2019届高考数学二轮复习第三部分回顾教材以点带面1回顾1集合常用逻辑用语复数必练习题

考前回扣一、集合、复数与常用逻辑用语知识方法1.集合的概念、关系及运算(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.(2)集合与集合之间的关系:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.(3)集合的基本运算①交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.②并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.③补集:∁U A={x|x∈U,且x∉A}.重要结论:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔B⊆A.2.四种命题的关系(1)逆命题与否命题互为逆否命题;(2)互为逆否命题的两个命题同真假;(3)当判断原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.3.充分、必要条件若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.4.简单的逻辑联结词命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真; p和p为真假对立的命题.5.全称命题与特称命题(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定 p:∃x0∈M, p(x0).(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定 p:∀x∈M, p(x).6.复数(1)复数的有关概念(2)运算法则加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.除法:==.易忘提醒1.求解集合运算时,要注意集合端点值的取舍,涉及含参数的集合运算时,要注意集合中元素的“互异性”.2.判断一些命题的真假时,如果不能直接判断,可以转化为判断其逆否命题的真假.3.否命题是既否定条件,又否定结论;而命题的否定是只否定命题的结论.在否定结论时,应将“且”改成“或”,将“或”改成“且”.4.A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A,且A⇒/ B)两者的不同.5.只有当两个复数全是实数时,两复数才能比较大小,即当z1,z2∈C时,若z1,z2能比较大小,它们的虚部均为0.习题回扣(命题人推荐)1.(集合的运算)若集合M=x y=,N={y|y=},则M∩∁R N= .答案:{x|x<0}2.(复数的概念与运算)+1= .答案:3.(复数相等)若x,y∈R,且(x-3y)+(2x+3y)i=5+i,则x-y= .答案:34.(充要条件)两直线斜率相等是两直线平行的条件.答案:既不充分又不必要5.(命题真假判断)下列命题是真命题的序号是.①“空集是集合A的子集”的否定;②有些整数只有两个正因数;③∃x是无理数,x2也是无理数;④“任意两个等边三角形都是相似”的否定.答案:②③二、平面向量、框图与合情推理知识方法1.平面向量(1)平面向量的两个重要定理①向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.②平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.(2)两个非零向量平行、垂直的充要条件若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:①a∥b⇔a=λb(λ≠0)⇔x1y2-x2y1=0.②a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(3)平面向量的三个性质①若a=(x,y),则|a|==.②若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.③若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ==.(4)常用的重要结论:①若直线l的斜率为k,则(1,k)是直线l的一个方向向量;②若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构:如图(1)所示;(2)条件结构:如图(2)和(3)所示;(3)循环结构:如图(4)和(5)所示.3.合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理.易忘提醒1.注意向量平行与三点共线的区别与联系,当两向量平行且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.2.向量相等具有传递性,向量平行不具有传递性.如a∥b,b∥c,只有b≠0时,a∥c.3.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.4.a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要不充分条件.5.利用循环结构表示算法,第一要准确地选择表示累计的变量,第二要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环体.6.直到型循环是先执行再判断,直到条件满足才结束循环;当型循环是先判断再执行,若满足条件则进入循环体,否则结束循环.7.合情推理的结论不一定是正确的,要确定其结论的正确性还需证明.习题回扣(命题人推荐)1.(程序框图)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( A )(A)[-3,4] (B)[-5,2](C)[-4,3] (D)[-2,5]2.(共线向量)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|= .3.(数量积的应用)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为.答案:4.(数量积的应用)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy下的坐标.假设=3e1+2e2,则||= .答案:5.(类比推理)设P是△ABC内一点,△ABC三边上的高分别为h A,h B,h C,P到三边的距离依次为l a,l b,l c,则有++=1;类比到空间,设P是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别是h A,h B,h C,h D,P到这四个面的距离依次是l a,l b,l c,l d,则有.答案:+++=1三、不等式与线性规划、计数原理与二项式定理知识方法1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.2.线性规划(1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法.在直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的某一侧任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来确定Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或者最小值.(3)求解实际生活中线性规划问题时,应根据条件确定可行域及目标函数,根据可行域及目标函数特征求最值.3.基本不等式(1)已知x,y∈(0,+∞),如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;(2)已知x,y∈(0,+∞),如果和x+y是定值S,那么当x=y时积xy有最大值.4.排列与组合(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.公式①=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=②===①0!=1;=n!性质②=;=+5.二项式定理二项式定理(a+b)n=a n+a n-1b1+…+a n-k b k+…+b n(n∈N*)二项展开式T k+1=a n-k b k,它表示第k+1项的通项公式二项式系数二项展开式中各项的系数(k∈{0,1,2,…,n})(2)二项式系数的性质①0≤k≤n时,与的关系是=.②二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为和.③各二项式系数和:+++…+=2n,+++…=+++…=2n-1.易忘提醒1.求解形如ax2+bx+c>0(a≠0)的一元二次不等式时,易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解,应分a>0,a<0进行讨论.在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.2求解线性规划问题时应明确:“直线定界,特殊点定域”,定界时注意是否包含边界.3.求线性目标函数最值时,应将z=ax+by转化为y=-x+.要注意b>0或b<0对目标函数最值的影响,且应注意正切函数y=tan α在,π时,函数是增函数.4.使用基本不等式≥时应注意“一正、二定、三相等”的条件,在多次使用基本不等式求最值时,应注意取“等号”的条件是否一致.习题回扣(命题人推荐)1.(不等式的解法)函数y=的定义域为R,则m的取值范围是.答案:,+∞2.(线性规划)若x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为. 答案:703.(基本不等式单调性法)(1)函数f(x)=的最小值为;(2)函数f(x)=的最小值为.答案:(1)2 (2)4.(不等式性质)已知则2x+y的取值范围是.答案:[1,5]四、函数图象与性质、函数与方程知识方法1.函数的三个性质(1)单调性对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在D 上是增(减)函数;对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,>0(<0)⇔f(x)在D上是增(减)函数.(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数;对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数.(3)周期性设函数y=f(x),x∈D.若T为f(x)的一个周期,则nT(n≠0,n∈Z)也是f(x)的周期.2.关于函数性质常见结论(1)常见抽象函数的周期.(设函数y=f(x),定义域为D)①若∀x∈D,且f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(a≠0,下同)②若∀x∈D,且f(x+a)=±,则T=2|a|;③若∀x∈D,且f(x+a)=f(x+b),则T=|b-a|(a≠b).(2)抽象函数对称性.(y=f(x),定义域为D)①若对∀x∈D,且f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称;特别地,当a=b,即f(a+x)=f(a-x)时,函数f(x)的图象关于直线x=a对称;②若对∀x∈D,f(a+x)=-f(b-x)(即f(x+a+b)=-f(-x)),则函数图象关于点,0中心对称,特别地,当a=b时,即f(a+x)=-f(a-x),则函数图象关于点(a,0)中心对称.(3)关于奇偶性结论①若奇函数y=f(x)在原点处有定义,则一定有f(0)=0;②若函数y=f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|);③奇函数在关于原点对称的区间有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间单调性相反.3.关于指数与对数式的七个运算公式(1)a m·a n=a m+n;(2)(a m)n=a mn;(3)log a(MN)=log a M+log a N;(4)log a=log a M-log a N;(5)log a M n=nlog a M;(6)=N;(7)log a N=(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0).4.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数图象单调性0<a<1时,在R上单调递减;a>1时,在R上单调递增a>1时,在(0,+∞)上单调递增;0<a<1时,在(0,+∞)上单调递减函数值性质0<a<1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1当x>1时,y<0,当0<x<1时,y>0 a>1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<05.函数的零点(1)函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.易忘提醒1.判断函数奇偶性时,首先考虑函数定义域是否关于原点对称.2.函数有多个单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”,它们之间一般用“,”隔开或者用“和”字连接.3.底数含参数的指数、对数函数单调性,要分底数a>1和0<a<1两种情况讨论.4.函数的零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.习题回扣(命题人推荐)1.(函数的定义域)函数f(x)=的定义域为.答案:(-∞,-2)∪(4,+∞)2.(函数的奇偶性)函数f(x)=x2+(a-1)x+b在定义域(-5,b+2)上是偶函数,则a+b= .答案:43.(指数函数的图象和性质)函数f(x)=3+(a-1)x-2(a>1且a≠2)必过定点.答案:(2,4)4.(对数的运算)(lg 5)2+lg 50·lg 2=.答案:15.(函数的零点)函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N*)内,则n= . 答案:2五、导数的简单应用与定积分知识方法1.导数的几何意义(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,即k=f'(x0).(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).2.函数的单调性(1)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0(f'(x)<0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤①确定函数f(x)的定义域;②求导数f'(x);③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.3.