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第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
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——————工程力学
工程力学理论内容
第九章压杆的稳定
一、目的要求
1、了解稳定的概念；
2、掌握细长压杆临界荷载的计算公式；
3、会计算不同柔度压杆的临界荷载；
4、掌握压杆的稳定计算；
5、了解提高压杆承载能力的措施。
二、主要内容
第一节 压杆稳定的概念
稳定平衡、随遇平衡与不稳定平衡的概念；
压杆稳定的概念。
细长杆在轴向压力作用下，如果横向受到干扰力，由于轴线不能维持原有直线形状的平衡状态, 突然产生显著的弯曲,致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。
当压力P 增大到某一数值P cr时，稍受横向力的干扰，杆即变弯，不再恢复原有的直线形状，而处于弯曲平衡状态；如P值再稍有增加，杆的弯曲变形显著增大，甚至最后造成破坏，这种不能保持原有直线形状的平衡是不稳定的平衡。
压力 P cr称为压杆的临界力或称为临界载荷。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲。
这种丧失稳定的现象也称为屈曲。
第二节 细长压杆的临界力
（一）、两端铰支压杆的临界力
两端铰支细长压杆的临界压力
选取如图所示坐标系。
距原点为的任意截面的挠度为，弯矩的绝对值为。
若压力取绝对值，则为正时，为正。
即与的符号相反，于是有
将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得
令则有
该微分方程的通解为
式中、——积分常数，可由边界条件确定
压杆为球铰支座提供的边界条件为
时，时，
将其代入通解式，可解得C1=0、
上式中，若，则，即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微弯状态的前提相矛盾。
因此，只有
满足上式的值为
则有
于是，压力为
上式表明，使压杆保持曲线形状平衡的压力，在理论上是多值的。
实际上，只有使杆件保持微小弯曲压力才是临界压力。
若
取，则，表明杆件上未受压力已失稳，故。
因此，只有取才有实际意义，于是可得临界压力为
上式即为两端铰支细长压杆的临界压力表达式。
此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。
（二）、其他约束条件下压杆的临界力
细长压杆临界荷载公式——欧拉公式的一般形式为
µl称为压杆的相当长度，称为长度因数。
几种常见细长压杆的长度因数与临界荷载见下表
支承方式两端铰支
一端自由
另一端固定
两端固定
一端铰支
另一端固定
挠曲线
形状
临界载荷
长度系数
1.0
2.00.50.7
第三节欧拉公式的适用范围中小柔度杆的临界应力
（一）、临界应力和柔度
是一个无量纲的量，称为柔度或长细比，
（二）、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是利用压杆微弯时的挠曲线近似方程推导出来的，而挠曲线近似微分方程又是建立在材料服从虎克定律的基础上的。
因此，只有当临界应力不超过材料的比例极限时，欧拉公式才能成立，故有
柔度大于或等于权限柔度的压杆称为大柔度杆，也即前面提到的细长杆。
（三）、中、小柔度杆的临界应力
临界应力超过比例极限的压杆稳定问题，属于非线弹性失稳问题。
对此类问题，也有一些理论分析结果①。
但在实际应用中经常采用建立在实验基础上的经验公式。
常用的经验公式有直线公式和抛物线公式。
直线公式
如果压杆的柔度很小，即属于短粗杆。
试验结果表明，当压力达到材料的屈服极限（或强度极限）时，压杆由于强度不够而失效，不会出现失稳。
因此，对于这种情况，应按强度问题处理，其临界应力应力屈服极限（或强度极限），即（或）（1），为大柔度压杆；
（2），为中柔度压杆；
（3），为小柔度压杆
第四节压杆的稳定计算
为压杆的工作荷载，是压杆的临界荷载，是稳定安全因数，称为工作安全因数。
[]和分别为稳定许用压力与稳定许用应力。
第五节提高压杆稳定性的措施
减小压杆的长度、选择合理的截面形状、增加支承的刚性、合理选用材料
三、重点和难点
1．重点
（1）细长压杆的临界荷载计算式；
（2）临界应力的适用范围；
（3）压杆的稳定计算。
2．难点
（1）压杆的临界应力（荷载）计算；
（2）应用稳定因数法进行截面设计。
辽宁科技大学 机械工程与自动化学院 工程力学部。
