《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计-01

角的平分线的性质定理的逆定理教学设计（一）内容角的平分线的性质定理的逆定理．（二）内容解析本节课是学生在学习了角平分线的性质的基础上，进一步研究角平分线性质定理的逆命题是否正确．教科书首先提出了一个具有实际背景的问题，在公路和铁路的交叉区域内建一个集贸市场，学习了角平分线的性质，学生可能猜想到集贸市场应建在公路和铁路夹角的平分线上．教科书没有直接给出答案，而是从另一个角度引导，将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，所得到的结论是否仍然成立？这就引出了“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．接着让学生利用三角形全等证明这个结论．本节课学习的内容是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础．基于以上分析，本节课的教学重点是：角的平分线的性质定理的逆定理．二、目标和目标解析（一）目标1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理．2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．（二）目标解析达成目标1的标志是：学生能准确表述角平分线性质定理的逆定理的内容．能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“HL”判定方法和三角形的性质证明角平分线的性质的逆定理．达成目标2的标志是：学生能利用角的平分线的性质的逆定理证明与角相等的有关简单问题．三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在分清角的平分线的判定的条件和结论，并进行严格的逻辑证明过程中常常感到困难．例如，在用符号语言表述判定条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．其主要原因是角的平分线的判定是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性．教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论，正确写出已知和求证．基于以上分析，本节课的教学难点是：证明角平分线的判定定理．四、教学过程设计（一）引言上节课我们已经学习了角的平分线的性质，如果把它的题设和结论调换位置，得到的命题还是真命题吗？【设计意图】通过实际问题，复习角平分线的性质定理．（二）探索角平分线的判定定理问题1 写出角的平分线的性质的逆命题．师生活动：教师提出问题，学生独立思考．追问1：上述逆命题成立吗？你能证明这个结论的正确性吗？已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO和∠QEO都是直角．在Rt△QDO和Rt△QEO中，∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）．∴∠QOD＝∠QOE．∴点Q在∠AOB的平分线上．师生活动：教师首先引导学生写出逆命题，分析命题的条件和结论，如果学生感到困难，可以让学生将命题写成“如果……那么……”的形式，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．用几何语言表示为：∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE，∴点Q在∠AOB的平分线上．师生活动：让学生分别用文字语言和符号语言概括角平分线的判定定理．让学生理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其他位置，渗透集合的完备性）．由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．问题2 比较分析角平分线的性质和判定，填写下表：师生活动：学生独立完成表格，教师点评补充．【设计意图】让学生通过观察、猜想、推理证明角平分线的判定定理，体会研究几何问题的基本思路．通过表格将角平分线的性质和判定进行比较，让学生体会类比的思想．反思判定，可以让学生进一步体会证明两个角相等可以利用角平分线的判定，比证两个三角形全等更简捷．（三）巩固应用1．如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）分析：根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可知点P 在两条公路形成的夹角的平分线上，设公路的交点为点O，计算可知OP=2.5cm．2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PF＝PE．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．追问：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？∵PD=PF，PD⊥AB，PF⊥AC，∴点P在∠A的平分线上．（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．3．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F 在∠DAE的平分线上．分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点F到三边的垂线段．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M，∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG＝FM．又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC，∴FM＝FH．∴FG＝FH．∴点F在∠DAE的平分线上．师生活动：学生独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拔，并板演证明过程．此时教师主要关注学生是否能够想到如何构造辅助线，并准确地描述辅助线的作法．【设计意图】通过训练，提高学生运用角的平分线的性质和判定解决问题的能力，培养学生的推理能力．（四）小结与反思1．角平分线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？2．应用角平分线的性质定理和判定定理时，怎样做辅助线？【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，建立知识之间的联系．（五）课后作业教科书第50页练习第1、2题．五、目标检测设计1．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=50°，点D在AC上，AD=2cm，DE⊥BC于E，且DE=2cm，则∠ABD=2．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点有（）．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD交BE于点E，求证：AE平分∠FAC．。

