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空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
专题十二空间直线、平面的平行知识精讲一知识结构图二.学法指导1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．3．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．4．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实4等．5.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．6.平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.7.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：8.证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)基本事实4.(3)线面平行的性质定理． (4)面面平行的性质定理． 9. 证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．三.知识点贯通知识点1 基本事实4、等角定理的应用1．基本事实4文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 例题1.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，M 1分别是棱AD 和A 1D 1的中点．(1)求证：四边形BB 1M 1M 为平行四边形； (2)求证：∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.【解析】 (1)∵ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体．∴AD ＝A 1D 1，且AD ∥A 1D 1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.知识点二直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定例题2：如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.【解析】(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.知识点三直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定及性质例题3已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.【证明】如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.知识点四平面与平面平行的判定1．平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．例题4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.【解析】(1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊄平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.知识点五平面与平面平行的性质1．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行．例题5 如图，已知平面α∥平面β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．【解析】 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BDBD . 所以BD ＝245.五 易错点分析易错一 等角定理的运用例题5.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝ . 【答案】135°【解析】由等角定理可知β＝135°. 误区警示利用等角定理求角的大小，应注意两角的边的方向之间的关系。
《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结1.内容归纳总结 （1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,,////a b a baααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
高三数学第一轮复习：空间直线与平面【本讲主要内容】空间直线与平面空间直线与直线间关系、直线与平面间关系、平面与平面间关系【知识掌握】【知识点精析】（一）平面的基本性质和空间的两条直线1. 平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1）公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（如图3）推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面（如图4）．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图5）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图6）说明：公理1是研究直线与平面的关系，公理2是研究平面与平面的关系，公理3及三个推论是研究有关确定平面的条件. 公理中的“有且只有一个”的含义是“既存在且唯一”．2. 空间中两条直线位置关系平行——在同一平面内，没有公共点；相交——在同一平面内，有且仅有一个公共点；异面——不同在任何一个平面内．公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．说明：公理4反映了平行线的传递性，它是证明等角定理的基础，也是论证平行问题的主要依据之一．3. 异面直线的判定及异面直线构成的角与距离（1）异面直线的判定方法主要有：①定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；②定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．（2）求两条异面直线所成的角的一般步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使它们成为相交直线.这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中的某一条上的特殊点．②求相交直线所构成的锐角（或直角，）通常在三角形中，计算这个角的大小．（3）异面直线间的距离是指它们的公垂线的长度. 公垂线的确定方法：既相交又垂直．（二）空间的直线与平面1. 直线与平面的位置关系（1）直线在平面内；（2）直线与平面平行；（3）直线与平面相交；相关概念——直线与平面所成的角①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．②直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．