4-1刚体的定轴转动-力矩-转动惯量-转动定律.
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一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
4-1刚体转动定律
2l
.
42
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
dt dθ dt d θ ωdω3gsinθdθ
2l
m,l FN
θ mg
O
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ) l
.
43
练习：一个飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，
以0=1000r/min的转速转动。现要制动飞轮， 要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。 求
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
.
41
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
.
39
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
J mR 2(g2t2h) 2h .
mg
40
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
.
49
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
2） 任一质点运动 ,, 均相同，
但 v 不同。
.
6
3、一般运动 + 质心的平动 绕质心的转动
.
42
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
dt dθ dt d θ ωdω3gsinθdθ
2l
m,l FN
θ mg
O
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ) l
.
43
练习：一个飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，
以0=1000r/min的转速转动。现要制动飞轮， 要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。 求
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
.
41
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
.
39
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
J mR 2(g2t2h) 2h .
mg
40
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
.
49
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2） 任一质点运动 ,, 均相同，
但 v 不同。
.
6
3、一般运动 + 质心的平动 绕质心的转动
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
第四章 刚体的转动讲解
Δθ=ωt
4）角位置
＝0＋ t
2．匀变速转动(t=0，ω=ω0，θ=θ0)
1）角加速度 ＝const
2）角速度 ＝0 t
3）角位移 4）角位置
＝
0
t
1 2
＝ 0＋ 0
t
t2
1 2
t
2
四、角量与线量的关系
半径R，角位移
弧长 s R
线速度v: v lim
法向加速度：
an
t 0
v2
R
lim s
R
t t0 t
(R)2 R 2
R
R
切向加速度：
a
dv dt
d dt
(R)
R
d
dt
R
结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有
各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；
而各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比。
M i
M F1r1 sin1 F2 r2 sin 2 F3r3 sin 3
单位： N.m
注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。
与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的
轴的力矩。用M表示。
用矢量表示 M r F
或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个
力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
定轴转动和转动定律[优质ppt]
l /2 x2 m d x
l / 2 l m x3 l/2
l 3 l / 2
J 1 ml2 12
例题：转动惯量的计算
例2：求匀质杆绕一端的垂直轴的转动惯量
J r 2 d m l x2 m d x 1 ml2
0l
3
例3：求匀质细圆环绕过圆心的垂直轴的转动惯量
J r2 d m R2 d m R2 d m mR2
2
3
M
1 mgl cos θ 2
例题：转动惯量的计算
例4：求匀质圆盘绕过圆心的垂直轴的转动惯量
将圆盘分成许多同心圆环
细圆环的转动惯量 d J r 2 d m
m
d J r2 2 r d r,
m
R2
J
dJ
R
2
r3
d
r
1
R4
0
2
J 1 mR2 2
r dr R
几种形状规则密度均匀刚体的转动惯量
正负由转轴正向和右手法则确定
• 若力不在转动平面内 —— 只算垂直分量
• 几个力同时作用时 — 各力矩的代数和
M M1 M2 M3 Mi
F sin
F cos
line of action
课堂练习：请说明下图中力对 z 轴的力矩
d
M F1r1 F2r2 F3r3 M Fd Fd 0 M F(r1 r2 )
3、平行轴定理
Z ZC d
m
C
J
JC
J JC md2
• 通过质心的轴线的转动惯量最小
大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料
mg FT2 ma2
FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1
r
J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W
0
Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2
R
mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半 径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1