4 角平分线原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！举世不师，故道益离。

柳宗元第1课时角平分线的性质定理及逆定理【知识与技能】会证明角平分线的性质定理及其逆定理【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.【情感态度】经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.【教学重点】正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.【教学难点】正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.一.情景导入，初步认知让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用.【教学说明】高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力.尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励.提高学生的积极性.二.思考探究，获取新知探究1：角平分线定理已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．【教学说明】请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导.【归纳结论】角平分线上的点到这个角两边的距离相等.探究2：角平分线的判定定理.已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∴PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠ PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．∴点P在∠AOB的角平分线上.【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.三.运用新知，深化理解1.见教材P29例12.如图，已知：∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E，AB=2AC. 求证：CE=DE.证明：连接AE，由于∠C=90°，AB=2AC，∴∠B=30°，∠AB=60°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=30°，∴∠CAE=60°－30°=30°，即AE是∠CAB的角平分线，∴CE=DE.3.如图，已知：E是∠AOB的平分线上的一点，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D. 求证：OE垂直平分CD.证明：∵OE是∠AOB的平分线，∴CE=DE，∴Rt△OCE≌Rt△ODE，∴OC=OD，∴O与E都在CD的垂直平分线上，∴OE垂直平分CD.4.如图，已知：在△ABC中，∠BAC的平分交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F. 求证：AD是EF的垂直平分线.证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴A与D都在EF的垂直平分线上，∴AD就是EF的垂直平分线.【教学说明】综合利用角平分线的性质和判定直角三角形.垂直平分线的相关性质解决问题.进一步发展学生的推论证明能力在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范.四.师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单派代表进行总结.教师作以补充.五.教学板书布置作业:教材“习题1.9”中第2、3 题.这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解.学生掌握较好.【材积累】1、冬天是纯洁的。

角平分线的性质定理及其逆定理说课稿下面我将从教材分析、教学目标、教学过程、等几个方面，说一下我对本节课的看法：一、教材分析：本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，我们在第二章通过轴对称探索了角平分线的性质定理及其逆定理，这节课主要是利用全等三角形和等腰三角形的性质给予证明。

这节课也为今后证明线段或角相等开辟了新的思路。

这节课既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫,因此本节课在教材中占有非常重要的地位。

二、教学目标：根据《新课程》对本节课内容的要求及学生的认知规律，我确定了如下的教学目标：（一）知识与技能：1、掌握角平分线的性质定理和逆定理；2、利用角平分线的性质定理与逆定理进行计算和证明；（二）过程与方法：在经历角平分线的性质定理的推导过程中，提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力，并初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。

（三）情感态度：培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的自信心。

三、重难点角平分线性质定理与逆定定理的灵活运用。

四、教学方法自主探究、启发引导、小组讨论。

在角平分线的性质定理的证明过程和后面的当堂达标中主要采用自主探究、在角平分线的性质定理的逆定理的证明过程中采用启发引导，在例题的教学中采用了小组讨论。

五、教学过程设计（一）角平分线的性质定理通过实际生活中的例子引出角平分线的性质，进而导入本节课的学习。

教学角平分线的性质定理时，先引导学生回忆在第二章探索这一性质的过程，然后利用几何画板动态的演示一下通过度量法和叠合法得到角平分线的性质。

接着让学生思考：你能用推理的方法证明这个命题的真实性吗？画出图形后让学生说出已知和求证，对于角平分线的性质定理的证明过程，我是先让学生独立思考，指名学生说出证明思路，接着出示小莹的证法，然后让学生到黑板上按照“∵”“∴”的格式写出证明过程。

