工程力学答案解析-压杆稳定
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工程力学-26压杆稳定11-2
Pcr2
=σcr ⋅ A= 200.9×106
(3)、d=63.8mm
×3.2×10−3 = 644KN
i = 1 d =15.95mm
3m
Pcr 3
λ3 =
= σ cr
μ
i
⋅
l
A
=
=
94 (λs≤ λ< λ4p)中柔度杆 (304 −1.12 × 94) ×106 × 2.3
×10
−3
= 635KN
1
1
5 Pa 3 − N (2 a ) 3 = Na
1 6 EI
3 EI
EA
(1) BC杆的稳定: C
λ = μl = 4 ×1 = 66.6
N = 0.312 P
(λ0≤ λ< λp)中柔度杆
i 0.06
Pcrσ=crσ=c3r ⋅3A8-=12.1528λ×1=036 3×8π-1×.610242××1606−.66=258MPa
8
四、中小柔度压杆的临界力
1. 直线型经验公式
σ
σs σcr=σs A
σp
σcr=a−bλ
B
σ cr
=
π 2E λ2
O
λO
λp
λ
10
中长杆： σcr＝ a - bλ
λo≤ λ＜ λp
a , b 查表 11-2
粗短杆： σcr＝ σs (σb)
λ＜ λo
11
λo 的计算
σs = a－bλo
σ
σs σcr=σs A
=
353.5 105
=
3.367 ＞[nw]
满足稳定条件
22
例题10:图示结构用低碳钢A5制成,求:[P]。已知:E=
工程力学——压杆稳定
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
专升本工程力学压杆稳定
应取最小的形心主惯性矩。 2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别
计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对
中性轴的惯性矩。
12
例题 2： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承 受的压力最大， 哪一根的最小？
F F
F 因为 l1 l2 l3
又
2 EI
Fcr l 2
可知
0 < p
因此
可用直线公式.
Fcr cr A (a b )A
(304 1.12 77) 106 d 2
4
462KN
37
例4
解： CD梁 M C 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆 l
i
1
1.5
l cos 30 1.732m
2
Pc
r
2 一端固定另端绞支
A
l
0.7l
C
B
C为拐点
Fcr
2EI
(0.7l)
2
7
3 两端固定
Pcr
C，D为拐点
AD
Fcr
2EI
(0.5l)
2
l
C
B
8
4 一端固定,另端自由
Fcr
2EI
(2l)2
l 2l
9
10
欧拉公式 的统一形式
F
cr
2 EI (l)2
为压杆的长度系数; l 为相当长度。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
长度 l 。
2 l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对
中性轴的惯性矩。
12
例题 2： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承 受的压力最大， 哪一根的最小？
F F
F 因为 l1 l2 l3
又
2 EI
Fcr l 2
可知
0 < p
因此
可用直线公式.
Fcr cr A (a b )A
(304 1.12 77) 106 d 2
4
462KN
37
例4
解： CD梁 M C 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆 l
i
1
1.5
l cos 30 1.732m
2
Pc
r
2 一端固定另端绞支
A
l
0.7l
C
B
C为拐点
Fcr
2EI
(0.7l)
2
7
3 两端固定
Pcr
C，D为拐点
AD
Fcr
2EI
(0.5l)
2
l
C
B
8
4 一端固定,另端自由
Fcr
2EI
(2l)2
l 2l
9
10
欧拉公式 的统一形式
F
cr
2 EI (l)2
为压杆的长度系数; l 为相当长度。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
长度 l 。
2 l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
材料力学答案- 压杆稳定
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22cr EIF l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EFF l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EIF l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：92.633827452.5p s s a λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr F 。
2020年材料力学习题册答案-第9章 压杆稳定
作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102时间：2020.12.13第九章压杆稳定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。
A、弯曲变形消失，恢复直线形状；B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；C、微弯状态不变；D、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ）A、完全消失B、有所缓和C、保持不变D、继续增大3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。
A、长度B、横截面尺寸C、临界应力D、柔度4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。