mAmB g
mA mB mC
2
T2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：
刚体定轴转动的转动定律力矩
力矩平衡的条件
静平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩 为零，则刚体保持静止状态。
动平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩为 零，则刚体保持匀速转动状态。
平衡状态
无论是静平衡还是动平衡，刚体的 平衡状态都满足合力矩为零的条件。
力矩平衡的应用
机械平衡
在机械设计中，通过调整刚体的质量 分布或添加平衡装置，使刚体在转动 过程中满足力矩平衡条件，以保证机 械设备的稳定性和可靠性。
刚体的定轴转动
定轴转动：刚体绕某一固定轴线作旋 转运动。
在定轴转动中，刚体的角速度和角加 速度是矢量，其方向沿固定轴线，而 力矩是改变刚体转动状态的唯一物理 量。
刚体定轴转动的特点
角速度矢量、角加速度矢量和力 矩矢量都与固定轴线平行。
刚体定轴转动时，其上各点的速 度方向与该点到轴线的垂直线段 相垂直，各点的加速度方向与该
实例三：旋转木马的旋转
总结词
旋转木马的旋转是刚体定轴转动的又一实例，通过外力矩的作用，使旋转木马绕轴转动。
详细描述
旋转木马在外力矩的作用下开始转动，当旋转木马转动时，由于摩擦阻力和空气阻力的作用，旋转木 马会逐渐减速并最终停止。
实例四：陀螺的稳定旋转
总结词
陀螺的稳定旋转是刚体定轴转动的最后一个实例，陀螺通过自转保持稳定的旋转状态。
在日常生活和工业生产中，转动 定律也广泛应用于各种旋转运动
的分析和设计。
04
刚体定轴转动的力矩平衡
力矩平衡的概念
力矩平衡
刚体在转动过程中，受到 的力矩之和为零，即合力 矩为零。
力矩
力对转动轴的力矩等于力 和力臂的乘积，其中力臂 是从转动轴到力的垂直距 离。
转动轴
刚体转动的中心轴，可以 是固定的点或线。
刚体定轴转动
刚体定轴转动
1.刚体的转动 刚体的转动 在圆盘上任意取一个质元 切向速度： 切向速度：
ω
c
vi = ωri = θri
mi , ri
r i
mi
r ai = ωri = θi = αri 切向加速度： 切向加速度：
角加速度rad
s2
由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v 由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v、a一般 角加速度α 不同，但角量（角位移θ、角速度ω 、角加速度α）都 不同， 角位移θ 角速度ω 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便 用角量最方便。 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便。
刚体定轴 转动定律 对 比 牛顿第二定律
dLc = d (I cω ) = I dω = I α Mc = c c dt dt dt
dp d(mv) dv F= = =m =ma dt dt dt
刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 点运动中牛顿第二定律 牛顿第二定律的 点运动中牛顿第二定律的，各物理量间存在明显的 对应关系。 对应关系。
刚体定轴转动
1
安徽工业大学 数理学院 刘畅
2. 刚体的转动动能和转动惯量 刚体的转动动能 转动动能和 1 2 1 2 2 质元 mi的动能 Eki = mivi = miω ri m i 2 2 r c i 总动能 Ek = ∑Eki 2 1 ω 2 2 2 = ∑ miω ri = ∑miri 2 2 1 I—转动惯量 = Ic ω2 2 单个质点绕定轴转动的转动惯量 单个质点绕定轴转动的转动惯量 I = mr 2 质量连续分布的刚体的转动惯量 I = r dm
dt 若 M =0LΒιβλιοθήκη M =dL∫
1.刚体的转动 刚体的转动 在圆盘上任意取一个质元 切向速度： 切向速度：
ω
c
vi = ωri = θri
mi , ri
r i
mi
r ai = ωri = θi = αri 切向加速度： 切向加速度：
角加速度rad
s2
由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v 由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v、a一般 角加速度α 不同，但角量（角位移θ、角速度ω 、角加速度α）都 不同， 角位移θ 角速度ω 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便 用角量最方便。 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便。
刚体定轴 转动定律 对 比 牛顿第二定律
dLc = d (I cω ) = I dω = I α Mc = c c dt dt dt
dp d(mv) dv F= = =m =ma dt dt dt
刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 点运动中牛顿第二定律 牛顿第二定律的 点运动中牛顿第二定律的，各物理量间存在明显的 对应关系。 对应关系。
刚体定轴转动
1
安徽工业大学 数理学院 刘畅
2. 刚体的转动动能和转动惯量 刚体的转动动能 转动动能和 1 2 1 2 2 质元 mi的动能 Eki = mivi = miω ri m i 2 2 r c i 总动能 Ek = ∑Eki 2 1 ω 2 2 2 = ∑ miω ri = ∑miri 2 2 1 I—转动惯量 = Ic ω2 2 单个质点绕定轴转动的转动惯量 单个质点绕定轴转动的转动惯量 I = mr 2 质量连续分布的刚体的转动惯量 I = r dm
dt 若 M =0LΒιβλιοθήκη M =dL∫
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R
O
2 2 J mR 3
以球壳为质量元，可以很快得到均匀球体（ m， R）的转动惯量为 2 2
J
Hale Waihona Puke 5mR应用刚体转动定律的基本方法和步骤： 隔离物体法 分析力，确 定外力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例6
质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 m 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB C 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为 多少？（2） 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速 率是多少?