于是用推理的方法得到了角平分线的性质定理，并板书定理。

小结：今后在证明两条线段相等时，除利用全等三角形、等腰三角形外，还可以利用咱们今天学习的角平分线的性质定理。

1.4 角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理【教学目标】【知识与技能】会证明角平分线的性质定理及其逆定理【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.【情感态度】经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.【教学重点】1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；2．正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.【教学难点】能够正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.【教学过程】一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .求证：CE ＝CF .解析：由角平分线上的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF . 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理【类型一】 角平分线的判定如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL)，∴DE ＝DF .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】 角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F .下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得DE ＝DF ，由此易得△ADE ≌△ADF ，故∠ADE ＝∠ADF ，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE 、AF 距离相等的点，在∠BAC 的角平分线AD 上，到DE 、DF 的距离相等的点在∠EDF 的平分线DA 上，两者同一条直线上，所以到DE 、DF 的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G .∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O .(1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，且AC ＝BC ＝AD ＝BD ；(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO ＝∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、当堂检测1.如图，已知：∠C=90°，DE 是AB 的垂直平分线，D 为垂足，交BC 于E ，AB=2AC. 求证：CE=DE.证明：连接AE，由于∠C=90°，AB=2AC，∴∠B=30°，∠CAB=60°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=30°，∴∠CAE=60°－30°=30°，即AE是∠CAB的角平分线，∴CE=DE.2.如图，已知：E是∠AOB的平分线上的一点，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D. 求证：OE垂直平分CD.证明：∵OE是∠AOB的平分线，∴CE=DE，∴Rt△OCE≌Rt△ODE，∴OC=OD，∴O与E都在CD的垂直平分线上，∴OE垂直平分CD.3.如图，已知：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F. 求证：AD是EF的垂直平分线.证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴A与D都在EF的垂直平分线上，∴AD就是EF的垂直平分线.四、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．五、教学反思本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决.学生掌握较好.。

1．4角平分线第1课时角平分线的性质定理及其逆定理1．探索并理解角平分线的性质和判定．2．能灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题．自学指导：阅读教材P28～29，完成下列问题．知识探究1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的性质定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．自学反馈1．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是(A)A．PD＝PE B．PE＝OEC．∠DPO＝∠EOP D．PD＝OD2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20 cm，那么M到AB的距离是(C) A．10 cm B．15 cmC．20 cm D．25 cm3．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为(C)A．60°B．45°C．30°D．75°活动1小组讨论例1已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC ＝DE.在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝DE ，DF ＝DB ，∴Rt △DCF ≌Rt △DEB(HL)．∴CF ＝EB.(2)由(1)得DC ＝DE.在Rt △ADC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝DE ，AD ＝AD ， ∴Rt △ADC ≌Rt △ADE(HL)．∴AC ＝AE.∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB.角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．例2 如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线． 证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是∠BAC 的平分线．证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是证明射线上的点到角两边的距离相等．活动2跟踪训练1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)A．M点B．N点C．P点D．Q点2．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长多少？解：过点D作DE⊥AB于E，∵点D到AB的距离等于5 cm，∴DE＝5 cm.∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝5 cm.∵BD＝2CD，∴BD＝2×5＝10(cm)．∴BC＝CD＋BD＝5＋10＝15(cm)．3．如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F.求证：点F也在∠BAC的平分线上．证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，∵BF，CF是∠CBD和∠BCE的平分线，∴FG＝FM，FH＝FM.∴FG＝FH.∴点F也在∠BAC的平分线上．活动3课堂小结这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线(或证明一条射线是角的平分线)时，过角平分线(或射线)上的点向角两边作垂线段，利用角平分线的性质(或判定)则使问题迅速得到解决．。

