_角平分线的性质和判定(包含答案)

4321N M A B O D P P CA B M N M N AB DC P ED A BC 角平分线的性质与判定一、知识梳理：1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.二、典型例题：例１、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN及时练习：1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN例２、如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果 ∠D ＝120°，求∠B 的度数.及时练习：D CA B D F E BA CD E C A B1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD CBD S S ∆∆.2．在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.例3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BD.及时练习：1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .第1题图D C B A第2题图D B C A E P 第3题图Q S R P B A C 第4题图E F B D A C 第5题图E B C A第6题图F E D P A B C 第7题图P A B C E F 第8题图D A B C E 第9题图E D C AB 第10题图K N M QC B A三、课堂练习：1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ） A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个A ． 1B ．2C ．3D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ）A ． ①③B ．②③C ．①②D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①②③④5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上 C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个10．如图，已知BQ 是△ABC 的内角平分线，CQ 是△ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________F B D EC A O F ED A B C l 1l 2l 3第1题图第3题图D C A B P 第4题图F GE P A B C D 第5题图E O D B A C GP F E D C B A 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF .12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .四、巩固提高：1．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，则D 到AB 边的距离为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．123．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________4．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD ＝__________5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于__________6．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G ＝12(∠ACB －∠B )QP C B A 7．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞P B －P C.8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP。

答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE，∴O在∠B的角平分线上，同理可证：O在∠A的角平分线上，O在∠C的角平分线上，即O是三角形ABC三角的角平分线的交点，故选A．根据角平分线的性质的判定得出O在∠A、∠B、∠C的角平分线上，即可得出答案．本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．【解答】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．故选C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键.根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.根据角平分线的性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式列式计算即可.【解答】解：如图：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∴12×AB×DE+12AC×DF=S△ABC=28，即12×20DE+12×8DE=28，解得DE=2．故选C．6.【答案】D【解析】解：∵AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴CE=DE，在Rt△ACE和Rt△ADE中，AE=AECE=DE，∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL)，∴AD=AC，∵AB=7cm，AC=3cm，∴BD=AB−AD=AB−AC=7−3=4cm．故选：D．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=DE，再利用“HL”证明Rt△ACE和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AC，然后利用BD=AB−AD代入数据进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选A．8.【答案】B【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，∴AC⊥CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD，∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长是：BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12．故选B．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．解题时，根据题意：P点到AB，AC的距离相等，且p点在BC边上，因此线段AP是△ABC的角平分线．【解答】解：∵P点到AB，AC的距离相等，且p点在BC边上，∴根据角平分线的判定定理可知线段AP是△ABC的角平分线．故选A．10.【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上点到角的两边相等，由此得出DC=DE，从而DE+BD= CD+BD=BC=AC，得出结论．【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C=90°∴DC=DE，∴DE+BD=CD+BD=BC，又∵AC=BC，AC=6cm，∴DE+BD=6cm．故选C．11.【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．【解解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)，故答案为在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．12.【答案】6m．【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质.RT△ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC三个三角形面积的和列式求出点O到三边的距离，然后乘以3即可．