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等腰三角形三线合一（一）引言概述：等腰三角形是一种特殊的三角形，其两条边长度相等。
在等腰三角形中，有一条特殊的线称为三角形的三线合一。
本文将详细介绍等腰三角形三线合一的相关概念和性质，为读者提供更深入的了解。
正文：一、三线的定义1. 等腰三角形的三线包括：高线、中线和角平分线。
2. 高线：等腰三角形的高线是由顶点垂直于底边所构成的线段。
3. 中线：等腰三角形的中线是由底边上一点连结对边中点所构成的线段。
4. 角平分线：等腰三角形的角平分线是由顶点连结底边上一点与等边边长的一半所构成的线段。
二、性质及关系1. 高线和底边是垂直的，即高线与底边成直角。
2. 中线和底边是平行的，且中线长度为底边长度的一半。
3. 角平分线将顶角平分为两个相等角。
4. 三线合一的交点称为三角形的垂心，垂心在等腰三角形的内部。
5. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
三、应用案例1. 在构造等腰三角形时，可以利用三线合一的性质来确定高线、中线和角平分线。
2. 利用三线合一，可以求解等腰三角形的各个角度和边长。
3. 在三角形几何问题中，三线合一也为解题提供了重要的线索。
四、证明和推论1. 可以通过垂心和三角形顶点构造直角三角形，进而证明三线合一的性质。
2. 利用三线合一的性质，可以推论等腰三角形的其他性质，如内角和、内切圆等。
五、简化计算和简便构造1. 三线合一为等腰三角形的计算和构造提供了简化的方法。
2. 利用三线合一的性质，可以简化解题过程，减少复杂的计算。
总结：等腰三角形的三线合一是三角形几何中重要的概念之一。
通过了解三线的定义、性质和关系，我们可以更好地理解等腰三角形的特性，并应用于计算和构造问题中。
通过证明和推论，我们可以进一步深入了解三线合一的原理和应用。
最后，三线合一为解题提供了简化的方法，方便我们在求解问题时进行计算和构造。
等腰三角形三线合一判定定理嘿，朋友们，今天我们聊聊一个有趣的几何话题，叫“等腰三角形三线合一判定定理”。
这名字听起来挺复杂，其实内容简单得很，咱们就像吃瓜群众一样轻松聊聊。
想象一下，等腰三角形就像一对恩爱的小情侣，两边的长度一样，心心相印。
那你可知道，这种三角形还有个很酷的特性吗？就是它的高、中线和角平分线，这三条线，嘿，真的是能在同一个点相遇，合成一条线。
这就像那些老话说的，志同道合的人走到一起，干脆就成了一团火。
先说说什么叫“等腰三角形”吧，简单说就是两边相等，那第三边呢？它可能有点儿不甘寂寞，但咱们今天不关注它，主要看看这两条相等的边，简直就是最佳拍档。
而这个三角形的顶角，是个帅哥，底边就是个坚强的后盾，真是互相扶持，完美配合。
想象一下，在这样的三角形里，高从顶点到底边的垂直线就像一位和事佬，默默地把对方分开，尽职尽责。
而中线呢，就是一位温柔的调解员，从顶点一路走到底边中点，把三角形分成两个小伙子，友好的分开，没啥火药味。
这时候，别忘了那条角平分线，它简直就是个艺术家，把角度分得那么完美，犹如一位专注的画家，尽情挥洒才华，把角度分得如同在做调和的曲线。
听起来不错吧？这三条线各司其职，但有个神奇的地方，它们都能汇聚在一个点上，真是太巧妙了。
咱们可以把这个点想象成一个热闹的集市，大家都聚在一起，聊聊生活，分享故事，这可不是个简单的事情，得有缘分才行。
你说，三线合一能有多神奇？就像人生中的各种奇妙邂逅，忽然之间，所有的缘分汇聚到了一起，碰撞出火花。
生活中也总有一些时刻，让人觉得特别美好，就像那三条线相遇的瞬间。
虽然看似简单，但它背后的逻辑和数学，恰恰是让人感到震撼的地方。
等腰三角形的这些特性，就像是它的名片，既显得优雅又不失内涵。
在这个几何世界里，三线合一判定定理就像是个秘密武器，能帮助我们更好地理解三角形的奥妙。
想象一下，拿着这个定理，就像是给了你一把钥匙，打开了几何的宝藏。
咱们可以用它来解决很多问题，甚至在考试时也能派上用场，简直是个数学小天才。
第05讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (6)【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (12)【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (15)【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (24)【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】 (28)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，∵AB AC =，120BAC ∠=︒，∴AD BC ⊥，AD 平分BAC ∠，∴1602∠=∠=︒DAC BAC ，ADC ∠1．（2023上·北京·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作EF BC ∥，且AE AF =．求证：(1)DE DF =；(2)BG CH =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD ，利用等腰三角形“三线合一"的性质得AD BC ⊥，再利用平行线的性质得90DAF ADB ∠=∠=︒，从而说明AD 垂直平分EF ，则有DE DF =；（2）利用等角的余角相等EDB FDC ∠=∠，再利用ASA 证明BDG CDH ≌，从而证明结论．【详解】（1）证明：连接AD ，ABAC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．2．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．3．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．（2）若点E F 、分别在线段AB ，CA 的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接AD ，理由如下：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（）；∴DE DF ADE CDF =∠=∠，，又∵90CDF ADF ∠-∠=︒，∴90ADE ADF ∠-∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，点M N 、在边OB 上，PM PN =，若5OM =，求MN 的长．【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM 练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中PM PN = ，PC ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，PCO ∠162OC OP ∴==，5OM = ，1．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在ABC 中，点,D E 是边BC 上的两点．(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EOB =∠OBC ,∠FOC =∠OCB ，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O ，∴∠EBO =∠OBC ,∠FCO =∠BCO ，∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD DE =．(1)若点D 是AC 的中点，如图1，则线段AD 与CE 的数量关系是__________；(2)若点D 不是AC 的中点，如图2，试判断AD 与CE 的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F )(3)若点D 在线段AC 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)AD CE =，理由见解析(2)AD CE =，理由见解析(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E 运动到线段AB 的中点，点D 在线段(2)如图2，当点E 在线段AB 上运动，点D 在线段说明理由．