等腰三角形及三线合一经典试题难题

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是 著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】例二：如图△ ABC 中，AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4，且△ BDC 周长为 24，求 AE 的长度。

变式练习1-2 已知，如图所示, 求证：AD 垂直平分EF 。

AD >△ ABC ，DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。

求证：AD 垂直平分BG例三•等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为图2分析：欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。

证明：作ADL BC 于D, •/ AB=AC1••• BD BC2 1又••• CE BC ,2• - BD=CE在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中，AB = AC, BD=CE• Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。

• / ACE 玄 B例五•已知：如图3,等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。

分析：如图1，AB=ACEAC 90° / C ，/BD 丄AC 于D,作底边BC 上的高 AE, E 为垂足，则可知/ EAC=/ EAB - 又/2 ，90° / C ，所以例四•已知：如图2, △ ABC 中，AB=AC CE!AE 于E , CE1— 。

21 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE / B 。

等腰三角形及三线合一经典试题 难题1．等腰三角形的对称轴是（ ）2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80°4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°5．等腰三角形的一个内角为80，则另两个内角的度数为6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AECC B ADEP ECAH FGEDCABHF10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ．12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH 的形状并说明理由．13．如图，中， ，试说明：．14.如图3，在∆ABC 中，∠=A 90ο，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图315.已知，如图1，AD是∆ABC的角平分线，DE、DF分别是∆ABD和∆ACD的高。

1 / 4分析：如图1, AB 二AC, BD 丄AC 于D,作底边BC E 为垂足，则可知ZEAC=ZEAB=-a ,又Z2E4C = 90° - ZC, Zp = 90° - ZC,所以 ZEAC = p, P = *cc 。

例四.已知：如图 2, A ABC 中，AB 二 AC, CE 丄 AE 于 E, CE = - BC , E 在△/（：外，求证：ZACE 二 ZB 。

2分析：欲证ZACE=ZB,由于AC 二AB,因此只需构造一个与RtAACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是 著爼的等腰三角形“三线台一”性质。

"三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】 例1・ 如图所示，在等腰AABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。

求证:BE=CEo 变式练习1-1如鮒 在Z\ABC 中，AB 二AC D 是形外一点 且BD 二CD 变式练习1-2已知，如图所示，AD 是△ABC, DE 、DF 分别 求证：AD 垂直平分EF 。

求证：AD 垂直平分BC 。

是Z\ABD 和ZXACD 的髙。

例二：如图ZkABC 中，AB=AG ZA=36° , BD 平分ZABC, 4,且ABDC 周长为24,求AE 的长度。

例三.等腰三角形顶角为ou —腰上的高与底边所夹的角 DE 丄AB 于E,若CD=系式为P二 是（3,则p 与a 的关上的高AE,/?2 / 4证明：作AD 丄BC 于D, VAB=AC, ••• BD = -BC2又-CE = -BC. •••BD=CE°在 RtAABD 和 RtZkACE 中，AB=AC> BD 二CE, /.RtAABD^RtAACE (HL)。

初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。

所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。

必然三线合一。

今天主要举例说明一下等腰三角形三线合一，求解的问题。

并出几个变形题目，供大家练习，在从其他方面来解答等腰等腰三角形问题。

题：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上的点。

求证：PA^2=AB^2-PBPC。

证明：作高AD。

则由勾股定理，得AB^2-PA^2=BD^2+AD^2-( PD^2+AD^2)= BD^2-PD^2=(BD-PD)(BD+PD)=PB（BD+PD），因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以BD+PD=DC+PD=PC，所以AB^2-PA^2=PBPC，所以PA^2=AB^2-PBPC。