A、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B、材料，长度和约束条件；C、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状；5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。
其柔度为 ( C )A.60；B.66.7；C.80；D.507、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。
8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ）A 、λ≤、λ≤C 、λ≥π D、λ≥10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ）A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的；D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ）A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C. 临界应力和临界压力一定相等；D. 临界应力和临界压力不一定相等；12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中，（ D ）是正确的。
工程力学 第二版 (范钦珊 唐静静 著) 高等教育出版社 课后答案 第11章 压杆的稳定性问题
角钢(连结成一整体)。试确定梁与柱的工作安全因 数。
解：1．查型钢表得
习题 11－12 图
No.16aI：Iz = 1130cm4，Wz = 141cm3 2No. 63×63×5： A = 2 × 6.143 = 12.286 cm2
i y = 1.94cm I y = 2 × 23.17 = 46.34 cm
采用，欧拉公式计算临界力
FPcr = σ cr A =
轴的工作安全因数
2 π E
λ2
=
所以，轴不安全。
11－11 图示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，
连接处均为铰链，各杆直径均为 d＝40 mm，a＝1 m。材料 均为 Q235 钢，E＝200 GPa，[n]st＝1.8。试；
网
ww w
.k hd 案
μ =1
co
界力。
m
11－5
图示 a、b、c、d 四桁架的几何尺寸、圆杆的横截面直径、材料、加力点及加力
方向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力 FPmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确 的。 （A）FPmax(a)=FPmax(c)<FPmax(b)=FPmax(d)； （B）FPmax(a)=FPmax(c)=FPmax(b)=FPmax(d)； （C）FPmax(a)=FPmax(d)<FPmax(b)=FPmax(c)；
案
对于 A3 钢， λ P = 102,
λs = 61.6 。因此，第一杆为大柔度杆，第二杆为中柔度杆，
网
i μl λ2 = 2 i μl λ3 = 3 i
λ1 =
=
ww w
FPcr = ( a − bλ ) A = (304 − 1.12 × 62.5) × 10 3 ×
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
工程力学上册15压杆稳定
压杆的稳定性直接关系到这些结构物的安全性和可靠性，一旦发生失稳，可能会导致结构物的破坏和倒塌，造成严重的人员伤亡和财产损失。
因此，对压杆稳定性的研究和分析是工程力学中非常重要的一个方面，也是工程设计和安全评估的重要依据。
压杆稳定的重要性
02
压杆的分类与特性
总结词
长细比是描述压杆细长程度的重要参数，对临界力的影响显著。
工程力学上册15压杆稳定
目录
压杆稳定概述 压杆的分类与特性 压杆稳定的影响因素 压杆稳定的计算方法 压杆稳定的实验研究 工程实例分析
01
压杆稳定概述
01
02
压杆稳定的定义
当压杆受到的力小于其临界力时，压杆保持稳定平衡；当压杆受到的力大于其临界力时，压杆将发生屈曲失稳。
压杆稳定是指压杆在受到外力作用时，能够保持其原有平衡状态的能力。
03
压杆稳定的影响因素
压杆在制造过程中可能会产生弯曲，这种弯曲在受力时会进一步发展，导致压杆失稳。
为了提高压杆的稳定性，应尽量减小初始弯曲，可以通过提高制造精度和选用合适的材料来实现。
初始弯曲的影响
减小初始弯曲
初始弯曲
材料在加工过程中会形成残余应力，这些应力会在受力时对压杆的稳定性产生影响。
残余应力
结论应用
将实验结论应用于实际工程中，指导压杆结构的合理设计和应用。
实验结果与分析
06
工程实例分析
桥梁结构的压杆稳定分析
总结词：桥梁结构的压杆稳定分析是确保桥梁安全的重要环节，需要考虑多种因素，如材料特性、载荷分布和支撑条件等。
高层建筑的压杆稳定分析
总结词：高层建筑的压杆稳定分析是确保高层建筑安全的重要环节，需要考虑多种因素，如建筑高度、材料特性、风载荷和地震载荷等。
第十一章压杆的稳定_工程力学
第十一章 压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a )所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F 较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a )，平衡是稳定的；若轴向压力F 足够大，即使(a ) 稳定平衡 图11.1 稳定平衡与不稳定平衡微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
压杆稳定习题及答案
压杆稳定习题及答案【篇一：材料力学习题册答案-第9章压杆稳定】xt>一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力p=pq时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ a ）。
a、弯曲变形消失，恢复直线形状；b、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； c、微弯状态不变； d、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力p=pq时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力p，则压杆的微弯变形（ c ）a、完全消失b、有所缓和c、保持不变d、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ d）来判断的。