【答案】(1)12∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒120,EFC AFE ∴∠=︒∠EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，(1)【感知】如图1，当点E为AB的中点时，则线段(2)【类比】如图2，当点E为AB边上任意一点时，∥，交AC于点F．示如下：过点E作EF BC(3)【拓展】在等边三角形ABC中，点E在直线（2）AE DB =，理由如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，则AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，，FEC ECD ∠=∠，∵ABC 是等边三角形，∴60AB AC A ABC ACB =∠=∠=∠=︒，，∴60120AEF AFE A DBE ∠=∠=∠=︒∠=︒，，∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．(1)求证:2AP AQ AB +=(2)求证:PD DQ =；(3)如图，过点P 作PE ⊥出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED 为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P 、Q 的移动速度相同，得到CQ PB ∴=，AB AC = ，2AP AQ AB PB AC CQ AB ∴+=-++=；（2）如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，PF AC ∥，,PFB ACB DPF DQC ∴∠=∠∠=∠，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，B PFB ∴∠=∠，BP PF ∴=，由（1）得BP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD 与QCD 中，PDF QDC DPF DQC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS PFD QCD ∴ ≌，PD DQ ∴=；（3）解：ED 为定值5，理由如下：如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，由（2）得：PB PF =，【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在ABC 中，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，且2B C ∠=∠．(1)为了证明结论“AB BD AC +=”，小亮在AC 上截取AE ，使得AE AB =，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD 中，已知58BAD ∠=︒，109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，80ACB ∠=︒，10AD =，CE AB ⊥3EB =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，根据角平分线的定义可得BAD DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABD AED ≌，从而可得B AED ∠=∠，BD DE =，进而可得2AED C ∠=∠，然后利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，从而可得C EDC ∠=∠，进而可得DE CE =，再根据等量代换可得BD EC =，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CD ，先利用三角形内角和定理可得29DAC ∠=︒，从而可得29DAC FAC ∠=∠=︒，再利用SAS 证明DAC FAC ≌，从而可得109AFC D ∠=∠=︒，进而可得71CFE ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得71B CFE ∠=∠=︒，从而可得CF BC =，再利用等腰三角形的三线合一性质可得26BF BE ==，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在AC 上截取AE ，使得AE AB =，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌，∴B AED ∠=∠，BD DE =，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED ∠是DEC 的一个外角，∴AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴DE CE =，∴BD EC =，∵AE EC AC +=，∴AB BD AC +=；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CF ，∵109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，∴18029DAC D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∵58BAD ∠=︒，∴29FAC BAD DAC ∠=∠-∠=︒，∴29DAC FAC ∠=∠=︒，∵AC AC =，∴()SAS DAC FAC ≌，∴109AFC D ∠=∠=︒，∴18071CFE AFC ∠=︒-∠=︒，∵80ACB ∠=︒，29FAC ∠=︒，∴18071B ACB FAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴B CFE ∠=∠，∴CF BC =，∵CE AB ⊥，∴26BF BE ==，∴10616AB AF BF =+=+=，∴AB 的长为16．【变式训练】1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，AB AD =，点E 在线段BD 上，3BAE EAD ∠=∠．(1)如图1，若点D 与点C 重合，则AEB ∠=______︒；(2)如图2，若点D 与点C 不重合，试说明C ∠与EAD ∠的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断BE ，CD 与AC 的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)67.5(2)2C EAD∠=∠(3)BE CD AC +=，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45D ∠=︒，根据题意求出EAD ∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到90B C ∠=︒-∠，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到2BAD C ∠=∠，进而证明结论；（3）在BD 上截取BF DE =，连接AF ，证明ABF △≌ADE V ，根据求等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，根据三角形的外角性质得到CAF CFA ∠=∠，得到AC CF =，进而得出结论．【详解】（1）解：在Rt BAD 中，90BAD ∠=︒，AB AD =，则45D ∠=︒，90BAD ∠=︒Q ，3BAE EAD ∠=∠，22.5EAD ∴∠=︒，67.5AEB EAD D ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：67.5；（2）解：2C EAD ∠=∠，理由如下：90BAC ∠=︒ ，90B C ∴∠=︒-∠，AB AD = ，则BE BF EF DE EF DF =+=+=，BE CD DF CD CF ∴+=+=，在ABF △和ADE V 中，AB AD B ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADE △(1)写出图1中与BAC ∠相等的角，BAC ∠=______(2)如图1，若GFC FGE ∠=∠，在图中找出与AG (3)如图2，若2,3HC CE ==，求BC 的长度．【答案】(1)AGF∠(2)AG CE =，证明见解析(3)72MGN AGF BAC∠=∠=∠，∠=∠，则N BAC∴∠=∠，N MGNMG MN∴=，∠=∠=∠+∠FGE BEG BEG2∴∠=∠，BEG GME∴=，MG GE，=AC GE∴=，MN AC。
