等腰三角形的三线合一课件

经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
情景引入：
小学时，我们学习过等腰三角形的初步知识，现在 我们进一步研究有关等腰三角形的知识。
探究新知：
请同学们把一张长方形纸对折，并剪去阴影部分， 再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
拓展提高:
. 1 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为____度．
2 如图(2) 在△ABC中, AB＝AC, CD⊥AB于D, 则下列判断正确的是 A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACD C.∠A＝∠DCB D.∠A＝2∠BCD
3 如图(3), 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE
你从以上的证明中还能得出什么结论？
性质：
1 等腰三角形两个底角相等（简写为“等边对等角”）
2 等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高相互重合。 （简称“等腰三角形三线合一”）
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
在△ABC中，∠A=36 ° ∠ABC=∠C=72 °
巩固训练 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
1、等腰三角形的一个角是40度，它的另外两个角 的度数是多少呢？
2、等腰三角形的一个角是100度，它的另外两 个角的度数是多少呢？
A A
D
B 图(2)
B C
D 图(3)

分析：由上述操作可以得到启示，即添加
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.
证明：画∠ABC的平分线AD. 在 △ABD和 △ACD中， ∵ AB＝AC (已知）， ∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义）， AD =AD (公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.). ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）•
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相 等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题 时， 尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小； （2）∠1的大小. 解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平 分线交于点D，则∠D的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
知识点 2 等腰三角形的轴对称性：三线合一
探索
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请 写 出你的发现：
例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知）， ∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）. 又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和 等于 180 °）， ∴ ∠A ＝ 180 °－ ∠B － ∠C (等式的性质） ＝ 180°－ 80°－ 80°＝ 20°.
做
一
做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让

HK版 八年级上
第三章 声的世界
第2节 声音的特性
第2课时 噪声的防治
习题链接
提示：点击 进入习题
1 噪声；空气 4 dB；不能
答案呈现
7 人耳 10 见习题
2D
5D
8C
3C
6 声源；传播过程 9 B
基础巩固练
8．[中考·山东潍坊]将教室的门窗关闭，室内同学听到的 室外噪声减弱。对该现象说法正确的是( C ) A．室外噪声不再产生 B．噪声音调大幅降低 C．在传播过程中减弱了噪声 D．噪声在室内的传播速度大幅减小
AB=AC,
∵
BD=CD，
AD=AD,
∴△BAD ≌△CAD (SSS).
∠B=∠C.
这样，我们就证明了性质1
感悟新知
归纳
知1－讲
我们可以发现等腰三角形的性质： 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边 对顶角”.
感悟新知
例 1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
16 B
答案呈现
17 B 18 见习题 19 见习题
基础巩固练
1．某市已经明令禁止在城区内燃放烟花爆竹，因为燃放 烟花爆竹除了会造成空气污染外，燃放烟花爆竹时的 巨大声音还是一种___噪__声___(填“乐音”或“噪声”)，爆 竹的巨大声音是__空__气____的振动产生的。
基础巩固练
7．[安徽霍邱月考]如图所示，在女子10 m气手枪比赛中，射 击时，很多运动员在耳朵里放一个耳塞或戴上耳罩，这 主要是在___人__耳___处减弱噪声。
能力提升练
解：(1)据题可知，“控制音量”是在声源处减弱噪声， 控制的是噪声的响度。

若只知道一个角为60°，但无法确定该角是顶角还是底角，则不能判定为等边三角形 。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。