【解答】解：设点O到三边的距离为hm，则SΔABC =12×8×6=12×8+6+10·h，解得h=2，所以O到三条支路的管道总长为3×2=6m．故答案为6m．13.【答案】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADCD=ED，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC=AE，又∵AC=BC，∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，∵AB=6cm，∴△DEB的周长=6cm．【解析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，求出△DEB的周长=AB是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=ED，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，然后求出△DEB的周长=AB，代入数据即可得解．14.【答案】在Rt△DEB和Rt△DFC中BD=DC，BE=CF(HL)则Rt△DEB≌Rt△DFC故DE=DF那么AD是△ABC的角平分线。

第十四讲角平分线的性质【学习目标】1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.【新课讲解】知识点1：尺规作角平分线1.作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要熟练掌握.2.尺规作角平分线方法（重要）已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求.知识点2：角平分线的性质1. 角平分线的性质定理的内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.证明角平分线的性质【例题1】已知：如图，∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证：PD=PE.【答案】见解析。

【解析】证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.在△PDO和△PEO中，∴ △PDO ≌△PEO(AAS).∴PD=PE知识点2：角平分线的性质定理应用1.理解角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用角平分线的性质定理所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.角平分线的性质定理的作用是证明线段相等.2.一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即(1)明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.【例题2】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC.【答案】见解析。

【解析】证明： ∵AD 是∠BAC 的角平分线， DE ⊥AB, DF ⊥AC ，∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.在Rt △BDE 和 Rt △CDF 中，∴ Rt△BDE ≌ Rt △CDF(HL).∴ EB=FC.角平分线的性质问题新课程过关检测满分100分，答题时间60分钟一、选择题（5小题，每小题4分，共20分）1．如图，已知AOB ∠，小明按如下步骤作图：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E（2）分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠的内部相交于点C （3）画射线OC根据上述作图步骤，下列结论正确的有（ ）个①射线OC 是AOB ∠的平分线；②点O 和点C 关于直线DE 对称；③射线OC 垂直平分线段DE ；④OD DC =.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】根据题意可知,OD OE CD CE ==，OC OC =，可通过证明三角形全等或线段垂直平分线的判定进行判断.连接CD 、CE ，由作图步骤可知,OD OE CD CE ==，又OC OC =，ODC OEC ∴∆≅∆，DOC EOC ∴∠=∠，∴射线OC 是AOB ∠的平分线，①正确；连接DE,因为,ODF CDF ∆∆不全等，所以点O 和点C 关于直线DE 不对称，OD DC ≠②④错误； ,,OD OE CD CE ==∴射线OC 垂直平分线段DE ，③正确.所以正确的是①③，有2个.故选B2．如图，AOB ∆的外角,CAB DBA ∠∠的平分线,AP BP 相交于点P ，PE OC ⊥于E ，PF OD ⊥于F ，下列结论：（1）PE PF =；（2）点P 在COD ∠的平分线上；（3）90APB O ∠=︒-∠，其中正确的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF ==，可判断（1）（2）正确；由12APB EPF ∠=∠，180EPF O ∠+∠=︒，得到1902APB O ∠=︒-∠，可判断（3）错误；即可得到答案． 解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ，∴PE PG PF ==；故（1）正确；∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确； ∵12APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=∠， 又180EPF O ∠+∠=︒，∴11(180)9022APB O O ∠=⨯︒-∠=︒-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个；故选：C ．3．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C 【解析】过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵AB ∥CD ，PA ⊥AB ，∴PD ⊥CD ，∵BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，∴PA=PE ，PD=PE ，∴PE=PA=PD ，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C ．4.如图，已知点P ，D ，E 分别在OC ，OA ，OB 上，下列推理：平分，平分，，，，，．其中正确的个数有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】角的平分线的性质的题设是已知角的平分线和平分线上的点到两边的距离垂直，只有满足这两个条件，才能下结论：；缺少“垂直”的条件，故错误；缺少“平分线”的条件，故错误；两个条件都具备。

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

