1 平面向量
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用cba
,,
,,来表示，或用有向线段的起点与终
点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a
；坐标表示法),(yxyjxia向
量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a
｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0
，其方向是任意的，0
与任意向量平行零向量a
＝0
｜a
｜＝0由于0
的方向是任意的，且规定0
平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）
的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量
0a为单位向量｜
0a｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直
线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a
∥b
由于向量可以进行任意的平移(即
自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba
大
小相等，方向相同),(),(
2211yxyx
2121
yyxx
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设,ABaBCb，则a
+b
=ABBC
=AC
（1）aaa
00
；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点
重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的
有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向
量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
2 ABBCCDPQQRAR
，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
平面向量知识点
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC
（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；
ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量
②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）aa； （Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a
6、平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：
(1) 若1122,,,axybxy，则1212,abxxyy
高一平面向量的知识点归纳总结
平面向量是高中数学中一个重要的概念，也是数学建模中常用的工具。在高一阶段，学生首次接触平面向量，并需要掌握其相关的计算方法和性质。本文将对高一平面向量的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、平面向量的定义与表示方法
平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，用一个点与另一个点之间的坐标差表示。一般用字母加箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的运算
1. 平面向量的相加减：向量的相加是指将一个向量的终点与另一个向量的起点相连，并以此线段为新向量的长度和方向。向量的相减可以转换为向量的相加：A - B = A + (-B)。
2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的长度与一个实数相乘，得到一个新的向量，其方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。
3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的长度乘积与两向量夹角的余弦值的乘积。数量积具有交换律和分配律。
三、平面向量的基本性质
1. 平移性质：可以将一个向量平移至另一个点，其大小和方向不变。 2. 平面向量的共线性：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是共线的；如果两个向量的方向互相垂直，那么它们是互相垂直的；如果两个向量不共线且不垂直，那么它们是不共线也不垂直的。
3. 向量共点性质：三个向量共点的充分必要条件是其中一个向量等于另外两个向量的和。
四、平面向量的几何应用
平面向量在几何中具有广泛的应用。其中，平面向量的模表示向量的长度，平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，平面向量的端点坐标可以确定向量在平面直角坐标系中的位置。通过对平面向量的几何运算，可以解决平面上的定位、距离和角度等问题。
五、平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，一个向量可以用其横坐标和纵坐标来表示。具体地说，如果向量的起点在原点O(0, 0)，终点在A(x₁, y₁)，那么这个向量可以用[x₁, y₁]来表示。向量的坐标表示方法简化了向量的运算和表示，对于解决实际问题具有实际意义。
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。常用字母表示向量，如a、b等。向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一个新的向量。加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积 向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。平行向量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。垂直向量的点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和线段的位置关系等。在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。希望能够对你的学习和理解有所帮助！