等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是 著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之， 如果三角形一边上的中线、 这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】垂直平分 BC 。
AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ ABD 和△ ACD 的高。
求证： AD 垂直平分EF 。
例二：如图△ ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ ABC ， DE ⊥AB 于 E ，若 CD ＝4 ，且△ BDC 周长为24 ，求 AE 的长度。
例 1 ． 如图所示，在等腰△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，点 求证：BE=CE 。
变式练习 1-1 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D 是形外一点，且 BD=CD 。
求证： AD变式练习 1-2 已知，如图所示，∴ Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。
∴∠ ACE= ∠B例五 . 已知：如图 3，等边三角形 ABC 中， M ，求证： M 是 BE 的中点。
图3分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DM ⊥BC ，因此只需证 DB=DE ，即证∠ DBE= ∠E ，根据等边△ ABC ， BD 是中线，可知∠ DBC=30 °，因此只需证∠ E=30 °。
证明：联结 BD ， ∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ ABC= ∠ACB=60 ° ∵CD=CE ，∴∠ CDE= ∠E=30 ° ∵BD 是 AC 边上中线，∴BD 平分∠ ABC ，即∠ DBC=30 °例三 . 等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 的关系式为图1分析：如图 1， AB=AC ，BD ⊥ AC 于 D ，作底边 BC 上的高 AE为垂足，则可知∠ EAC= ∠ EAB1，2又∠ EAC 90 ∠C ，90° ∠C ，所以 ∠EAC例四 . 已知：如图2，△ ABC 中， AB=AC ， CE ⊥AE 于E ， CE BC ，E 在△ ABC 外，求证：∠ ACE= ∠B 。
专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 (11)【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (17)【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：已知，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点M 是AB 的中点，作90DME ∠=︒，使得射线MD 与射线ME 分别交射线AC ，CB 于点D ，E ．(1)如图1，当点D 在线段AC 上时，线段MD 与线段ME 的数量关系是___________；(2)如图2，当点D 在线段AC 的延长线上时，用等式表示线段CD ，CE 和BC 之间的数量关系并加以证明．【答案】(1)MD ME =；(2)CE CD BC =+，理由见解析．【分析】（1）连接CM ，由等腰直角三角形的性质可得CM MB =，ACM B ∠=∠，根据90DME ∠=︒可推导CMD BME ∠=∠，进而证明CMD BME △≌△，即可得到线段MD 与线段ME 的数量关系；（2）连接CM ，利用（1）中的证明思路，再次证明CMD BME △≌△，证得CD BE =，即可利用等量代换得到CE CD BC =+．【详解】（1）解：连接CM ，∵90ACB ∠=︒，AC BC =，点M 是AB 的中点∴CM AM MB ==，且CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45A B ∠=∠=︒∴45ACM BCM B ∠=∠=︒=∠，90CMB ∠=︒，又∵90DME ∠=︒∴CMB CME DME CME∠-∠=∠-∠∴CMD BME∠=∠∴CMD BME △≌△（ASA ）∴MD ME =．（2）CE CD BC =+，理由如下：连接CM ，由（1）可知：CM BM =，45ACM ABC ∠=∠=︒，CMD BME∠=∠∴135DCM EBM ∠=∠=︒在CMD △和BME 中，CMD BME CM BM DCM EBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴CMD BME △≌△（ASA ）∴CD BE=∵CE BC BE=+∴CE CD BC =+．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．【变式训练】1．在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是边BC 的中点．(1)如图，若点E ，F 分别在边AB ，AC 上，DE DF ⊥，求证：BE AF =，并说明理由；(2)在（1）的条件下，AB AC a ==，求AE AF +的值．【答案】(1)证明见解析；(2)a ．【分析】（1）连接AD ，证明()BDE ADF ASA ≌即可得到BE AF =；（2）由（1）可得：BE AF =，进一步得到：AE BE AE AF AB a +=+==．【详解】（1）证明：连接AD ，∵90A ∠=︒，AB AC =，∴45B C ∠==︒∠，∵点D 是边BC 的中点，∴45B BAD DAC C ∠=∠=∠=∠=︒，AD BC ⊥，AD BD =，∵DE DF ⊥，∴90EDA ADF Ð+Ð=°，∵90BDE EDA ∠+∠=︒，∴ADF BDE ∠=∠，在BDE △和ADF △中，BDE ADF BD AD B DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =．（2）解：由（1）可知：()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =，∵AB AC a ==，∴AE AF AE BE AB a +=+==．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．2．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边,AC BC 上，连接,PD PE ，若PD PE ⊥．(1)求证：PD PE =；(2)若点D ，E 分别在边,AC CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；(3)在（1）或（2）的条件下，PBE △是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出PEB ∠的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时PEB ∠的度数为22.5︒或67.5︒或90︒或45︒【分析】（1）连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得45DCP B ∠=︒=∠，从而得到CP BP =，再由PD PE ⊥，可得DPC EPB ∠=∠，可证得DPC EPB △△≌，即可求证；（2）连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得45ECP ABC A ACP ∠=︒=∠=∠=∠，从而得到CP AP =，再由∵,PD PE CP AB ⊥⊥，可得APD CPE ∠=∠，可证得APD CPE △≌△，即可；（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】（1）明∶连接PC ，∵90,ACB AC BC ∠=︒=，∴45A B ∠=∠=︒，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP AB ⊥，∴45DCP B ∠=︒=∠，∴CP BP =，∵PD PE ⊥，∴90DPC CPE CPE EPB ∠+∠=∠+∠=︒，∴DPC EPB ∠=∠，在DPC △和EPB △中，DCP B PC PB DPC EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA DPC EPB △△≌，∴PD PE =；（2）解：PD PE =仍成立，理由如下：连接CP ，∵90,C AC BC ∠=︒=，∴45A ABC ∠=∠=︒，②当BE BP =，点E ③当EP EB =时，则∴180PEB B ∠=︒-∠-④当EP PB =，点∴PEB B ∠=∠=综上所述，PBE △【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3．