a、长度b、横截面尺寸c、临界应力d、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ a）对临界应力的影响。
a、长度，约束条件，截面尺寸和形状；b、材料，长度和约束条件；c、材料，约束条件，截面尺寸和形状；d、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。
其柔度为 ( c )a.60；b.66.7；c.80；d.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ d ）所示截面形状，其稳定性最好。
≤?≥?- 1 -10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ c）a、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；b、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； c、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的； d、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ a ）a. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；b. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；c. 临界应力和临界压力一定相等；d. 临界应力和临界压力不一定相等；a、杆的材质b、杆的长度c、杆承受压力的大小d、杆的横截面形状和尺寸二、计算题1、有一长l=300 mm，截面宽b=6 mm、高h=10 mm的压杆。
工程力学-细长压杆稳定性分析
E为材料的弹性模量，常用单位GPa
I
为横截面的轴惯性矩，常用单位 m 4或m m4
l
为压杆长度，常用单位m或mm
μ为压杆的长度因数，反映压杆两端支承对临界力的影响。
由欧拉公式
cr
得到
Fcr 2 EI A (l ) 2 A
令
2 i I/A 令
2E cr ( l / i) 2
10 22 3 Iz 8873.3mm 4 12
I y I z 压杆截面必绕y轴转动而失稳，因此将Iy代入公式，计算
截面对y轴的惯性半径。
iy
Iy A
1833.3 2.89mm 22 10
0.5 800 138.4 2.89
得到矩形截面柔度为
y
l
iy
y 138.4 101 采用欧拉公式计算临界应力
cr s
s
几种材料的相应数值。
例一矩形截面压杆，两端固定，已知b=10mm，h=22mm，l=800mm，
材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa，试计算此压杆的临界力和临界
应力。
22
10
解：1）计算压杆的柔度
压杆两端固定，μ =0.5，截面对y轴和z轴的惯性矩为：
22 10 3 Iy 1833.3mm 4 12
d0=50mm ，最大起重量 F = 90kN ，材料为 Q235 钢，规定稳定安全因 数 nw 4 ，试校核该螺旋杆稳定性。
解： 1 ）螺旋杆可以简化为下端固定，上端自由的杆，长度因数
μ =2。
2）计算柔度
i
I d 0 50 12.5mm A 4 4
《工程力学》第十六章 压杆稳定
力，称为压杆的临界应力，并以σlj表示。 则细长压杆的临界应力为
• 式中：I和A都是与截面有关的几何量，如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积， 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力； • Plj——压杆临界压力； • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数； • ［nw］——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件，
将式(16-10)及式(16-11)，同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中［σw］——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知，压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下，临界应力与
柔度的平方成反比，压杆的柔度愈小，相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比，减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一，在条件允许的情况下，应尽可能地减 小压杆的长度。例如，钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14)，为了提高其稳定性， 在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是，压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆，其λ已知，可直接查表163得φ，代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸，可采用逐次逼近法，即先
设定一个φ值，由式(16-14)计算出A值，然
后进行验算、调整，使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
• 式中：I和A都是与截面有关的几何量，如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积， 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力； • Plj——压杆临界压力； • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数； • ［nw］——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件，
将式(16-10)及式(16-11)，同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中［σw］——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知，压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下，临界应力与