全等识别
若两个三角形三边及三角分别相等，则这两个三角形全等。在等腰三角形中， 若两个等腰三角形的底边和腰长分别相等，则这两个等腰三角形全等。
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对后续知识点（如圆、三角函数）的铺垫作用
对圆的知识点铺垫
等腰三角形的性质与圆的性质有密切联系。例如，在等腰三角形中，底边上的中垂线同时也是底边所 在圆的直径；此外，在等腰三角形中引入外接圆和内切圆的概念，可以进一步探讨三角形的性质。
SAS全等判定
若两个三角形两边和夹角分别相等，则这两个三 角形全等。
3
HL全等判定（直角三角形）
在直角三角形中，若斜边和一条直角边分别相等 ，则这两个三角形全等。
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与其他特殊三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三 边都相等。
与相似三角形的关系
若两个等腰三角形的顶角和底角分别 相等，则这两个三角形相似。
8
边角关系
等腰三角形中，两个等腰边所 对的两个底角相等，即等边对 等角。
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等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互 重合，即“三线合一”。
等腰三角形中，若有一个角是 60度，则这个三角形是等边三 角形。
9
面积计算公式
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算
面积 = (底边长度 × 高) / 2。其中，底边长度是两个等腰边所夹的底边的长度， 高是从顶点到底边的垂直距离。
《等腰三角形的性质》 优秀课件
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目录
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• 等腰三角形基本概念 • 等腰三角形性质探究 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理证明 • 等腰三角形在几何变换中的地位和作用 • 典型例题解析与课堂互动环节

BC AC,
在△PCB和△ECA中，∵
BCP
ACE
,
P C E C ,
∴△PCB≌△ECA（SAS）. ∴∠ABC＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.
知4－练
2 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数
总结
知2－讲
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来 证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于 哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后 根据全等三角形的对应边相等可得结论.
知2－练
1 [中考·宿迁]如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥ BC. 求证：∠C＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D， 即∠ABC＝2∠D.∴∠C＝2∠D.
为( A )
A．3 B．2 C．1
D．0
等腰三角形中求角的度数的“三种方法” (1)利用等边对等角得相等的角. (2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出
各角之间的关系. (3)利用三角形内角和定理列方程.
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
AB AC(已知)，
∵ 12(角平分线的概念)，
AD AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACF(SAS). ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
归纳
知2－导
等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE

6．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且∠ABC＝2∠C.试说 明：CD＝AB＋BD.
解：如图，以 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 CD 于点 E， 连接 AE，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，则 AE＝AB，∠EFA＝∠EFC＝90°， 所以∠AEB＝∠ABC.
因为 AD⊥BC，所以 AD 是 BE 边上的中线，即 DE＝BD. 又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C. 因为∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C. 又因为 EF＝EF，∠EFA＝∠EFC，所以△EFA≌△EFC， 所以 CE＝AE＝AB.所以 CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
在△ABD 中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°， 所以∠B＝∠BAD. 又因为 DH＝DH，∠DHA＝∠DHB， 所以△DHA≌△DHB，所以 BD＝AD. 又因为 BD＝CD，所以 AD＝CD. 所以∠DAC＝∠C＝45°.所以∠B＝∠DAC. 又因为 BE＝AF，所以△BDE≌△ADF(SAS)．所以 DE＝DF.
3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在△ABC 外，CE⊥AE 于点 E，∠CAE＝12∠BAC.试说明：∠ACE＝∠B.
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则∠ADB＝90°.
因为 AB＝AC，所以∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC. 因为∠CAE＝12∠BAC，所以∠BAD＝∠CAE. 因为 CE⊥AE，所以∠E＝90°.所以∠ADB＝∠E.
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB 于点 E. 若 BC＝12，且△BDC 的周长为 36，求 AE 的长．
解：因为△BDC 的周长＝BD＋BC＋CD＝36，BC＝12， 所以 BD＋DC＝24. 因为 AD＝BD，所以 AD＋DC＝24，即 AC＝24. 因为 AB＝AC，所以 AB＝24. 又因为 DE⊥AB，所以 AE＝EB＝12AB＝12.

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【证明】过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，如图所示.

∵ AB ＝ AC ，∴ BD ＝ BC .



又∵ CE ＝ BC ，∴ BD ＝ CE .
＝，
在Rt△ ABD 和Rt△ ACE 中，ቊ
＝，
∴Rt△ ABD ≌Rt△ ACE (HL).
∴∠ ACE ＝∠ B .

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【点方法】
先根据△ BDC 的周长求出 AB 的长，再根据等腰三角
形“三线合一”的性质求出 AE 的长.
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利用“三线合一”证角相等
4. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， CE ⊥ AE 于点 E ， CE

＝ BC ，点 E 在△ ABC 外.