在ABC 中，E(1)如图1，若点(2)如图2，BF 为腰(3)如图3，当点【答案】(1)见解析(2)PD PE BF +=，理由见解析(3)143【分析】（1）根据ABP S S =△APC ，即可得证；∵AB AC =，点P ∴ABP S S =△△APC即1122AB DP AC ⋅=∴PD PE =，∵AB AC =，PD ∴=ABP APC ABCS S S + ∴1122AB DP AC ⋅+∴PD PE BF +=，∵AB AC =，PD AB ⊥∴=ABC ABP APCS S S - ∴11=22AC BF AB PD ⋅⋅(1)若90EOF ∠=︒，两边分别交,AC BC 于E ，F 两点．==同理可证：AO CO BO∵AC BC =，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，∴0,90,45AO CO B AOC FOH BAC BCO ︒︒==∠=∠=∠=∠=，∴.,135COF AOH OCF OAH ︒∠=∠∠=∠=，∴(ASA)COF AOH ≌，∴3,CF AH OF OH ===，∵45,90EOF FOH ︒︒∠=∠=，∴45EOF EOH ︒∠=∠=，又∵,OF OH EO EO ==，∴(SAS)EOF EOH ≌，∴5EF EH ==，∴.2AE EH AH =-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，已知点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．(1)求证：BD ＝CE ；(2)若AD ＝BD ＝DE ＝CE ，求∠BAE 的度数．【答案】(1)见解析；(2)90°．【分析】（1）作AF ⊥BC 于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF =CF ，DF =EF ，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ．【变式训练】(1)若20∠=︒EAC ，求CBE ∠(2)求证：AE EC ⊥；(3)若BE a =，AE b =，CE =【答案】(1)20°(2)见解析(3)21122a bc +∴AFB ABC CGB ∠=∠=∠又∵AD AB CB ==，∴45BAC ACB ∠=∠=︒，∵FAB FBA FBA ∠+∠=∠∴FAB CBG CAE ∠=∠=∠∴在BAF △和CBG 中，(1)如图1，若ACD ∠与BAC ∠互余，则DCB ∠=__________(）如图，过A点作AE BC⊥于E点，）②如图，作BG AC ⊥于G ，作DN 垂直于AC 的延长线于N ．则90BGA DNC ∠=∠=︒．∵AB AC =，AC CD =，∴AB CD =，∵ABC 与ACD 的面积相等，∴BG DN =．∴ABG ≌CDN △．∴BAG DCN ∠=∠．180ACD DCN ∠+∠=︒，∴180ACD BAC ∠+∠=︒，综上，ACD ∠与BAC ∠相等或互补．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC ≌△△【答案】[问题情境]ASA ，全等三角形对应边相等；[问题探究]见解析；[拓展延伸【分析】[问题情境]利用全等三角形的性质证明即可；[问题探究]延长BE 交CA 延长线于F ，证明CEF ∆≌CEB ASA ∆（），推出FE =ACD ∆≌ABF ASA ∆（），可得结论；[拓展延伸]结论：12BE DF =．过点D 作DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，与DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，与AE 相交于H ，证明方法类似．CD 平分ACB ∠，FCE BCE ∴∠=∠，在CEF ∆和CEB ∆中，90FCE BCE CE CE CEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，CEF ∴∆≌CEB ASA ∆（），DG AC ，GDB C BHD ∴∠=∠∠，12EDB C ∠=∠ ，12EDB EDC ∴∠=∠=∠BE ED ⊥ ，90BED ∴∠=︒，。
巧用等腰三角形の“三线合一”连州市慧光学校辛星林八年级《北师大版.上册》学习了等腰三角形の重要性质，其中等腰三角形顶角の角平分线、底边上の中线，底边上の高互相重合，我们把等腰三角形の这一性质简称为“三线合一”，这是等腰三角形の重要性质，灵活运用此定理在解决某些几何问题时,能起到化繁为简,化难为易の绝妙效果,笔者就例说这一性质在解题中の灵活运用。
一．利用“三线合一”求线段最值例1 如图1，在⊿ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BPの最小值是_________.解：过点A作AD⊥BC于点D，因为AB=AC=5，BC=6，根据等腰三角形の三线合一の性质，可得BC=3.再根据勾股定理可知AD=4，因为垂线段最短，所以当BP ⊥AC时，BP有最小值.利用等面积法，可得AD·BC=BP·AC,即4×6=5BP，则BP=25/4在处理线段问题时，如果既能运用全等三角形の知识，又能运用等腰三角形の知识，则应尽可能地运用“三线合一”の性质。
这样，还能帮助同学们熟练掌握“三线合一”性质の转化。
点评本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一の性质、等面积法，题中还考查了学生为了解决等腰三角形问题添加辅助线の方法。
二、利用“三线合一”证明直线垂直在证明两直线垂直の问题时，如具备以下两个条件：可用“三线合一”来证明:（1）两线段中一条是这个三角形顶角の平分线或底边上の中线; （2）三角形是等腰三角形。
例2 如图2所示，已知AB=AE，∠B=∠E,BC=ED,F是CDの中点。
分析由已知，F是CDの中点，要证AF⊥CD，若连结AC与AD，则只要证得AC=AD，则由等腰三角形三线合一可证AF⊥CD。
证明连结AC与AD∵在ABC和AED中，AB=AE，∠B=∠E, BC=ED,∴⊿ABC≌⊿AED，则AC=AD，∵AF是等腰三角形⊿ACDの底边上の中线，∴AF⊥CD.点评本题考查了等腰三角形三线合一の性质，全等三角形の性质以及线段の垂直平分线の性质の应用。
专题13 等腰三角形中三线合一的应用题型一利用三线合一求角度【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C=180°−∠BAC2=180°−100°2=40°；∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝100°，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝50°．题型二利用三线合一求线段【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．【详解】解：∵DE垂直且平分AB，∴AD＝BD，∵△BDC的周长为22∵BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝22，∵BC＝10，∴AC＝12，∴AB＝AC＝12．题型三利用三线合一证线段（角）相等【典例3】（2019•吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【详解】解：（1）证明：连接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴AD=BC2=BD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠B=∠DAF=45°BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．