的角（或直角）叫异面直线 a,b 所成的夹角。
（易知：夹角范围0 90 ）定理：空间中假如一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）共面直线订交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;平行直线：同一平面内，没有公共点;2. 地点关系：异面直线：不一样在任何一个平面内，没有公共点（ 3）空间中直线与平面之间的地点关系直线在平面内（ l ）有无数个公共点直线与平面的地点关系有三种：直线与平面订交（l A）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（l / / ）没有公共点（ 4）空间中平面与平面之间的地点关系两个平面平行（/ / ）没有公共点平面与平面之间的地点关系有两种：l）有一条公共直线两个平面订交（直线、平面平行的判断及其性质1.内容概括总结（ 1）四个定理定理定理内容直线与平面平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直平行的判断线与此平面平行平面与平面一个平面内的两条订交直线与另一个平面平行，则这平行的判断两个平面平行一条直线与一个平面平行，符号表示a, b ,且 a // b a//a,b,a b P, a //, b ////剖析解决问题的常用方法在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行便可以判断直线与平面平行。
空间直线和平面（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥(a//b,b//c a//c)αβαγβγ//,// ==⇒⎫⎬⎭a b a b面面平行性质 线面平行性质a ab a b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ 面面平行性质1αβαβ////a a ⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：面面垂直判定面面垂直定义αβαβαβ=--⇒⊥⎫⎬⎭l l，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2面面平行性质3a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//aa⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
”5. 唯一性结论：（三）空间中的角与距离1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。
4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
简单几何体：（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =⨯=⨯=⨯⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）hS 31V ⋅=底锥定理：截面与底面平行则有221h h S S =底截正棱锥的性质⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆=+=-=∆α=+=+=∆θ=α=-=∆OEB Rt n 180sin2a a 41r h l R SEB Rt cos r a 41l r h h SOE Rt sin l sin h R l h SOB Rt 2222222222图）及元素之间的关系四个直角三角形（如上全等的等腰三角形侧棱都相等，侧面都是O O OO S S 11221=λ是两个平行截面且、如图）（与定比分点公式比较则λ+λ+=1SS S 21概率与统计（一）散型随机变量的分布列性质：⎩⎨⎧=++=≥1p p 21i 0p 21i ，，二项分布：)p 1q (npq D np E )p n k (b q p C )p n (B ~kn k k n -==ξ=ξ=⋅ξ-，，，，，若b a +ξ=η则b aE )b a (E E +ξ=+ξ=ηξ-=+ξ=ηD a )b a (D D 2期望： ++++=ξn n 2211p x p x p x E方差： +ξ-++ξ-+ξ-=ξn 2n 222121p )E x (p )E x (p )E x (D（二）抽样方法⎪⎩⎪⎨⎧分层抽样系统抽样简单随机抽样【典型例题】例1. 如图，在四面体ABCD 中作截面EFG ，若EG ，DC 的延长线交于M ，FG 、BC 的延长线交于N ，EF 、DB 的延长线交于P ，求证M 、N 、P 三点共线。
直线、平面和简单的几何体一、空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4(a//b,b//ca//c)线面平行判定αβαγβγ//,//I I==⇒⎫⎬⎭a ba b面面平行判定1a ba ba//,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a ba b Aa b⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////I线面平行性质aaba b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪I面面平行性质1αβαβ////aa⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβabα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：面面垂直判定面面垂直定义αβαβαβI=--⇒⊥⎫⎬⎭l l，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//aa⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
”5. 唯一性结论：（三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。
3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。
4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
二、简单几何体：（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱SV=⨯=⨯=⨯⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）hS31V⋅=底锥定理：截面与底面平行则有221hhSS=底截正棱锥的性质⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆=+=-=∆α=+=+=∆θ=α=-=∆OEB Rt n 180sin 2a a 41r h l R SEB Rt cos r a 41l r h h SOE Rt sin l sin h R l h SOBRt 2222222222ο图）及元素之间的关系四个直角三角形（如上全等的等腰三角形侧棱都相等，侧面都是O O OO S S 11221=λ是两个平行截面且、如图）（与定比分点公式比较则λ+λ+=1SS S 21概率与统计（一）散型随机变量的分布列性质：⎩⎨⎧=++=≥1p p 21i 0p 21i ΛΛ，，二项分布：)p 1q (npq D np E )p n k (b q p C )p n (B ~kn k k n -==ξ=ξ=⋅ξ-，，，，， ξ ΛΛi 21x x x pΛΛi21p p p若b a +ξ=η则b aE )b a (E E +ξ=+ξ=ηξ-=+ξ=ηD a )b a (D D 2期望：ΛΛ++++=ξn n 2211p x p x p x E方差：ΛΛ+ξ-++ξ-+ξ-=ξn 2n 222121p )E x (p )E x (p )E x (D（二）抽样方法⎪⎩⎪⎨⎧分层抽样系统抽样简单随机抽样【典型例题】例1. 如图，在四面体ABCD 中作截面EFG ，若EG ，DC 的延长线交于M ，FG 、BC 的延长线交于N ，EF 、DB 的延长线交于P ，求证M 、N 、P 三点共线。
