第一节二元一次不定方程

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探究二元一次不定方程

（Inquires into the dual indefinite equation）

冯晓梁（XiaoLiang Feng） （江西科技师范学院 数计学院 数一班 330031） 【摘 要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite

equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss

the dual linear equation the integer solution.

【关键字】：二元一次不定方程 初等数论 整数解

（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）

二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。

如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。

定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。[1]

二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。

1 7-8二元一次方程组专题复习讲义 姓名：

第一一部分：二元一次方程组知识点

1、 二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、 二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、 代入消元法解二元一次方程组：

（1） 基本思路：未知数又多变少。

（2） 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（3） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4） 代入法解二元一次方程组的一般步骤：

1、 从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”

2、 将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、 解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、 把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”

5、 把x、y的值用｛联立起来即“联”

6、 加减消元法解二元一次方程组

（1） 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2） 用加减消元法解二元一次方程组的解

1、 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

二元一次方程的定义

1、下列方程中，是二元一次方程的是（ ）

A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．+4y=6 D．4x=

2、方程是二元一次方程，则的取值为（ ）

A、≠0 B、≠－1 C、≠1 D、≠2

3、如果方程xm+1+yn-1=5是二元一次方程，那么m=_____，n=______

4、已知方程2m-1n-8(m-2)x+(n+3)y=5是二元一次方程，则mn= 。

5、若1321yxaa是二元一次方程，则a= 。

二元一次方程组的定义

在方程组、、、、 、中，是二元一次方程组的有（ ）A、2个 B、3个 C、4个 D、5

二元一次方程的解

1、已知二元一次方程x + 3y =10：请写出一组正整数解______________

2、写出二元一次方程3x+y=9所有的整数解是

3、方程组2528xyxy的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组2528xyxy的解？

4、若21yx是方程3x + ay=1的一个解，则a的值是__________.

5、以13yx为解建立一个二元一次方程组，不正确的是（ ）

A、543yx B、031yx C、32yx D、65322yx

6、若的一个解是方程02yxbyax，baa,,0则的符号为（ ）

A、ba,同号 B、ba,异号 C、ba,可能同号可能异号 D、0,0ba

含字母的方程（组）变形

1、二元一次方程4x-3y+5=0时，用含x的代数式表示y，则 ，用含y的代数式表示x，则x= . 1x24y14xyaxaaaaa1312zyyx132xyx530yxyx321yxxy1111yxyx11yx2、在01321yx中，用含y的代数式表示x，可得x=____________。

1

第十一讲 一元二次方程

例1.解关于x的方程2(21)20mxmxm.

例2.解关于x的方程2320xx.

例3.解方程4322914920xxxx.

例4.方程2(2005)2004200610xx较大根为r，2200420050xx的较小根为S，求rS.

练习： 已知二次方程20axbxc的两根和为1S，两根平方和为2S，两根立方和为3S，试求321aSbScS的值.

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例5.已知关于x的方程2(1)20xkx和方程22(1)0xxkk只有一个相同的根，求k的值和此公共根.

例6.已知a是方程2200310xx的一个根，求22200320021aaa的值.

竞赛训练

一、选择题

1.方程210xx的解是（ ）.

A. 152 B. -152 C. 15-1522或 D. 152

2.对于方程2-2+2=xxm，如果方程实数根的个数为3，则m的值为（ ）.

A. 1 B.3 C. 2 D. 2.5

3.若方程2++=0xaxb和2++=0xbxa只有一个公共根，则（ ）.

A. =ab B. +=0ab C. +=1ab D. +=-1ab

4.若1ab且25+2001+9=0aa及29+2001+5=0bb，则ab的值（ ）.

A. 95 B. 57 C. 20015 D. 20019 3

二、填空题

5.方程222005-)+(2006-)=1xx（的解为__________.

6.关于x的方程2(+1)+4+9=0axax的根有且只有一个根，则实数a=________.