题型四利用三线合一证垂直【典例4】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【详解】证明：作EF⊥AC于F，∵EA＝EC，∴AF＝FC=12AC，∵AC＝2AB，∴AF＝AB，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD，△BAE和△F AE中{AB=AF∠BAD=∠CADAE=AE，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE＝∠AFE＝90°．∴EB⊥AB．题型五利用三线合一证线段的倍数关系【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD⊥BD，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DAC＝∠BAE，∴∠EAD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠AED＝45°，∴AE＝AD，在△ABE与△ADC中，{∠ABE=∠DAC∠BAE=∠ACDAE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝CD，∴BF＝2CD．题型六 利用三线合一证线段的和差关系【典例6】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B ＝2∠C ，试说明：AB +BD ＝CD ．【详解】解：在CD 上取一点E 使DE ＝BD ，连接AE ．∵AD ⊥BC ，∴△ABE 是等腰三角形，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB ，∵∠B ＝∠AEB ＝2∠C ，又∵∠AEB ＝∠C +∠EAC ，∴∠EAC ＝∠C ，∴AE ＝EC ；∴CD ＝DE +EC ＝AB +BD ．巩固练习1．（2019•鄂州期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC ＝45°，点D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于点E ，其延长线交AB 于点F ，连接DF ．求证：∠ADC ＝∠BDF ．【详解】证明：作BG ⊥CB ，交CF 的延长线于点G ，如图所示：∵∠CBG ＝90°，CF ⊥AD ，∴∠CAD +∠ADC ＝∠BCG +∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCG ，在△ACD 和△CBG 中，{∠CAD =∠BCGAC =BC ∠ACD =∠CBG =90°，∴△ACD ≌△CBG （ASA ），∴CD ＝BG ，∠CDA ＝∠CGB ，∵CD ＝BD ，∴BG ＝BD ，∵∠ABC ＝45°，∴∠FBD ＝∠GBF =12∠CBG ，在△BFG 和△BFD 中，{BG =BD∠FBD =∠GBF BF =BF，∴△BFG ≌△BFD （SAS ），∴∠FGB ＝∠FDB ，∴∠ADC ＝∠BDF ．2．（2019•镇赉期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．【点睛】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，结论得证；（2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB＝4．【详解】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠D＝∠CBF，∵CD＝CB，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．（2）解：由（1）得BF＝DE，∵CE＝CF，CA＝CA，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF，∴AB＝AF﹣BF＝AE﹣DE，∵AE＝6，DE＝2，∴AB＝4．3．（2019•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CM⊥AB于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由．【详解】解：PD+PE＝CM，证明：连接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12AB×PD+12AC×PE=12×AB×（PD+PE），∵S△ABC=12AB×CM，∴PD+PE＝CM．4．（2019•丰南区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．（1）∠MAN的大小；（2）求证：BM＝CN．【详解】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵直线ME垂直平分AB，∴BM＝AM，∴∠B＝∠MAB＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，同理可得：∠ANM＝60°．∴∠MAN＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（2）证明：∵在△AMN中，∠AMN＝∠ANM＝∠MAN＝60°，∴△AMN为等边三角形．即AM＝AN＝MN，又∵BM＝AM，CN＝AN，∴BM＝CN．5．（2019•重庆校级期中）如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5．（1）求线段EF 的长；（2）求四边形AFDE 面积．【详解】解：（1）连接AD ．∵△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠C ＝45°，∵∠EDA +∠ADF ＝90°，又∵∠CDF +∠ADF ＝90°，∴∠EDA ＝∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，{∠EDA =∠FDCAD =CD ∠EAD =∠C，∴△AED ≌△CFD （ASA ）．∴AE ＝CF ＝5．∵AB ＝AC ，∴BE ＝AF ＝12．在Rt △AEF 中，∵∠EAF ＝90°，∴EF 2＝AE 2+AF 2＝52+122＝169， ∴EF ＝13；（2）由（1）知△AED ≌△CFD ，所以S 四边形AFDE ＝S △AFD +S △AED ＝S △AFD +S △CFD ＝S △ADC =12S △ABC=12×12AB 2=14（12+5）2=2894．。
等腰三角形三线合一证明方法“哎呀，这道数学题咋这么难呢！”我皱着眉头，对着作业本发愁。
旁边的小伙伴凑过来，“咋啦？啥题把你难成这样？”我指了指那道关于等腰三角形的题，“就是这个，要证明等腰三角形三线合一，我都不知道从哪儿下手。
”咱先来看看这等腰三角形三线合一咋证明吧。
首先呢，咱得知道啥是等腰三角形，就是有两条边一样长的三角形呗。
那三线合一呢，就是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线是同一条线。
证明的时候呢，咱就先画一个等腰三角形ABC，AB 和AC 是两条相等的边。
然后呢，咱就作底边上的中线AD。
接下来咱就开始证明啦！因为AB = AC，BD = CD，还有AD 是公共边，这不就可以用边边边定理证明三角形ABD 和三角形ACD 全等嘛。
全等了之后呢，那对应角就相等呀，所以∠BAD = ∠CAD，这就说明AD 是顶角平分线。
再看，全等的三角形对应边也相等呀，那∠ADB = ∠ADC，又因为∠ADB +∠ADC = 180°，所以∠ADB = ∠ADC = 90°，这不就说明AD 也是底边上的高嘛。
这么一来，不就证明了等腰三角形三线合一啦！那这三线合一有啥用呢？用处可大啦！比如说咱盖房子的时候，要是有个等腰三角形的屋顶架子，那知道了三线合一，就能很容易找到那个关键的中线、高和角平分线，这样盖房子就更稳当啦。
这就像咱玩拼图，找到了关键的那一块，整个拼图就好拼多啦。
我记得有一次上数学课，老师就出了一道实际应用三线合一的题。
说是有个等腰三角形的花园，要在底边上找一个点，使得这个点到两腰的距离相等。
这不就是利用三线合一嘛，先找到底边上的中线，然后再根据角平分线的性质就能找到那个点啦。