③直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°的角．2. 直线和平面平行的判定与性质直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．a∥α，a⊂β,α∩β=b⇒ a∥b 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．即：a∥b，a⊄α，b⊂α⇒ a∥α.3. 直线和平面垂直的判定与性质（1）直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即：a⊂α，b⊂α，且a,b相交，l⊥a, l⊥b⇒ l⊥α．（2）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b．（3）三垂线定理及逆定理：在平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线的射影垂直．即：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，a⊂α，a⊥AO⇔a ⊥PO．注：三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（三）空间的平面与平面1. 平面与平面的位置关系：（1）平行——没有公共点；（2）相交——有且仅有一条公共直线.2. 平面和平面平行的性质与判定（1）判定两个平面平行的方法：①根据定义——证明两平面没有公共点；②判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；③证明两平面同垂直于一条直线。
空间点、直线、平面之间的位置关系题型归纳知识的精讲一、平面的基本性质平面的基本性质如表8-4所示. 表8-4 名称 图形文字语言符号语言公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 A l B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭公理2过不在同一直线上的三点有且只有一个平面 A ,B ,C 不共线⇒A ,B ,C α∈且α是唯一确定的 公理2的推论推论1经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面 若点A α∉,则经过点A 和直线a 有且仅有一个平面α推论2两条相交直线确定一个平面 a b P =⇒有且只有一个平面α，使,a b αα⊂⊂推论3两条平行直线确定一个平面 a ∥b ⇒有且只有一个平面α，使,a b αα⊂⊂ 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若,P αβ∈则,a αβ=且P a ∈二、空间直线与直线的位置关系 1.位置关系如表8-5所示. 表8-5 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面图形符号 a b P =a ∥b,,a A b A b αα=⊂∉公共点个数 1特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）. 三、空间中的直线与平面的位置关系（见表8-6） 位置关系 包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号 l α⊂l P α=l ∥α公共点个数无数个 1四、空间中的平面与平面的位置关系（见表8-7） 表8-7 位置关系 平行相交（但不垂直）垂直图形符号 α∥βl αβ= αβ⊥，l αβ=公共点个数无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，异面直线经平移后相交成90o也叫垂直.题型归纳及思路提示题型1证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” 思路提示要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 “线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上.例8.19如图8-73所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB ∠=∠=11,.22BCAD BE AF 求证：C ,D ,F ,E 四点共面.分析 证明四点共面，利用平面的确定公理，即两条相交直线确定一个平面，本题可证明DC ,FE 相交与一点.解析 如图8-74所示，延长DC 交AB 的延长线与点G ，由1,2BCAD 得1,2GB GC BC GA GD AD ===延长FE 交AB 的延长线于G ＇，同理可得''1,''2G E G B BE G F G A AF ===故','G B GBG A GA =即G ＇与G 重合，因此，直线CD和EF 相交与点G ，即C ,D ,F ,E 四点共面.变式1 如图8-75所示，已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,点F 在CC 1上，且AE =FC 1,求证E ,B ,F ,D 1四点共面.变式2 如图8-76所示，在六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上下底面均为正方形，1DD ⊥平面A 1B 1C 1D 1，1DD ⊥平面ABCD .求证：A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面.例8.20 如图8-77所示，空间四边形ABCD 中，E ,F ,G 分别在AB ,BC ,CD 上，且满足AE ：EB =CF ：FB =2：1，CG ：GD =3：1，过E ,F ,G 的平面交AD 于H ，连接EH ,HG .(1)求AH ：HD ;(2)求证：EH ,FG ,BD 三线共点.解析 （1）因为2AE CFEB FB==，所以EF ∥AC ,又EF ⊄平面ACD ，所以EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH 平面ACD =GH ,所以EF ∥GH ,而EF ∥AC ,所以AC ∥GH ,所以3AH CGHD GD==，即AH ：HD =3：1. （2）证明：因为EF ∥GH ，且11,34EF GH AC AC ==，所以EF ≠GH ,所以四边形EFGH 为梯形.令EH FG P =，则,,P EH P FG ∈∈，而EH ⊂平面ABD ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD 平面BCD =BD ，所以,P BD ∈，故EH ,FG ,BD 三线共点.评注 所谓“线共点”问题就是证明三条或三条以上直线交于一点，证明三线共点的思路为：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题.变式1 如图8-78所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是AB ,AA 1的中点.求证：（1）E ,C , D 1,F 四点共面；（2）CE ,D 1F ,DA 三线共点.BF C GHAED图8-77变式2如图8-79所示，点E ,F ,C ,H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,BC ,CC 1,C 1D 1的中点，证明：EF ,HG ,DC 三线共点.题型2 截面问题 思路提示截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的形状.