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第九章-第1部分(弯矩分配法)

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结构力学-力矩分配法

结构力学-力矩分配法
• 作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩， 也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩 作用于结点上时逆时针转动为正号。
•
3、转动刚度S：
• 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上= 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加 的力矩。AB 杆A 端的转动刚度SAB与AB 杆的线刚度 i（材料的性质、横截面 的形 状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而 与近端支承无关。当远端是不同支承时， 等截面杆的转动刚度如下：
转动刚度
在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）
远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。
下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB
MAB
MAB
θ MAB
1
√ ① ②
1
MAB
1
③④
1
Δ
转动刚度SAB=4i是（ ）
A
i
B
A
i
√ √ B ①
③
A
i
B
④
A
i
4i>SAB>3i
√B ②
A
i⑤ B
i
返回
二、基本运算
AA1155kkNN↓↓↓↓44↓↓i00↓↓=kk↓↓1NN↓↓↓↓//mm↓↓↓↓ DD
MA 10
80
mAB
M=15 i=2
mAD mAC CC
MM图图（（kkNN..mm))
22mm
22mm
44mm
A
C
D
AD
AC
CA
DA
3/9
2/9
－ 80
15
10
－10 返回
－ 65
10
－ 10
三、多结点力矩分配法
⑶为了取消结点C的刚臂，放松结点C，在结点C加上 （－(MC+ M传)），如图d，为了使BCD部分只有一个角位 移，结点B再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结 点C处于暂时的平衡。

结构力学第9章__力矩分配法(新)

结构力学第9章__力矩分配法(新)

9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
12kN/m
i
6m
16kN
2i
3m
3m
0.4 0.6
固端弯矩 -36
第9章 渐进法及超静定力的影响线 9-1 力矩分配法的基本概念 9-2 单结点的力矩分配法 9-3 多结点的力矩分配法 9-4 计算结果的校核
9-1力矩分配法的基本概念
M
4
2 i12 1
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13Δ1 i13Δ1
3i14Δ1
M12 4i121 M13 i131 M14 3i141
M
1 M21 2 M12 M31 M13 M41 0 M14
9-1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
M ik Sik 1
4iik 远端为固定端
S ik
3iik iik
远端为铰支端 远端为平行支链杆
0 远端为自由端
2 分配系数：与转动刚度成正比
ik
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 → -1.2 0.3
-0.1 -0.2
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.7
200.9
237.3
87.7

梁的弯曲(应力、变形)

梁的弯曲(应力、变形)

2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到

第九章 矩形板的弯曲理论

第九章 矩形板的弯曲理论
③、薄板——满足 ( 1 − 1 ) < t < (1 − 1) 的板； 80 100 b 5 8
其中 t ——板厚
b ——板短边长（《船舶结构力学手册》规定：薄板 t << 1，中等厚 b
度板 0.05 < t < 0.20 ） b
通常：海船的甲板与外板 t 在 1 − 1 左右；舱壁板 t 在 1 左右
x
力与挠度之间的关系：
在板条梁中取一长度为 dx 的微段，变形厚的长度
z
为 ds ，
ds 2
=
dx 2
+ ( dw dx)2
=
dx
2
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
dw
⎟⎞
2
⎤ ⎥
dx
⎢⎣ ⎝ dx ⎠ ⎥⎦
-7-
q(x)
dx L
dx
ds
dw
x 船海学院
⇒ ds =
1+
⎜⎛
dw ⎟⎞2
⋅ dx
≈
⎡ ⎢1 +
1
⎜⎛
dw
（1）、板条梁两端自由支持受均布荷重时：
w(x)
=
ql 4 16u 4 D
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
chu(1 − chu
2x l
)
−
⎤ ⎥ 1⎥ ⎥
+
ql 2 x 8u 2 D
(l
−
x)
⎢⎣
⎥⎦
将
w(
x)
代入（9-15）式积分得：
⎡ ⎢ ⎣
(1
−
E μ
2
)q
⎤ ⎥ ⎦
2
⎜⎛ ⎝
t l
⎟⎞ ⎠
8