1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质定理及其逆定理【知识与技能】让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.【过程与方法】经历探究角的平分线的性质的过程, 领会其应用方法.【情感态度】激发学生的几何思维, 启迪他们的灵感, 使学生体会到几何的真正魅力.【教学重点】领会角的平分线的两个互逆定理【教学难点】两个互逆定理的实际应用一、创设情境, 导入新课拿出课前准备好的折线与剪刀, 剪一个角, 把剪好的角对折, 使角的两边叠合在一起, 再把纸片展开, 看到了什么？把对折的纸片再任意折一次, 然后把纸片展开, 又看到了什么？【教学说明】通过折纸动手操作, 观察得出结论, 感受生活中的数学无处不在, 让他们很快投入到学习中.教师讲课前, 先让学生完成预习.二、思考探究, 获取新知问题1 角平分线的性质定理思考教材第22页“探究〞【教学说明】让学生明确角平分线的性质定理利用“HL〞证明两直角三角形全等得出来的, 既稳固了所学知识, 又得出新的结论.问题2 角平分线的判定定理思考教材第23页“动脑筋〞【教学说明】角平分线的判定定理与性质定理是互逆定理, 让学生明白各自生成的条件,并加深了它们之间的区别与联系.问题3 角平分线的性质及其判定的应用例教材第23~24页例1【教学说明】体会角平分线上的点与这一点到角两边距离相等可以相互转化, 加深对知识的理解和运用.三、运用新知, 深化理解1.如图, 点P、D、E分别在OC、OA、OB上, 以下推理①∵OC平分∠AOB, ∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB, PD⊥OA, PE⊥OB, ∴PD=PE；③∵PD⊥OA, PE⊥OB,∴PD=PE.其中正确的个数有〔〕2.如图, 在△ABC中, ∠B=90°, AD平分∠BAC交BC于D, BC=10cm, CD=6cm, 那么点D到AC的距离是.△ABC的角平分线, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为E、F, 连接EF, EF与AD交于G, AD与EF垂直吗？证明你的结论.【教学说明】让学生独立完成, 加深对知识的理解与运用, 根据学生掌握情况, 及时查漏补缺.在完成上述题目后, 让学生完成练习册中本课时的对应训练局部.⊥EF.证明：∵AD平分∠BAC, DE⊥AB, DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中, DE=DF, AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF,∴∠ADE=∠ADF,又DE=DF, ∴DA⊥EF.四、师生互动, 课堂小结谈谈你对本节课的认识, 还有什么心得体会? 请与大家共同分享.【教学说明】引导学生回忆所学知识, 加深印象, 同学之间互相取长补短, 到达共同提高.1.布置作业：习题1.4中的第2、3题.2.完成练习册中本课时练习的作业局部.利用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题, 对于学生来说比拟简单, 应放手让学生独立完成作业, 只是需要注意的是, 像与角平分线有关的求证线段相等、角相等的问题, 我们可以直接利用角平分线的性质, 而不必再去证明三角形全等而得出结论.1 反比例函数【知识与技能】经历抽象反比例函数概念的过程, 领会反比例函数的意义, 理解反比例函数的概念.【过程与方法】经历抽象反比例函数概念的过程, 开展学生的抽象思维能力, 提高数学化意识.【情感态度】经历抽象反比例函数概念的过程, 体会数学学习的重要性, 提高学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解和领会反比例函数的概念．【教学难点】领悟反比例函数的概念．一、情境导入, 初步认识我们在前面学过一次函数和正比例函数, 知道一次函数的表达式为y=kx+b 〔其中k,b为常数且k≠0〕, 正比例函数的表达式为y=kx〔k为常数且k≠0〕, 在现实生活中, 并不是只有这两种类型的表达式, 如从A地到B地的路程为1200km,某人开车从A地到B地, 汽车的速度v(km/h)和时间t〔h〕之间的关系式为vt=1200,那么t=1200v中, t和v之间肯定不是正比例函数和一次函数关系, 那么它们之间究竟是什么关系呢? 这就是本节课我们要揭开的奥秘.【教学说明】通过对一次函数和正比例函数的概念、解析式的复习, 引出本节课的内容.二、思考探究, 获取新知问题：以下问题中, 变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1318km, 乘坐某次列车所用时间t〔单位：h〕随该列车平均速度v〔单位：km/h〕的变化而变化；(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪, 草坪的长y随宽x的变化；×104平方千米, 人均占有土地面积S〔单位：平方千米/人〕随全市人口n 〔单位：人〕的变化而变化．解：〔1〕t=1318v；〔2〕y=1000x；〔3〕S=41.6810n,其中v是自变量, t是v的函数；x是自变量, y是x的函数；n是自变量, S 是n的函数.上面的函数关系式, 都具有y=kx的形式, 其中k是常数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流, 再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数, 了解所讨论的函数的表达形式．教师组织学生讨论, 提问学生, 师生互动．【归纳结论】一般地, 如果两个变量x,y之间可以表示成y=kx〔k为常数且k≠0〕的形式,那么称y是x的反比例函数.三、运用新知, 深化理解1.以下问题中, 变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？〔1〕一个游泳池的容积为2000m3, 注满游泳池所用的时间随注水速度v的变化而变化；〔2〕某立方体的体积为1000cm3, 立方体的高h随底面积S的变化而变化；〔3〕一个物体重100牛顿, 物体对地面的压强p随物体与地面的接触面积S 的变化而变化．解答：〔1〕t=2000v ； 〔2〕h=1000S ； 〔3〕p=100S. 2.以下哪个等式中的y 是x 的反比例函数： y=4x,y x=3, y=6x+1, xy=123 解答：只有xy=123是反比例函数.3.函数y=k x, 当x ＝1时, y ＝－3, 那么这个函数的解析式是(B)． A.y=3x B.y=－3xC.y=13xD.y=－13x 4.y 与x 成反比例, 当x ＝3时, y ＝4, 那么y ＝3时, x 的值等于(A)．A.4B.－4D.－35.假设函数y=11m x －(m 是常数)是反比例函数, 那么m ＝2, 解析式为y=1x． 6.写出以下各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式, 并指出函数的类别．(1)商场推出分期付款购电脑活动, 每台电脑12000元, 首付4000元, 以后每月付y 元, x 个月全部付清, 那么y 与x 的关系式为__________, __________是函数．(2)某种灯的使用寿命为1000小时, 它的使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为__________, __________是函数．(3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a 、h 、S ．当a ＝10时, S 与h 的关系式为__________, __________是函数；当S ＝18时, a 与h 的关系式为__________, __________是函数．(4)某工人承包运输粮食的总数是w 吨, 每天运x 吨, 共运了y 天, 那么y 与x 的关系式为, 是函数．解答：(1)y=8000x , 反比例； (2)y=1000x, 反比例； (3)S ＝5h, 正比例, a=36h, 反比例；(4)y=wx, 反比例．7.y是x的反比例函数, 当x=2时, y=6.(1)写出y与x的函数关系式；(2)求当x=4时, y的值．分析：因为y是x的反比例函数, 所以可设y=kx, 再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值．解：〔1〕设y=k/x, 因为x=2时, y=6, 所以有6=k/2, 解得k=12, 因此y=12/x.〔2〕把x=4代入y=12/x, 得y=12/4=3.【教学说明】学生独立思考, 然后小组合作交流．教师巡视, 查看学生完成的情况, 并及时给予引导.四、师生互动、课堂小结通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“〞中第2 、3题.2.完成练习册中相应练习.反比例函数概念形成的过程中, 大家要充分利用已有的生活经验和背景知识, 注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律, 逐步加深理解．在概念的形成过程中, 逐步建立从概念的感性认识到理性认识.。