变式一：如图2，D是等腰△ABC底边BC延长线上的点，AB=AC=CD=2BC，则AD：BC=______。

（答案：√10）变式二：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC延长线上的点。

求证：PA^2=AB^2+PBPC。

（提示：作△ABC的高AD）变式三：已知等腰Rt△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90°，P 是BC上的点，Q是BC延长线上的点，且∠PAQ=90°，如果PQ=5，则PB=______.(答案：1)初中英语下册期末复习第11单元重点知识汇总Unit11 How was your school trip?【重点单词】milk v.挤奶cow n.奶牛milk a cow 给奶牛挤奶horse n.马ride a horse 骑马feed v.喂养；饲养feed chickens 喂鸡farmer n.农民；农场主quite adv.相当；安全quite a lot(of…) 许多anything pron.（常用于否定句或疑问句）任何东西；任何事物grow v.种植；生长；发育farm n.农场；务农；种田pick v.采；摘excellent adj.极好的；优秀的countryside n.乡村；农村in the countryside 在乡下；在农村yesterday n.昨天flower n.花worry v.担心；担忧luckily adv.幸运地；好运地sun n.太阳museum n.博物馆fire n.火灾fire station 消防站painting n.油画；绘画exciting adj.使人兴奋的；令人激动的lovely adj.可爱的expensive adj.昂贵的cheap adj.廉价的；便宜的slow adj.缓慢的；迟缓的fast adv&adj快地（的）robot n.机器人guide n.导游；向导gift n.礼物；赠品all in all 总的说来everything pron.一切；所有事物interested adj.感兴趣的be interested in 对……感兴趣dark adj.黑暗的；昏暗的hear(heard）v.听到；听见【重点短语】1. school trip 学校旅行2. go for a walk 去散步3. milk a cow 挤牛奶4. ride a horse 骑马5. feed chickens 喂鸡6. talk with a farmer 与农民交谈7. take some photos 照相8. ask some questions 问一些问题9. grow apples 种苹果10. show sb. around splace. 带某人逛某地11. learn a lot 学到许多12. pick some strawberries 摘草莓13. last week 上周14．In the countryside 在乡村15. visit my grandparents 拜访我的祖父母16. go fishing 去钓鱼17. sound good 听起来很好18. climb the mountains 去爬山19. play some games 玩一些游戏20. visit a museum 参观博物馆21. visit a fire station 参观消防站22.draw pictures 画画23. go on a school trip 去旅行24 visit the science museum 参观科技博物馆25. how to make a model robot 如何制作机器人模型26. gift shop 礼品店27. buy sth for sb. 为某人买某物28. all in all 总得来说29. be interested in... 对…感兴趣30. be expensive 昂贵的31. not...at all 一点儿也不【重点句型】1.—Did you see any cows?你见到奶牛了吗一Yes, I did. I saw quite a lot.我见到了而且见到了很多很多2.—Did Carol take any photos?罗尔拍照片了吗？—Yes, she did.是的，她拍了。

各种等腰三角形难题例1.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D在AB上，AD=BC，连接CD，求∠XXX的度数。

解析：利用全等三角形的性质，构造全等三角形⊿DAE≌⊿CBA，得到DE=CE，∠DEC=40°，∠ADE=80°。

因此，∠ADC=150°，∠BDC=30°。

例2.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别在AB和AC上，且∠BCD=50°，∠CBE=60°，求∠DEB的度数。

解析：通过连线，构造等边三角形⊿GEF和⊿GBC。

得到∠XXX∠EFG=60°，∠AFG=140°，∠DFG=40°，∠XXX∠BCD，BD=BC=BG，∠BGD=80°，∠DGF=40°。

因此，通过全等三角形的性质得到∠DEG=∠DEF=30°。

因此，∠DEB=30°。

例3.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D和E分别为AB和AC上的点，且∠ABE=10°，∠ACD=20°，求∠DEB的度数。

解析：通过连线，构造等边三角形⊿BCF和⊿DGF，得到CM=CB=CF，∠CMF=∠CFM=80°，∠GMF=100°，∠XXX∠FGM=40°，FM=GM。

因此，通过全等三角形的性质得到∠DMG=∠DMF=50°。

因此，∠DEB=30°。

根据已知条件，可以得到∠DMC=130°=∠EMB，且∠DCM=∠EBM=20°。

因此，可以得到⊿DMC∽⊿EMB，进而得到DM/MC=EM/MB。

同时，由于∠DME=∠BMC=50°，可以得到⊿DME∽⊿CMB，且∠DEM=∠XXX°。

又因为∠BEC=∠ABE+∠A=30°，因此可以得到∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°。

等腰三角形三线合一专题训练例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。

求证：CE⊥BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.CEA D变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。

⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。

问DM 和DN 有何数量关系。

(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ．DBCF AEM N D C BA M ND CB A(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ．DBCF AE利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

ＦＦ1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）A 17B 22C 17或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P 是等边三角形ABC 的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。

等腰三角形的三线合一的预习作业
分别作出以下三个三角形BC 边上的高，中线，角平分线。

在△ABC 中，AB=AC,请作出AC 边上的高、中线、角平分线。

课堂练习
1.等腰三角形的两底角相等（简写为“
”） 几何语言：∵
∴ 注意：前提条件是在同一个角三形中。

2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合。

（简称为“
”） （1）∵
A B C B C A
A B C
A B C
∴
（2）∵
∴
（3）∵
∴
一．解答题（共4小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中
点，∠B＝30°．求∠ADC和∠BAD的度数．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上边的中线，BE⊥AC于点E，求证：∠CBE＝∠BAD．
3．已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．。