朱明zhubob结构力学9-2_1弯矩分配法

朱明zhubob结构力学9-2_1弯矩分配法

AB

SAB

SAB SAE SAD

SAC

4i 4i 4i i 3i

1 3
,
AE

4i 12i

1 3
,
AD

i 12i

1 12
,
AC

3i 12i

1 4
⑵计算固端弯矩（查表7-1）： 0.035ql 2 0.179ql 2
M
F AB

MBFA

ql2 12
,
0.048ql 2 0.096ql 2 0.073ql 2 0.083ql 2 0.083ql 2

SAB M S
A
MAC SAC A iACA
SAC M S
A
MAD SAD A 3iADA SAD M S
近端弯矩：
远端弯矩：A
MAB 4iABA MAC iACA MAD 3iADA
MBA 2iABA MCA iACA
§9-2 弯矩分配法 9-2-1 基本概念
⒈ 名词解释 ⑴ 转动刚度S： 表示杆端对转动的抵抗能力。
远端固定： S 4i
远端简支：S 3i
远端滑动： S i
远端自由：S 0
§9-2 弯矩分配法
9-2-1 基本概念
⒈ 名词解释
⑴ 转动刚度S： 表示杆端对转动的抵抗能力。
⑵ 分配系数μ ：
发生, 适合于用弯矩分配法。
S 15i
⑴各杆转动刚度： O
SOA k l l 3i, SOB 3i,
SOC 0, SOD 4i, SOE 0, SOF 0, SOG 4i, SOH i

工程力学第九章

工程力学第九章

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9.4

梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。

一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。

一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max

(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小

结

max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2


梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)

第九章力矩分配法原理


∑MAg = －45
MABg
M=15
－ 50
50
－ 80
10 1/2 20 10 15
A MADg
－ 40
70 10 － 65
70 65
－1
－10
40 100
－ 10 C
B
A
D
10
80
M图（kN ·m)
C
§9-2 多结点的力矩分配
力矩分配法计算多结点结构，只要逐次放松每一个结点，应用单结 点力矩分配法的基本运算，就可逐步地渐近地求出杆端弯矩。
2、传递系数C： 当杆件的近端发生转动时，其远端弯矩与近端弯矩的比值：
C M远 M近
∴远端弯矩可表达为： M BA CAM B AB
等截面直杆的传递系数
CAB=1/2 SBA=2i
A
i
B
CAB=0
SBA=0
A
i
B
CAB= －1 SBA=－i
A
i
B
i
§9-1 力矩分配法的基本概念
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
1）锁住结点，求固端弯矩及 结点不平衡力矩
200kN
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M AB g
结2点00不 6平衡1力50kN 矩要8反号分配.
m μ
A
3i
3m
M BA g
20结0点 6不平15衡0k力N矩 m
=8固端弯矩之和
A
④
⑤A
i
B
i
B
i
B
i 4i>SAB>3i

土木力学剪力、弯矩的计算

(4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针 方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之， 由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于 该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次 抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时， M图为斜直线。
AC段：
Me M(x)FAyx l x
CB段：
(0≤x≤a)
M (x)FAYxM eM lexM e (a<x≤l)
3.绘出剪力图和弯矩图
例题9.6 简支梁受集中力偶作用，如图示，试 画梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAy
Me l
,FBy
Me l
2.列剪应力方程和弯 矩方程
FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
作梁的剪力图 (2) 弯矩图 AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线
MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m CB段： FQ<0,故M图为一右上斜直线，
在C处弯矩有突变。 MC右=－5kN×2m+12kN.m MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m BD段： 段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线， MB=－8KN.m，ME=－4×1×0.5=－2KN.m, MD=0
FQB左 FFBy 2kN4kN2kN MB左 F2m2kN2m4kNm FQB右 F 2kN MB右 F2m2kN2m4kNm
在集中力作用截面处，应分左、右截面计 算剪力；
在集中力偶作用截面处，也应分左、右截 面计算弯矩。
9.3 梁的内力图—剪力图和弯矩图 9.3.1 剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数，