2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。

本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。

教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。

但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。

三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。

四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。

五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。

六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。

通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。

3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。

第1课时角平分线的性质及其逆定理一、教学目标1、探究并理解角平分线的性质及其逆定理。

（重点）2、会运用角平分线性质定理的逆定理判定角平分线。

（重难点）3、通过探究讨论，提高学习数学的兴趣，培养合作交流意识。

二、重点难点1．探究并理解角平分线的性质及其逆定理。

（重点）2．会运用角平分线性质定理的逆定理判定角平分线。

（重难点）三、方法手段（一）教法1、信息技术手段。

（没有“班班通”的免）2、演示法，讲授法，图示法，例题法，练习法，随堂检测法。

（二）学法阅读法，观察法，理解记忆法，习题法。

（三）教学准备1、制作PPT，微课和几何画板。

2、用硬纸做一个角，用于对折演示角平分线。

3、配套导学案四、教学过程（一）挑战第一关，温故知新1、如图1，已知OC平分∠AOB，则 = =21=2 =22、如图2,AOB内有一点P，①过点P作OA、OB的垂线段PD、PE②的长度叫做点P到OA的距离.③的长度叫做点P到OB的距离.3. 如图3, OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点,PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足.PD和PE有什么样的关系呢？（操作过程：点名个别学生回答）(二)挑战第二关探索新知探究一：探究角平分线的性质1.认真观察自己手中的角的平分线上的点，你有什么发现？2.大胆猜测角平分线的性质。