证明：由已知，显然M 、N 、P 在平面EFG 上 又M 、N 、P 分别在直线DC 、BC 、DB 上 故也在平面BCD 上即M 、N 、P 是平面BCD 与平面EFG 的公共点 ∴它们必在这两个平面的交线上 根据公理2. M 、N 、P 三点共线例2. 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CM 所成角的余弦值为（ ）52.D 53.C 210.B 23.A分析：如图，取AB 中点E ，CC 1中点F 连结B 1E 、B 1F 、EF则B 1E//AM ，B 1F//NC∴∠EB 1F 为AM 与CN 所成的角 又棱长为1∴===B E B F EF 11525262，，∴∠=+-⋅=cos EB F B E B F EF B E B F 11212211225 ∴选D例3. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：l m ⊥⊂αβ①②③④αβαβαβαβ/⇒⊥⊥⇒⇒⊥⊥⇒///////l m l ml m l m 其中正确的两个命题是（ ） A. ①与② B. ③与④ C. ②与④D. ①与③分析：对于①①正确l l m l m⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥∴ααβββ//对于②，如图l a m l m ⊥⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒αββ///∴②错对于③③正确l l m m m ⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥∴ααβαβ//对于④，如图l l m m ⊥⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒αβαβ///∴④错∴①③正确，选D例4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。
（1）证明PA//面EDB 。
（2）PB ⊥平面EFD 。
证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO∵底面ABCD是正方形∴点O是AC中点又E为PC中点∴EO//PA⊂⊄EO EDB PA EDB又面，且面∴PA//面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD∴BC⊥PDI⊥=BC DC PD DC D又且∴BC⊥面PDC ∴BC⊥DE又E为等直角三角形中点且IDE PC PC BC C∴⊥=∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB⊥=IEF PB EF DE E又已知且∴PB⊥面DEF例5. 正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。
证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C//则面，面及⊥⊥AE B BCC A E B BCC EB E C11111111AE B BCC AB BC EB BC EB E C E C BC A E B BCC A C BC ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥面面1111111111111111//注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例6. 下列正方体中，l 是一条体对角线，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，如何证明l ⊥面MNP 。
（1） D 1 P C 1 MA 1B 1lD CN（2） D C 1A 1B 1 l NMD C P（3） D C 1A 1 PB 1N lD C M分析：①在侧面的射影显然与、垂直l MP MN ∴⊥⊥∴⊥MP l MN ll MNP ，面②显然分别与在底面上射影垂直及与垂直l MN MP∴⊥l MNP 面③如图，取棱A 1A 、DC 、B 1C 1的中点，分别记为E 、F 、G ，显然EMFNGP 为平面图形，而D 1B 与该平面垂直 ∴l ⊥面MNP例7. 如图，斜三棱柱中，，，，ABC A B C AC A B AA AC AB -⊥===''''''810 ∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。
（）求证：面面；1AA C C ABC ''⊥ （）求侧面的面积。
2AA B B ''分析：要证明面面，只要证明面，又，只要AA C C ABC BC AA C C BC AC ''''⊥⊥⊥证明，故只要证明平面。
BC AC AC A BC ⊥⊥'''证明：（）∵为菱形1AA C C '' ∴⊥AC A C '' 又面AC A BAC A BC AC BC '''''⊥∴⊥∴⊥又∠ACB=90°，即AC ⊥BC∴⊥BC AA C C 面'' 又面面面BC ABC ABC AA C C ⊂∴⊥''（）作于2A D AC D '⊥Θ面面，为交线AA C C ABC AC ''⊥∴⊥A D ABC '面°与底面成的角，即∠为侧棱∠60AC 'A AA AD 'A =∴ 过作于，连结，则D DE AB E A E A E AB ⊥⊥'' 又，AD A D =︒==︒=860486043cos 'sin ∴D 为AC 中点 在中Rt ABC ∆ ΘDE BC ADABDE =∴=⨯=4610125∴=+=+=A E A D DE ''()()2222431258521∴=⨯=⨯=S AB A EA ABB 平行四边形'''1085211621例8. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，沿DE 将△ABC 折成直二面角，使A 到A’的位置（如图）。
求： （1）C 到A’D 的距离；（2）D 到平面A’BC 的距离；（3）A’D 与平面A’BC 所成角的正弦值。
解：（1）∵二面角A’－DE －B 是直二面角又A’E ⊥ED ，CE ⊥ED∴ED ⊥面A’EC 及EC ⊥面A’ED作EF ⊥A’D 于F ，连结CF ，则CF ⊥A’D ∴CF 即为C 点到直线A’D 的距离 在Rt △A’ED 中，EF ·A’D=A’E ·ED∴=⨯=EF 435125∴=+=+=FC EF EC 222212544345()/BC 'A DE BC 'A BC BC //DE 2面，面，）（⊂⊂Θ ∴DE//面A’BC∴E 到面A’BC 的距离即为D 点到平面A’BC 的距离 过E 作EM ⊥A’C 于M ∵ED ⊥面A’EC 又BC//ED∴BC ⊥面A’EC ∴BC ⊥EM∴EM ⊥面A’BC∴为点到平面的距离即为点到面的距离且EM E A BC D A BC EM ''=22 或者用体积法： 由V V D A BC A BCD --=''即1313S h S A E A BC BCD ∆∆''⋅=⋅∴=⋅=⋅⋅⋅=h S A E S BC CE A EBC A C BCD A BC∆∆''''121222（）设与平面所成角为3A D A BC ''θ5D 'A 22h BC 'A D 2==及的距离为点到面）知又由（ ∴==sin 'θh A D 225例9. 如图，直三棱柱中，∠°，，，侧棱ABC A B C ACB AC CB -===1119012AA AA B B D B C M 111111=，侧面的两条对角线交点为，的中点为。
