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空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的条件
一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相
垂直。
定义：若两个平面的二面角为直二面角，则面面垂直
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直
性质定理：
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个
平面内
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直
如何证明面面垂直
面与面的垂直，其实就是两个面法向量的的垂直关系。
即是读者要找到两个面的法向量，然后判别两个法向量的位置关系即可。
分别算出两个平面的法向量，n1,n2.找法向量一般根据平面的书写形似即可找到。
两个面的法向量之间的向量积结果是零的话，就说明两个平面是垂直的。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
证明面面垂直的判定定理与性质
证明面面垂直的判定定理及性质是平面几何中重要的内容。
面面垂直定理及性质，也称为特殊三角形定理，它是一条有关三角形的重要的定理，定义如下：若三角形ABC的对角线AC
所在的平面与BC所在的平面互相垂直，则A、B、C三点都
在同一个直线上，即三点共线。
证明：
设ABC的对角线AC所在的平面与BC所在的平面互相垂直，即三角形ABC符合面面垂直的定义，由此构成三角形ABC，
易知AB为两个边，同时AC、BC为两个对边，可知AC与
BC之间有两个夹角∠ACB和∠BCA，又由于面面垂直定理的
定义，可知角∠ACB 等于角∠BCA，即两个对边的夹角相等，这种情况的三角形称为平行三角形，同时，由平行三角形的性质可知，平行三角形的相邻两边之间的夹角等于180°或者360°，而面面垂直定理是属于平行三角形，根据平行三角形的定义，知ABC三点必定在同一条直线上，即三点共线。
根据面面垂直定理的定义及上述证明，总结一下面面垂直定理的性质如下：
（1）若三角形ABC的对角线AC所在的平面与BC所在的平
面互相垂直，即两个对边的夹角相等；
（2）若三角形ABC的对角线AC所在的平面与BC所在的平
面互相垂直，则三点A、B、C都在同一条直线上，即三点共
线。
以上就是面面垂直的判定定理及其性质的证明。
通过对面面垂直定理的分析，可以将其应用到几何图形的分析中，从而获得更深入的认识，为理解平面几何提供帮助。
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
面面垂直的判定与性质定理一.面面垂直的判定定理：符号表示：1.（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,1AB AA==1A(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.2．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,//AB CD,AB AD⊥,2CD AB=,平面PAD⊥底面ABCD,PA AD⊥,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)//BE平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD3．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面4.（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ; (Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;ABCD 图2BACD 图1二. 面面垂直的性质定理：符号表示：5. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.6.如图1,在直角梯形A B C D 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ) 求几何体D ABC -的体积.CDFE。
面面垂直的判定方法面面垂直判定方法什么是面面垂直判定？面面垂直判定是指在二维平面上判断两条直线是否垂直的方法。
垂直是指两条直线的斜率乘积为-1。
在图形学、几何学和物理学等领域中，面面垂直判定是一个基础且重要的概念。
基本原理判断两条直线是否垂直，可以通过比较它们的斜率来进行。
如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们是垂直的。
具体来说，斜率可以通过两点之间的纵坐标差除以横坐标差来计算。
面面垂直判定方法汇总以下是常见的面面垂直判定方法：1.斜率法–计算两条直线的斜率，若斜率乘积为-1，则它们垂直。
–注意处理斜率为无穷大的情况，即直线与坐标轴垂直。
2.向量法–求出两条直线的向量方向，若两向量的点积为0，则它们垂直。
–向量法可以应用于三维空间中的垂直判定。
3.公式法–利用两条直线的一般式或截距式方程进行比较，若方程中所含的系数乘积为-1，则它们垂直。
–常用的一般式方程是 Ax + By + C = 0，而截距式方程是y = mx + c。
4.几何法–判断两条直线的几何关系，如：直角相交、棱形相交等，可以判断它们是否垂直。
–几何法适用于直观的图形判断。
结论通过上述不同的面面垂直判定方法，我们可以准确地判断两条直线是否垂直。
在实际应用中，根据具体问题的需求和数据的提供形式，选择合适的判定方法，可以提高判断的准确性和效率。
面面垂直判定不仅仅是学术研究领域中的问题，也广泛应用于工程、建筑、制图等行业中。
了解不同的判定方法，可以帮助我们更好地理解直线的关系，并在实际问题中应用垂直性的概念。
面面垂直判定涉及到各种数学知识和几何概念，在学习和应用过程中需要多加练习和实践，以提高对垂直关系的理解和运用能力。
面面垂直的判定定理公式
定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β
扩展资料：
性质定理：
定理1：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α
求证：OP⊥β。
证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
∵α⊥β
∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ
∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β
∴OP⊥β
定理2：
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。
求证：AB⊂α
证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。
（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上）
当A在α和β的交线外时，则B是垂足
∵AB⊥β于B
∴B∈β
设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α
连接AC
∵AC⊂α
∴AC⊥BC
但AB⊥β，BC⊂β
∴AB⊥BC
即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。
当A在α和β的交线上时，A是垂足。
设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β
但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的
性质定理矛盾
∴假设不成立，AB⊂α
定理3：
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三
个平面。
已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。
求证：l⊥γ
证明：设α∩γ=a，β∩γ=b
∵a∩b=l
∴a与b相交
设a∩b=P，则P∈l
若l与γ不垂直，那么在α内过P作PA⊥a，由定理1可知PA⊥γ同理，在β内作PB⊥b，就有PB⊥γ
于是过P有两条直线与γ垂直，与线面垂直的性质定理矛盾。
∴假设不成立，l⊥γ
定理4：
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
已知α⊥β，a⊥β，a∉α。
求证a∥α
证明：假设a与α不平行，那么他们相交。
设交点是A
又设a⊥β，垂足为B。
α∩β=l
在α内作AC⊥l，由定理1可知AC⊥β
则过点A有AB、AC与β垂直，与线面垂直的性质定理矛盾
∴a∥α。
