09工程力学答案-第11章---压杆稳定

11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界荷载。

（1）圆形截面，25,1d l ==mm m ；（2）矩形截面2400,1h b l ===m m ；（3）16号工字钢，2l =ml解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：（1）圆形截面，25,1d l ==mm m ：2292220.025*******37.81cr EIP lπππ⨯⨯⨯⨯===N kN（2）矩形截面2400,1h b l ===m m当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳20.040.02min(,)12y z y I I I I ⨯===，故：2292220.040.022********.71cr EI P l ππ⨯⨯⨯⨯===N kN （3）16号工字钢，2l =m 查表知：4493.1,1130y z I I ==cmcm ，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时4min(,)93.1y z y I I I I ===cm ，故：2298222001093.110459.42cr EIP lππ-⨯⨯⨯⨯===N kN11-3 有一根30mm ×50mm 的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa ，比例极限σP =200MPa 。

解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ2299.35P P P E πσλλ=→===（2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于P λ可采用欧拉公式计算临界力。

故0.780.83 1.22999.35x P y zlll l i μλλ⋅===>>=→mm ， 即 1.229l >mm 为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。

11-6 某钢材的比例极限230P σ=MPa ，屈服极限274s σ=MPa ，弹性模量E=200GPa ，331 1.09cr σλ=-。

15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。

15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。

解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。

即：()22cr EIF l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EFF l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EIF l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。

解：92.633827452.5p s s a λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr F 。

第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。

如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。

直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。

然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。

杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。

本章研究细长压杆的稳定。

§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。

物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。

若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。

如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。

(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。

对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。

如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。

当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。

若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。

在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。

如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。

第 九 章 压 杆 稳 定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。

在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力,则压杆〈A ）。

A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少,不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变；D 、弯曲变形继续增大。

2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态,此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形<C)A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大3、压杆属于细长杆,中长杆还是短粗杆，是根据压杆的〈D ）来判断的。

A 、长度B 、横截面尺寸C 、临界应力D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的〈 A )对临界应力的影响。

A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B 、材料,长度和约束条件；C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D 、材料，长度，截面尺寸和形状; 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。

答案：〈 a )6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ,直径50mm .其柔度为 ( C 〉A 。

60；B 。

66。

7；C .80；D 。

507、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图<D ）所示截面形状，其稳定性最好.8、细长压杆的<A ）,则其临界应力σ越大。

A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度〈C ）A 、λ≤P E πσB 、λ≤s E πσC 、λ≥PEπσ D 、λ≥sEπσ10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大<C ）A 、细长杆的临界应力是减小的,中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是;C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的;D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的; 11、两根材料和柔度都相同的压杆〈A ）A 。

第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计工程力学学习指导第11章压杆稳定性分析与稳定设计11.1 教学要求与学习目标1. 掌握有关弹性体稳定的基本概念：1)稳定的平衡构形(位置)与不稳定的平衡构形(位置)。

2) 平衡路径，分叉，分叉点。

3) 屈曲(丧失稳定)。

4)判别压杆平衡稳定性的静力学准则。

5)细长压杆分叉点的平衡稳定性。

特别要掌握弹性体失稳时其直线平衡构形将突然转变为弯曲构形这一物理本质，并用以理解、分析和处理一些理论问题和实际问题。

2. 弄清影响压杆承载能力的因素，正确理解弹性压杆临界力公式推导过程，弄清临界力公式中每一项的意义以及公式的应用条件，正确计算临界力。

3. 正确区分弹性失稳及超过比例极限的失稳问题，区别三类不同长细比杆，分别采用不同的公式进行计算。

11.2 理 论 要 点11.2.1平衡构形的稳定性和不稳定性图11-1 压杆的两种平衡构形结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。

承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形－直线的平衡构形与弯曲的平衡构形，分别如图11-1所示。

当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的。

扰动除去后，构件不能回复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。

此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则。

不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其他平衡构形。

例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。

这一过程称为屈曲或失稳。

通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。

由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。

11.2.2临界状态与临界载荷介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态。

处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定的，也有的是中性的。

压杆稳定答案_、概念题I.B； 2. A； 3. D； 4. D； 5. C； 6. B； 7. D； 8. A； 9. A； 10. CII.(a) F cri =TT2EI /I2,(b)F cr2 =TT2EI/Q/2)2 >F crX,大8 倍.12.(1)考虑，杆横贯截面面积减少，正应力增加.(2)不考虑，截面局部削弱不会影响整杆的稳定.二、计算题1 .根两端较支的大柔度杆如图，/= 1000mm, E=200GPa,求这两根压杆的临界力。

⑹巧” =丁*200*109 *场67 *10_12/(l2)=3287N(c) P cr = ^2*200*=9141N2.h:b = lA3.BC: F Crl = TV2El /(I2).AB : F Cr2 = /(0.7(0.5Z)2) > F Crl.取小值.F。

=^2EZ/(Z2)4.・皿=2.53/275.由五根d=50mm的圆钢杆制成的正方形结构如图，杆件连接处均为光滑较链，正方形边长a = lm,材料为Q235钢，E=210GPa, o> = 200MPa,试求结构的临界载荷。

1)节点c,^X=0,N CB=N CD=N AB=N AD=-P/42节点B,工Y",N BD=P2)稳定性要求决定结构的临界载荷对四根压杆,2 = 80< 100,P Cr = @_b心虽 /4 = N CD = H/V2结构的临界载荷[P]=595kN6.梁柱结构如图所示，梁采用16号工字钢，柱用两根63X63X10的角钢制成，材料为Q235 钢，强度安全系数“=1.4,加=2,试校核结构的安全性。

己知E=200GPa, bp = 200MPa, a s = 240MPa oyc ~"CD，1)变形条件5ql" /(384E/Z) - M3 /(48E/Z) - Na/(EA)N = 99.3kN一丄™“ □宀bma\ = Mmax7肥-19300/(141 * 10 6) - 136.9AfP«2)校核梁的强度max max Z" = bs/bmax=1.75>"2 = 106 >100P Cr = 406kNn = 406/99.3 = 4.08 > n St3)柱的稳定性结构安全.7.较接支架如图，AB与BC杆的材料AB与BC垂直，截面几何形状相同，且同为大柔度杆。

第11章压杆稳定[内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。

本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。

11.1 压杆稳定的概念工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。

前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。

但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。

杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。

我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。

所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。

为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。

图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。

当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。

因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。

P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值crP时，杆件虽位置上保持平衡。

但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P=cr然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。

因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。

P=cr(a) (b) (c)图11-1 图11-2继续增大压力P ，当轴向压力P 略大于cr P 时，由于外界不可避免地给予压杆侧向的干扰作用（例如轻微的振动，初偏心存在，材料的不均匀性，杆件制作的误差等），该杆件将立即发生弯曲，甚至折断，从而杆件失去承载能力。