例8.21如图8-80所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得截面记为S ,则下列命题正确的是 .（写出所以正确命题的编号）. ①当102CQ <<时，S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与C 1D 1的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 的面积为62.分析 本题重点考查了截面问题，对于截面问题要利用平面的确定公理作为理论背景，尤其是两条平行直线确定一个平面.解析 对于①②,因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，当12CQ =时，22PQ =，这时过,,A P Q 的截面与正方体表面交与点1D ，且PQ 1AD ，截面S ，如图8-81（a ）所示，15,2AP D Q ==截面S 为等腰梯形，当102CQ <<时，过,,A P Q 三点的截面与正方体表面的交点在棱1DD 上，截面S 为四边形，如图8-81（b ）所示，故①②正确；③如图8-81（c ）所示，当34CQ =时，111,3C R C Q CT QC ==又CT =1，得113C R =；④如图8-81（d ）所示，当45CQ =时，过点,,A P Q 的平面截正方体所得的截面为五边形APQRS ；⑤如图8-81（e ）所示当1CQ =时，则过点,,A P Q 的截面为,,,S A P Q ，其截面为菱形，对角线2,3,SP AQ ==所以S 的面积为1623.22⨯⨯=综上，正确的命题序号是①②③⑤.变式1 如图8-82所示，M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行. 其中真命题是（ ）.A .②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③变式2 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 与F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：①四边形1BFD E 有可能是梯形； ②四边形1BFD E 有可能是菱形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直与平面11BB D D ； ⑤四边形1BFD E 面积的最小值为62. 其中正确的是（ ）A .①②③④B . ②③④⑤C . ①③④⑤D . ①②④⑤ 题型3 异面直线的判定 思路提示判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过B 点的直线是异面直线. （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面.例8.22 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）. A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交解析 假设a 与b 是异面直线，而c ∥a,则c 显然与b 不平行（否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾），因此c 与b 可能相交或异面，故选B .评注 判定和证明两条直线是异面直线，常用反证法和定义法.变式1 已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ）A. m 与n 异面B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能 变式2 已知,a b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则,a b 在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确的结论的编号是 （写出所有正确的编号）.变式3 若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则（ ）A. α内的所有直线与l 异面B. α内不存在与l 平行的直线C. α内存在唯一的直线与l 平行D. α内的直线与l 都相交例8.23如图8-83所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一个平面内，M 和N 分别AB 和DF 为的中点，用反证法证明：直线ME 与BN 是异面直线.解析 假设直线ME 与BN 共面，连接,,AN NE EB ,则AB ⊂平面MBEN ,且平面MBEN 与平面交于，由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面，故AB ⊄平面DCEF ，又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF ，又平面MBEN 平面DCEF EN =，所以AB ∥EN ，又AB ∥CD ∥EF ，所以EF ∥EN ，这与EF EN E =矛盾，故假设不成立，所以直线ME 与BN 不共面，直线ME 与BN 是异面直线.变式1在正方体ABCD A B C D ''''-中，棱,BB C D '''的中点分别是,F H ，如图8-84所示，判断点,,,A D F H '是否共面？并说明理由.最有效训练题1.下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.下列四个命题：①若直线,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 是异面直线；②若直线,a b 相交，,b c 相交，则,a c 相交；③若a ∥b ，则,a b 与c 所成的角相等；④若,a b b c ⊥⊥，则a ∥c ，其中真命题的个数是（ ）A.4B. 3C. 2D. 13.设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ） A. 在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B. 过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C. 与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行 D. 与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直4.平行六面体1111ABCD A B C D -中,既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为（ ） A.3 B. 4 C. 5 D. 65.如图8-85所示，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行；其中真命题是（ ）A.②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③6．如图8-86所示，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ） A. AC BD ⊥ B. AC ∥截面PQMNC. AC BD =D.异面直线PM 与BD 所成的角为45图8-867．