三线合一解题给力◎吴育弟一、推理证明例1 如图1，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．图1 分析：过点A作BC的垂线，利用等腰三角形的“三线合一”得到P为DE及BC的中点，进而可证．证明：如图1，过点A作AP⊥BC于点P．因为AB=AC，所以BP=PC.因为AD=AE，所以DP=PE.所以BP-DP=PC-PE，即BD=CE.例2如图2，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC于点M.求证：M是BE的中点.分析：连接BD，构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出DM是BE边上的中线，从而使问题得证.证明：连接BD.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC.因为C D=CE，所以∠CDE=∠E=1/2∠ACB =30°.因为BD是AC边上的中线，AB=BC，所以BD平分∠ABC，则∠DBC=30°.所以∠DBE=∠E.所以DB=DE.又因为DM⊥BE，所以DM是BE边上的中线，即M是BE的中点．二、判断说理例3 如图3，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AD边上一点，则∠ABE与∠ACE的大小关系是怎样的？试说明理由图3 分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD.结合已知条件可判定△ABE≌△ACE，所以∠ABE=∠ACE．解：相等.理由：因为AB=AC，AD为BC边上的中线，所以AD平方∠BAC，所即∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，所以△ABE≌△ACE.所以∠ABE=∠ACE.图2。

等腰三角形三线合一一．选择题（共11小题）1．（2017•绵阳）下列图案中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．【解答】解：A，此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意；B、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；C、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．（2017•重庆）下列图形中是轴对称图形的是（）A． B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2017•呼和浩特）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可．【解答】解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，∴通过轴对称得到的是（1）．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断．4．如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③【分析】根据角平分线的性质定理进行判断即可．【解答】解：∵点P到AE，AD的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；∵点P到AE，BC的距离相等，∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；∵点P到AD，BC的距离相等，∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，④正确，故选：A．【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的平分线上相等是解题的关键是解题的关键．5．如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=3，BC=4，AC=5．三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．3 C．4 D．5【分析】连接AP，BP，CP，设PE=PF=PD=x，根据直角三角形的面积列出方程，即可求得该距离的长．【解答】解：连接AP，BP，CP．设PE=PF=PD=x，则S=AB×x+AC×x+BC×x=（AB+BC+AC）•x=×12×△ABCx=6x，=×AB×CB=6，∵S△ABC∴6x=6，解得x=1．故选（A）【点评】本题主要考查了三角形的面积以及角平分线，解题的关键是构造辅助线，且直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算；二是等于三个小三角形的面积和，这也是列方程的依据．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE是AB的垂直平分线，则∠BDE的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE是AB的垂直平分线，易得∠B=∠DAB=∠CAD，继而求得∠B的度数，则可求得∠BDE的度数．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B，∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠DAB，∵在△ABC中，∠C=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°，∴∠BDE=90°﹣∠B=60°．故选D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，线段AC，AB的中垂线交于点O，已知OC=2cm，则OB等于（）A．1cm B．2cm C．4cm D．不能确定【分析】首先连接OA，由线段AC，AB的中垂线交于点O，根据线段垂直平分线的性质，可得OA=OC=OB．【解答】解：连接OA，∵线段AC，AB的中垂线交于点O，∴OA=OC，OA=OB，∴OB=OC=2cm．故选B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，已知BC=20，AB=18，AC=16，则△ADE的周长是（）A．30 B．32 C．34 D．36【分析】根据DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，可得：∠DBF=∠FBC=∠DFB，进而得出DF=DB，同理得出EF=EC，所以△ADE的周长为AB+AC，然后根据AB和AC的长度即可求出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠BFD=∠FBC，∠EFC=∠BCF，∵FC分别平分∠B和∠C，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∴∠BFD=∠DBF，∠EFC=∠ECF，∴DF=DB，EF=EC，∵△ADE的周长=AD+AE+DE，DE=DF+EF，∴△ADE的周长=AD+BD+AE+EC=AB+AC，∵AB=18，AC=16，∴△ADE的周长=34．故选C．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，关键在于根据相关的性质定理推出DF=DB，EF=EC，然后进行正确的等量代换求出∴△ADE的周长=AD+BD+AE+EC=AB+AC．9．同学们都玩过跷跷板的游戏，如图，是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB，当跷跷板的一头着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B 着地时∠AOA′等于（）A．25°B．50°C．60°D．130°【分析】欲求∠A′OA的度数，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可知∠A′OA=∠OAC+∠OB′C，又OA=OB′，根据等边对等角，可知∠OAC=∠OB′C=20°．