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探究二元一次不定方程
（Inquires into the dual indefinite equation）
冯晓梁（XiaoLiang Feng） （江西科技师范学院 数计学院 数一班 330031） 【摘 要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite
equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss
the dual linear equation the integer solution.
【关键字】：二元一次不定方程 初等数论 整数解
（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）
二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。[1]
二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
二元一次不定方程有解的充要条件
二元一次不定方程是指形如ax+by=c的方程，其中a、b、c为已知实数，而x、y是未知数。二元一次不定方程的解为使方程成立的x、y值。要求找出二元一次不定方程有解的充要条件。
充分条件：
当a和b的最大公因数能够整除c时，即gcd(a,b)|c，二元一次不定方程有解。
充分条件的证明：
设x0和y0为二元一次不定方程的一组特解，即ax0+by0=c。由于gcd(a,b)|a且gcd(a,b)|b，所以gcd(a,b)可整除ax0和by0。因此，gcd(a,b)也可整除它们的线性组合ax0+by0=c。即gcd(a,b)|c。
必要条件：
当二元一次不定方程有解时，a和b的最大公因数能够整除c，即gcd(a,b)|c。
必要条件的证明：
设二元一次不定方程有解，即存在整数x和y，使得ax+by=c。设d=gcd(a,b)。根据整除的性质，必然存在整数m和n，使得a=dm，b=dn。将这些值代入方程，得到d(mx+ny)=c。由于整数是封闭的，所以mx+ny也是整数。因此，d必然能够整除c，即gcd(a,b)|c。
综上所述，二元一次不定方程有解的充要条件为：a和b的最大公因数能够整除c，即gcd(a,b)|c。
现在我们来举一个例子来说明这个条件。考虑方程3x+5y=10。首先求a和b的最大公因数，gcd(3,5)=1。接下来判断gcd(1,10)是否能够整除c。10除以1得到的余数是0，说明gcd(1,10)能够整除c。因此，二元一次不定方程3x+5y=10有解。
以上是关于二元一次不定方程有解的充要条件的详细解释。理解这个条件有助于我们判断一个二元一次不定方程是否有解。这个条件的基本思想就是利用最大公因数来判断方程的解的存在性。只要我们知道a、b和c的值，就可以根据这个条件来判断方程是否有解。对于不符合这个条件的方程，我们可以得出结论，无解。而对于符合这个条件的方程，我们可以通过具体的计算来找到方程的解。总之，充分条件和必要条件的理解对于解决二元一次不定方程的问题是非常有帮助的。
份
一次不
定方程
求特解的简
便方法
长青
”
元一次不定方程的一般形式是
坏I
X、十“金火。
十,
+a二
火。
“b
其中a:,
a:,
…,
。。
以及b均系整数(下面就不再一一声明了)、
不定方程(1)
特殊的,
是二元一次
a火十by=C(2)
求其整数解的问题,
在一般的初等数论书籍里,
均系采用辗转相除法,
然后利用余数与a、
b之间的关系而获得。
这里涉及一批难于记忆的公式,
并且要经冗长的计算,
因而容易产生
错误。
本文采用矩阵的初等变换工具来处理,
使得计算既简便,
又不必再借助任何别的公
式。
而对于多元一次不定方程求特解,
其优点更加突出。
为了证明(1)的整数解存在的一个充分必要条件,
我们先引入两个命题:
这黑任意”
个聋数a:,
a一
:,
…,
。.
的最大公因数,
以(a:,
a:,
一,
a。
)表之。
命题1、
任意n
个整数a:,
。;,
…。,
的最大公因数(a:,
俘:,
…,
a。
)存在。
证明:
当。:,
a:,
…。。
全为零时,
显然(a:,a幻…,
a。
)二o。
于是我们可以
假定a、,
a:,
…,
a。
不全为零。
构造下面的“
行矩阵”:
(a
我们下面证明,a:,
…,
a.
)。(J)
用列的消法变换(均取整数倍),
可将它化为一个矩阵,
使其中仅剩下一个
数非零。
我们假设对(3)雄行一次列的消法变换,
譬如将第二列的C倍加到第一列而得矩
阵
(b,a:,
…,
a。
),
其中b=a:十C尽、。
(子.)
容易证明,
(3)中一组数与(子)中一组数有着窦金根同的公因数集合,
也就是经一次列
的消法变换不改变公因数集合,
(显然,
一个裂敢变扮号,
公因魏集合照样不变),
因而求
(3)中各数的最大公因数,
只要沸(诊)中各教的最大公因数就行了。
假定a。
为(J)中非零数中绝对值最小的一个。
为了叙述的方便,
我右1称此数的绝对
值为(3)的模。
假若a。
能整除其余备数,
则将a`
热适当的整倍数加到其余各列,、
即可将
其余住升化为零.
恨若峨.
卜“
卜令
a`=qa。
+r,
O
<1a.
:
将a.
的一q倍加到第j列,
则第j列化为r,
困而得到一个矩阵二
关于⼆元⼀次不定⽅程的整数解相关结论的推导
整数解的通解公式推导
⼆元⼀次不定⽅程的⼀般形式为：ax + by = c ①
这⾥，a、b和c都是正整数，且满⾜(a,b) = 1
由(a,b) = 1知，存在⼀对整数u和v，满⾜ au + bv = 1。
取m = cu，n = cv，则m, n这⼀对整数是⽅程①的⼀组特解，即有am + bn = c ②
由①②，有a(x-m) = -b(y-n)(x-m)/b = -(y-n)/a := t
x = m + bt, y = n - at ③
由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即⽅程①的任意⼀组整数解都有唯⼀对应的整数t，于是③便是①的所有整数解的通解公式，t可为任意整数。易知这些整数解在平⾯直⾓坐标系中处在同⼀条直线（斜率为 -a/b）上。
实际上，通解公式③只要求a、b、c为整数且满⾜(a,b)=1即可。
⾮负整数解的相关结论推导
考虑①的⾮负整数解，则③⾥的 t 需要满⾜：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④
t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤
由于t为整数，⑤等价于 t ≤ [n/a]；④等价于 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等价于 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]于是有-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥
只要[n/a] ≥ -[m/b]，⽅程①就⼀定存在⾮负整数解。事实上，①的⾮负整数的解数为M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦
例如就8x + 15y = 2⽽⾔，x = 4, y = -2是其⼀组特解，代⼊⑦，有M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0
即8x + 15y = 2没有⾮负整数解。
⑦给出的⽅程①的⾮负整数解数M的判别式需要借助⼀组特解，以下试图只⽤常数a、b和c来表⽰M：