函数的极值设函数y=f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点x都有f(x)<f(x0),那么f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.4.函数的最值将函数y=f(x)在[a,b]内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.5.定积分(1)定积分的性质①kf(x)dx=k f(x)dx;②[f1(x) ±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx;③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.(其中a<c<b)(2)微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).易忘提醒1.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”是不同的.前者只有一条,后者则可能有多条.2.求复合函数y=f(ax+b)的导数时应注意复合函数求导法则,其导数为y'=af'(ax+b).3.利用导数研究函数的单调性,首先确定函数的定义域.4.已知单调性求参数时,应明确f'(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上是增函数的充分条件.当f(x)在(a,b)上是增函数时,应有f'(x)≥0恒成立(其中满足f'(x)=0的x只有有限个),否则答案不全面.5.可导函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.6.求定积分时应明确定积分结果可负,但曲边形的面积非负.习题回扣(命题人推荐)1.(导数的运算)函数f(x)=xsin x的导数为f'(x)= .答案:sin x+xcos x2.(导数几何意义)曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a+b= .答案:23.(函数的单调性与导数)函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是.答案:(-∞,0),(2,+∞)4.(函数的极值与导数)函数f(x)=x3-4x+在x= 处取极大值,其值是.答案:-25.(定积分)x+dx= .答案:4+ln 3六、导数的综合应用知识方法1.利用导数解决与函数有关的方程根问题(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路:①将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为函数图象交点的个数问题;②利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等;③画出函数的大致图象;④结合图象求解.(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:①在该区间上构造与方程相应的函数;②利用导数研究该函数在该区间上的单调性;③判断该函数在该区间端点处的函数值异号;④作出结论.2.利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.易忘提醒在解决导数的综合问题时,应注意:(1)树立定义域优先的原则.(2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则.(3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程.(4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.(5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若f(x)≤m恒成立,则f(x)max≤m;若f(x)≥m恒成立,则f(x)min≥m.若f(x)≤m有解,则f(x)min≤m;若f(x)≥m有解,则f(x)max≥m.七、三角函数的图象与性质、三角恒等变换知识方法1.三角函数定义及诱导公式(1)三角函数的定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号;一全正,二正弦,三正切,四余弦.(2)诱导公式及记忆对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.2.“牢记”五组公式(1)同角三角函数关系式①平方关系:sin2α+cos2α=1;②商数关系:tan α=.(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;tan(α±β)=.(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin αcos α;cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan 2α=;cos2α=,sin2α=.(4)辅助角公式asin α+bcos α=sin(α+φ)tan φ=.(5)关于α与的正弦、正切、余弦公式①tan ===±.②sin α=,cos α=.3.“明确”三种三角函数图象、性质及两种图象变换(1)三种函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x图象单调性在-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单在-+kπ,+kπ(k单调递增;在+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递减调递减∈Z)上单调递增对称性对称中心:(kπ,0)(k∈Z);对称轴:x=+kπ(k∈Z)对称中心:+kπ,0(k∈Z);对称轴:x=kπ(k∈Z)对称中心:,0(k∈Z);无对称轴(2)两种三角函数图象变换(以y=sin x变为y=sin (ωx+φ)(ωφ≠0)为例)①先平移后伸缩:y=sin x y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).②先伸缩后平移:y=sin x y=sinωx y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).易忘提醒1.使用诱导公式时,要根据“口诀”确定符号.2.研究形如y=Asin(ωx+φ)(ωφ≠0)的性质时,要将ωx+φ作为一个整体考虑,而当ω<0时,求y=Asin(ωx+φ)的单调性,应先利用诱导公式将x系数变为正数后再求其单调区间,要注意单调区间一定写成“区间”的形式,且角度制与弧度制不能混用,并且k∈Z.3.由函数y=Asin ωx(ω≠0)的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,平移长度是,而不是|φ|.4.三角函数平移时,若两三角函数名称不一致,需利用诱导公式化为同名函数后再平移.5.利用三角恒等变换公式研究给角求值或给值求角时,不要忽视角的范围.习题回扣(命题人推荐)1.(定义转化法)若α是第二象限角且cos =-cos ,则是第象限角.答案:三2.(转化法)若<α<π,则-= .答案:-2tan α3.(数形结合、定义法)函数y=|cos 2x|的最小正周期T= .答案:八、解三角形知识方法1.正弦定理===2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.sin A=,sin B=,sin C=.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.2.余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.推论:cos A=,cos B=,cos C=.3.面积公式S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.4.常用结论(1)三角形内角和A+B+C=π;(2)a>b>c⇔A>B>C⇔sin A>sin B>sin C;(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.易忘提醒1.根据正弦值求角时,应分类讨论.2.判断三角形形状时,应注意等式两边不要约分.3.已知两边及一边的对角,利用正、余弦定理求解时,解的情况可能不唯一.习题回扣(命题人推荐)1.(解三角形)在三角形ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两个解的序号是.①a=30,b=40,A=30°②a=25,b=30,A=150°③a=8,b=16,A=30°④a=72,b=60,A=135°答案:①2.(实际应用)一只船以均匀的速度由A点向正北方向航行,如图,开始航行时,灯塔C在点A的北偏东30°方向,行驶60海里后,测灯塔C在点B的北偏东45°方向,则A到C的距离为海里.答案:(60+60)3.(公式变形)△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=11∶8∶5,则cos B= .答案:4.(解三角形)△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A=,a=1,b=,则B= .答案:或九、等差数列与等比数列知识方法1.等差数列(1)基本公式:通项公式、前n项和公式.(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,a m+a n=a p+a q,当p=q时,a m+a n=2a p.(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{a n}为等差数列,其他证明方法均为定义法的延伸;③函数方法处理等差数列的前n项和问题.2.等比数列(1)基本公式:通项公式、前n项和公式(分公比等于1和不等于1).(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,a m a n=a p a q,当p=q时,a m a n=.(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{a n}为等比数列,其他证明方法均为定义法的延伸.易忘提醒1.b2=ac是a,b,c为等比数列的必要不充分条件;2.当等比数列的公比不确定时,求前n项和要分公比等于1和不等于1分别进行计算.习题回扣(命题人推荐)1.(等差数列的判定)已知数列{a n}满足如下条件:①a n=an+b(a,b为常数);②2a n+1=a n+a n+2对∀n∈N*恒成立;③前n项和S n=2n2+3n+2.在上述条件中能够判定{a n}为等差数列的是.答案:①②2.(等差数列的基本运算)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S10=310,S20=1 220,则S n= .答案:3n2+n3.(等比数列的基本运算)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S5=10,S10=50,则S15= .答案:2104.(等比数列的判定)已知数列{a n},{b n}均为等比数列,则数列:①{a n+b n};②{ka n}(k为非零常数);③{a n b n};④;⑤{b3n-2}中一定为等比数列的是.答案:②③④⑤5.(等差、等比数列的综合)已知{a n}是公差为d的等差数列,其前n项和为S n;{b n}是公比为q的等比数列,其前n项和为T n.有下列结论:①=d;②=q m-n;③S k,S2k-S k,S3k-S2k为等差数列;④T k,T2k-T k,T3k-T2k为等比数列(其中m,n,k为正整数).其中正确结论的序号是.解析:④中,当k为偶数时,有T k=0的可能,如果k为奇数,则④的结论也正确.答案:①②③十、数列求和及简单应用知识方法1.a n,S n的关系a n=2.基本公式等差数列、等比数列求和公式.3.常用裂项公式(1)=-;(2)=-;(3)=-(n≥2);(4)=-等.4.基本递推关系(1)a n+1=a n+f(n)(叠加法);(2)=f(n)(叠乘法);(3)a n+1=ca n+d(c≠0,1,d≠0)(转化为a n+1+λ=c(a n+λ));(4)a n+1-qa n=p·q n+1(p≠0,q≠0,1)转化为-=p等.易忘提醒1.根据S n求通项时,不要忘记分类求解.2.裂项求和时注意验证裂项前后的等价性;错位相减求和时,不要忘记检验第一项与后面的项是否组成等比数列,不要忘记最后一项.习题回扣(命题人推荐)1.(由a n与S n的关系求a n)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,则a n= .答案:2.(逆推数列求和)已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+2=a n+1+a n,则该数列的前6项之和是.答案:323.(转化为等比数列求和)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=4a n+3,则该数列的前n项和S n= .解析:a n+1+1=4(a n+1),a n=2×4n-1-1,所以S n=-n=·4n-n-.答案:·4n-n-4.(裂项相消法求和)数列的前2 017项的和是.答案:十一、空间几何体的三视图、表面积与体积知识方法1.棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形.(2)正棱锥的性质侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.2.三视图(1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高;(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.3.几何体的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线.(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何问题.4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)(1)表面积公式①圆柱的表面积S=2πr(r+l);②圆锥的表面积S=πr(r+l);③圆台的表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl);④球的表面积S=4πR2.