角平分线的性质和判定复习
一知识要点：
1. 角平分线的作法（尺规作图）
思考：这一画法的根据是什么？
2. 角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：
文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何表达：
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）
∴PA＝PB．（角平分线的性质）
思考：这一性质定理的根据是什么？
（2）角平分线的判定：
文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何表达：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）
二、典型例题
角平分线的性质一
例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边距离相等
例题2
如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.
例题3
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：
CF=EB。
D
F E
C B
A
例题4
已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C.
例题5
已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC.
例题6
如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长.
A
F
D
E
B
例题7
如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=CF,求证:BD=FD.
例题8
如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF.
例题8 求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.
角平分线的性质二
例题1如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E，F,AE=AF.求证：
(1)PE=PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上.
例题2如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.
例题3已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.
求证：（1）当∠1＝∠2时，OB＝OC；
（2）当OB＝OC时，∠1＝∠2.
例题4已知：如图所示，在△ABC中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.
例5、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC 的中点，求证：BE平分∠ABC．
例题6 .如图所示,在四边形ABCD中,∠ADC+∠ABC=180°,BC=DC,CE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AB于点F.
求证:AC平分∠BAD.
例7如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？