11.2不等式的基本性质

不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种数值关系表示方法，它可以描述数字之间的大小关系。

与等式不同，不等式中的符号可以表示大于、小于、大于等于或小于等于的关系。

本文将介绍不等式的基本性质，包括不等式的性质、解不等式的方法以及一些常见不等式的应用。

一、1. 传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。

这意味着如果不等式的两个数之间有大小关系，那么这种关系可以传递给第三个数。

2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c。

这表示在不等式两边同时加上相同的数，不等式的方向不改变。

3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c。

这表示在不等式两边同时减去相同的数，不等式的方向不改变。

4. 乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。

对于两个正数的乘法和两个负数的乘法，不等式的方向不改变。

5. 除法性：如果a>b且c>0，那么a/c>b/c。

对于两个正数的除法和两个负数的除法，不等式的方向不改变。

这些基本性质在解不等式及推导数学证明中有重要的应用，帮助我们简化运算和判断。

二、解不等式的方法要解决不等式，我们需要找出满足不等式条件的数值范围。

以下是常见的解不等式的方法：1. 加减法解不等式：通过加减法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。

2. 乘除法解不等式：通过乘除法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。

需要注意的是，若乘除以负数，则需要反转不等式的方向。

3. 绝对值不等式的解法：当不等式中含有绝对值时，需要分情况讨论。

通常，将绝对值分为正数和负数两种情况，分别解出不等式。

4. 求解复合不等式：当不等式中存在多个不等关系时，需要将其分解为多个简单的不等式，并找出它们的交集或并集。

解不等式的过程中，保持不等式的严格性是很重要的。

当遇到平方、开方等操作时，需注意方程根与不等式的关系。

三、常见不等式的应用1. 一次不等式：一次不等式是指变量的指数为1的不等式，如ax+b>0。

一、不等式基本知识1、基本性质性质一：a b b a <⇔>（对称性）性质二：c a c b b a >⇒>>,,（传递性）性质三：c b c a b a +>+⇔>性质四：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,2、运算性质d b c a d c b a +>+⇒>>,（加法法则）；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（乘法法则）n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（乘方法则）；n n b a N n b a >⇒∈>>+,0（开方法则） 3、常用不等式（1）ab b a b a ≥+≥+222)2(2 （2）||222ab b a ≥+ 取等号条件：一正、二定、三相等（3）2|1|≥+x x （4）若ma mb a b m b a ++<>>>,0,0 （5）n n n x x x n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅+++21321(0≥i x )二、不等式的证明方法常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。

1、比较法例1、若,0,0>>b a 求证：b a ba ab +≥+22。

证明：abb a b a b a ab b ab a b a b a b a a b 22222))(()())(()(-+=+-+-+=+-+0≥，∴b a a b b a +≥+22。

2、分析法例2已知y x b a ,,,都是正实数，且.,11y x b a >>求证：yb y x a x +>+。

解： y x b a ,,,都是正实数，∴要证yb y x a x +>+，只要证)()(x a y y b x +>+，即证ay bx >，也就是ab ay ab bx >，即,b y a x >而由.,11y x b a >>，知by a x >成立，原式得证。