角的平分线的性质重难点题型①以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.②分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC 即为所求.【题型1 角平分线的作法及应用】【例1】（2020秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，作法的合理顺序是 ．（将①②③重新排列）①作射线OC ；②以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ．12【解题思路】根据角平分线的作法进行解答．【解答过程】解：作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ， （3）作射线OC ，所以OC 就是所求作的∠AOB 的平分线．故题中的作法应重新排列为：②③①．故答案为：②③①．【变式1-1】（2020•连城县模拟）如图，已知∠MON ，点B ，C 分别在射线OM ，ON 上，且OB ＝OC ．（1）用直尺和圆规作出∠MON 的角平分线OP ，在射线OP 上取一点A ，分别连接AB 、AC （只需保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）的条件下求证：AB ＝AC ．【解题思路】（1）根据作角平分线的方法画图即可；（2）先判断出∠POB ＝∠POC ，进而根据全等三角形的判定定理和性质即可得到结论．【解答过程】解：（1）如图所示：射线OP 即为所求；（2）由（1）知，OP 是∠MON 的角平分线，∴∠POB ＝∠POC ，在△ABO 与△ACO 中{OB =OC∠AOB =∠AOC OA =OA，∴△ABO ≌△ACO （SAS ），∴AB ＝AC ．【变式1-2】（2020秋•沛县期中）如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．【解题思路】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）先由AD＝CD知∠A＝∠DCA，继而得∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，再由DE平分∠BDC知∠BDC ＝2∠BDE，从而得∠BDE＝∠A，从而得证．【解答过程】解：（1）如图所示，DE即为所求．（2）DE∥AC．理由如下：因为AD＝CD，所以∠A＝∠DCA，所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，因为DE平分∠BDC，所以∠BDC＝2∠BDE，所以∠BDE＝∠A，所以DE∥AC．【变式1-3】（2021秋•孟州市校级期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：根据以上情境，解决下列问题：作法：（如图1）①在OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE ．②分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C ．③作射线OC ，则OC 就是∠AOB 的平分线．小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图2），方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 和OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ＝ON ．②分别过M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．③作射线OP ，则OP 为∠AOB 的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ．②小聪的作法正确吗？请说明理由．③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）【解题思路】①根据全等三角形的判定即可求解；②根据HL 可证Rt △OMP ≌Rt △ONP ，再根据全等三角形的性质即可作出判断；③根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可．【解答过程】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS ；故答案为SSS ；②小聪的作法正确．理由：∵PM ⊥OM ，PN ⊥ON∴∠OMP ＝∠ONP ＝90°，在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，∵{OP =OP OM =ON， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP ＝∠NOP ，∴OP 平分∠AOB ．③如图所示：步骤：①利用刻度尺在OA 、OB 上分别截取OG ＝OH ，②连接GH ，利用刻度尺作出GH 的中点Q ，③作射线OQ ，则OQ 为∠AOB 的平分线．【题型2 角平分线的性质的应用】【例2】（2021春•毕节市期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（）A．9B．5C．10D．不能确定【解题思路】先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB．【解答过程】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，{AD=ADDC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．故选：C．【变式2-1】（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD．【解答过程】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP＝AD＝3．故选：C．【变式2-2】（2020秋•增城区期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．33【解题思路】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD ＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．【解答过程】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC=12×OE×AB+12×OD×BC+12×OF×AC=32（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC=32×18＝27（cm2）．故选：B．【变式2-3】（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（）A．2B．3C．4D．6【解题思路】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积＝△DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答过程】解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DF，在Rt△DEF和Rt△DGH中，{DF=DHDE=DG，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴△DEF的面积＝△DGH的面积，设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面积＝△ADH的面积，∴24﹣S＝18+S，解得，S＝3，故选：B．【题型3 角平分线的性质与等积法】【例3】（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．【解题思路】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．【解答过程】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=12×AB×DE+12×AC×DF，∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，∴152=12×20×DE+12×18×DF，∴10DE+9DF＝152，∵DE＝DF，∴19DE＝152，∴DE＝8．【变式3-1】（2021春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD 平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．【解题思路】过A 点作AH ⊥BC 于H ，过D 点作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图，利用面积法先求出AH =245，再根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，接着利用面积法得到12AB •DE +12AC •DF =12AB •AC ，则可求出DE =247，然后利用12AH •BD =12AB •DE 可求出BD 的长． 【解答过程】解：过A 点作AH ⊥BC 于H ，过D 点作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图，∵12AH •BC =12AC •AB ， ∴AH =6×810=245， ∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，∵12AB •DE +12AC •DF =12AB •AC ， ∴3DE +4DF ＝24，∴DE =247， ∵S △ABD =12AH •BD =12AB •DE ，∴BD =6×247245=307．