求证：∠ ACE ＝∠ B .
7. 如图，已知在等腰直角三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，
∠ BAC ＝90°， BF 平分∠ ABC ， CD ⊥ BF 交 BF 的延长
线于点 D . 求证： BF ＝2 CD .
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【证明】如图，延长 BA ， CD 交于点 E .
∵ BF 平分∠ ABC ， CD ⊥ BD ，
解题过程.
返回
如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC 于点 D . 求


证：∠ DBC ＝ ∠ BAC .
等腰三角形“三线合一”的性质是证线段或角的倍

知2－练
2 如图所示，已知：∠α、线段a，求作等腰三角形 ABC，使底边BC＝a，其底角∠B＝∠α.(不写作 法，保留作图痕迹)
（来自《点拨》）
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂直于底 边； (2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边； (3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶角． 2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等 、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，尝试 作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
（来自《点拨》）
解： 如图所示，△ABC就是所求作的三角形．
知2－讲
总结
知2－讲
利用尺规作等腰三角形时，要考虑等腰三角形的隐含 条件：有两条边相等；两个角相等.
知2－练
1 已知∠ α和线段a (如图），用直尺和圆规作等腰三 角形ABC,使顶 角∠ BAC= ∠ α ，角平分线AD=a.
（来自《教材》）
结论
知1－讲
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高线 互相重合，简称等腰三角形三线合一 .
知1－讲
【例1】已知:如图 ，AD平分∠ BAC, ∠ ADB= ∠ ADC. 求证：AD丄BC.
（来自《教材》）
证明： 如图，延长AD，交于点E.
知1－讲
∵ AD 平分∠ BAC ，
∴ ∠ BAD = ∠ CAD (角平分线的定义）.
第2章 特殊三角形
2.3 等腰三角形的性质定理
第2课时 等腰三角形的 “三线合一”性质
等腰三角形的“三线合一”
1 课堂讲解 用尺规作等腰三角形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结

八年级数学湘教版·上册
第2章 三角形
2.3.2等腰三角形的判定
授课人：X
学习目标
1.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理；(重点) 2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用．(难点)
新课导入
复习
1、等腰三角形是怎样定义的？ 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
2、等腰三角形有哪些性质？
① 等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)
三角形吗?试说明理由.
解：是等边三角形.理由如下：
A
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= 60°.
D
E
∵ AD=AE,
B
C
∴ △ADE是等腰三角形. ∴ △ADE是等边三角形.
课堂小结
等腰（边）三角形的判定
等角对等边，注意是指同一个三角形中.
1.三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
新知探究
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边 AB和AC有什么数量关系?
A
画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，
请你量一量AB与AC的长度，它们 B
C
之间有什么数量关系，你能得出什
AB=AC
么结论？
你能验证你的结论吗？
新知探究
如图，在△ABC中，∠B=∠C.沿过点A的直线把∠BAC 对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，
课堂小测
1.如图，已知∠A=36°，∠ABD=36°，∠C=72°，则 ∠DBC=__3_6_°_，∠BDC=_7_2_°__，图中的等腰三角形有 △__A_B_C__, _△_D__B_A_,__△_B__C_D_____.

7如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、
AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则
∠BDE的度Байду номын сангаас是 (
A.45°
B.52.5°
C.67.5°
D.75°
C )
分层作业
8如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝
102°，则∠ADC＝
52 度.
称轴过哪个顶点，哪条边？
是.对称轴过两条腰相交的顶点，过底边.
预习导学
2.通过上述的“操作”，试视察右图，AD为折痕(即对称轴)，
思考:
(1)底角∠B与底角∠C能完全重合吗？说明了什么？
能，两底角相等.
(2)BD与CD能完全重合吗？说明AD是△ABC的什
么特殊线段？
能，是底边上的中线.
预习导学
(3)∠CAD与∠BAD能完全重合吗？说明了AD是△ABC的什
36°，则∠1的度数为
A.36°
B.60°
C.72°
D.108°
( C
)
5等腰三角形中有一个角是50°，那么其他两个角的度数是
50°，80°或65°，65° .
分层作业
6腰长与底边长不相等的等腰三角形中，三角形的中线、角平分
线和高共有(重合的算一条)
A.9条
B.3条
C.7条
D.3条或7条
(
C
)
分层作业
等腰三角形底边中线、 顶角平分线
、 底
，三线合一，在证明或计算中，一定要记得使用，
因为不需要再添辅助线，这条线本身就具有多重“身份”.
合作探究
·方法点拨·
等腰三角形性质定理的常用运用方法:由两边相等推导出两角