(2)体积公式①柱体的体积V=Sh;②锥体的体积V=Sh;③台体的体积V=(S'++S)h;④球的体积V=πR3.易忘提醒在有关体积、表面积的计算应用中注意等积法的应用.习题回扣(命题人推荐)1.(直观图的面积)一个水平放置的平面图形,其直观图的面积是,则原图形的面积是.答案:42.(多面体)构成多面体的面最少是.答案:四个3.(三视图求体积)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为.答案:44.(球的有关计算)如果两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为.答案:4∶95.(棱台的体积计算)已知棱台的上下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为.答案:28十二、点、直线、平面之间的位置关系知识方法1.直线与平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理:a∥b,b⊂α,a⊄α⇒a∥α.②面面平行的性质:α∥β,a⊂α⇒a∥β.③a⊥b,α⊥b,a⊄α,则a∥α.(2)性质:l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m.2.直线和平面垂直的判定和性质(1)判定①判定定理:a⊥b,a⊥c,b,c⊂α,b∩c=O ⇒a⊥α.②a∥b,a⊥α⇒b⊥α.③l⊥α,α∥β⇒l⊥β.④α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.(2)性质①l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.②l⊥α,m⊥α⇒l∥m.3.两个平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.②l⊥α,l⊥β⇒α∥β.③α∥γ,α∥β⇒β∥γ.(2)性质:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.4.两个平面垂直的判定和性质(1)判定:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.(2)性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.易忘提醒1.平行问题的转化关系2.垂直关系的转化习题回扣(命题人推荐)1.(面面位置关系)三个平面两两相交有三条交线,这三条直线的位置关系是. 答案:交于一点或者互相平行2.(面面位置关系)如果α∥β,β⊥γ,那么α,γ的位置关系是.答案:α⊥γ3.(线面位置关系)如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l与γ的位置关系是.答案:l⊥γ4.(线面位置关系)已知直线a在平面β外,平面α∥平面β,a∥平面α,则直线a与平面β的位置关系是.答案:平行5.(面面平行的性质)如图,已知三个平面α,β,γ互相平行,a,b是异面直线,a与α,β,γ分别交于A,B,C三点,b与α,β,γ分别交于D,E,F三点,连接AF交平面β于G,连接CD交平面β于H,则四边形BGEH必为.答案:平行四边形十三、立体几何中的向量方法知识方法1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.2. 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=(其中φ为异面直线a,b所成的角).(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=.(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,<m,n>即为所求二面角αABβ的平面角.②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示,二面角αlβ,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,<n1,n2>=θ,则二面角αlβ的大小为θ或π-θ.易忘提醒异面直线所成角的范围是0,,线面角的范围是0,,二面角的范围是[0,π].习题回扣(命题人推荐)1.(直线的方向向量和平面的法向量)平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量是.答案:±0,,-2.(平面的法向量)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC中的单位法向量是.答案:±,,3.(空间向量的计算)已知A(4,-7,1),B(6,2,z),若||=11,则z= .答案:7或-54.(向量法求线线角)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为.答案:5.(向量法求线面角)已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于.答案:十四、直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质知识方法1.直线:直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式.2.圆:圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆。

1.会合与常用逻辑用语1．会合的元素拥有确立性、无序性和互异性，在解决相关会合的问题时，特别要注意元素的互异性．[ 问题 1]已知会合A＝{ a＋2，( a＋1)2， a2＋3a＋3}，若1∈ A，则实数a＝________.答案 02 ．描绘法表示会合时，必定要理解好会合的含义——抓住会合的代表元素．如：{ x| y＝f ( x)}——函数的定义域；{ y| y＝f ( x)}——函数的值域；{( x，y)| y＝f ( x)} ——函数图象上的点集．[ 问题 2] 已知会合＝ { |y ＝x2＋1，∈R} ，＝{|y＝x＋ 1，∈R} ，则∩＝ __________.M y x N y x M N答案{ y| y≥1}3．在解决会合间的关系和会合的运算时，不可以忽视空集的状况．[ 问题 3]已知会合A＝{x|－2≤ x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是 ________．答案( －∞， 4]4．着重数形联合在会合问题中的应用，列举法常借助Venn 图解题，描绘法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[ 问题4]已知全集I ＝R，会合A＝{ x|y＝1－x} ，会合B＝{ x|0≤ x≤2}，则( ?I A) ∪B＝______.答案[0 ，＋∞)5．命题“若p，则 q”的否命题是“若綈p，则綈 q”，而此命题的否认( 非命题 ) 是“若p，则綈 q”．[ 问题 5]已知实数a，b，若| a|＋| b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否认分别是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案否命题：已知实数a， b，若| a|＋| b|≠0，则 a≠ b；命题的否认：已知实数 a ， b ，若 | a | ＋ | b | ＝0，则 a ≠ b6．依据会合间的关系，判断充要条件，若? ，则 ∈ A 是 x ∈ B 的充足条件；若，则ABxA Bx ∈ A 是 x ∈ B 的充足不用要条件．3[ 问题 6] 已知 p ： x ≥ k ， q ： x ＋ 1<1，假如 p 是 q 的充足不用要条件，则实数 k 的取值范围是 __________ ．答案(2 ，＋∞)7．全称命题的否认是存在性命题， 存在性命题的否认是全称命题；对命题进行否认时要正确地对判断词进行否认，如“ >”的否认是“≤”，“都”的否认是“不都”．[ 问题 7]命题“ ? n ∈N * ， f ( n ) ∈N * 且 f ( n ) ≤ n ”的否认形式是 ________． ( 填序号 )① ? n ∈ N * ， f ( n ) ?N * 且 f ( n )> n ；② ? n ∈ N * ， f ( n ) ?N * 或 f ( n )> n ； ③ ? n ∈ N * ， f ( n ) ?N * 且 f ( n )> n ；**或 f ( n )> n .④ ? n ∈ N ， f ( n ) ?N答案 ④8．求参数范围时， 要依据条件进行等价转变， 注意范围的临界值可否取到， 也可与补集思想联合使用．21[ 问题 8] 已知命题 p ： ? x ∈ R ， ax ＋x ＋ 2≤0. 若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是________．1答案2，＋∞21分析由于命题 p 是假命题，所以綈 p 为真命题，即 ? x ∈ R ， ax ＋ x ＋ 2>0 恒建立．当 a ＝ 01 >0， a时， x >－ 2，不知足题意；当a ≠0时，要使不等式恒建立，则有 <0，>0，a >0，a1即 1解得1所以 a >2，1－4× 2× a <0，a >2，即实数 a 的取值范围是1，＋∞ .2易错点 1忽视空集例 1已知会合＝ {|2－3 －10≤0} ，会合＝{ | ＋1≤≤2 －1}．若? ，务实数pA x x xB x p x p B A的取值范围．易错剖析忽视了“空集是任何会合的子集”这一结论，即B＝?时，切合题设．解决相关 A∩ B＝?， A∪ B＝?， A? B等会合问题易忽视空集的状况而出现漏解．解会合 A＝{ x|－2≤ x≤5}，①当 B≠?时，即 p＋1≤2p－1? p≥2.由 B? A 得－2≤ p＋1且2p－1≤5.即－ 3≤p≤3，∴ 2≤p≤3.②当 B＝?时，即 p＋1>2p－1? p<2.由①②得 p≤3.易错点 2忽视区间端点的弃取例 2 记f ( x) ＝x＋3A，g( x)＝lg[( x－ a－1)(2 a－ x)](a<1)的定义域为2－x＋1的定义域为B.若 B? A，务实数 a 的取值范围．易错剖析在求解含参数的会合间的包括关系时，忽视对区间端点的查验，致使参数范围扩大或减小．x＋3x－1解∵2－x＋1≥0，∴x＋1≥0.∴x<－1或 x≥1，即 A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由 ( x－a－ 1)(2 a－x)>0 ，得 ( x－a－ 1)( x－ 2a)<0.∵a<1，∴ a＋1>2a，∴ B＝(2 a， a＋1)．∵B? A，∴2a≥1或 a＋1≤－1，1即 a≥2或 a≤－2，而 a<1，1∴2≤ a<1或 a≤－2.故当 B? A 时，实数 a 的取值范围是(－∞，－1 2]∪2，1 .易错点 3 混杂充足条件和必需条件例3 已知，∈ R，以下四个条件中，使>b 建立的必需不充足的条件是__________ ．( 填a b a序号 )a b①a>b－1；② a>b＋1；③|a|>| b|；④2>2 .易错剖析在此题中，选项是条件，而“ a>b”是结论．在此题的求解中，常误以为由选项推出“ a>b”，而由“ a>b”推不出选项是必需不充足条件．分析由 a>b 可得 a>b－1，但由 a>b－1不可以得出 a>b，∴a>b－1是a>b 建立的必需不充足条件；由 a>b＋1可得 a>b，但由 a>b 不可以得出 a>b＋1，∴a>b＋1是 a>b 建立的充足不用要条件；易知 a>b 是| a|>| b|的既不充足又不用要条件；a>b 是2a>2b建立的充要条件．答案①易错点 4对命题否认不妥ax＋10例 4已知 M是不等式ax－25≤0的解集且5?M，则 a 的取值范围是________________．5a＋ 10易错剖析题中 5?M其实不可以转变为5a－25>0，题意中还有分式无心义的情况，此题可从会合的角度用补集思想来解．分析方法一∵5?M，原不等式不建立，5a＋10∴5a－25>0 或 5a－ 25＝ 0，∴a<－2或 a>5或 a＝5，故 a≥5或 a<－2.5 ＋10方法二若 5∈M，则5a－25≤0，∴(a＋2)( a－5)≤0且 a≠5，∴－2≤ a<5，∴当 5?M时，a<－ 2 或a≥5.答案( －∞，－ 2) ∪[5 ，＋∞)1．(2018 ·江苏扬州中学模拟) 已知会合A＝{－1,0,2}，B＝{x|x＝2n－1，n∈ Z}，则A∩B ＝_____.答案{ －1}2．设全集U＝R，A＝xx，B＝{ x|2x<0<2} ，则图中暗影部分表示的会合为 _________．x－2答案{ x|1 ≤x<2}解析A＝{ x|0< x<2}， B＝{ x| x<1}，由题图可知阴影部分表示的集合为( ?U B)∩ A＝{ x|1 ≤x<2} ．3．已知会合A＝{0,1}，B＝{－1,0， a＋3}，且 A? B，则 a＝________.答案－ 2分析∵会合 A＝{0,1}， B＝{－1,0， a＋3}，且 A? B，∴ a＋3＝1，解得 a＝－2.x－424．已知会合A＝x∈R x＋1≤0， B＝{ x∈R|(x－2a)·(x－ a －1)<0}，若 A∩B＝?，则实数 a 的取值范围是____________．答案{1} ∪[2 ，＋∞)x－42解析由x＋1≤0，得 A＝{ x∈R|－1<x≤4}， B＝{ x∈R|(x －2a)( x － a －1)<0}＝{ x∈R|2 a<x<a2＋ 1} ．若B≠ ?，则在数轴上能够看出2a≥4，所以a≥2；若B＝ ?，只好a＝1.1125．(2018 ·江苏前黄中学等三校联考) 已知命题p：a>4，q：? x∈ R，ax＋ax＋ 1>0，则p成立是 q 建立的________条件．(填“充足不用要”“必需不充足”“充要”或“既不充足又不必需”)答案充足不用要分析p：0<a<4，对于不等式ax2＋ ax＋1>0；当 a＝0时，不等式明显建立；当 a≠0时，由＝a2－4a<0得0<a<4，所以 q：0≤ a<4，进而可知 p 是 q 的充足不用要条件．6．已知 p ：对于 x 的函数 y ＝ x 2－ 3ax ＋ 4 在 [1 ，＋∞ ) 上是增函数， q ：y ＝ (2 a －1) x 为减函数，若 p 且 q 为真命题，则 a 的取值范围是 ____________．12答案2， 3分析 ∵ p ? a ∈2， q ? a ∈ 1， 1－∞，2， 3 1， 2∴ a ∈ 2 3 .7．已知会合A ＝ { x | x 2－2x －8≤0} ，B ＝ { x | x 2－ (2 m － 3) x ＋ m ( m －3) ≤0， m ∈ R} ，若 A ∩B ＝[2,4] ，则实数 m ＝ ________.答案5分析由题意知， A ＝ [ －2,4] ， B ＝ [ m － 3， m ] ，由于 A ∩ B ＝ [2,4] ，m － 3＝ 2， 故m ≥4，则 m ＝5.8．已知条件 p ： x 2＋2x － 3>0，条件 q ： x >a ，且綈 p 是綈 q 的充足不用要条件，则 a 的取值范围为 __________ ． 答案 [1 ，＋∞)分析由 x 2＋ 2x － 3>0，可得 x >1 或 x <－ 3，“綈 p 是綈 q 的充足不用要条件”等价于“ q 是 p 的充足不用要条件”，故 a ≥1.9．设会合 A ＝ { －1,0,1} ，会合 B ＝ {0,1,2,3} ，定义 A * B ＝ {( x ，y )| x ∈ A ∩B ，y ∈ A ∪ B } ，则A *B 中元素的个数是 ________．答案 10分析由于 ＝{ － 1,0,1} ， ＝ {0,1,2,3} ，所以 ∩ ＝ {0,1} ， ∪ ＝{ － 1,0,1,2,3}．由于A BA B A Bx ∈ A ∩B ，所以 x 可取 0,1 ；由于 y ∈ A ∪ B ，所以 y 可取－ 1,0,1,2,3.则 ( x ，y ) 的可能取值以下表所示：yx－ 11230 (0 ，－ 1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)1(1 ，－ 1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)故* 中的元素共有 10 个．A B10．给出以下命题：①命题：“存在x >0，使 sinx ≤ ”的否认是：“对随意x >0， sin > ”；xx x2x (②函数 f ( x ) ＝ sin x ＋sin x ∈(0 ， π )) 的最小值是 2 2；③在△ 中，若 sin 2 ＝ sin 2 ，则△ 是等腰或直角三角形；ABCABABC④若直线 ∥直线n ，直线 ∥平面 α ，那么直线∥平面 α.mmn此中正确的命题是 ________． ( 填序号 )答案①③2x ( x ∈(0 ， π)) ，令 t ＝ sin分析 易知①正确；②中函数 f ( x ) ＝ sinx ＋sin x ，则 g ( t ) ＝ 2 为减函数，所以 g ( t )＝ g (1) ＝ 3，故②错误；③中由 sin 2 A ＝sin 2 B ，可 t ＋ t ， t ∈(0,1]minπ知 2A ＝ 2B 或 2A ＋ 2B ＝ π ，即 A ＝ B 或 A ＋ B ＝ 2 ，故③正确； ④中直线 n 也可能在平面 α 内，故④错误．。