【变式3-2】（2020春•番禺区校级期中）点P 为△ABC 三内角平分线的交点，∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，求：点P 到三边的距离．【解题思路】根据点P 为三角形三个内角平分线的交点，作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥AB 于F ，连接P A ，PB ，PC ，可得PD ＝PE ＝PF ，根据三角形的面积公式即可求出点P 到三边的距离．【解答过程】解：∵点P 为三角形三个内角平分线的交点，作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥AB 于F ，连接P A ，PB ，PC ，如图，∴PD ＝PE ＝PF ，设PD ＝PE ＝PF ＝R ，由三角形的面积公式得：S △ACB ＝S △APC +S △APB +S △BPC ，∴12×AC ×BC =12×AC ×R +12×BC ×R +12×AB ×R ， 6×8＝6R +8R +10R ，R ＝2，即PD ＝2cm ．答：点P 到三边的距离为2cm ．【变式3-3】（2020秋•渝水区校级期中）知识储备：（1）如图1，AD 是△ABC 的高，则△ABC 的面积S △ABC =12BC •AD ．比例的性质：若b a =d c =⋯=n m ，则b+d+⋯+n a+c+⋯+m =b a =d c =n m ．知识运用：（2）如图2，BE 是△ABC 的角平分线，运用上述知识，求证：AB BC =AE CE ；知识延展：（3）如图3，△ABC 的角平分线BE 平分△ABC 的周长，求证：△ABC 是等腰三角形．【解题思路】2．作EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，BH ⊥AC ，垂足分别是F ，G ，H ，根据角平分线的性质得到EF ＝EG ，根据三角形的面积公式即可得到结论；3．由（1）得到AB BC =AE CE ，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答过程】2．证明：作EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，BH ⊥AC ，垂足分别是F ，G ，H ，∵BE 平分∠ABC ，∴EF ＝EG ，∵S △ABE =12AB ⋅EF ，S △BCE =12BC ⋅EG ，∴S △ABES △BCE =AB BC ，∵S △ABE =12AE ⋅BH ，S △BCE =12CE ⋅BH ，∴S △ABE S △BCE =AE CE ， ∴AB BC =AE CE ，3．证明：由（1）知AB BC =AE CE ， ∴AB BC =AE+AB CE+BC ，∵AB +AE ＝BC +CE ，∴AB BC =1，∴AB ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形．【题型4 角平分线的性质与全等】【例4】（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BE ＝FC ．求证：BD ＝DF ．【解题思路】因为∠C ＝90°，DE ⊥AB ，所以∠C ＝∠DEB ，又因为AD 平分∠BAC ，所以CD ＝DE ，已知BE ＝FC ，则可根据SAS 判定△CDF ≌△EDB ，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答过程】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴DC ＝DE ，在△DCF 和△DEB 中，{DC =DE∠C =∠BED CF =BE，∴△DCF ≌△DEB ，（SAS ），∴BD ＝DF ．【变式4-1】（2020秋•平山县期中）如图，∠AOB ＝90°，OM 平分∠AOB ，将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由．【解题思路】先过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，构造全等三角形：Rt △PCE 和Rt △PDF ，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE ＝PF ，只需再证∠EPC ＝∠FPD ，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF ，那么三角形全等就可证．【解答过程】解：PC 与PD 相等．理由如下：过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ．∵OM 平分∠AOB ，点P 在OM 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，∴PE ＝PF （角平分线上的点到角两边的距离相等）又∵∠AOB ＝90°，∠PEO ＝∠PFO ＝90°，∴四边形OEPF 为矩形，∴∠EPC +∠CPF ＝90°，又∵∠CPD ＝90°，∴∠CPF +∠FPD ＝90°，∴∠EPC ＝∠FPD ＝90°﹣∠CPF ．在△PCE 与△PDF 中，∵{∠PEC =∠PFDPE =PF ∠EPC =∠FPD，∴△PCE ≌△PDF （ASA ），∴PC ＝PD ．【变式4-2】（2021春•盐田区校级期中）已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，点F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ．求证：DF ＝EF ．【解题思路】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD ＝PE ，利用“HL ”证明Rt △OPD 和Rt △OPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OD ＝OE ，再利用“边角边”证明△ODF 和△OEF 全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可．【解答过程】证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD ＝PE ，在Rt △OPD 和Rt △OPE 中，{OP =OP PD =PE， ∴Rt △OPD ≌Rt △OPE （HL ），∴OD ＝OE ，∵OC 是∠AOB 的平分线，在△ODF和△OEF中，{OD=OE∠DOF=∠EOF OF=OF，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．【变式4-3】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；（3）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN．【解题思路】（1）利用基本作图得到AE＝AF，PE＝PF，则可根据“SSS“判断△AEP≌△AFP，从而得到∠EAP＝∠F AP；（2）利用平行线的性质可计算出∠BAC＝66°，然后利用角平分线的定义可计算出∠MAB的度数；（3）利用CD∥AB得到∠BAM＝∠CMA，加上∠CAM＝∠BAM，所以∠CAM＝∠CMA，则CA＝CM，则可利用“AAS”判断△CAN≌△CMN．【解答过程】（1）证明：连接PE、PF，如图，由作法得AE＝AF，PE＝PF，而AP＝AP，∴△AEP≌△AFP（SSS），∴∠EAP＝∠F AP，即AP平分∠CAB；（2）解：∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵AP平分∠CAB，∴∠MAB =12∠BAC ＝33°；（3）解：∵CD ∥AB ，∴∠BAM ＝∠CMA ，∵∠CAM ＝∠BAM ，∴∠CAM ＝∠CMA ，∴CA ＝CM ，∵CN ⊥AM ，∴∠CNA ＝∠CNM ，在△CAN 和△CMN 中{∠CAN =∠CMN ∠ANC =∠MNC AC =CM∴△CAN ≌△CMN （AAS ）．【题型5 角平分线的判定】【例5】（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【解题思路】根据角平分线的性质可作直线l2与l3夹角的平分线与直线l1的交点即为符合条件的点．