那次我们小组一起讨论，可热闹啦，大家你一言我一语的，最后终于把题给解出来了。
那感觉，就像打了一场大胜仗，超爽！所以说呀，等腰三角形三线合一可重要啦，咱们一定要好好掌握。
它能帮我们解决好多数学问题，还能在生活中派上用场呢。
第6讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。
我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。
因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。
知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”） AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】在△ABC中，AB=AC，∠A﹣∠B=15°，则∠C的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．70°【答案】B【解析】根据已知可得到该三角形的为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和公式即可求得∠C的度数．解：∵AB=AC，∠A﹣∠B=15°∴∠B=∠C，∠A=∠B+15°∵∠B+∠C+∠A=180°∴∠C=55°．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了三角形内角和等腰三角形的性质；进行角的等量代换是解答本题的关键．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，求∠A的大小？【答案】【解析】由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．解：∵BD=BC=AD，∴△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又∵AB=AC可知，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠A=36°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】在△ABC中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（）A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高【答案】B【解析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠A是顶角，∴∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形“三线合一”的性质时，首先要找到顶角．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（）A．∠BAD=∠CAD B．AD⊥BC C．∠B=∠C D．∠BAC=∠B【答案】D【解析】由在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．解：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C．故A、B、C正确，D错误．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．AD是△ABC的中线D．△ABC是等边三角形【答案】D【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断．解：∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠B=∠C，AD是△ABC的中线，高线，∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，∵在Rt△ABD与Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），故A、B、C都成立，只有D不一定成立．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．[三线合一]教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD= cm．【答案】3【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=BC．解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=BC=×6=3cm．故答案为：3．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD= ．【答案】2【解析】根据△ABC是等边三角形可知AB=AC，再由BD⊥AC可知AD=AC，由此即可得出结论．解：∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=AC=4，∵BD⊥AC，∴AD=AC=×4=2．故答案为：2讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC．求证：∠1=∠2．【答案】∠1=∠2【解析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF，再根据等边对等角即可求解．证明：连接AD．∵点D是BC边上的中点∴AD平分∠BAC（三线合一性质），∵DE⊥AB，DF⊥AC．∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠1=∠2（等边对等角）．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC．求证：（1）∠BAD=∠CAD．（2）AD⊥BC．【答案】（1）∠BAD=∠CAD；（2）AD⊥BC．【解析】（1）利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，然后根据等腰三角形三线合一证明即可．证明：（1）在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD；（2）∵△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，又∵AB=AC，∴AD⊥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，求出两个三角形全等是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】△ABC中，AB=AC，中线BD将△ABC周长分成12和9两部分．求△ABC三边．【答案】8，8，5或6，6，9【解析】设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成12和9两部分，∴有两种情况：1、当3x=12，且x+y=9，解得x=4，y=5，∴三边长分别为8，8，5；2、当x+y=12且3x=9时，解得x=3，y=9，此时腰为6，三边长分别为6，6，9，综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．教学建议：学会分情况讨论及掌握三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．【答案】（1）3cm；（2）底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【解析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，根据题意得，x+3x+3x=21，解得x=3cm；（2）若5cm为底时，腰长=（21﹣5）=8cm，三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形，若5cm为腰时，底边=21﹣5×2=11，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，∵5+5=10＜11，∴不能围成三角形，综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．教学建议：熟悉等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【答案】（1）△DEF是等腰三角形；（2）70°【解析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．