第9章弯矩分配法

✓ 转动刚度：AB杆件A端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为AB杆A端的转动刚度， 记为 S AB 。
• 转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 i EI l 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。 • 远端为固定支座：SAB 4i • 远端为铰支座： SAB 3i • 远端为定向滑动支座： SAB i
⑴AD杆件的处理：
（M图略）
DM端AgD的链?杆只SA产D 生 轴? 力，故
M
g AD
20kN 2m
40kNm,
SAD 0 。
⑵AC杆件的处理：
CS端AC既无?线C位C移A 又?无角位移，相当于固定端，故
S AC
4iAC
4 5EI 5
4
EI,
1 CCA 2
。
2020/5/17
弯矩分配法
弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。 理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构， 但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构， 以减少计算工作量。
⑵B结点的集中外力矩如何处理？
B点增加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为
M
u B
41
M
A 1 i
A SAB 4i
M BA 2i B
A 1 i
A SAB 3i
M BA 0 B
A 1 i
A SAB i
M BA i B
2020/5/17
弯矩分配法
▪ 放松状态内力分析
✓ 传递系数：AB杆件仅A端发生转角时，B端弯矩与A端弯矩之比，称为从A到B的弯矩传递系数，记为 CAB 。
• 弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。

建筑结构静力计算实用手册_第3版(3篇)

第1篇第一章绪论1.1 编写目的本手册旨在为从事建筑结构设计、施工和监理的专业技术人员提供一本实用性强的静力计算工具书。

通过本手册，读者可以快速掌握建筑结构静力计算的基本原理、方法和技巧，提高设计、施工和监理水平。

1.2 适用范围本手册适用于各类建筑结构的静力计算，包括但不限于住宅、办公楼、厂房、桥梁、隧道等。

1.3 内容结构本手册共分为九章，分别为：第一章绪论第二章基本理论第三章材料力学性质第四章建筑结构受力分析第五章静力计算方法第六章常用结构构件静力计算第七章结构稳定性分析第八章计算实例第九章附录第二章基本理论2.1 建筑结构力学基本概念建筑结构力学是研究建筑结构在荷载作用下的受力、变形和破坏规律的一门学科。

其主要内容包括：（1）荷载：作用于结构上的各种力，如重力、风荷载、地震荷载等。

（2）结构：由各种构件组成的整体，具有一定的几何形状和尺寸。

（3）受力：结构在外力作用下的内力、剪力、弯矩等。

（4）变形：结构在受力过程中产生的形状和尺寸的改变。

（5）破坏：结构在受力过程中达到极限状态，失去承载能力。

2.2 建筑结构力学基本原理（1）静力平衡原理：结构在受力过程中，必须满足静力平衡条件，即结构的内力、剪力、弯矩等在任意截面上必须满足平衡方程。

（2）变形协调原理：结构在受力过程中，各部分必须保持变形协调，即各部分的变形必须满足几何关系。

（3）连续性原理：结构在受力过程中，必须保持连续性，即结构的几何形状和尺寸必须保持不变。

第三章材料力学性质3.1 材料力学性质概述材料力学性质是指材料在受力过程中表现出的各种特性，主要包括：（1）弹性性质：材料在受力过程中，当应力小于弹性极限时，材料可以恢复原状。

