[精品课件]2019届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文 新

[解析] ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若 A、B、C 三点共线，则 A、B、C、D、E 五点不一定共面；③构造长方体或正 方体，如图显然 b、c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段 不共面．故只有①正确．
[答案] B
2．(2018·安顺模拟)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，求证：
题型占 5～8 分
[知识梳理] 1．平面的基本性质及推论 (1)平面的基本性质： 基本性质 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条 直线上的所有点都在这个平面内． 基本性质 2：经过 不在同一直线上 的三点，有且只有一个平面． 基本性质 3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条 过这个点的公共直线．
方法感悟 1．点线共面问题证明的 2 种方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内； (2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面 α，再证其余点、线确 定平面 β，最后证明平面 α，β 重合． 2．证明多线共点问题的 2 个步骤 (1)先证其中两条直线交于一点； (2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三 条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理 3 证明．
[答案] C
5．(2018·河北省唐山市二模)正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 6， E 点在棱 BC 上，且 BE＝2EC，过 E 点的直线 l 与直线 AA1，C1D1 分别交于 M，N 两点，则 MN 等于( )
A．3 13
B．9 5
C．14
D．21
[解析] 根据题意作图，由图可知：AC11DF1＝NNDC11＝13， NC1＝3，∴FN＝ 13，
[答案] ①③
考向二 异面直线的判定 3．在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中 点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有______________．(填 上所有正确答案的序号)
[解析] 图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点共面， 但 M∉平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图③中，连接 MG，GM ∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中，G，M，N 共面，但 H∉平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．所以在图②④中，GH 与 MN 异面
【针对补偿】
1．以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，
D，E 共面；
③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0
B．1
C．2
D．3
3 A. 2
15 B. 5
C.
10 5
D.
3 3
[解析] 如图所示，补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1，
则所求角为∠BC1D，∵BC1＝2，
第七章 立体几何
•第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
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常见题型
1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 既有选择题，又有填空
2.了解可以作为推理依据的公理和定理． 题，有时作为解答题的
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明 重要一部分出现，中档
一些空间位置关系的简单命题.
[答案] B
4．(2018·南昌一模)已知 a、b、c 是相异直线，α、β、γ 是相异平 面，则下列命题中正确的是( )
A．a 与 b 异面，b 与 c 异面⇒a 与 c 异面 B．a 与 b 相交，b 与 c 相交⇒a 与 c 相交 C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ D．a⊂α，b⊂β，α 与 β 相交⇒a 与 b 相交
(2)平面基本性质的推论 推论 1：经过一条直线和 直线外 的一点，有且只有一个平面； 推论 2：经过两条 相交直线 有且只有一个平面； 推论 3：经过两条 平行直线 有且只有一个平面．
2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系
图形语言 直线平行
直线相交
符号语言 a∥b
a∩b＝A
公共点 0个 1个
线 m⊥α，直线 n⊥β，则“α，β 相交”是“直线 m，n 异面”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若“α，β 相交”，有可能直线“m，n 相交”，所以不 是充分条件，反过来，若“α，β 不相交”，那么 α∥β，也就能推出 m∥n，即 m，n 不异面，这个命题的逆否命题就是“m，n 异面”， 则 α，β 相交，所以是必要不充分条件，故选 B.
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
位置关系
图形语言
符号语言 公共点个数
直线在平面内
a⊂α
无数 个
直线与平面平行
a∥α
0个
直线与平面相交 平面与平面平行 平面与平面相交
a∩α＝A
1个
α∥β
0个
α∩β＝l 无数 个
[知识感悟] 1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异 面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线 既不平行，也不相交． 2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”． 3．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平分题，共同探讨)
考向一 两条直线位置关系的判定
1．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l.若直线 m，
n 满足 m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
[解析] 由题意知 α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.
[解析] 过 N 作 NP⊥BB1 于点 P，连接 MP，可证 AA1⊥平面 MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过 M、N 分别作 MR⊥A1B1、NS⊥B1C1 于点 R、S，则当 M 不是 AB1 的中点、N 不是 BC1 的中点时，直线 A1C1 与直线 RS 相交；当 M、N 分别是 AB1、BC1 的中点时，A1C1∥RS， ∴A1C1 与 MN 可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知， AA1⊥平面 MNP，而 AA1⊥平面 A1B1C1D1，∴平面 MNP∥平面 A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确命题的序号是①③.
[答案] ②④
方法感悟 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定， 对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角 形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理； 对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
【针对补偿】
3．(2018·吉大附中第七次模拟)已知 α，β 是两不重合的平面，直
aβ，且 a 在 α，β 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置
关系是( )
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交、平行或异面
[解析] 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异
面．
[答案] D
3．(2018·成都诊断)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 棱 A1B1，A1D1 的中点，则 A1B 与 EF 所成角的大小为________．
[解析] 如图，连接 B1D1，D1C，B1C. 由题意知 EF 是△A1B1D1 的中位线，所以 EF∥B1D1，又 A1B∥ D1C，所以∠B1D1C(或其补角)为异面直线 A1B 与 EF 所成的角．因为 △D1B1C 为正三角形，所以∠B1D1C＝π3.
故 A1B 与 EF 所成角的大小为π3.
A1F＝ A1B21＋B1F21＝2 13， EN＝ EF2＋FN2＝7，故MEAF1＝MENN＝13， ∴MN＝21，故选 D. [答案] D
题型三 异面直线所成的角(重点保分题，共同探讨)
例 2 (1)(2017·课标Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ABC＝ 120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦 值为( )
[解析] 如图(1)，在正方体中，a、b、c 是三条棱所在直线，满 足 a 与 b 异面，b 与 c 异面，但 a∩c＝A，故 A 错误；在图(2)的正方 体中，满足 a 与 b 相交，b 与 c 相交，但 a 与 c 不相交，故 B 错误； 如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则 a 与 b 不相交，故 D 错误．
[答案] C
2．(2018·江南十校联考)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，点 M∈AB1，N∈BC1，且 AM＝BN≠ 2，有以下四个结论：
①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面 A1B1C1D1；④MN 与 A1C1 是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为 正确命题的序号都填上)
[知识自测] 1．已知 A，B，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β 表示不同的 平面，则下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A [答案] C
2．(2018·江西七校联考)已知直线 a 和平面 α，β，α∩β＝l，a⊄α，
[证明] ①连接 EF、CH，如图所示，
∵E、F 分别是 AB、AD 的中点，∴EF∥BD. 又∵CG＝13BC，CH＝13DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H 四点共面．
②易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， ∴设 FH∩AC＝M，∴M∈平面 EFHG，M∈平面 ABC. 又∵平面 EFHG∩平面 ABC＝EG， ∴M∈EG，∴FH、EG、AC 共点．