1．集合与常用逻辑用语、复数1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[回扣问题1] 集合A ＝{a ，b ，c }中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 答案 A2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．[回扣问题2] 若集合A ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，B ＝{y ∈R |y ＝2x －1，x ∈A }，则∁R (A ∩B )＝( )A ．RB ．(－∞，0]∪[2，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0] 答案 B3．遇到A ∩B ＝时，你是否注意到“极端”情况：A ＝或B ＝；同样在应用条件A ∪B ＝B A ∩B ＝A A B 时，不要忽略A ＝的情况．[回扣问题3] 集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ∪B ＝B ，则实数a ＝________．答案 0或1或124．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n ，2n －1，2n －1，2n －2.[回扣问题4] 集合A ＝{1，2，3}的非空子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C5．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题5] “10a ＞10b ”是“lg a ＞lg b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B6．解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[回扣问题6] 复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B.答案 B。

专题01集合与常用逻辑用语集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【教材回归】1．集合(1)集合间的关系与运算A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．【易错点】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x |y＝lg x}——函数的定义域；{y |y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏A＝∅的情况．【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【例题分析】例1下列元素与集合的关系表示不正确的是()A．0N∈B．0Z∈C．32Q∈D．Qπ∈【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】根据元素与集合的关系，结合数集的表示方法，判断选项中的命题真假性即可．【解答】解：根据元素与集合的关系知，0N∈，选项A正确；0Z∈，选项B正确；3 2Q∈，选项C正确；Qπ∉，选项D错误．故选：D．【点评】本题考查了元素与集合的关系应用问题，也考查了常用数集的应用问题，是基础题．【知识要点】子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集为U，集合{2A=-，0，1，2}，{|20}B x x=-，集合A和集合B的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为()A ．(2,0)-B ．[1-，0]C ．{1-，0}D ．{2-，1，2}【答案】A【考点】Venn 图表达集合的关系及运算 【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算 【分析】图中阴影部分表示的集合是()U BA ，由此能求出结果．【解答】解：全集为U ，集合{2A =-，0，1，2}，{|20}B x x =-， 图中阴影部分表示的集合是：()(2UB A =-⋂，0)．∴由韦恩图得图中阴影部分可表示为(2,0)-．故选：A ．【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．例3对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和．给定集合{2S =，3，4，5}，定义集合{T f =（A ）|A S ⊆，}A ≠∅，则集合T 的元素的个数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；分析法；集合；逻辑推理【分析】因为A ≠∅，所以f （A ）的最小值为2，最大值是S 中所有元素之和为14，再将不可能的取值剔除即可【解答】解：因为A ≠∅，所以f （A ）的最小值为2，f （A ）的最大值是S 中所有元素之和为14，但是34512++=，234514+++=，也就是f （A ）无法取到13，所以T 中的元素有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14，共12个 故选：B ．【点评】本题不要去抓集合A 的所有情况，只需要判断其元素之和的最小值与最大值，再剔除掉其中不可能的取值即可，属于简单题 例4已知集合{1A =，3，2}a ，{1B =，2}a +，若A B A =，则实数a = 2 ．【答案】2．【考点】并集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】推导出B A ⊆，从而21a +=，或23a +=，或22a a +=，再利用集合是元素的互异性能求出实数a ．【解答】解：集合{1A =，3，2}a ，{1B =，2}a +，A B A =，B A ∴⊆，21a ∴+=，或23a +=，或22a a +=，解得1a =-或1a =，或2a =， 当1a =-时，{1A =，3，1}，不成立； 当1a =时，{1A =，3，1}，不成立；当2a =时，{1A =，3，4}，{1B =，4}，成立． 故实数2a =． 故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查并集、子集定义、集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．例5已知集合2{|430A x x x =-+<，}x R ∈，{|||2B x x =>，}x R ∈，则()(RA B = )A ．[2-，1)B ．[2-，1]C ．[2-，3]D ．(1，2]【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集和补集的运算即可． 【解答】解：{|13}A x x =<<，{|2B x x =<-或2}x >，{|2AB x x ∴=<-或1}x >，()[2RA B =-，1]．故选：B ．【点评】本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 例6设集合{1A =，2，3}，集合{|}B x x a =，若A B 有两个元素，则a 的取值范围是[2，3) ．【答案】[2，3)． 【考点】交集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】利用集合交集的定义结合数轴进行分析求解即可/ 【解答】解：{1A =，2，3}，集合{|}B x x a =，A B 有两个元素，如图，可得a 的取值范围是[2，3)． 故答案为：[2，3)．【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．例7已知集合2{|20}M x x x =-+>，{|N y y ==，则(M N = )A ．(0,2)B ．[0，2)C ．(2,)+∞D ．[1，2)【答案】A【考点】交集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算 【分析】求出集合M ，N ，由此能求出MN ．【解答】解：集合2{|20}{|02}M x x x x x =-+>=<<， {|{|0}N y y y ===，{|12}(0,2)M N x x ∴=<=．故选：A ．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例8已知M ，N 均为R 的子集，且R M N ⊆，则()(RM N =⋃ )A ．∅B ．MC ．ND ．R【答案】B【考点】并集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑推理；数学运算【分析】根据M ，N 均为R 的子集，且R M N ⊆，画出韦恩图，结合图形可求出()R M N ．【解答】解：如图所示易知()R MN M =．故选：B ．【点评】本题主要考查了集合的并集与补集，解题的关键是作出符合题意的韦恩图，同时考查了学生推理的能力．常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【教材回归】1．四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两个命题同真同假．3．含有逻辑联结词的命题的真值表 命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，其否定为特称命题：p ：∃x 0∈M ，┐p (x 0)． (2)特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，其否定为全称命题：p ：∀x ∈M ，┐p (x )． 5．充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件(q 是p 的必要条件)；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件(q 是p 的必要不充分条件)；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 【易错点】判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 【例题分析】例1命题“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab =，则a b =”的否命题为 “对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠” ．【答案】“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠”． 【考点】四种命题；四种命题间的逆否关系 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理 【分析】把原命题的条件和结论均否定即可．【解答】解：根据原命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”， 写出命题“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab =，则a b =”的否命题为： “对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠”．故答案为：“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠”．【点评】本题考查了命题与它的否命题之间的关系应用问题，是基础题．例2写出命题p“若a是正数，则a的平方不等于0”的原命题，逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假【考点】四种命题的真假关系【专题】对应思想；简易逻辑；定义法【分析】根据四种命题的定义分别进行求解判断即可．【解答】解：原命题：“若a是正数，则a的平方不等于0”，为真命题，逆命题：“若a的平方不等于0，则a是正数”，为假命题，当a为负数时也成立，否命题：“若a不是正数，则a的平方等于0”，为假命题，与逆命题等价性相同，逆否命题：若a的平方等于0，则a不是正数”，为真命题，与原命题为等价命题．【点评】本题主要考查四种命题的求解，结合逆否命题的等价性是解决本题的关键．例3能够说明“设a，b是任意非零实数，若“a b>，则11a b<”是假命题的一组整数a，b的值依次为2，1-．【考点】26：四种命题的真假关系【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5L：简易逻辑；62：逻辑推理【分析】可看出，取2a=，1b=-时，可说明”a b>，则11a b<”是假命题．