不等式的性质教学教案第一章：不等式的引入1.1 不等式的概念：介绍不等式的定义，理解不等号（>，<，≥，≤）的含义。

1.2 实例解析：通过实际问题引入不等式，让学生感受不等式的应用。

1.3 解不等式：讲解如何解简单的不等式，如2x > 6。

第二章：不等式的基本性质2.1 性质1：不等式两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变。

2.2 性质2：不等式两边乘以（除以）同一个正数，不等号方向不变。

2.3 性质3：不等式两边乘以（除以）同一个负数，不等号方向改变。

第三章：不等式的运算3.1 加减法运算：讲解不等式中加减法的运算规则，举例说明。

3.2 乘除法运算：讲解不等式中乘除法的运算规则，举例说明。

3.3 复合不等式：介绍含有多个不等式的复合不等式，讲解求解方法。

第四章：不等式的应用4.1 最大值和最小值问题：利用不等式的性质求解最大值和最小值问题。

4.2 范围问题：利用不等式表示范围，求解实际问题。

4.3 线性规划：简单介绍线性规划问题，利用不等式求解最优解。

第五章：不等式的进一步性质5.1 不等式的传递性：讲解不等式的传递性质，即如果a > b且b > c，a > c。

5.2 不等式的比较：介绍如何比较两个不等式的大小，讲解不等式的排序。

5.3 不等式的恒等变形：讲解如何通过对不等式进行恒等变形，得到新的不等式。

第六章：不等式的绝对值性质6.1 绝对值不等式：介绍绝对值不等式的概念，如|x| > 5。

6.2 绝对值性质：讲解绝对值不等式的性质，如|a| ≥0，|a| = a 当a ≥0，|a| = -a 当a < 0。

6.3 绝对值不等式的解法：讲解如何解绝对值不等式，举例说明。

第七章：不等式的分式性质7.1 分式不等式：介绍分式不等式的概念，如1/(x-1) > 0。

7.2 分式性质：讲解分式不等式的性质，如当分子分母同号时，分式不等式的符号与分子分母的符号相同。

第34课 不等式的基本性质【考点指津】1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔<b a b a ，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据．3．不等式的性质性质1 a b b a <⇔> （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质． 在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误． 从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．【知识在线】1．下列命题中，正确的命题是（ ）①若a>b ，c>b ，则a>c ； ②a>b ，则0lg >ba ； ③若a>b ，c>d ，则ac>bd ； ④若a>b>0，则b a 11<；⑤若db c a >，则ad>bc ； ⑥若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ． A ． ①② B ． ④⑥ C ． ③⑥ D ． ③④⑤2．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．a 3>b 3，ab>0ba 11>⇒ B ． m>n>0，a>0a a n m >⇒ C ．b ac b c a >⇒> D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若|a|>b ，则a 2>b 2B ． 若a>b>c ，则(a-b)c>(b-a)cC ． 若a>b ，c>d ，则a-b>c-dD ． 若a>b>0，c>d>0，即c bd a > 4．下列命题中，正确的命题是（ ）A ． 若ac>bc ，则a>bB ． 若a 2>b 2，则a>bC ． 若ba 11>，则a<b D ． 若b a <，则a<b 5．设命题甲：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 命题乙：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【讲练平台】例1（2000年全国卷） 若a>b>1，P=b a lg lg ⋅，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，则（ ）．A ． R<P<QB ． p<Q<RC ． Q<P<RD ． P<Q<R分析一 借助对数函数单调性用基本不等式求解．解法一 ∵ a>b>1，∴ lga>lgb>0． ∴2lg lg lg lg b a b a +<⋅，即P<Q ．又∵2b a ab +<， ∴ 2lg lg b a ab +<． ∴ )2lg()lg (lg 21b a b a +<+，即Q<R ． ∴ P<Q<R ，故选B ．分析二 用特殊值法解解法二 取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．∴ P=22，Q=3，R=lg5050．显然P<Q ，R=lg5050>lg1000=3=Q ．∴可排除A 、C 、D ． 故选B ．点评 不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现． 此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．例2 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立． 答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变．例3 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a-2b 的取值范围．分析 本题应视a+b 与a-b 为两个整体．解 设a+b=u ，a-b=v ，则2v u a +=，2v u b -=． ∴v u b a 252123+=-． 由已知1≤u ≤5，-1≤v ≤3，易得-2≤3a-2b ≤10．点评 本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a ≤4，-1≤b ≤3．进一步，得0≤3a ≤12，-6≤-2b ≤2．从而，得-6≤3a-2b ≤14．由解题过程知，u 与v 各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知v u 2521+可取[-2，10]内的一切值．在错误解法中，得到的0≤a ≤4，-1≤b ≤3已不表明a 与b 可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了． 如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b ≤5． 得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p ∈[1，5]与q ∈[-1，3]，存在a ∈[0，4]，b ∈[-1，3]，使得a+b=p ，a-b=q ．不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性． 掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．【知能集成】1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础． 因为解不等式要求的是同解变形．2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b ，ab>0b a 11<⇒”这一性质时． 有些同学要么是弱化了条件得a>b b a b 1<⇒． 要么是强化了条件而得ba b a 110<⇒>>． 【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ．b ac b c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（ ）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（ ）A ． b b a a )1()1(1->-B ． (1+a)a >(1+b)bC ． a b a a )1()1(->-D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（ ） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（ ）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c ，③bc>ad ． 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们． 即_______． （把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。

鲁教版七年级下册数学期末复习知识点（第十一章）读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。

接下来小编为大家精心准备了鲁教版七年级下册数学期末复习知识点，希望大家喜欢!11.1 不等关系一、目标与要求1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;11.2 不等式的基本性质1、知识概念1.用符号“”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