【解答】解：∵OA=OB′，∴∠OAC=∠OB′C=25°，∴∠A′OA=∠OAC+∠OB′C=2∠OAC=50°．故选B．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．10．如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE ⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．【解答】解：∵三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB=∠EDC=90°∴∠DEC=∠C=45°，∴△EDC是等腰三角形，∵BD=AB，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，∴∠EAD=∠EDA，∴△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．11．如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D 点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm【分析】△ODE的周长=OD+DE+OE，可以先证明BD=OD，CE=OE，则OD+DE+OE=BC 得出．【解答】解：∵OD∥AB∴∠ABO=∠BOD∵OB平分∠ABC∴∠ABO=∠OBD∴∠ABO=∠BOD∴BD=OD则同理可得CE=OE∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=20cm．故选C．【点评】本题利用了：①两直线平行，内错角相等；②角的平分线的性质；③等边对等角．二．解答题（共8小题）12．（2016秋•宝塔区期中）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．【分析】已知AE平分∠BAC，ED∥AC，根据两直线平行同旁内角互补，可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度数．【解答】解：∵BE⊥AE∴∠AEB=90°∵AE平分∠BAC∴∠CAE=∠BAE=42°又∵ED∥AC∴∠AED=180°﹣∠CAE=180°﹣42°=138°∴∠BED=360°﹣∠AEB﹣∠AED=132°【点评】此题考查平行线的性质和三角形外角和定理．两直线平行，同旁内角互补．13．在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC=2BE．【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF=2BE，即可证得AC=2BE．【解答】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，∴AD=DF，AB=AF，∵AE⊥BD，∴BE=EF=BF，∵AC=AD+CD=DF+BD=BF，∴AC=2BE．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．14．如图所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：∠ACD＞∠B．【分析】延长CD交AB于F点，可证明△ACD与△AFD全等．根据∠AFC是△BCF 的外角可证结论．【解答】证明：延长CD交AB于F点．∵AE是∠A的平分线，CD⊥AE，∴∠FAD=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°．又AD公共，∴△ADC≌△ADF，∴∠ACD=∠AFD．∵∠AFC是△BCF的外角，∴∠AFC＞∠B．∴∠ACD＞∠B．【点评】此题考查三角形全等的判定和性质及三角形外角的性质．作出辅助线建立两角的联系是难点．15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再结合平行线的性质得到∠AEF=∠AFE，利用等角对等边即可证得；（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形；（2）DE=DF．理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，∴AD也是∠BAC的平分线．又∵△AEF是等腰三角形，∴AG是底边EF上的高和中线，∴AD⊥EF，GE=GF，∴AD是线段EF的垂直平分线，∴DE=DF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质，正确证明AD是线段EF的垂直平分线是关键．16．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是BC和AC上的点，且DE∥AB，EA=ED，请你说明AD垂直平分BC．【分析】由平行线的性质、等腰△AED的性质推知AD平分∠BAC，则由“等腰三角形‘三合一’的性质”证得结论．【解答】证明：如图，∵EA=ED，∴∠2=∠3．又∵DE∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2．即AD平分∠BAC．又∵AB=AC，∴AD是边BC的中垂线，即AD垂直平分BC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．难度不大，属于基础题．17．（2017春•蓝田县期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC 延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．【分析】（1）根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：∵∠A=∠ABE，∴EA=EB，∵AD=DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；（2）解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．18．（2017•平谷区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF⊥BD于点F．求证：∠BEF=∠DEF．【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB=∠CBD，等量代换得到∠EDB=∠ABD，于是得到结论．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠ABD，∴EB=ED，∵EF⊥BD于点F，∴∠BEF=∠DEF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．19．（2017春•文登区期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM ⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，AM交BE于点G．（1）求证：∠BAM=∠C；（2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；（2）由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AM⊥BC，∴∠ABC+∠BAM=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠BAM=∠C；（2）BE垂直平分AD，理由：∴∠3=∠4，∵∠BAD=∠BAM+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠BAM=∠C，∴∠BAD=∠ADB，∴△BAD是等腰三角形，又∵∠3=∠4，∴BE垂直平分AD．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，熟练正确等腰三角形的判定和性质是解题的关键．。