【解答】解：取2a=，1b=-时，可得出“a b>，则11a b<“不成立，即该命题为假命题．故答案为：2，1-．【点评】本题考查了真假命题的定义，举反例说明一个命题是假命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．例4已知a，b都是实数，则“log3a＞log3b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】A【分析】根据对数函数的单调性可化简log3a＞log3b，根据幂函数的单调性可化简，最后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：因为log3a＞log3b，所以a＞b＞0，，所以“log 3a ＞log 3b ”是“”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题主要考查了对数函数和幂函数的单调性，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题． 例5110a+>是1a <-成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【专题】转化法；简易逻辑；对应思想 【分析】解不等式11a>-，根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：由11a>-，得：10a a +>， 解得：0a >或1a <-， 故11a>-是1a <-成立的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．例6已知条件:211p x --，:33q x -<，且p 是q 的必要条件，则实数的取值范围为 (-∞，2]- ． 【答案】(-∞，2]-．【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；数学运算【分析】条件:211p x --，:33q x -<，根据p 是q 的必要条件，可得21331-⎧⎨-⎩，解得实数的取值范围．【解答】解：条件:211p x --，:33q x -<，且p 是q 的必要条件，∴21331-⎧⎨-⎩，解得2-．则实数的取值范围是(-∞，2]-．故答案为：(-∞，2]-．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．例7命题：“0x R ∃∈，00sin x x <”的否定为( ) A ．0x R ∃∈，00sin x x > B ．0x R ∃∈，00sin x x C ．x R ∀∈，sin x x > D ．x R ∀∈，sin x x【答案】D 【考点】命题的否定【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出对应的命题即可． 【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知， 命题：“0x R ∃∈，00sin x x <”的否定是： “x R ∀∈，sin x x ”． 故选：D ．【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题的应用问题，是基础题． 例8已知命题:(1,)p x ∃∈+∞，24x >，则命题p ⌝为 (1,)x ∀∈+∞，24x ． 【答案】(1,)x ∀∈+∞，24x ． 【考点】命题的否定【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题p ⌝即可． 【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题知， 命题:(1,)p x ∃∈+∞，24x >， 则命题p ⌝为：(1,)x ∀∈+∞，24x ． 故答案为：(1,)x ∀∈+∞，24x ．【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题应用问题，是基础题． 例9有以下说法：①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是1365； ②买彩票中奖的概率为0.001，那么买1000张彩票就一定能中奖；③乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个，再比数大小，这种抽签方法是公平的；④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的．根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是①③．【考点】2C：概率及其性质；2K：命题的真假判断与应用【专题】38：对应思想；49：综合法；5I：概率与统计；62：逻辑推理【分析】根据概率的意义和计算方法逐一判断每个选项即可得解．【解答】解：①两名学生的生日相同，是365天里的任意一天，因此两名学生的生日相同的概率是1365，即①正确；②买彩票中奖的概率为0.001，并不意味着买1000张彩票就一定能中奖，只有当买彩票的数量非常大时，才可以看成中奖的频率接近中奖的概率0.001，即②错误；③这种抽取方法抽到每个签的概率均为110，所以公平，即③正确；④昨天气象局的天气预报降水概率是90%，是指可能性非常大，并不一定会发生，即④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查概率的意义，考查学生的推理论证能力和理解能力，属于基础题．例10一个口袋中有3个红球4个白球，从中取出2个球．下面几个命题：（1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是27；（2）如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是35；（3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是12 49；（4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同．其中正确的命题是（2）（4）．【答案】（2）（4）．【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】根据题意，依次分析4个命题中概率的计算是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：（1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率11342747C CPC⨯==，因此不正确；（2）如果是不放回地抽取，至少取出一个红球的概率24127517CPC=-=，第2次取出红球的概率243323 76767P⨯⨯=+=⨯⨯，则在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是2135P P P ==，因此正确； （3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率11341177241224949C C P C C =⨯⨯=≠，因此不正确；（4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同，正确，其概率131737C P C ==． 其中正确的命题是（2）（4），故答案为：（2）（4）．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及条件概率的计算，属于基础题．例11已知(1,0)A ，(4,0)B ，圆22:4C x y +=，则以下选项正确的有( )A ．圆C 上到B 的距离为2的点有两个B ．圆C 上任意一点P 都满足||2||PB PA =C ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则||MN的最小值为D ．若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||BD的最小值为4-【答案】BCD【考点】命题的真假判断与应用【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算【分析】由题意画出图形，数形结合可得A 错误；设出P 的坐标，由||2||PB PA =成立判定B 正确；直接求出||MN 的最小值判断C ；由题意求得点D 的轨迹，即可判断选项D 正确． 【解答】解：如图，圆C 的圆心坐标为(0,0)，半径2r =，则圆C 上到B 的距离为2的点1个，为(2,0)，故A 错误；设圆C 上任意一点(,)P x y ，则224x y +=，||PB2||PA =，若||2||PB PA =，则2222(4)4(1)4x y x y -+=-+，即224x y +=，此式显然成立，故B 正确； 若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则当MN x ⊥轴时，||MN 的最小值为=C 正确；若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||OD =可得D 的轨迹是以O 为圆心，以而B 在圆外，则||BD 的最小值为4-故D 正确．故选：BCD ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，是中档题．。

专题强化突破专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式及线性规划第一讲集合与常用逻辑用语本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义，掌握集合问题的常见解法，活用数学思想解决问题．(2)明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的区别．(3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用． 预测2019年命题热点为：(1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查．(2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查．Z 知识整合hi shi zheng he1．集合的概念、关系及运算(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性. (2)集合与集合之间的关系：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ． (3)空集是任何集合的子集.(4)含有n 个元素的集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个． (5)重要结论：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．充要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满中条件q }，则有A B B A3.简单的逻辑联结词(1)命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．(2)命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )． 4．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )．它的否定綈p ：∃x 0∈M ，綈p (x 0).(2)特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x )．它的否定綈p ：∀x ∈M ，綈p (x ).,Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略集合元素互异性：在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根． 2．忽略空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则．3．混淆命题的否定与否命题：在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定.1．(文)(2018·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( A ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}[解析] A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}． 故选A ．(理)(2018·全国卷Ⅰ，2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( B ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}[解析] ∵ x 2－x －2>0，∴ (x －2)(x ＋1)>0，∴ x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B ．2．(文)(2018·全国卷Ⅲ，1)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( C ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}[解析] ∵ A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴ A ∩B ＝{1,2}． 故选C ．(理)(2018·全国卷Ⅱ，2)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A )A ．9B ．8C ．5D ．4[解析] 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A ．3．(文)(2018·天津卷，3)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由x 3>8⇒x >2⇒|x |>2，反之不成立， 故“x 3>8”是“|x |>2”的充分不必要条件． 故选A ．(理)(2018·天津卷，4)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”得0＜x ＜1，则0<x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由“x 3＜1”得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”/⇒“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．