【解答过程】解：作直线l2与l3夹角的平分线OA，OB，交直线l1于A，B两点，则在l1上到另两条公路的距离相等的位置有点A和点B两个位置．故选：B．【变式5-1】（2020秋•长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】从已知提供的条件结合角平分线的性质进行思考，在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有三个；【解答过程】解：在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有三个，故选：C．【变式5-2】（2020秋•夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【解题思路】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；【解答过程】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．【变式5-3】（2021春•道县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③【解题思路】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．【解答过程】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选：A．【题型6 角平分线的性质与判定综合】【例6】（2020秋•朝阳区校级期中）如图，OD 平分∠AOB ，OA ＝OB ，P 是OD 上一点，PM ⊥BD 于点M ，PN ⊥AD 于点N ．求证：PM ＝PN ．【解题思路】由已知容易求证△OBD ≌△OAD （SAS ），可得∠3＝∠4，再根据角平分线性质的逆定理，可证PM ＝PN ．【解答过程】证明：∵OD 平分∠AOB ，∴∠1＝∠2．在△OBD 和△OAD 中，{OB =OA ∠1=∠2OD =OD，∴△OBD ≌△OAD （SAS ）．∴∠3＝∠4．∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，∴PM ＝PN ．【变式6-1】（2020秋•临西县期末）已知：如图，BP 、CP 分别是△ABC 的外角平分线，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．求证：P A 平分∠MAN ．【解题思路】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．【解答过程】证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴P A平分∠MAN．【变式6-2】（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【解题思路】（1）根据直角三角形的性质求出∠F AE，根据补角的定义计算，得到答案；（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答过程】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E 作EG ⊥AD 于G ，EH ⊥BC 于H ，∵∠F AE ＝∠DAE ＝40°，EF ⊥BF ，EG ⊥AD ，∴EF ＝EG ，∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥BF ，EH ⊥BC ，∴EF ＝EH ，∴EG ＝EH ，∵EG ⊥AD ，EH ⊥BC ，∴DE 平分∠ADC ；（3）解：∵S △ACD ＝15，∴12×AD ×EG +12×CD ×EH ＝15，即12×4×EG +12×8×EG ＝15， 解得，EG ＝EH =52，∴EF ＝EH =52，∴△ABE 的面积=12×AB ×EF =12×7×52=354．【变式6-3】（2020秋•庆阳期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点P ，PD ⊥AC 于点D ，PH ⊥BA 于点H ．（1）若PH ＝8cm ，求点P 到直线BC 的距离；（2）求证：点P 在∠HAC 的平分线上．【解题思路】（1）作PQ ⊥BE 于Q ，如图，利用角平分线的性质得到PH ＝PQ ＝8cm ；（2）根据角平分线的性质得到PD ＝PQ ，PH ＝PQ ，则PD ＝PH ，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．【解答过程】（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，∵BP平分∠ABC，∴PH＝PQ＝8，即点P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：∵PC平分∠ACE，∴PD＝PQ，而PH＝PQ，∴PD＝PH，∴点P在∠HAC的平分线上．。

专题07 角平分线的性质重点突破知识点一角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB∴∠MOP=∠NOP知识点二角平分线常考四种辅助线：1.图中有角平分线，可向两边作垂线。

2.角平分线加垂线，三线合一试试看。

3.角平分线平行线，等腰三角形来添。

4.也可将图对折看，对称以后关系出现。

考查题型考查题型一与角平分线有关的计算典例1（2020·廊坊市期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ).A．35°B．70°C．110°D．145°【答案】C【详解】∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,∴∠AOD=180°-70°=110°.故选C.变式1-1．（2019·通辽市期末）已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC的度数是( )A．22°B．46°C．68°D．78°【答案】C【提示】由垂直的定义可知∠AOB=90°，由角平分线的定义可知∠BOC=∠BOD=22°，从而求得∠AOC的度数.【详解】解：∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=22°，∴∠AOC=90°-22°=68°.故选C.【名师点拨】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义.变式1-2．（2018·路北区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF=90°，OF平分∠AOE，若∠BOD=32°，则∠EOF的度数为（）A．32°B．48°C．58°D．64°【答案】C【解析】∵∠DOF=90°，∠BOD=32°，∴∠AOF=90°-32°=58°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=58°．故选C．变式1-3．（2018·石家庄市期末）如图，O B是∠A O C的平分线，O D是∠C O E的平分线．如果∠A O B＝50°，∠C O E ＝60°，则下列结论错误的是()A．∠A O E＝110°B．∠B O D＝80°C．∠B O C＝50°D．∠D O E＝30°【答案】A【提示】根据角平分线的性质，角的和差倍分关系计算作答．【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB=50°，∠COE=60°，∴A、∠AOE=2∠AOB+∠COE=160°，故错误；B、∠BOD=∠BOC+∠COD=∠AOB+12∠COE=80°，故正确；C、∠BOC=∠AOB=50°，故正确；D、∠DOE=12∠COE=30°，故正确．故选A．【名师点拨】本题结合角平分线的性质考查了角的和差倍分关系计算．变式1-4．（2018·郑州市期末）已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD 的度数是（）A．20°或50°B．20°或60°C．30°或50°D．30°或60°【答案】C【解析】试题解析：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=12∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°；如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；故选C．