工程力学压杆稳定

第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。

如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。

直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。

然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。

杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。

本章研究细长压杆的稳定。

§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。

物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。

若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。

如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。

(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。

对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。

如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。

当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。

若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。

在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。

如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。

压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件以压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件为题，我们来探讨一下这个问题。

压杆稳定问题是工程力学中的一个经典问题，研究的是在受到外力作用下，压杆是否会发生失稳。

而欧拉公式则是描述了在何种条件下，压杆会发生失稳的公式。

我们来看一下欧拉公式的表达式。

欧拉公式可以用数学语言来表示为Fcr = π²EI / L²，其中Fcr表示压杆的临界压力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆长。

这个公式告诉我们，只有当外力超过了临界压力时，压杆才会发生失稳。

那么，欧拉公式成立的条件是什么呢？欧拉公式的推导是基于一些假设条件的。

这些条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零。

只有在满足这些条件的情况下，欧拉公式才能成立。

欧拉公式的成立还与杆件的形状有关。

对于不同形状的杆件，其欧拉公式的形式也会有所不同。

例如，对于长方形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Ebh² / L²，其中b和h分别表示杆件的宽度和高度。

对于圆形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Eπr⁴ / L²，其中r表示杆件的半径。

欧拉公式还要求杆件处于稳定的静力平衡状态。

也就是说，在外力作用下，杆件的挠度要小到可以忽略不计。

如果杆件的挠度过大，那么欧拉公式就不再适用。

欧拉公式成立的条件还包括杆件的材料特性。

杆件的弹性模量E是杆件材料的一个重要参数，它描述了杆件材料的刚度。

当杆件的材料刚度较大时，欧拉公式更加准确。

欧拉公式成立的条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零；杆件处于稳定的静力平衡状态；杆件的形状和材料特性。

在工程实践中，我们经常使用欧拉公式来计算杆件的临界压力，以确定杆件是否会发生失稳。

通过合理选择杆件的形状和材料，我们可以满足欧拉公式成立的条件，从而保证杆件的稳定性。

第九章 压杆稳定第一节 压杆稳定的概念对于一般的构件，其满足强度及刚度条件时，就能确保其安全工作。

但对于细长压杆，不仅要满足强度及刚度条件，而且还必须满足稳定条件，才能安全工作。

例如，取两根截面（宽300mm ，厚5mm ）相同；其抗压强度极限40=c σMpa 的松木杆；长度分别为30mm 和1000mm ，进行轴向压缩试验。

试验结果，长为30mm 的短杆，承受的轴向压力可高达6kN （A c σ），属于强度问题；长为1000mm 的细长杆，在承受不足30N 的轴向压力时起就突然发生弯曲，如继续加大压力就会发生折断，而丧失承载能力，属于压杆稳定性问题。

如图9-1(a)所示，下端固定，上端自由的理想细长直杆，在上端施加一轴向压力P 。

试验发现当压力P 小于某一数值cr P 时，若在横向作用一个不大的干扰力，如图9-1b 所示，杆将产生横向弯曲变形。

但是，若横向干扰力消失，其横向弯曲变形也随之消失，如图9-1c 所示，杆仍然保持原直线平衡状态，这种平衡形式称为稳定平衡。

当压力cr P P =时，杆仍然保持直线平衡，但此时再在横向作用一个不大的干扰力，其立刻转为微弯平衡，但此时在，如图9-1d 所示，并且当干扰力消失后，其不能再回到原来的直线平衡状态，这种平衡形式称为不稳定平衡。

压杆由原直线平衡状态转为曲线平衡状态，称为丧失稳定性，简称失稳。

使压杆原直线的平衡由稳定转变为不稳定的轴向压力值cr P ，称为压杆的临界载荷。

在临界载荷作用下，压杆既能在直线状态下保持平衡，也能在微弯状态保持平衡。

所以，当轴向压力达到或超过压杆的临界载荷时，压杆将产生失稳现象。

图9-1在工程实际中，考虑细长压杆的稳定性问题非常重要。

因为这类构件的失稳常发生在其强度破坏之前，而且是瞬间发生的，以至于人们猝不及防，所以更具危险性。

例如：1907年，加拿大魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为548m 的钢桥，在施工过程中，由于两根受压杆件失稳，而导致全桥突然坍塌的严重事故；1912年，德国汉堡一座煤气库由于其一根受压槽钢压杆失稳，而致致使其破坏。