故选A．4．(2018·浙江卷，6)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( A )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．5．(文)(2018·北京卷，4)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( B )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．故选B．(理)(2018·北京卷，6)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( C ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 故选C ．6．(文)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <32}B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝{x |x <32}D ．A ∪B ＝R[解析] 由3－2x >0，得x <32，∴B ＝{x |x <32}，∴A ∩B ＝{x |x <2}∩{x |x <32}＝{x |x <32}，故选A ．(理)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1} D ．A ∩B ＝∅ [解析] 由3x <1，得x <0， ∴B ＝{x |3x <1}＝{x |x <0}．∴A ∩B ＝{x |x <1}∩{x |x <0}＝{x |x <0}，故选A ．7．(2017·全国卷Ⅱ，2)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝( C )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5} [解析] ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ， ∴1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根， ∴1－4＋m ＝0，∴m ＝3.由x 2－4x ＋3＝0，得x 1＝1，x 2＝3， ∴B ＝{1,3}．8．(文)(2017·山东卷，5)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( B )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)[解析]∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B．(理)(2017·山东卷，3)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( B )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)[解析]∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B．命题方向1集合的概念及运算例1 (1)(文)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( A ) A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3] D．[2,3][解析]∵M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，故选A．(理)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且A⊆∁R B，那么m的值可以是( A )A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵B＝{x|x<2m}，∴∁R B＝{x|x≥2m}，又∵A⊆∁R B，∴有2m≤2，即m≤1.由选项可知选A．(2)(文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]A∩B＝{1,2,3,4}∩{2,4,6,8}＝{2,4}，∴A∩B中共有2个元素，故选B．(理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( B ) A．3 B．2C．1 D．0[解析]集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B．(3)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( C ) A．77 B．49C．45 D．30[解析] 由题得A ＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，如下图所示：因为B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，由A ⊕B 的定义可得，A ⊕B 相当于将A 集合中各点上下平移或左右平移0,1,2个单位，如下图所示：所以A ⊕B 中的元素个数为7×7－4＝45. 故选C ． 『规律总结』(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．G 跟踪训练en zong xun lian1．(文)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( C ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 由集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，易知A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，故选C ． (理)设集合M ＝{x |－2<x <3}，N ＝{x |2x ＋1≤1}则M ∩(∁R N )＝( D )A ．(3，＋∞)B ．(－2，－1]C ．[－1,3)D ．(－1,3)[解析] 集合N ＝{x |2x ＋1≤1}＝{x |x ＋1≤0}＝{x |x ≤－1}．故∁R N ＝{x |x >－1}，故M ∩∁R N ＝{x |－1<x <3}．故选D ．2．(文)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥2}，则集合∁U (A ∪B )＝( A ) A ．{x |1<x <2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |x ≤2}D ．{x |x ≥1}[解析] A ∪B ＝{x |x ≤1}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≤1或x ≥2}，所以∁U (A ∪B )＝{x |1<x <2}． (理)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( A ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}[解析] 由题意知B ＝{x |－2<x <1}，所以A ∩B ＝{－1,0}，故选A ．3．(文)已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．4个D ．8个[解析] |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．(理)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( D )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ∩B ＝∅[解析] 因为x 2－3x ＋2<0， 所以1<x <2，又因为log 4x >12＝log 42，所以x >2， 所以A ∩B ＝∅.命题方向2 命题及逻辑联结词例2 (1)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( B )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 [解析] 若z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i. ∴|z 1|＝|z 2|，故原命题正确、逆否命题正确． 其逆命题为：若|z 1|＝|z 2|，则z 1，z 2互为共轭复数，若z 1＝a ＋b i ，z 2＝－a ＋b i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 1，z 2不为共轭复数．∴逆命题为假，否命题也为假． (2)已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是假命题； ③命题“(綈p )∨q ”是真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题． 其中正确的结论是( A ) A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①②③[解析] ∵52>1，∴命题p 是假命题． ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴命题q 是真命题，由真值表可以判断“p ∧q ”为假，“p ∧(綈q )”为假，“(綈p )∨q ”为真，“(綈p )∨(綈q )”为真，所以只有②③正确，故选A ．『规律总结』(1)一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定． (4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．G 跟踪训练en zong xun lian1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( A )A ．p ∨qB ．p ∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)[解析]由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A．2．以下四个命题中，真命题的个数是( C )①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3[解析]对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a ＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lg a＋lg b，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A<B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2R sin A<2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A<sinB，故A<B是sin A<sin B的充要条件，故④是假命题，选C．3．(2018·北京卷，1)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝( A )A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]∵A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{0,1}．故选A．命题方向3充要条件的判断例3 (1)设θ∈R，则“|θ－π12|<π12”是“sinθ<12”的( A )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵|θ－π12|<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A ．(2)若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是( C ) A ．綈p 是q 的必要不充分条件 B ．綈q 是p 的必要不充分条件 C ．綈p 是綈q 的必要不充分条件 D ．綈q 是綈p 的必要不充分条件[解析] 由p 是q 的充分不必要条件可知p ⇒q ，q ⇒ / p ，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q ⇒綈p ，綈p ⇒ / 綈q ，∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，故选C ．(3)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( C )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )<0，即q <－1，故q <0是q <－1的必要而不充分条件．故选C ．(4)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] 由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.『规律总结』1．判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)：若A ＝B ，则是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．2．提醒：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ．G 跟踪训练en zong xun lian1．(文)(2018·娄底二模)“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a ，若a <－1，得θ角大于π4，由倾斜角θ大于π4得－a >1，或－a <0即a <－1或a >0.(理)“a 2＝1”是“函数f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a 2＝1⇒a ＝±1，f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数等价于f (x )＋f (－x )＝0，即lg(21－x ＋a )＋lg(21＋x ＋a )＝0⇔(21－x ＋a )(21＋x ＋a )＝1化简得a ＝－1，故选B ． 2．