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与直线1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作 条8．如图8-87所示，是正方体的表面展开图，,,,E F G H 分别是棱的中点，EF 与GH 在原正方体中的位置关系为9．下列命题中不正确的是 ①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面；10．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于有这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号） ①能构成每个面都是等边三角形的四面体； ②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；11．如图8-88所示，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==（1）求证：,,,E F G H 四点共圆；（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线12．如图8-89所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11A B ，11B C 的中点，问： （1）AM 和CN 是否为异面直线？说明理由； （2）1D B 和1CC 是否为异面直线？说明理由；。
空间直线和平面［知识串讲］空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4 (a//b,b//ca//c)线面平行判定αβαγβγ//,//==⇒⎫⎬⎭a ba b面面平行判定1a ba ba//,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a ba b Aa b⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////线面平行性质aaba b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪面面平行性质1αβαβ////aa⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβabα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理PA AO POaa OA a POa PO a AO⊥⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥ααα,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定a ba b Ol a l bl,,⊂=⊥⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ααaa⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αβαβ线面垂直定义lal a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ba a ba,αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪aa面面垂直定义αβαβαβ=--⇒⊥⎫⎬⎭l l，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2线面垂直性质2面面平行性质3a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//aa⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
”5. 唯一性结论：（三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。
4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
【典型例题】例. 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CM 所成角的余弦值为（ ）52.D 53.C 210.B 23.A分析：如图，取AB 中点E ，CC 1中点F 连结B 1E 、B 1F 、EF 则B 1E//AM ，B 1F//NC ∴∠EB 1F 为AM 与CN 所成的角又棱长为1∴===B E B F EF 11525262，，∴∠=+-⋅=cos EB F B E B F EF B E B F 11212211225 ∴选D例3. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：l m ⊥⊂αβ①②③④αβαβαβαβ/⇒⊥⊥⇒⇒⊥⊥⇒///////l ml m l m l m其中正确的两个命题是（ ）A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③分析：对于①①正确l l m l m ⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥∴ααβββ//对于②，如图l a m l m ⊥⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒αββ/// ∴②错对于③③正确l l m m m ⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥∴ααβαβ//对于④，如图l l m m ⊥⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒αβαβ/// ∴④错∴①③正确，选D例4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。
（1）证明PA//面EDB 。
（2）PB ⊥平面EFD 。
证：（1）连AC ，AC 交BD 于O ，连EO ∵底面ABCD 是正方形 ∴点O 是AC 中点 又E 为PC 中点 ∴EO//PA又面，且面EO EDB PA EDB ⊂⊄ ∴PA//面EDB （2）∵PD ⊥底面ABCD ∴BC ⊥PD又且BC DC PD DC D ⊥= ∴BC ⊥面PDC∴BC ⊥DE又E 为等直角三角形中点 ∴⊥=DE PC PC BC C 且 ∴DE ⊥面PBC∴DE ⊥PB 又已知且EF PB EF DE E ⊥= ∴PB ⊥面DEF例5. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，求证：A 1C ⊥BC 1。
证明：设E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，连AE ，A 1E 1，B 1E ，E 1C 则面，面及AE B BCC A E B BCC EB E C ⊥⊥11111111//AE B BCC AB BC EB BCEB E C E C BC A E B BCC A C BC ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥面面1111111111111111//注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例6. 下列正方体中，l 是一条体对角线，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，如何证明l ⊥面MNP 。