考查题型二角平分线的性质定理典例2（2019·云龙县期中）如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【详解】试题提示：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，∵OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA 于D ，∴PE=PD ，∵PD=6，∴PE=6，即点P 到OB 的距离是6．故选A ．变式2-1．（2019·邵阳市期中）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB=10，S △ABD =15，则CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】作DE ⊥AB 于E ， ∵AB=10，S △ABD =15， ∴DE =3，∵AD 平分∠BAC ,∠C =90°，DE ⊥AB ， ∴DE =CD =3， 故选A.变式2-2．（2020·景泰县期中）如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D 【提示】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥ ∴PA PB =，选项A 正确； 在△AOP 和△BOP 中，PO POPA PB =⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ． 【名师点拨】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．变式2-3．（2019·肥城市期末）如图，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG 和AED 的面积分别为60和35，则EDF 的面积为( )A ．25B ．5.5C ．7.5D ．12.5 【答案】D 【提示】过点D 作DH ⊥AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH ，再利用“HL”证明Rt △ADF 和Rt △ADH 全等，Rt △DEF 和Rt △DGH 全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可. 【详解】如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ⊥， DF DH ∴=，在Rt ADF 和Rt ADH 中，AD ADDF DH =⎧⎨=⎩， Rt ADF ∴≌()Rt ADH HL ，RtADFRtADH S S ∴=，在Rt DEF 和Rt DGH 中，DE DGDF DH =⎧⎨=⎩Rt DEF ∴≌()Rt DGH HL ，RtDEFRtDGHS S ∴=，ADG 和AED 的面积分别为60和35，Rt DEFRtDGH 35S 60S ∴+=-，RtDEF S ∴=12.5，故选D ．【名师点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．变式2-4．（2019·磴口县期中）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【解析】 ∵DE ⊥AB ， ∴∠C=∠AED=90°， ∵AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD=∠EAD ，在△ACD 和△AED 中，C AED CAD EAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△AED(AAS)， ∴AC=AE ，CD=DE ，∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE ， BD+DE+BE=AE+BE=AB=6， 所以，△DEB 的周长为6cm. 故选B.考查题型三 角平分线的判定定理典例3．（2019·漳州市期中）如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】提示：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答：解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PA=PQ=2，故选B．变式3-1．（2018·广安市期末）如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是( )A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC【答案】C【解析】提示：如图，由已知条件判断AD平分∠BAC即可解决问题．详解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．故选C．名师点拨：该题主要考查了角平分线的判定及其性质的应用问题；牢固掌握角平分线的性质是解题的关键．变式3-2．（2018·深圳市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB 于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【提示】根据角平分线性质求出CD=DE，根据等腰三角形的判定得出BE=DE，求出CD=DE=BE，根据勾股定理和CD=DE 求出AC=AE，求出AC=AE=BC，再逐个判断即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，∵∠CDA=∠EDA，∴∠CDA=∠EDA=11352︒⨯=67.5°≠45°，∴∠EDA≠∠BDE，∴DE不平分∠BDA，∴②错误；∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE，∵AC=BC，∴AE=AC=BC，∵∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE=CD，∴AE-BE=BC-CD=BD，∴③正确；△BDE周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm，∴④正确；即正确的个数是3，故选：B．【名师点拨】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线性质等知识点，能求出AC=AE=BC和CD=DE=BE 是解此题的关键．变式3-3．（2020·嵩县期末）如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【答案】B【提示】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.【详解】如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选B.【名师点拨】本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练掌握定理是解题关键.考查题型四角平分线性质的实际应用典例4．（2020·济南市期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4.若BC=21，则点D到AB边的距离为( )A．7 B．9 C．11 D．14【答案】B【提示】先确定出CD=9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．【详解】解：∵CD：BD=3：4．设CD=3x，则BD=4x，∴BC=CD+BD=7x，∵BC=21，∴7x=21，∴CD=9，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，∴DE=CD=9，∴点D到AB边的距离是9，故选B．【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，线段的和差，解本题的关键是掌握角平分线的性质定理．变式4-1．（2018·成都市期末）如图，在△ABC 中，∠B=90º，AC=10，AD 为此三角形的一条角平分线，若BD=3，则三角形ADC 的面积为（）A．3 B．10 C．12 D．15【答案】D【提示】过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质得出BD=DE=3，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：过D作DE⊥AC于E．