11.3 不等式的解集①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

11.4 一元一次不等式一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，其步骤为：1.去分母;2.去括号;3.移项;11.5 一元一次不等式与一次函数●重点了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.●难点自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.11.6 一元一次不等式组一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

一元一次不等式组的概念可以从以下几个方面理解：(1)组成不等式组的不等式必须是一元一次不等式;(2)从数量上看，不等式的个数必须是两个或两个以上;鲁教版七年级下册数学期末复习知识点整理的很及时吧，提高学习成绩离不开知识点和练习的结合，因此大家想要取得更好的成绩一定要注重从平时中发现问题查缺补漏~。

苏科版数学七年级下册《11.2 不等式的解集》教学设计3一. 教材分析《11.2 不等式的解集》是苏科版数学七年级下册的教学内容。

这一节主要介绍不等式的解集的概念，如何求解不等式的解集，以及不等式解集的性质。

通过本节内容的学习，学生应了解不等式解集的含义，掌握求解不等式解集的方法，并能运用不等式解集解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了不等式的基本性质，如加减乘除不等式的规则，以及一元一次方程的解法。

然而，对于不等式解集的概念和求解方法，学生可能还较为陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解不等式解集的含义，掌握求解方法。

三. 教学目标1.了解不等式解集的概念，理解不等式解集的含义。

2.学会求解不等式的解集，掌握求解不等式解集的方法。

3.能够运用不等式解集解决实际问题。

四. 教学重难点1.不等式解集的概念和含义。

2.求解不等式解集的方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。

通过设置问题，引导学生思考和探索不等式解集的概念和求解方法；通过案例分析，让学生了解如何运用不等式解集解决实际问题；通过小组合作，培养学生团队合作精神和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的不等式案例，用于分析和讲解。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾不等式的基本性质和一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）介绍不等式解集的概念，讲解不等式解集的含义。

通过具体案例，让学生了解如何求解不等式的解集。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的不等式案例，求解不等式的解集。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

教师批改作业，及时了解学生掌握情况，为下一步教学做好准备。

5.拓展（10分钟）引导学生思考不等式解集的性质，如单调性、闭区间等。

关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结不等式是数学中非常重要的概念之一，它在数学的各个领域和实际问题中有着广泛的应用。

在高考数学中，不等式也是一个考查频率较高的知识点。

下面是对不等式的基本性质的总结：1.不等关系性质不等关系具有自反性、对称性、传递性。

即对任意实数a，b，有：自反性：a≥a，a≤a对称性：如果a≥b，则b≤a；如果a≤b，则b≥a传递性：如果a≥b，b≥c，则a≥c；如果a≤b，b≤c，则a≤c2.加减性质对于不等式a<b和任意实数c，有：a+c<b+ca-c<b-c3.乘除性质(1)正数乘除：对于不等式a<b，如果c是正数，则有：正数乘性：ac < bc正数除性：如果c是正数且c≠0，则有：a/c<b/c(2)负数乘除：对于不等式a<b，如果c是负数，则有：负数乘性：ac > bc负数除性：如果c是负数且c≠0，则有：a/c>b/c(3)双边不等式乘除：对于不等式a<b和任意非零实数c，有：a/c<b/c（当c>0时）a/c>b/c（当c<0时）4.基本不等式基本不等式是指在特定条件下，可以将不等式简化为更为简单形式的不等式。

(1)三角形不等式：对于三角形的三边长a，b，c，有：a+b>ca+c>bb+c>a(2) 平均值不等式：对于任意n个非负实数a1，a2，...，an，有：平均值不等式：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)5.同向不等式同向不等式的性质和解法与等式类似。

对于同向不等式，如果对不等号两边同时乘除以同一个正数，或者对不等号两边同时乘除以同一个负数，则不等号方向不变。

例如，对于不等式2x+1<3x-2，可以同时减去2x，得到1<-2x-2，再同时减去1，得到0<-2x-3，再同时乘以(-1/2)，得到0>(2x+3)/2，最后反转不等号得到(2x+3)/2<0。