柔度的平方成反比，压杆的柔度愈小，相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比，减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一，在条件允许的情况下，应尽可能地减 小压杆的长度。例如，钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14)，为了提高其稳定性， 在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是，压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆，其λ已知，可直接查表163得φ，代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸，可采用逐次逼近法，即先
设定一个φ值，由式(16-14)计算出A值，然
后进行验算、调整，使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
工程力学11-压杆的稳定性分析与设计解析
压杆的稳定性分析与设计
11.1.3 三种类型压杆的临界状态 压杆的分类：
细长杆 ——当F >Fcr时容易发生弹性屈曲 当F≤Fcr时不发生屈曲
中长杆 ——当F >Fcr时发生屈曲，但不再是弹性的
粗短杆 ——不会发生屈曲，失效属于强度破坏
《工程力学》
11.2
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
长细比概念三类不同压杆判断
11.3.2 三类不同压杆的区分
ห้องสมุดไป่ตู้
因，屈曲在弹性范围内导出
故有：
scr =
Fcr A
≤[sp]
在比例极限内有效
稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个 过程。
介于这个过程之间的平衡构形——临界平衡构形
或称：“临界状态” 临界载荷
处于临界状态时，杆件所受的施压载荷
称：“临界载荷”，或临界力，Fcr
《工程力学》
11.1
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
令：当材料达到比例极限时的长细比为“lp” 当材料屈服极限时的长细比为“ls”
细长杆 中长杆 粗短杆
—— l ≥ lp —— lp >l ≥ ls —— l < ls
细长压杆的临界载荷
11.1.3 三种类型压杆的临界状态 压杆的分类：
细长杆 ——当F >Fcr时容易发生弹性屈曲 当F≤Fcr时不发生屈曲
中长杆 ——当F >Fcr时发生屈曲，但不再是弹性的
粗短杆 ——不会发生屈曲，失效属于强度破坏
《工程力学》
11.2
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
长细比概念三类不同压杆判断
11.3.2 三类不同压杆的区分
ห้องสมุดไป่ตู้
因，屈曲在弹性范围内导出
故有：
scr =
Fcr A
≤[sp]
在比例极限内有效
稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个 过程。
介于这个过程之间的平衡构形——临界平衡构形
或称：“临界状态” 临界载荷
处于临界状态时，杆件所受的施压载荷
称：“临界载荷”，或临界力，Fcr
《工程力学》
11.1
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
令：当材料达到比例极限时的长细比为“lp” 当材料屈服极限时的长细比为“ls”
细长杆 中长杆 粗短杆
—— l ≥ lp —— lp >l ≥ ls —— l < ls
细长压杆的临界载荷
工程力学课后答案第8章
第8章 压杆稳定习题：1.【解】d 图临界力最大，b 图临界力最小。
2.【解】σBC =11.25MPa <[σst ]=16.83MPa ,BC 杆满足稳定性要求3.【解】最合理的情况为AB 、BC 两杆同时失稳，此时F 最大。
()βθ22222cr cos ππcos AC AB AB l EI l EI F F === ()βθ22222cr sin ππsin AC BC BCl EI l EI F F === 两式相除得到βθ2cot tan =即()βθ2cot arctan = 4. 【解】由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在抗弯刚度最小的平面内失稳，即杆件横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。
32123min min b bh hb AI i === 欧拉公式适用于λ≥p λ，即min i l μ≥p2πσE 由此得到 l ≥m 76.1m 10200102105.032π103032π693p =⨯⨯⨯⨯⨯=-σμE b 故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。
5. 【解】（1）F cr =329.64kN（2）n =2.29<[n st ]=2.5，结构不安全6. 【解】（1）求挺杆的柔度挺杆的横截面为圆形，两端可简化为铰支座，μ=1，i=d/4计算柔度λ=μli=4μld=4×1×0.2570.008=128.5λ1=π√EσP =π√210×109240×106=92.9挺杆是细长压杆，使用欧拉公式计算临界压力（2）校核挺杆的稳定性I=πd464=π×0.008464=2.01×10−10m4P cr=π2EI(μl)2=π2×210×109×2.01×10−10(1×0.257)2=6.31kN工作安全系数n=P crP max=6.311.76=3.59所以挺杆满足稳定性要求7. 【解】[F]=53.31kN8. 【解】（1）F cr=355.31kN（2）bℎ=0.525。
工程力学课后单选题100道及答案解析
工程力学课后单选题100道及答案解析1. 力的三要素是（）A. 大小、方向、作用点B. 大小、方向、作用线C. 大小、作用点、作用线D. 方向、作用点、作用线答案：A解析：力的三要素是大小、方向、作用点。
2. 两个力大小相等、方向相反、作用在同一直线上，则这两个力（）A. 平衡B. 不平衡C. 不一定平衡D. 无法确定答案：C解析：这两个力作用在同一物体上时平衡，作用在不同物体上时不平衡。