教学建议：通过证明两个三角形全等得到角相等，再利用等角对等边判断为等腰三角形是关键.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若△ABD的周长是a，BC=b，求△BCD的周长．（用含a，b的代数式表示）【答案】（1）△BCD是等腰三角形；（2）a﹣b【解析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；（2）由（1）知：AD=BD=CB=b，由△ABD的周长是a，可得AB=a﹣2b，由AB=AC，可得CD=a﹣3b，进而得到△BCD的周长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB==72°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴∠ACD=∠A=36°，∵∠CDB是△ADC的外角，∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，∴∠B=∠CDB，∴CB=CD，∴△BCD是等腰三角形；（2）∵AD=BD=CB=b，△ABD的周长是a，∴AB=a﹣2b，∵AB=AC，∴CD=a﹣3b，∴△BCD的周长长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE=AF，求证：DE=DF．【答案】DE=DF【解析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，再结合已知条件EF∥BC，得到AD⊥EF，又AE=AF，即AD垂直平分EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE=DF．证明：如图，连接AD．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC，∴AD⊥EF，又AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴DE=DF．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图．BD平分∠ABC，点E在AB边上，满足DE=BE．试判断DE与BC的位置关系，并证明你的结论．【答案】DE∥BC【解析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据等边对等角可得∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行解答．解：DE∥BC．理由如下：如图，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵DE=BE，∴∠1=∠3，∴DE∥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，是基础题，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．【答案】2.5【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE=AB=2.5．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质和判定并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，过点B作BE⊥AC 于E，交AD于F，又知AF=2BD，△BCE与△AFE全等吗？为什么？【答案】全等【解析】根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，AD⊥BC，由已知条件得到AF=BC，由垂直的定义得到∠AEF=∠BEC=90°，推出∠EAF=∠CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．解：△BCE与△AFE全等，理由：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BC=2BD，AD⊥BC，∴AF=BC，∵BE⊥AC于E，∴∠AEF=∠BEC=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠CBE，在△BCE与△AFE中，，∴△BCE≌△AFE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°【答案】A【解析】首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，在△ABC中，D为AB边上一点．BD=BC，AD=DC，∠B=36°．求∠ACB的度数．【答案】108°【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再根据等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACD，然后相加即可．解：∵BD=BC，∠B=36°，∴∠BCD=∠BDC=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，∵AD=DC，∴∠A=∠ACD，∴∠ACD=∠BDC=×72°=36°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=36°+72°=108°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】下列说法中正确的是（）A．等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．等腰三角形三条高都在三角形内D．等腰三角形的一边不可能是另一条边的两倍【答案】A【解析】从各选项提供的已知条件进行思考，根据等腰三角形的性质进行证明后直接选择答案，其中只有选项A是正确的．解：A正确，可以通过证明验证．如图所示，△ABC中，AB=AC，AE是BA的延长线，AF是∠EAC的角平分线求证：AF∥BC证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵AF是∠EAC的角平分线∴∠EAF=∠FAC∵∠EAC=∠B+∠C=∠EAF+∠FAC∴∠B=∠C=∠EAF=∠FAC∴AF∥BC∴选项A正确；其它选项无法证明是正确的．故选：A．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．【答案】（1）3；（2）△DMC是等腰三角形【解析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM=CM=CE=3；（2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM=DC，则可证得△DMC是等腰三角形．（1）解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴BM=CM=BC=CE=3，∴ME=MC+CE=3+3=6；（2）证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，∵D为AC中点，∴DM=DC，∴△DMC是等腰三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
证明等腰三角形三线合一
三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
要证明等腰三角形三线合一很简单，可以先假设一个，然后去证明另外两个，例如条件是等腰三角形和底边上的高，然后证这个高也是顶角的平分线，底边上的中线即可，证明方法可以用三角形全等来证明。
三线合一可以证明这个三角形是等腰三角形。
相关定理如下：
1、如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2、如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
3、如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
相反的，如果一个三角形是等腰三角形，则可以证明这个三角形的三线合一。
1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD."