（2）塑性性质：材料在受力过程中，当应力达到一定值时，材料发生永久变形。

（3）强度性质：材料在受力过程中，当应力达到一定值时，材料发生破坏。

3.2 常用材料力学性质（1）钢材：弹性模量E=200GPa，屈服强度f_s=235MPa，抗拉强度f_t=345MPa。

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弯矩分配法
Structural Mechanics Chapter 9
q
B A C B
q
A
u MA
u M A
C
B
A
C
D 原结构
D (a)固定状态
D (b)放松状态
固定状态内力分析
弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！
固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。 • 固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。 • M g 1 ql 2 , AB
现行的结构设计理论与计算理论存在许多缺陷或不可计算性，比如混凝土结构设计中，内力计算是基于 弹性理论的计算方法，而截面设计却是基于塑性理论的极限状态设计方法，这一矛盾使计算结果与结构 的实际受力状态不尽一致，为了弥补这类设计计算理论的缺陷，或者实现对实际存在的大量无法计算的 结构构件的设计，这就需要通过优秀的概念设计与结构措施来满足结构设计的目的。 电算结果的高精度特点，往往给结构工程技术人员带来对结构工作性能的误解，结构工程师只有加强结 构概念的培养，才能比较客观、真实地理解结构的整体工作性能。 结构方案设计阶段，设计过程通常是不能借助于计算机来实现的。这就需要结构工程师必须熟练而准确 地综合运用结构概念，选择最优的的结构方案。
2013-7-10
弯矩分配法
Structural Mechanics Chapter 9
弯矩分配法的本质及其适用范围
弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。 弯矩分配法的适用范围：
单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。 弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。
A 1
A
• 远端为定向滑动支座： S AB i
A 1
A
i
M BA 2i
B
i
M BA 0
B
i
M BA i
B
S AB 4i
S AB 3i
S AB i
2013-7-10
弯矩分配法
Structural Mechanics Chapter 9
放松状态内力分析
• 弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。
8
g M BA 0;
g g M AC 0, MCA 0;
g g M AD 0, M DA 0;
结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。 • 结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。 • 在上述正负号规定条件下，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。 • M u M g M g M g 1 ql 2 A AB AC AD
2013-7-10
概述
Structural Mechanics Chapter 9
什么叫超静定结构的实用计算方法？
超静定结构的计算以20世纪50年代（计算机的出现）作为分水岭划分为两个阶段。
1940s~1950s计算机的发明 结构分析技术手段：手算 技术要求：计算尽可能简化 结构分析技术手段：电算 技术要求：结果尽可能精确
传递系数：AB杆件仅A端发生转角时，B端弯矩与A端弯矩之比，称为从A到B的弯矩传递系数，记为 CAB 。
C • 远端为固定支座： AB 1 2
A 1
A
• 远端为铰支座： CAB 0
A 1
A
• 远端为定向滑动支座：CAB 1
A 1
A
i
M BA 2i
B
i
M BA 0
M
f AB
A
f M AD
f M AC
所以， SAB SAC SAD A M A
u
得，
D
u A M A SAB SAC SAD
(b)放松状态
A结点力矩
f 从而， M AB
称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。
每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即 Why? 物理含义：结点力矩平衡
弯矩分配法
Structural Mechanics Chapter 9
q
B A C B
q
A
u MA
u M A
C
B
A
C
D 原结构
D (a)固定状态
D (b)放松状态
计算过程小结
固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。
1 2 g g g ql , M BA 0; M AC 0, MCA 0; 8 1 2 u g g g • 结点不平衡力弯矩 M A M AB M AC M AD ql 8
转动刚度：AB杆件A端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为AB杆A端的转动刚度， 记为 S AB 。
• 转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 i EI l 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。 • 远端为固定支座： S AB 4i
A 1
A
• 远端为铰支座： S AB 3i
林同炎（T.Y.LIN） ：1933年，以《直接弯矩分配法》发表论文获得美国加州大学伯克利分校 土木工程硕士学位，该论文引起学术界及工程界热烈的讨论，他所阐述的方法被命名为“林 氏法”而广泛应用。其方法对H.Cross 的逐次渐近法进行了改进。
德列斯（Charles Derleth）：最早以弯矩分配法分析桥塔大型结构，代替原设计需数千人时的分析工作。 （林同炎就读伯克利期间， 德氏是伯克利分校工学院院长，时任金门大桥顾问）
杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩
2013-7-10
弯矩分配法
Structural Mechanics Chapter 9
q
B A C
结点 杆端
B BA AB
A AC AD
C CA
D DA
备注