3. 作用在刚体上的力可以（）A. 沿作用线移动B. 任意移动C. 平行移动D. 不能移动答案：A解析：作用在刚体上的力可以沿其作用线移动，不改变其对刚体的作用效果。
4. 约束反力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向（）A. 相同B. 相反C. 垂直D. 成一定角度答案：B解析：约束反力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向相反。
5. 光滑接触面的约束反力总是沿接触面的（）指向被约束物体。
A. 切线B. 法线C. 任意方向D. 无法确定答案：B解析：光滑接触面的约束反力总是沿接触面的法线指向被约束物体。
6. 平面汇交力系合成的结果是（）A. 一个力B. 一个力偶C. 一个合力偶和一个合力D. 不能确定答案：A解析：平面汇交力系合成的结果是一个合力。
7. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的（）为零。
A. 合力B. 合力偶C. 主矢D. 主矩答案：A解析：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零。
8. 平面力偶系平衡的必要和充分条件是（）A. 各力偶矩的代数和为零B. 各力偶矩相等C. 各力偶矩的矢量和为零D. 各力偶在同一平面内答案：A解析：平面力偶系平衡的必要和充分条件是各力偶矩的代数和为零。
9. 平面一般力系向作用面内一点简化，得到一个主矢和一个主矩。
当主矢为零，主矩不为零时，该力系简化的结果为（）A. 合力B. 合力偶C. 平衡D. 无法确定答案：B解析：主矢为零，主矩不为零时，简化结果为合力偶。
工程力学29-压杆稳定计算
33. 压杆的稳定计算
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
工程力学第14章答案
习题14-2图习题14-3图P F P F P F P F 0PF P -F 2F -2F 2F -2F 0000000P F P F PF P -F P-F P -F P F P F P F P F 0P F P -F 2F -2F 2F -2F 0000P F PF P F P-F P -F P -F 00习题11-2解图 第14章 压杆的平衡稳定性分析与压杆设计14－1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A ）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B ）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C ）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D ）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。
正确答案是 C 。
14－2 图示a 、b 、c 、d 四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。
关于四桁架所能承受的最大外力F Pmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。
（A ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F =<=； （B ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F ===； （C ）)c ()b ()d ()a (max P max P max P max P F F F F =<=；（D ）)d ()c ()()a (max P max P max P max P F F b F F =<=。
正确答案是 A 。
解：各杆内力如解图所示，由各受杆内力情况可知，应选答案（A ）。
14－3 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载。
关于四者分叉载荷大小有四种解答，试判断哪一种是正确的（其中弹簧的刚度较大）。
（A ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F <<<； （B ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>； （C ）)a ()d ()c ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>；（D ）)d ()c ()a ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>。
工程力学十压杆的稳定性课后习题答案
,即
图示作用下,四杆受压,（压）,受拉.
,即
12-10图示结构中,为铸铁圆杆,直径,许用应力,弹性模量.为钢圆杆,直径,许用应力,若横梁可视为刚性,试用折减系数法求载荷地许用值.
题12-10图
解：问题是一次超静定地,设杆中拉力为,杆中压力为
有平衡条件：,且有变形条件：
虎克定律代入得：（公共项消掉未写）
段:,(与方向无关)
,即,段安全
段,（与方向无关）
,即,段安全
综上分析,结构安全.
12-9四根等长杆相互铰接成正方形,并与杆铰接如图所示.各杆地弹性模量、截面积极惯性矩均相等.当（1）两点处受一对拉力,图（）；（2）两点处受一对压力,图（）,分别求达到临界状态地最小载荷.
题12-9图
解：图示作用下,四杆受拉,受压,若按受压失稳与否确定值,只需考查杆：（压）
第十二章压杆地稳定性
12-1图示细长压杆,两端为球形铰支,弹性模量,对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力.（1）圆截面,；（2）矩形截面,,（3）16号工字钢,.
解：结构为两端铰支,则有
圆截面杆,
矩形截面杆,
16号工字查型钢表知
题12-1图题12-2图
12-2图示为下端固定,上端自由并在自由端受轴向力作用地等直压杆.杆长为,在临界力作用下杆失稳时有可能在平面内维持微弯曲状态下地平衡.杆横截面积对轴地惯性矩为,试推导其临界压力地欧拉公式,并求出压杆地挠曲线方程.
得到.工作应力为
,不合理,所设过大,再取时,减小,取
,则,
选取工字钢,,
,安全.所以,经计算校核,应选用号工字钢.
12-12两端铰支地等截面圆杆,杆长直径,材料地比例极限,弹性模量,线膨胀系数.设安装时地温度为,求温度升高到多少度时此圆杆将失稳.
图示作用下,四杆受压,（压）,受拉.