（1）求证：△BCE≌△DCF
（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.
2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,
求证：（1）BD平分∠ABC；
（2）△BCD为等腰三角形.
3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F．
⑴试说明：BE=CF；
⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．
4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD
求证：(1) △BEF为等腰直角三角形；（2) ∠ADC＝∠BDG.
5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，
BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
（1）试说明AH＝BH
（2）求证：BD＝CG．
（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系
6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H.
①求∠DHF的度数；
②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.
参考答案
1、（1）证明见解析（2）1
2、（1）证明见解析（2）证明见解析
3、(1)证明详见解析；(2)10．
4、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析
6、（1）略（2）①∠DHF="60°" ②略
【解析】
1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE," 在证明就可以得出DF=BE；
(2)先证明，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可.
试题解析：（1）∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F
∴CE=CF,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∵ CE=CF
BC=CD,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF （HL）．
（2）由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，设DF=EB=X
由Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
可知AF=AE 即：AD+DF=AB-BE
∵AB=17，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=17-x 解得，x=4
∴AE=AB-BE=17-4=1
点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
2、试题分析：（1）由AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，然后根据等边对等角，求得∠DBC的度数，从而得证；
（2）根据（1）的结论和外角的性质，可得∠BDC=∠C，再根据等角对等边得证.
试题解析：（1）∵MN为AB的中垂线，
∴AD=BD，
则∠A=∠ABD=36°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠DBC=36°，
因此，BD平分∠ABC；
（2）由①和∠2="36°" ∠C="72°" ，
∵∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴∠C=∠ABD+∠DBC=∠BDC，
∴△BCD为等腰三角形.
3、试题分析：（1）连接DB、DC，根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：DE=DF，DB=DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出结论；
（2）先证明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再将△ABC的周长进行等量代换，即△ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC，代入求值即可．
试题解析：连接DB、DC，
（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DG垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
DE=DF，BD=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=AE=3，
由（1）得：BE=CF，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
4、试题分析：（1）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF，
CD=DE，推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出△BEF是直角三角形，求出
∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∠CAF=∠ECB，根据全等三角形的判定定理得出
△ACF≌△CBE，根据全等三角形的性质得证；
（2）作∠ACB的平分线交AD于M，根据ASA推出△ACM≌△CBG得出∠ADC=∠M，CD=BM，根据SAS推出△DCM≌△DBG，求出∠M=∠BDG，即可得出答案.
试题解析：（1）连接DE，
∵点E、C关于AD对称，∴AD为CE的垂直平分线，
∴CD=DE，∵D为CB中点，∴CD=DE=DB，
∴∠DCE=∠CED，∠DEB=∠DBE，
∵∠DCE+∠CED+∠DEB+∠DBE=180°，
∴∠CEB=90°，
∵∠ECB+∠ACF=90°，∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠ECB=∠CAF，
在△ACF和△CBE中，
∵
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴CF=BE，右∵CF=EF，∴EF=EB，
∴△EFB为等腰直角三角形.
（2）作∠ACB的平分线交AD于M，
在△ACM和△CBG中，
∵
∴△ACM≌△CBG（ASA），
∴CM=BG，
在△DCM和△DBG中，
∵
∴△DCM≌△DBG（SAS），
∴∠ADC=∠GDB.
5、试题分析：
（1）根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．
试题解析：
（1）∵AC=BC，CH⊥AB∴AH＝BH
（2）∵ABC为等腰直角三角形，且CH⊥AB
∴∠ACG＝45°
∵∠CAG＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°
∴∠CAG＝∠BCF
在△ACG和△CBD中
∴△ACG≌△CBD（ASA）
∴BD＝CG
（3）AE=EF＋BF
理由如下：
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．
6、（1）∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB=∠ACE.
在△ABC和△EDC中
∵BC＝CD，∠ACB=∠ACE，AC＝CE
∴△ABC≌△EDC（SAS）
（2）①在△BCF和△DCG中
∵BC=DC,∠BCD=∠DCE,CF=CG,
∴△BCF≌△DCG（SAS）,
∴∠CBF=∠CDG.
∵∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF
∴∠BCF=∠DHF=60°.
②∵EB平分∠DEC，
∴∠DEH=∠BEC.
∵∠DHF=60°,
∴∠HDE=60°-∠DEH.
∵∠BCE=60°+60°=120°,
∴∠CBE=180°-120°-∠BEC=60°-∠BEC.
∴∠HDE=∠CBE. ∠A=∠DEG.
∵△ABC≌△EDC, △BCF≌△DCG（已证）∴∠∠BFC=∠DGC，
∵∠ABF=∠BFC-∠A,∠HDE=∠DGC-∠DEG, ∴∠ABF=∠HDE,
∴∠ABF=∠CBE,
∴BE平分∠ABC.。