∵AD是∠BAC的角平分线，∠B=90°（DB⊥AB），DE⊥AC，∴BD=DE，∵BD=3，∴DE=3，∴S△ADC=12•AC•DE=12×10×3=15【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．变式4-2．（2018·潍坊市期中）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（）A．3公里B．4公里C．5公里D．6公里【答案】B【详解】解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；∵AB=BC=CD=DA=5公里，∴四边形ABCD是菱形，∴∠CAE=∠CAF，∴CE=CF=4公里．变式4-3．（2019·东城区期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（）.A ．∠A 的平分线上B ．AC 边的高上C ．BC 边的垂直平分线上D ．AB 边的中线上【答案】A 【提示】根据角平分线的判定推出M 在∠BAC 的角平分线上，即可得到答案． 【详解】 如图，∵ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，ME=MF ， ∴M 在∠BAC 的角平分线上， 故选：A ． 【名师点拨】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 变式4-4．（2019·河西区期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC 上修建一个度假村。

角平分线的性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，连结AE 并延长交BC 的延长线于F ，连结BE ．（1）求证：AD ＝CF ；（2）若AB ＝BC +AD ，求证：BE ⊥AF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）通过AAS 证明△ADE 和△FCE 全等，可得到AD ＝CF ；（2）由等腰三角形的“三线合一”的性质可得出结论.【详解】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠F ，∠ADE ＝∠FCE ．∵点E 是DC 的中点，∴DE ＝CE ．在△ADE 和△FCE 中DAF F ADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ．（2）∵CF ＝AD ，AB ＝BC +AD ，∴AB ＝BF ，∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，∴BE ⊥AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．2．已知：如图，BD 为ABC △的角平分线，且BD BC =，E 为BD 延长线上的一点，BE BA =，过E 作EF AB ⊥，F 为垂足．求证：（1）AD AE EC ==．（2）2BA BC BF +=．【答案】证明详见解析【解析】分析：（1）根据角平分线的性质，得到∠ABD=∠CBD ，然后根据SAS 证得ABD ≌EBC ，然后根据全等三角形的性质和三角形的外角得到等腰△ACE ，由此可证；（2）过点E 作EG BC ⊥于点G ，根据三角形全等的判定“HL”证得Rt BEG ≌Rt BEF 和Rt CEG ≌Rt AFE ，然后根据全等三角形的对应边相等，等量代换求解.详解：证明：（1）∵BD 为ABC 的角平分线，∴ABD CBD ∠=∠，∴在ABD 和EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ≌()EBC SAS ，∴BCE BDA ∠=∠，∵BCE BCD DCE ∠=∠+∠，BDA DAE BEA ∠=∠+∠，BCD BEA ∠=∠，∴DCE DAE ∠=∠，∴ACE 为等腰三角形，∴AE EC =，∵ABD ≌EBC ，∴AD EC =，∴AD EC AE ==．（2）过点E 作EG BC ⊥于点G ，∵E 是BD 上的点，EF AB ⊥，EG BC ⊥，∴EF EG =，∵在Rt BEG 和Rt BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt BEG ≌()Rt BEF HL ，∴BG BF =，∵在Rt CEG 和Rt AFE 中，EF EG AE CE =⎧⎨=⎩， Rt CEG ≌Rt AFE ，∴AF CG =，∴BA BC BF FA BG CG +=++-，BF BG BF =+=∠，∴2BA BC BF +=．点睛：此题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．3．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ．【答案】证明见解析.【解析】【分析】过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N ，根据角平分线性质求出DN=DM ，继而可推导得出∠MED=∠NFD ，根据全等三角形的判定AAS 推出△EMD ≌△FND 即可．【详解】过D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN （角平分线性质），∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD ，在△EMD 和△FND 中MED DFN DME DNF DM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMD ≌△FND （AAS ），∴DE=DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和角平分线性质的应用，解题的关键是正确作辅助线，推出△EMD 和△FND 全等. 4．如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC ,DG ⊥BC 且平分BC ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F .求证:BE=CF .【答案】见解析【解析】【分析】连接BD,CD,由AD 平分∠BAC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,根据角平分线的性质,即可得DE=DF,又由DG ⊥BC 且平分BC,根据线段垂平分线性质得∠BGD=∠CGD=90°,BG=CG , 再证△BGD ≌△CGD (SAS), BD=CD .可得Rt △BED ≌Rt △CFD (HL),BE=CF .【详解】如图,连接BD ,CD,∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DE=DF .又∵DG ⊥BC 且平分BC ,∴∠BGD=∠CGD=90°,BG=CG ,在△BGD 和△CGD 中,,,,BG CG BGD CGD GD GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BGD ≌△CGD (SAS),∴BD=CD.在Rt △BED 和Rt △CFD 中,,,DE DF BD CD =⎧⎨=⎩∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL),∴BE=CF .【点睛】本题考核知识点：角平分线，中垂线，全等三角形. 解题关键点：熟记角平分线性质和中垂线性质.5．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，点D 在CE 上，AF ⊥CB ，垂足为F .(1)若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积；(2)求证：CE ＝2AF .【答案】(1) 50；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求出∠BAC=∠EAD ，根据SAS 推出△ABC ≌△ADE ，推出四边形ABCD 的面积=三角形ACE 的面积，即可得出答案；（2）过点A 作AG ⊥CD ，垂足为点G ，求出AF=AG ，进而求出CG=AG=GE ，即可得出答案．详解：(1)∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)．∴S△ABC＝S△ADE，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝S△ADE＋S△ACD＝S△ACE＝12AC·AE＝12×102＝50.