（1） D 1 P C 1MA 1B 1lD CN（2） D 1 C 1A 1B 1 l NMD C P（3） D 1 C 1A 1 PB 1N lD C M分析：①在侧面的射影显然与、垂直l MP MN ∴⊥⊥∴⊥MP l MN ll MNP ，面②显然分别与在底面上射影垂直及与垂直l MN MP ∴⊥l MNP 面③如图，取棱A 1A 、DC 、B 1C 1的中点，分别记为E 、F 、G ，显然EMFNGP 为平面图形，而D 1B 与该平面垂直∴l ⊥面MNP例7. 如图，斜三棱柱中，，，，ABC A B C AC A B AA AC AB -⊥===''''''810 ∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。
（）求证：面面；1AA C C ABC ''⊥ （）求侧面的面积。
2AA B B ''分析：要证明面面，只要证明面，又，只要AA C C ABC BC AA C C BC AC ''''⊥⊥⊥证明，故只要证明平面。
BC AC AC A BC ⊥⊥'''证明：（）∵为菱形1AA C C '' ∴⊥AC A C '' 又面AC A BAC A BCAC BC '''''⊥∴⊥∴⊥又∠ACB=90°，即AC ⊥BC ∴⊥BC AA C C 面'' 又面面面BC ABC ABC AA C C ⊂∴⊥''（）作于2A D AC D '⊥面面，为交线AA C C ABC AC ''⊥ ∴⊥A D ABC '面°与底面成的角，即∠为侧棱∠60AC 'A AA AD 'A =∴过作于，连结，则D DE AB E A E A E AB ⊥⊥'' 又，AD A D =︒==︒=860486043cos 'sin ∴D 为AC 中点 在中Rt ABC ∆DE BC ADABDE =∴=⨯=4610125∴=+=+=A E A D DE ''()()2222431258521∴=⨯=⨯=S AB A EA ABB 平行四边形'''1085211621例8. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，沿DE 将△ABC 折成直二面角，使A 到A’的位置（如图）。
求： （1）C 到A’D 的距离； （2）D 到平面A’BC 的距离；（3）A’D 与平面A’BC 所成角的正弦值。
解：（1）∵二面角A’－DE －B 是直二面角又A’E ⊥ED ，CE ⊥ED ∴ED ⊥面A’EC 及EC ⊥面A’ED作EF ⊥A’D 于F ，连结CF ，则CF ⊥A’D ∴CF 即为C 点到直线A’D 的距离在Rt △A’ED 中，EF ·A’D=A’E ·ED∴=⨯=EF 435125∴=+=+=FC EF EC 222212544345()/BC 'A DE BC 'A BC BC //DE 2面，面，）（⊂⊂ ∴DE//面A’BC ∴E 到面A’BC 的距离即为D 点到平面A’BC 的距离 过E 作EM ⊥A’C 于M ∵ED ⊥面A’EC 又BC//ED ∴BC ⊥面A’EC ∴BC ⊥EM ∴EM ⊥面A’BC∴为点到平面的距离即为点到面的距离且EM E A BC D A BC EM ''=22 或者用体积法： 由V V D A BCA BCD --='' 即1313S h S A EA BC BCD ∆∆''⋅=⋅∴=⋅=⋅⋅⋅=h S A E S BC CE A EBC A C BCD A BC∆∆''''121222（）设与平面所成角为3A D A BC ''θ5D 'A 22h BC 'A D 2==及的距离为点到面）知又由（∴==sin 'θh A D 225例9. 如图，直三棱柱中，∠°，，，侧棱ABC A B C ACB AC CB -===1119012AA AA B B D B C M 111111=，侧面的两条对角线交点为，的中点为。
（）求证：平面；1CD BDM ⊥（）求面与面所成二面角的大小。
21B BD CBD（1）证明：连结，则CA CA BC 112==又为中点①D A B CD BD1∴⊥易知面AC BB C C ⊥11∴CB CD BB C C 111是在底面上射影 故只要BM CB ⊥1 设BM CB E 1=在和中Rt CBB Rt BB M CB BB BB MB ∆∆1111121122===°∠又∠90M BB CBB 11== ∴Rt CBB Rt BB M ∆∆11~ ∴=∠∠BCB B BM 11 又∠∠°B BM CBM 190+= ∴+=∴=∠∠°∠°BCB CBM CEB 19090 ∴⊥∴⊥BM CB BM CD 1②由①②知面CD BDM ⊥ （2）解： AB 12312=+= ∴===B D BD BB 111即△为正三角形，取中点，则B DB BD F B F BD 11⊥又取BC 中点N ，连结NF∴NFCD //12 又CD BDNF BD ⊥∴⊥∴∠为所求二面角的平面角NFB 1又，B N CD BC BD 12222222162211=+==-=-=()∴==NF B F 12321，在△中由余弦定理DCB 1 cos ()()()∠NFB FN FB NB FN FB 12121222221232622123233=+-⋅⋅=+-⋅⋅=-∴-所求二面角为πarccos33【模拟试题】一. 选择题1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（ ） A. 成异面直线B. 相交C. 平行D. 平行或相交2. 已知直线a ，b ，平面αβγ，，，有下列四个命题 ①a a //////αβαβ，⇒； ②αββγαγ/////，/⇒； ③a a ⊥⊥⇒αβαβ，//；④a b a b ⊥⊥⇒αβαβ，，////其中正确的命题有（ ） A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. 以上都不对3. 边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC a=12，这时二面角B －AD －C 的大小为（ ） A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 设a ，b 是两条异面直线，P 是a ，b 外的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 过P 有一条直线和a ，b 都平行 B. 过P 有一条直线和a ，b 都相交 C. 过P 有一条直线和a ，b 都垂直 D. 过P 有一个平面与a ，b 都平行5. 若a ，b 是异面直线，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AD=AC ，BD=BC ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°二. 填空题6. 设正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，则（1）A 点到CD 1的距离为_____________ （2）A 点到BD 1的距离为_____________ （3）A 点到面BDD B 11的距离为_____________ （4）A 点到面A BD 1的距离为_____________ （5）AA BB D D 111与面的距离为_____________7. 如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是DC BC 、中点，现沿AE 、AF 、 EF 把它折成一个四面体，使B 、D 、C 三点重合于G ，则V A GEF -=_____________。