3.如何验证你的猜测，可以采取什么样的方法？图1 图2 图34．验证。

方法一：根据角的对称性和折叠得出猜想方法二：（见学案第4页报告单）方法三：证明证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：第一步：根据题意，画出图形；第二步：根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知，求证。

已知：如图，∠AOC =∠BOC ，点P 在OC 上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E. 求证：PD=PE. 第三步：通过分析找出证明的途径，写出证明过程。

证明：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥ OB (已知)∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO 和△PEO 中∠PDO= ∠PEO （已证）∠AOC= ∠BOC （已证）OP=OP （公共边）∴ △PDO ≌ △PEO （AAS ）∴ PD=PE （全等三角形的对应边相等）结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言：∵∠AOC=∠BOC, PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴ PD=PE （操作过程：先独立思考，再对子合作交流，再对子分工进行展示，重点说明分析思路，并注意几何语言的书写）（三）挑战第三关 快乐砸蛋1.我来答：（加2分）第一个敢回答问题的你，非常棒！恭喜你已经迈出了成功的第一步。

初中数学教学设计1角平分线的性质一、教学目标1.知识与能力目标学生能够正确理解角平分线的概念，并能够应用角平分线的性质解决问题。

2.过程与方法目标通过教师讲授、生动的示范和引导等方式，培养学生分析问题、解决问题和合作学习的能力。

3.情感态度与价值观培养学生的数学思维、逻辑思维和解决问题的能力，增强他们对数学学习的兴趣和信心。

二、教学重点和难点1.教学重点角平分线的概念和性质。

2.教学难点学生能够应用角平分线的性质解决问题。

三、教学过程1.导入（5分钟）利用提示计算等方式，引导学生回顾角的概念，并复习角的度量方法和角的分类。

2.角平分线的概念（10分钟）通过示意图和具体例子引导学生理解角平分线的概念，并从几何角度解释角平分线的性质。

3.角平分线的性质（15分钟）3.1示范法引入性质一：“角平分线上的点到角的两边距离相等”。

示范画两条平行问题，利用角平分线的性质解决问题。

3.2示例法引入性质二：“角平分线把角分成两个相等的小角”。

利用示意图和具体角来帮助学生理解这一性质，并通过示例帮助学生应用角平分线的性质解决问题。

3.3归纳法引入性质三：“角平分线的两边和角的两边相交，所成的相对小角相等”。

通过归纳总结，学生可以得到这个性质，并通过练习巩固。

4.角平分线的应用（20分钟）通过提供一些需要利用角平分线解决的问题，引导学生运用已学的知识解决问题。

5.拓展（5分钟）提供一些拓展问题或稍难的问题，让学生更深入地理解角平分线的性质。

6.练习与巩固（15分钟）给学生一些练习题，巩固所学知识，并引导学生在解题过程中思考和合作。

7.小结与评价（5分钟）通过让学生回答几个关键问题，检查学生对角平分线的概念和性质的理解情况，并对学生的表现进行评价和反馈。

四、教具与参考资料1.教具：黑板、白板、教材、练习题、实物模型等。

2.参考资料：教材《数学》（初中两卷），数学软件。

五、板书设计角平分线的性质：1.角平分线上的点到角的两边距离相等。

《角平分线的性质定理及逆定理》导学案一、学习目标：1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。

2．回顾用尺规作角平分线的过程，并能说明其作法的依据；3．能够熟练的按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明。

二、重点及难点：角平分线的性质定理及其逆定理的灵活运用。

三、预习并思考一下两个问题：1．角平分线的性质定理的内容是什么？2．角平分线的性质定理的逆定理的内容是什么？四、探索并证明角平分线的性质定理及逆定理：1、角平分线的性质定理：。

几何语言表述为：∵__________________________∴____________________________ 根据定理的内容，画出图形，并结合图形，写出已知、求证，并给出证明。