,即
12-10图示结构中,为铸铁圆杆,直径,许用应力,弹性模量.为钢圆杆,直径,许用应力,若横梁可视为刚性,试用折减系数法求载荷地许用值.
题12-10图
解：问题是一次超静定地,设杆中拉力为,杆中压力为
有平衡条件：,且有变形条件：
虎克定律代入得：（公共项消掉未写）
段:,(与方向无关)
,即,段安全
段,（与方向无关）
,即,段安全
综上分析,结构安全.
12-9四根等长杆相互铰接成正方形,并与杆铰接如图所示.各杆地弹性模量、截面积极惯性矩均相等.当（1）两点处受一对拉力,图（）；（2）两点处受一对压力,图（）,分别求达到临界状态地最小载荷.
题12-9图
解：图示作用下,四杆受拉,受压,若按受压失稳与否确定值,只需考查杆：（压）
第十二章压杆地稳定性
12-1图示细长压杆,两端为球形铰支,弹性模量,对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力.（1）圆截面,；（2）矩形截面,,（3）16号工字钢,.
解：结构为两端铰支,则有
圆截面杆,
矩形截面杆,
16号工字查型钢表知
题12-1图题12-2图
12-2图示为下端固定,上端自由并在自由端受轴向力作用地等直压杆.杆长为,在临界力作用下杆失稳时有可能在平面内维持微弯曲状态下地平衡.杆横截面积对轴地惯性矩为,试推导其临界压力地欧拉公式,并求出压杆地挠曲线方程.
得到.工作应力为
,不合理,所设过大,再取时,减小,取
,则,
选取工字钢,,
,安全.所以,经计算校核,应选用号工字钢.
12-12两端铰支地等截面圆杆,杆长直径,材料地比例极限,弹性模量,线膨胀系数.设安装时地温度为,求温度升高到多少度时此圆杆将失稳.
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11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。
（1）圆形截面，25,1d l==mm m；（2）矩形截面2400,1h b l===m m；（3）16号工字钢，2l=ml解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：（1）圆形截面，25,1d l==mm m：2292220.025200106437.81crEIPlπππ⨯⨯⨯⨯===N kN （2）矩形截面2400,1h b l===m m当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳20.040.02min(,)12y z yI I I I⨯===，故：2292220.040.02200101252.71crEIPlππ⨯⨯⨯⨯===N kN （3）16号工字钢，2l=m查表知：4493.1,1130y zI I==cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时4min(,)93.1y z yI I I I===cm，故：2298222001093.110459.42crEIPlππ-⨯⨯⨯⨯===N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。
解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的Pλ2299.35P PPEπσλλ=→===（2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于Pλ可采用欧拉公式计算临界力。
故0.780.83 1.2290.0399.35x P y zlll l i μλλ⋅===>>=→mm ， 即 1.229l >mm 为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。
11-6 某钢材的比例极限230P σ=MPa ，屈服极限274s σ=MPa ，弹性模量E=200GPa ，331 1.09cr σλ=-。
试求P s λλ和，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。
解：（1）计算此钢材的判别柔度①将230P σ=MPa 代入欧拉公式22Eπσλ=可以计算此钢材细长压杆的判别柔度P λ：92.64P λ=== ②由经验公式331 1.09cr σλ=-知：此钢材的331, 1.09a b ==MPa MPa ，将274s σ=MPa 代入中柔度杆的公式可以此钢材中柔度杆的判别柔度s λ：33127452.291.09s s a b σλ--=== （2）绘制临界应力总图如图：σ(MPa)cr11-7 b=40mm,h=60mm 的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。
材料为Q 235钢，其弹性模量210E G =Pa ,比例极限σP =200MPa 。
试求（1）压杆的临界荷载P cr ，（2）若[]3st n =，压杆所承受的最大轴向压力为多大？（3）从稳定性考虑b/h 为何值时最佳？习题11-7图解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。
1 2.4138.560.060xy xy zli μλ⋅⨯=== ②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。
0.5 2.4103.920.04xz xz yli μλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(,)138.56xz xy λλλ==④计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ22101.8P P P E πσλλ=→===⑤101.8138.56P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr222362(2101010)(0.0600.040)259.10138.56cr cr E P A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯⨯=⨯⨯=N kN(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P ］若[]3st n =，[][]259.1086.373cr cr w w w P P n n P P n =≥→≤==kNb（3）求稳定性最佳的b/h当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。