Mg
分配 传递
38
18
12
D 原结构
18
0 0
ql 2
分配力矩下划 线，以示与传 递力矩区分
弯矩分配法的基本概念
以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为 i ，杆长均为 l ，不计杆件轴向变形。 q q u u MA M A
B A C B A C B A C
D 原结构
D (a)状态
D (b)状态
只有一个位移法未知量—A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元。 根据位移法原理，原结构分解为(a)(b)两种受力状态。 • (a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移—— 固定状态 • (b)状态：只发生结点位移，无外荷载—— 放松状态 相当于原结构“先固定、后放松”
超静定结构实用计算方法主要是指用于手算的超静定结构分析方法。 其简化的主要目的是避免求解大型联立方程组。 根据简化方法的不同，超静定结构实用计算方法主要有以下两类：
第一类（渐近法）：利用相关物理量之间内在的数学关系，运用逐次计算逼近的方法求解。 该方法属于数学简化方法，如弯矩分配法、叠代法等。 第二类（近似法）：通过忽略影响结构内力的某些次要因素，对计算模型采取近似处理，从而达到简化 分析的目的。 该方法属于物理简化方法，如剪力分配法、分层法等。
放松状态，计算分配力矩和传递力矩。 • 杆件转动刚度： S AB 3i;
g g M AD 0, M DA 0;
S AC i; S AD 4i • 分配系数： AB 3 8; AC 1 8; AD 1 2 3 2 1 1 f f f ql ; M AC ql 2 ; M AD ql 2 • 近端分配力矩： M AB 64 64 16 1 2 1 c c c ql ; M DA ql 2 • 远端传递力矩： M BA 0; M CA 64 32
B
i
M BA i
B
S AB 4i
S AB 3i
S AB i
放松状态内力（分配系数）
M
B A
u A
M
C
u A
A结点力矩平衡方程： M AB M AC M AD M A
f f f u f f 而，M AB S AB A ; M AC S AC A ; M AD S AD A f
3 64 1 64 1 16 1 64 1 32 5 64 1 64 1 16 1 64 1 32
计算过程小结
g • 固端弯矩 M AB
M终
固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。
1 2 g g g ql , M BA 0; M AC 0, MCA 0; 8 1 2 u g g g • 结点不平衡力弯矩 M A M AB M AC M AD ql 8

内力和变形 定量分析
教材中所谓的 “概念分析”
基本概念 与 方法
内力和变形 定性分析
2013-7-10
弯矩分配法
Structural Mechanics Chapter 9
弯矩分配法的历史背景
求解超静定结构的力法是19世纪末建立的，之后到20世纪初，本笛克森（Axel Bendixen）在1914年提出了位移法。由于人工求解大型线性联立方程组困难，通 常其人工求解時間与未知量的数目成三次方的比例递增，故早期超静定结构分析仅 限于简单的桁架和刚架，或跨数不多的连续梁。 1930年美國伊利诺大学的Hardy Cross教授发明了弯矩分配法，一时突破了求解高 阶联立方程组的瓶颈。由于其收敛速度快，运算量少，顿时成为当时结构分析的不 二法宝，结构分析进入了一个斩新而实用的阶段，从此，弯矩分配法独領结构分析 风骚五十年。 在建筑工程英文专用词汇中，弯矩分配法又称为hardy cross method。 弯矩分配法后来引出了应用较广的松弛法，最后导致了有限元法的建立。 对弯矩分配法作出重要贡献的学者还有：