(文)若集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－2<x <a }，则“A ∩B ≠∅”的充要条件是( C ) A ．a >－2 B ．a ≤－2 C ．a >－1D ．a ≥－1[解析] 由x 2－x －2<0知－1<x <2， 即A ＝{x |－1<x <2}．又B＝{x|－2<x<a}及A∩B≠∅知a>－1.(理)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( B ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]由3a>3b>3，知a>b>1，所以log3a>log3b>0，所以1log3a<1log3b，即log a3<log b3，所以“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分条件；但是取a＝13，b＝3也满足log a3<log b3，不符合a>b>1.所以“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件．A组1．(文)(2018·天津卷，1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( C )A．{－1,1}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}[解析]∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C．(理)(2018·天津卷，1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( B ) A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}[解析]全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x<1}．∵集合A＝{x|0<x<2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．故选B．2．(2018·蚌埠三模)设全集U＝{x|e x>1}，函数f(x)＝1x－1的定义域为A，则∁U A＝( A )A．(0,1] B．(0,1)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]全集U＝{x|x>0}，f(x)的定义域为{x|x>1}，所以∁U A＝{x|0<x≤1}．3．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( C ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0[解析] 全称命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是特称命题“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”．4．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2；p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( B ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题． 对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ， 则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题． 5．已知命题p ：在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有m ＋n ＝p ＋q ，命题q ：∃x 0>0,2－x 0＝e x 0，则下列命题是真命题的是( C )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．p ∨qD ．p ∨綈q[解析] 命题p 是假命题，因为当等差数列{a n }是常数列时显然不成立，根据两个函数的图象可得命题q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，故选C ．6．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝{x |(12)x ≤4}，则M ∪N ＝( A )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x ≤－1}D ．{x |x ≤－2}[解析] 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A ．7．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2＝|a －b |2，整理得a·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |，故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D ．8．下列四个命题中正确命题的个数是( A )①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4.A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4.9．(文)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <9，x ∈R }和B ＝{x |－4<x <4，x ∈Z }关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所求集合中的元素共有( B )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个[解析] 由Venn 图可知，阴影部分可表示为(∁U A )∩B ．由于∁U A ＝{x |x ≤0或x ≥9}，于是(∁U A )∩B ＝{x |－4<x ≤0，x ∈Z }＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．(理)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 分别化简两集合可得A ＝{x |0<x <2}， B ＝{x |x <1}，故∁U B ＝{x |x ≥1}， 故阴影部分所示集合为{x |1≤x <2}． 10．下列命题的否定为假命题的是( D ) A ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 B ．任意一个四边形的四顶点共圆 C ．所有能被3整除的整数都是奇数 D ．∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1[解析] 设命题p ：∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1，则綈p ：∃x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ≠1，显然綈p 是假命题．11．已知全集U ＝R ，设集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)}，集合B ＝{y |y ＝sin(x －1)}，则(∁U A )∩B 为( C )A ．(12，＋∞)B ．(0，12]C ．[－1，12]D ．∅[解析] 集合A ＝{x |x >12}，则∁U A ＝{x |x ≤12}，集合B ＝{y |－1≤y ≤1}，所以(∁U A )∩B ＝{x |x ≤12}∩{y |－1≤y ≤1}＝[－1，12]．12．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( B )A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题[解析] 对于命题p ：y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]， 令(1－x )(1＋x )>0，得－1<x <1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 因为f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以命题p 为真命题；对于命题q ：y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝e －x －1e －x＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，所以命题q 为假命题，所以(綈p )∧q 是假命题．13．已知命题p ：x ≥1，命题q ：1x <1，则綈p 是q 的既不充分也不必要条件．[解析] 由题意，得綈p 为x <1，由1x <1，得x >1或x <0，故q 为x >1或x <0，所以綈p是q 的既不充分也不必要条件．14．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点.[解析]全称命题的否定为特称命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a x0－x－a0没有零点．15．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于3.[解析]A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1<x<3}，集合A中包含的整数有0,1,2，故A∩Z＝{0,1,2}．故A∩Z中所有元素之和为0＋1＋2＝3.16．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p 且q”是真命题，则实数a的取值范围为(－∞，－2].[解析]由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2.B组1．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝( C )A．{－1} B．{0}C．{－1,0} D．{0,1}[解析]本题主要考查一元二次不等式的解法与集合的表示方法、集合间的基本运算．依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}，选C．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg(x－1)}，集合B＝{y|y＝x2＋2x＋5}，则A∩B＝( C )A．∅B．(1,2]C．[2，＋∞) D．(1，＋∞)[解析]由x－1>0，得x>1，故集合A＝(1，＋∞)，又y＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4＝2，故集合B＝[2，＋∞)，所以A∩B＝[2，＋∞)，故选C．3．给出下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋log x2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则ca>cb”的逆否命题；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题的是( A )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[解析] ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x ≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b ，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．4．设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216＋y 29≤1”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] “|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“x 216＋y 29≤1”表示的平面区域N 为椭圆x 216＋y 29＝1及其内部，显然NM ，故选B ．5．(文)若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，∴A ∩B ＝∅，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分条件；当A ∩B ＝∅时，得a ≤2，则“a ＝1”不是“A ∩B ＝∅”的必要条件，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．(理)设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的( D ) A ．既不充分又不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件[解析] 当x ≥1，y ≥1时，x 2≥1，y 2≥1，所以x 2＋y 2≥2；而当x ＝－2，y ＝－4时，x 2＋y 2≥2仍成立，所以“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的充分不必要条件，故选D ．6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素个数是( B )A ．3B ．4C ．8D ．9[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A ×B ＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log 22＝1，log 24＝2，log 28＝3，log 44＝1，因此，一共有4个元素，故选B ．7．(2018·东北三省四市一模)已知命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞，1)内单调递减，命题q ：函数y ＝2cos x 是偶函数，则下列命题中为真命题的是( A )A ．p ∧qB ．(綈p )∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )[解析] 命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞，1)上单调递减，是真命题； 命题q ：函数y ＝2cos x 是偶函数，是真命题． 