注：在实际应用中，角平分线性质定理是用来证明线段相等2、写出角平分线性质定理的逆定理。

几何语言表述为：∵_______________________∴____________________________根据定理的内容，画出图形，并结合图形，写出已知、求证，并给出证明。

注：角平分线性质定理的逆定理用来证明角相等或证明点在一个角的平分线上3、角平分线的尺规作图法，作∠AOB的角平分线OP思考：这种画法的依据是：。

五、检测练习1、如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，且BD =DC ，求证：BE =CF 。

2、已知：AC=BC ， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B（试用多种方法证明）3、已知：如图，∠B=∠C=900，DM 平分∠ADC ， AM 平分∠DAB 求证： M B=MC4、已知：如图，四边形ABCD ，E 是AC 上一点，ED⊥CD 于D ，EB ⊥BC 于B ，CA 平分∠BCD 。

求证：AD=AB 。

B A。

12.3角平分线的性质及判定重难点创新教学重难点创新教学（教学流程、知识呈现、问题设置、学习方式、练习检测等）一、复习回顾：1、角的平分线的性质：如图：用几何语言表示是：∵ ∴2、逆定理： 如上图所示：用几何语言可表示为： ∵ ∴二．热身训练1、如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF=PG=PE ，则∠BPD= ．2．如图，已知AB ∥CD ，0为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点．OE ⊥AC ，且OE=2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于 ．三、合作探究例1、如图所示，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE 、CD 交于O 点，(1)、若AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC 。

（2）、若OB=OC ，求证：AO 平分∠BAC例2、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ．1、四人小组阅读课本，单独作题，老师投影到白板上，请一个代表上台板书，教师巡堂检查。

2、小老师上台纠错，发动全班火眼金睛，一起纠错。

3、师生一起归纳角平分线的性质及逆定理，并且会用几何表达。

对角平分线性质的归纳，是学生对角平分线特征的更深入认识，也是知识的一次升华，突出了教学重点.学以致用的体验，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.并训练学生能清晰有条理的表达自己的思考过程，做到“言之有理，落笔有据通过对例题的学习，加深对角平分线性质的理解，培养学生的应用意识.通过一题多变，使学生能多角度、多层次、灵活的运用所学知识解决问题，培养学生思维的深刻性与灵活性.练习是学生心智技能和动OEDBC AP M NC BAO(1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点； (2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．四、达标检测如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，（1）若BE ＝CF 。

冀教版数学八下24.8《角平分线的性质定理及其逆定理》w o r d教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN24.8角平分线的性质定理及其逆定理教学设计教学设计思想通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点.教学目标知识与技能总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明；说出用尺规作角平分线的依据；能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明.过程与方法经历用尺规作角平分线的过程；经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力；情感态度价值观通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见.教学重点和难点重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用.解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法.教学方法启发引导、小组讨论课时安排１课时教具学具准备投影仪或电脑、三角板教学过程设计（一）角平分线的性质定理我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.做一做证明三角形全等判定公理的推论.注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据.证明略.利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明.已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵PD⊥OA，P E⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO (已证)∠1＝∠2(已证)，OP＝OP(公共边)，∴△PDO≌△PEO (AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).（二）角平分线性质定理的逆定理做一做1.请写出角平分线性质定理的逆命题.2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.3.写出证明过程.注：类比“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”的学习过程，让学生独立完成“做一做”中提出的问题.这样，我们就得到：角平分线性质定理的逆定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（三）尺规作角的平分线观察与思考观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图)，思考这种作法的依据.步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点.步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每步的依据.依据是“SSS”公理和全等三角形的对应角相等.（四）练习1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证，点P到三条边AB，BC，CA的距离相等.2.在△A BC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：点D在∠A的平分线上.1.提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论.2.提示：先证△BD E≌△CDF(AAS). 再由角平分线的性质定理及其逆定理即可得到结论.（五）小结引导学生总结本节的主要知识点.（六）板书设计角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其证明角平分线的性质定理的逆定理及其证明角平分线的画法练习。