取决于刚体的质量、质量对轴的分布、转 轴的位置； 质量连续分布刚体的转动惯量：
M J
J r dm
2
dm：质量元
单位：kg· m2
例3
一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求通过 棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
r
dr
l 2
O
r
l
1 2 J ml 3
O´
d r O´
1 2 J ml 12
planar translation（roll）
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
3. 刚体的定轴转动
（1）状态参量
angular coordinateθ angular velocity
角位移 d
z
(t )
ω=d /dt
x
参考平面
angular acceleration
3.刚体的定轴转动
（3）角量和线量的关系（Relationship between angular quantity and linear quantity）
ds rd
v ret
a
an r
et v a
t
2 a ret r en
例1：
d
C
m
O
J O J C md
2
——平行轴定理
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
m
R
J mR
2
R R
O
r dr
1 J mR 2 2
m
R1 R2
1 2 2 J m( R1 R2 ) 2
例5 一质量为 m 、半径为 R 的均匀球壳，求当以一 直径为转轴的转动惯量 .
通知
请各班同学到课代表处登记参观物理 演示厅的时间。本班为第六周参观， 周二、四、五三个晚上任选一个。课 代表本周四将名单交给我。
NO.4-1
Chapter 4
Rotation of Rigid Body
2010 - 3 - 23
你能回答下列现象吗?
（1）花样滑冰运动员为何会越转越快？
（2）向前拉绳子，滚轮一定向前滚动吗？ （3）转动的车轮为何不会掉下？
0 t 2 1 0 0t 2 t
2 ( 0 )
2 2 0
v v0 at
x x0 v0t at
1 2
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一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
质点模型
从三个方面讨论：
刚体模型
（1）运动学（状态量）； （2）动力学（转动定律）; （3）角动量和能量（角动量守恒定律、 机械能守恒定律）
内容目录
1. 2. 3. 4. 5. 刚体 刚体定轴转动的状态量 力矩 刚体的转动定律 转动惯量
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过 中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω0 0 经 300s 后，其转速达到 18000 r· min-1 ．转子 的角加速度与时间成正比．问在这段时间内， 转子转过多少转？
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque ）
F 对转轴 Z 的力矩
M
M
O
M r F
=d /dt
参考轴
刚体的角速度方向与其 转动方向遵循右手定则！
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
3.刚体的定轴转动
（2）匀加速转动 （Rotation with constant angular acceleration）
刚体绕定轴作匀变速转动 质点匀变速直线运动
in in M Mi 0
M ij
ex M M
i
rj
O
M ji
d
i ri
f ji fij
j
（4）合外力矩等于各个分力矩的矢量和。
M M1 M 2 M 3
例2：
有一大型水坝高110 m、长1000 m , 水深 100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求 作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基 点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
z
r
F
*
说明：
（1）当外力平行于转轴或力的 作用线通过转轴时，力对转轴的 力矩为 零 。
d
P
z
k
O
Fz
F
（2）对定轴转动来说，只有参 考平面内的力对转动轴有力矩。
r
F
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque ）
（3）刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩 为 零。
1. 刚体（Rigid Body）
受力时大小和形状保持不变的物体；
质量连续分布的质量元，受力时各质元之间的 相对位置不变。
2. 刚体的运动（Motion of Rigid Body）
平动（translation） 转动（rotation） 定轴转动（fixed axis rotation ） 定点转动（fixed point rotation） 平面平行运动（滚动）
y
y
F r
O Q
x
h y
O
L
dS
dy
x
二. 刚体转动定律
2. 转动定律 （The Law of Rotation）
转动惯量：（Moment of Inertia ）
J mi ri
i
2
O
the Law of Rotation:
z F i ri m i
fi
3. 转动惯量（Moment of Inertia）
A
mA
C
mC
mB B
例7 一长为 l 质量为 m 匀质细杆，可绕其一端的光 滑水平固定轴转动 . 将杆从水平位置静止释放，求 细杆转动 角时的角加速度和角速度 .