则p ∧q 是真命题．故选A ．8．已知条件p ：x 2－2x －3<0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( D )A ．a >3B ．a ≥3C ．a <－1D ．a ≤－1[解析] 由x 2－2x －3<0得－1<x <3，设A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >a }，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即a ≤－1. 9．若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的a 的取值范围为( D )A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9] [解析] 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围为(6,9]． 10．下列说法正确的是( D )A ．命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 018>0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 018<0”B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．函数f (x )＝1x在其定义域上是减函数D ．给定命题p ，q ，若“p 且q ”是真命题，则綈p 是假命题[解析] 对于A ，特称命题的否定为全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 018>0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 018≤0”，故A 不正确．对于B ，两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；反之，不然．即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B 不正确．对于C ，函数f (x )＝1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内既不是增函数，也不是减函数，如取x 1＝－1，x 2＝1，有x 1<x 2，且f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，则f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )＝1x 在其定义域上不是减函数，故C 不正确．对于D ，因为“p 且q ”是真命题，则p ，q 都是真命题，所以綈p 是假命题，故D 正确．11．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝{0,6}.[解析] 由题意可知，－2x ＝x 2＋x ， 所以x ＝0或x ＝－3，而当x ＝0时，不符合元素的互异性，舍去； 当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．12．命题“∀x ∈[1,2]，使x 2－a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是(－∞，1]. [解析] 命题p ：a ≤x 2在[1,2]上恒成立，y ＝x 2在[1,2]上的最小值为1， 所以a ≤1.13．设p ：(x －a )2>9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若綈p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[72，＋∞).[解析] 綈p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12，因为綈p 是q 的充分不必要条件， 所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.14．给出下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②“(x －3)(x －4)＝0”是“x －3＝0”的充分而不必要条件；③命题“若b ＝0，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)是偶函数”的否命题是“若b ≠0，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)是奇函数”；④若a >0，b >0，a ＋b ＝4，则1a ＋1b 的最小值为1.其中正确结论的序号为①④.[解析] 由特称命题的否定知①正确；(x －3)(x －4)＝0⇒x ＝3或x ＝4，x ＝3⇒(x －3)(x －4)＝0，所以“(x －3)·(x －4)＝0”是“x －3＝0”的必要而不充分条件，所以②错误；函数可能是偶函数，奇函数，也可能是非奇非偶的函数，结论③中“函数是偶函数”的否定应为“函数不是偶函数”，故③不正确；因为a >0，b >0，a ＋b ＝4，所以1a ＋1b ＝a ＋b 4·(1a ＋1b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以④正确．第二讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法．(2)掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解，同时注意“分母实数化”的运用．(3)关注程序框图和基本算法语句的应用与判别，尤其是含循环结构的程序框图要高度重视．(4)掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式，对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类比推理要找到事物的相同点，做到类比合，对演绎推理要做到过程严密．预测2019年命题热点为：(1)利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题，与三角函数、解析几何交汇命题．(2)单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查． (3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全，与函数求值、方程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题．(4)推理问题考查归纳推理和类比推理，主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题．Z 知识整合hi shi zheng he1．重要公式(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0，λ∈R )⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．2．重要性质及结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.. (3)平面向量的三个性质①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|③设θ为a 与b (a ≠0，b ≠0)的夹角，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝(4)复数运算中常用的结论：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i ；④－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，其中n ∈N *3．推理与证明 (1)归纳推理的思维过程实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 (3)(理)数学归纳法证题的步骤①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n ＝n 0(n 0∈N *)时，命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n ≥n 0的正整数都成立．Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略复数的定义：在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误． 2．不能准确把握循环次数解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防止多一次或少一次的错误． 3．忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价；两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价．1．(2018·全国卷Ⅰ，1)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( C ) A ．0 B ．12C ．1D ． 2[解析] ∵ z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴ |z |＝1. 故选C ．2．(2018·全国卷Ⅱ，1)1＋2i1－2i ＝( D )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i[解析] 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D ．3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( B ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选B ．4．(2018·全国卷Ⅰ，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A ．5．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [解析]11－i ＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ，7)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( B )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.因为N ＝N ＋1i ，由上表知i 是1→3→5，…，所以i ＝i ＋2.故选B ．7．(2018·天津卷，3)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输入N 的值为20，第一次执行条件语句，N ＝20，i ＝2，Ni ＝10是整数，∴ T ＝0＋1＝1，i ＝3<5；第二次执行条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝203不是整数，∴ i ＝4<5；第三次执行条件语句，N ＝20，i ＝4，Ni ＝5是整数，∴ T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成立，∴ 输出T ＝2. 故选B ．8．(2018·天津卷，9)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝4－i.[解析]6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.9．(2018·北京卷，9)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝－1. [解析] a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，则m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.10．(2018·全国卷Ⅲ，13)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝12.[解析] 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.命题方向1 平面向量的运算例1 (1)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( B )A ．43B ．53C ．158D ．2[解析] 方法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B ．方法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋(12λ＋μ)AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B ．(2)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μDB →，则λμ＝29.[解析] 由图形可得：AM →＝AB →＋12AD →①，DB →＝AB →－AD →②，①×2＋②得：2AM →＋DB →＝3AB →，即AB →＝23AM →＋13DB →，所以λ＝23，μ＝13，所以λμ＝29.『规律总结』1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．G 跟踪训练en zong xun lian1．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A ―→·PB ―→＝32.[解析] 圆心为O (0,0)，则3，∠OP A ＝∠OPB ＝π6，则∠APB ＝π3，所以cos ∠APB ＝3·3·cos π3＝32.2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( A ) A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] 因为b －c ＝(x ，－4)，又a ⊥(b －c )，所以a ·(b －c )＝3x －4＝0，所以x ＝43.命题方向2 复数的概念与运算例2 (1)已知复数z 1＝3＋i1－i的实部为a ，复数z 2＝i(2＋i)的虚部为b ，复数z ＝b＋a i 的共轭复数在复平面内的对应点在( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限。