相等的边和相等的角？
∴ ∠B = ∠C（全等三角形对应角相等）
D2 ∠ 中 ⊥
逻辑推理，证实性质2
在等腰三角形ABC中，AB=AC，说明：∠B = ∠C
解：在△ABC中，作∠ BAC的角平分线AD，交BC于点D
∴ ∠1 = ∠2 （角平分线的意义）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
在△ABD与△ACD中，
底边上的高互相重合。
AB=AC（已知）
∠1 = ∠2(已证）
在△ABC中，
AD=AD(公共边）
∵ AB=AC，∠1=∠2
∴ △ABD≌ △ACD（SAS）
，
AD⊥BC
∴∴BD=CD
∠B = ∠C（全等三角形对应角相等）
BD = CD（全等三角形对应边相等）
∴BD
∠BDA==CD
∠CDA （全等三角形对应角相等）
∴BD = CD （线段中点的意义）
∴线段AD是△ABC 的底边BC上的中线。
在△ABD与△ACD中，
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
AB=AC（已知）
底边上的高互相重合。
AD=AD(公共边）
在△ABC中，
BD=CD(已证）
∵∴AB=AC
，BD=CD
△ABD≌
△ACD（SSS）
∠1 ∠B
= ∠2
符号语言： 在△ABC中,
∵AB=AC，BD=CD ∵ AB=AC, ∠1=∠2 ∵ AB=AC, AD⊥BC
∴ BD=CD
∴ BD=CD
∴∠1=∠2
∠1=∠2
AD⊥BC
AD⊥BC
等腰三角形的性质3：
等腰三角形是
轴对称
图形。
它的对称轴是 顶角的平分线所在的直线

A 12
B
D
C
证法2） 作△ ABC底边BC上的高AD ∠ ADB= ∠ ADC=90 ° AB=AC AD=AD △ ABD≌Rt△ ACD Rt ∠B=∠C 证法3） 作△ ABC的中线AD BD=CD AB=AC AD=AD ABD≌ △ ACD △ ∠B=∠C
A 12
1
B
D
C
课堂练习：
3 口答：
（1） 已知等腰三角形的一 个底角为70 °,那么此 等 腰三角形各内角的度数分 别是 （ ）. （2） 已知等腰三角 形的顶角为70° ，那么 此 等腰三角形各内角的 度数分别是( ）。
A
70 °
B
A 70 ° B
C
C
（3） 已知等腰三角形的一个内角为70°，那 么此 等腰三角形各内角的度数分别是（ ）。
剪一剪 想一想
• （1）、上面剪出的等腰三角形是轴对称 图形吗？ • （2）、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕 对折，找出其中重合的线段和角. • （3）由这些重合的线段和角，你能发现 等腰三角形的哪些性质呢
证法一：
作△ABC顶角的平分线AD
∠1= ∠ 2 AB=AC AD=AD △ ABD≌△ ACD ∠B= ∠C
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
三角形的三边有什么关系？
A
顶角 腰 腰
底角
底角
B
底边
C
试一试
• （1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则 它的周长是 ； • （2）等腰三角形的一边长为3cm,另一 边长为4cm,则它的周长是 ； • （3）等腰三角形的一边长为3cm,另一 边长为8cm,则它的周长是 。
（4） 已知等腰三角形的一个内角为120 °， 那么此 等腰三角形各内角的度数分别是（ ）。