7.1 生活中的不等式班级 姓名 成绩11.3 不等式的性质学习目标:1．经历不等式性质的探索过程；2．了解不等式的基本性质，并能进行简单的运用． 一.问题情境：1.解方程：（1）x ＋1＝4；（2）2x ＝－6．(1)．在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形，方程变形主要有哪些？(2)．这些变形具体步骤的主要依据是等式的两条基本性质，等式具有哪些基本性质呢？二.建构活动1.合作探究1：弟弟今年a 岁，哥哥今年b 岁，下面是弟弟和哥哥的一段对话：①弟弟：“再过3年我比你大”；②哥哥：“不对，3年前你比我大”．①请问他们说的对吗?思考并填空: 由今年年龄大小可知a b,事实上,我们也可以知道3年前和3年后年龄大小分别列出不等式1．由－3x －4≤－5，左右两边同时＋4，可化为： ，根据 ；2．由a ＜b ，要得到a ＋3＜b ＋3，需要把不等式两边都 ，根据是 ；3．由2x ＋3≥－5，根据不等式性质1，左右两边同时 ，可化为 2x ≥－8.思考：不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？2.合作探究2：将不等式5＞3两边分别乘同一个数，用不等号填空：（1）5×1 3×1， 5×2 3×2，5×3 3×3， 5×4 3×4， …提问：你能从中发现什么？（2）5×（－1） 3×（－1）， 5×（－2） 3×（－2），5×（－3） 3×（－3）， 5×（－4） 3×（－4）， …（1）2a 2b ； （2）－4a －4b ；（3）－a 5 _ __ －b5. 思考：（1）不等式的两边都乘0，结果又怎样？如：7 4，而7×0______ 4×0．（2）不等式的性质和等式的性质相比较有什么相同点与不同点？三．例题讲解：根据不等式的性质将下列不等式化为x ＜a 或x ＞a 的形式：（1）x －5＞－1； （2）3x ＜－9；（3）－2x ＞3 ； （4）3x ＜x －6 .四．能力检测：1．已知a＞b，用“＞”或“＜”号填空：（1）a＋2 b＋2；（2）a－5 b－5；（3）6a 6b；（4）－a－b；（5）2a－3 2b－3；（6）－4a＋3 －4b＋3.2．说出下列不等式变形的依据：（1）由x－1＞2，得x＞3；（2）由2x＞－4，得x＞－2；（3）由－0.5x＜－1，得x＞2；（4）由3x＜x，得2x＜0．3．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）7x＞6x－4；（2）－2x ＜5x－6 .拓展延伸：1．将不等式2x＞4x的两边都除以x，得2＞4．你认为对吗？如果不对，错在哪呢？2．你能把不等式－1＞x变形为x＜－1吗？为什么？3．若不等式（a＋1）x＞a＋1的解集是x＜1，则满足条件的a的范围是（）A．a＞0 B．a＜2 C．a＞－1 D．a＜－1总结：不等式有哪些性质？根据不等式的性质，我们可以把不等式化为“x＞a”或“x ＜a”的形式，通常有哪些步骤？王老师的教学反思：今天王老师和同学们一起学习了《11.2不等式的解集》，本节课主要要求同学们结合方程的知识点自己来归纳和总结不等式的相关概念，主要包括：1.理解不等式的解与解集的意义；2.会用数轴表示不等式的解集；3.初步感受数形结合的思想。

《不等式的基本性质》知识清单一、不等式的定义用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。

例如：3 ＜ 5 ，x ＋ 2 ＞ 1 ，y 1 ≤ 0 等都是不等式。

二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。

简单来说，就是两个数的大小关系，反过来也是成立的。

比如，已知 5 ＞ 3 ，那么必然有 3 ＜ 5 。

2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c ，那么 a ＜ c 。

这意味着，如果有多个数按照大小顺序排列，那么它们之间的大小关系可以依次传递。

例如，因为 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，所以 7 ＞ 3 ；同理，因为 2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，所以 2 ＜ 6 。

3、加法性质如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。

也就是说，在不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。

比如，若 x ＞ 5 ，两边同时加上 3 ，得到 x ＋ 3 ＞ 8 。

4、减法性质如果 a ＞ b ，那么 a c ＞ b c ；如果 a ＜ b ，那么 a c ＜ b c 。

与加法性质类似，在不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向也不变。

例如，已知 y ＞ 10 ，两边同时减去 5 ，则有 y 5 ＞ 5 。

5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＜ bc 。

即在不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变。

比如，已知 2 ＞ 1 ，两边同时乘以 3 ，得到 6 ＞ 3 。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＞ bc 。