故1 2.41 2.40.5 2.40.50.5 2.4xyxyzxzxzylhibh b hlbiμλμλ⋅⎧⨯==⎪⎪⨯⨯⎪→=→=⎨⋅⨯⎪==⎪⎪⎩补充1 图示边长为a的正方形铰接结构，各杆的E、I、A均相同，且为细长杆。
试求达到临界状态时相应的力P等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？F BC F N N BCN CD解：（1）各杆的临界力222..222cr BDcrEI EIPPa aππ===外（2）求各杆的轴力与P的关系。
由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，NAB NBC NCD NDAF F F F===。
研究C、B结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C、B结点受力如图所示。
第一种情况：C:)02450x NCB NCBF P F cos F=→--=→=∑压杆B:()02450Y NBD NBC NBD NBCF F F cos F P=→--=→==∑拉杆令2,.2=NCB cr CB crEIF P P Paπ===↔外第二种情况：)NCBF=拉杆()-NBD NBCF P==压杆22.22-==22NBD NBC cr BDEI EIF P P Pa aππ===↔补充2 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。
试求该木柱的临界力.解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoz内失稳，y为中性轴。
0.57101.040.120xzxzyliμλ⋅⨯===②当压杆在出平面内xoy内失稳，z为中性轴。
27242.490.200xyxyzliμλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(.)242.49xz xyλλλ==（2）松木75242.49Pλ=<，故采用欧拉公式计算P cr222112(0.110)(0.1200.200)40.28242.49cr crEP A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯=⨯⨯=N kN补充3 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为23102.3mm ⨯，试计算其临界力.解：（1）矩形：①计算柔度：23632 3.210103.2100.04b b --=⨯⨯=⨯→=0.530.53129.90.04xz xz ylb i μλ⋅⨯⨯==== 129.9>123=xz P λλ=矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力22113222103,210N 374.34kN 129.9cr E P A ππλ-⨯⨯=⋅=⨯⨯= （2）正方形截面：①计算柔度：23633.210103.2100.057a a --=⨯⨯=⨯→=0.530.5391.860.057xz xz ylb i μλ⋅⨯⨯==== 06091.86<123=xz P λλλ=<=正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1291.86)10 3.210N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆形截面： ①计算柔度：23633.21010 3.2100.0644d d π--=⨯⨯=⨯→=0.530.5394.000.06444xz xz yld i μλ⋅⨯⨯==== 0=6094<123xz P λλλ<==圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1294)10 3.210N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆环形截面： ①计算柔度：2222363(1)(10.7) 3.21010 3.2100.0894m 44D D D ππα---=-=⨯⨯=⨯→=0.530.5354.990.0894xz xz ylD i μλ⋅⨯⨯====054.99<60=xz λλ=圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力()()6323510 3.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=⋅=⋅=⨯⨯⨯=补充4 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160MPa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。
其弹性模量210E G =Pa 。
若[] 1.5st n =,试对结构进行强度与稳定校核。
F N 图（kN ）M 图（kN m ）+2412-解:（1）求反力：取ABC 杆为研究对象，受力如图所示。
()0sin 45122033.941kN ANDCNDC m FF =→-+⨯=→==∑F（2）内力分析：ABC杆的AC段发生拉弯组合变形，CB段发生弯曲；CD杆为轴向压缩杆件。
内力图如图所示。
（3）对压杆进行稳定性校核。
①求压杆的柔度127.39liμλ===②求压杆临界力对于Q235钢材料为100Pλ=，127.39>100Pλλ==，采用欧拉公式计算压杆临界应力2292221010Pa127.72MPa127.39crEππσλ⨯⨯===③校核压杆的稳定性[][]666322127.7210127.72101.83 1.526/69.701033.9410/{0.036[1()]}436cr crw w w w NDCn n nF Aσσπσ⨯⨯=≥→===≥=⨯⨯⨯⨯-故，压杆的稳定性足够。
（4）对梁ABC进行强度计算梁的C的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。
查表可知14号工字钢的2321.516cm,102cmzA W==。
则梁的最大拉应力为：33maxmax4624101210Pa11.154117.647MPa128.8MPa21.5161010210NzF MA Wσ--⨯⨯=+=+=+=⨯⨯故，ABC梁的的强度足够。