(2)∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠AEC＝45°.由(1)知△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝∠ACE，∴CA平分∠ECF.过点A作AG⊥CD，垂足为点G.∵AF⊥CB，∴AF＝AG.又∵AC＝AE，∴∠CAG＝∠EAG＝45°，∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC，∴CG＝AG＝GE，∴CE＝2AG＝2AF.点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质，直角三角形的性质和应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如图，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是__________.（2）问题解决：如图，求证AD＝CD；（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；（2）作DE⊥BA 交BA 延长线于E，DF⊥BC 于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；（3）在BC 时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC ，结合图形证明．【详解】解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，∴DA ＝DC （角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）如图 2，作DE ⊥BA 交 BA 延长线于 E ，DF ⊥BC 于 F ，∵BD 平分∠EBF ，DE ⊥BE ，DF ⊥BF ，∴DE ＝DF ，∵∠BAD+∠C ＝180°，∠BAD+∠EAD ＝180°，∴∠EAD ＝∠C ，在△DEA 和△DFC 中，DEA DFC DAE DCF DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEA ≌△DFC （AAS ），∴DA ＝DC ；（3）如图，在 BC 时截取 BK ＝BD ，连接 DK ，∵AB ＝AC ，∠A ＝100°，∴∠ABC ＝∠C ＝40°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBK ＝12∠ABC ＝20°， ∵BD ＝BK ，∴∠BKD ＝∠BDK ＝80°，即∠A+∠BKD ＝80°， 由（2）的结论得 AD ＝DK ，∵∠BKD ＝∠C+∠KDC ，∴∠KDC ＝∠C ＝40°，∴DK ＝CK ，∴AD ＝DK ＝CK ，∴BD+AD ＝BK+CK ＝BC ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在边AC 上，BD DF =.求证：（1）CF EB =；（2）2AB AF EB =+.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知DC=DE ，再用HL 证明Rt DCF Rt DEB ∆≅∆即可；（2）利用角平分线性质证明Rt ADC Rt ADE ∆≅∆，从而得AC=AE ，再将线段AB 进行转化可得结论.【详解】证明：（1）∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DC AC ⊥，∴DC DE =.在Rt DCF ∆和Rt DEB ∆中，DF DB DC DE =⎧⎨=⎩， ∴()Rt DCF Rt DEB HL ∆≅∆.∴CF EB =.（2）由（1）知DC DE =，CF EB =.在Rt ADC ∆和Rt ADE ∆中，DC DE AD AD =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ADC Rt ADE HL ∆≅∆.∴AC AE =.∴AB AE BE AC EB AF CF EB =+=+=++2AF EB =+.【点睛】本题考查了角平分线的性质和直角三角形全等的判定（HL ），解（1）题的关键是先证得DC=DE ，（2）题的关键是证得AC=AE ，很明显，熟知并能灵活应用角平分线的性质是解决本题的关键.8．如图菱形ABCD 中，∠ADC=60°，M 、N 分别为线段AB ，BC 上两点，且BM=CN ，且AN ，CM 所在直线相交于E.（1）证明△BCM ≌△CAN ；（2）∠AEM= °；（3）求证DE 平分∠AEC ；（4）试猜想AE ，CE ，DE 之间的数量关系并证明.【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）证明见解析；（4）ED=EC+AE ，理由见解析.【解析】试题分析：（1）如图，连接AC ．由题意△ABC ，△ADC 都是等边三角形，根据SAS 即可证明△BCM ≌△CAN ． （2）由△BCM ≌△CAN ，推出∠BCM =∠CAN ，推出∠AEM =∠ACE +∠EAC =∠ACE +∠BCM =60°．（3）如图中，作DG ⊥AN 于G ．DH ⊥MC 交MC 的延长线于H ．由△DGA ≌△DHC ，推出DG =DH ，由DG ⊥AN ，DH ⊥MC ，推出∠DEG =∠DEH ．即DE 平分∠AEC ．（4）结论：EA +EC =ED ．由（3）可知，∠GED =60°，在Rt △DEG 中，由∠EDG =30°，推出DE =2EG ，易证△DEG ≌△DEH ，推出EG =EH ，推出EA +EC =EG +AG +EH -CH ，由△DGA ≌△DHC ，推出GA =CH ，推出EA +EC =2EG =DE ，解：（1）如图1中，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠ADC=60°，∴△ACD，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，在△BCM和△CAN中，，∴△BCM≌△CAN．（2）如图1中，∵△BCM≌△CAN，∴∠BCM=∠CAN，∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．故答案为60．（3）如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．∵∠AEM=60°，∴∠AEC=120°，∵∠DGE=∠H=90°，∴∠GEH+∠GDH=180°，∴∠GDH=∠ADC=60°，∴∠ADG=∠CDH，在△DGA和△DHC中，，∴△DGA≌△DHC，∴DG=DH，∵DG⊥AN，DH⊥MC，∴∠DEG=∠DEH．∴DE平分∠AEC．（4）结论：EA+EC=ED．理由如下：如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，∴DE=2EG，易知△DEG≌△DEH，∴EG=EH，∴EA+EC=EG+AG+EH-CH，∵△DGA≌△DHC，∴GA=CH，∴EA+EC=2EG=DE，∴EA+EC=ED．点睛：本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质．菱形性质．等边三角形的判定和性质、角平分线的判定定理．直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会证明角平分线的添加辅助线的方法，属于中考压轴题．=，连接DE，DF，9．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AEEF. FH平分EFB∠交BD于点H.⊥；（1）求证：DE DF=：（2）求证：DH DF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.（3）过点H作HM EF【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠,所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得BD ==.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以sin 45HN BH ===︒.由cos 45DF EF ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。