数列求和(2)

⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。

第二讲数列求和(一)一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1二、精讲精练例题1、有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项? 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。

边学边练：等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?例题2、有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少?【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。

第100项=3+4×(100-1)=399.边学边练：一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少?例题3、有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

数列求和（2）【学习目标】1、能够初步掌握运用拆项、合项求和、分奇偶项求和及分段求和等方法；2、在运用上述方法求和的过程中体会与领悟将一般数列求和问题向等差、等比数列求和问题转化的“化归思想”；3、在学习活动中得到自我发现，提振信心，改进及养成良好的学习习惯。

【学习重点】拆项、合项求和、分奇偶项求和及分段求和等方法。

【学习难点】根据数列的特点，选用恰当的方法求和。

【课前导学】1．数列{}n a 的前n 项和=n S ， n a 与n S 之间的关系式是 。

2. 等差数列与等比数列的前n 项和公式若{}n a 成P A ⋅,则=n S = 若{}n a 成P G ⋅,则=n S【课堂学习】【例题1】求下列数列的前n 项和n S 。

（1）nn n a 23+=； 变式： ,1617,815,413,211（2）21)1(n a n n +-=【例题2】已知213n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，设数列{}n a 的前n 项之和n S ，求20S 和2n S 。

【例题3】（1）已知数列{}n a 的通项公式为211536n n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求它的前n 项和n S 。

（2）若数列{}n a 的通项公式为n a n -=10，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

【反思小结】掌握程度自我评价：（A ） （B ） （C ）【课后作业】 A 组1. 求下列数列的前n 项和n S ： （1）（1） ,1614,813,412,211（2）1-，4，7-，10， ，(1)(32)n n --， ；（3）2)1(n a n n -=（4）9.0，99.0，999.0，9999.0， ；2. 求和n S =22311(12)(122)(12222)n -++++++++++++ 。

3. 已知{}n a 的通项公式为23n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求{}n a 的前2n 项和n S 2。

求和求和公式(二)求和求和公式求和是数学中常见的运算方式，用于将一系列数值相加得到总和。

求和公式是描述求和运算规律的数学公式。

在本文中，我们将列举几个常用的求和公式，并给出例子来解释说明。

等差数列求和公式等差数列是指一个数列中每个相邻的两个数之差保持恒定的数列。

等差数列求和公式用于计算等差数列的所有项的和。

公式如下：S n=n2(a1+a n)其中，S n表示等差数列的前n项和，a1表示数列的首项，a n表示数列的末项，n表示数列的项数。

例子：计算等差数列 1, 4, 7, 10, 13 的前5项和。

首项a1=1，末项a5=13，项数n=5。

根据等差数列求和公式，我们可以得到：S5=52(1+13)=52×14=35因此，等差数列 1, 4, 7, 10, 13 的前5项和为35。

等比数列求和公式等比数列是指一个数列中每个相邻的两个数之比保持恒定的数列。

等比数列求和公式用于计算等比数列的所有项的和。

公式如下：S n=a1(1−r n) 1−r其中，S n表示等比数列的前n项和，a1表示数列的首项，r表示公比，n表示数列的项数。

例子：计算等比数列 2, 4, 8, 16, 32 的前5项和。

首项a1=2，公比r=2，项数n=5。

根据等比数列求和公式，我们可以得到：S5=2(1−25)1−2=2(1−32)−1=−64−1=64因此，等比数列 2, 4, 8, 16, 32 的前5项和为64。

幂函数求和公式幂函数求和公式用于计算幂函数的前n项和。

幂函数是指变量的幂次方乘以系数的形式。

公式如下：S n=a1(1−r n) 1−r其中，S n表示幂函数的前n项和，a表示幂函数中的系数，n表示幂函数的最高次幂。

例子：计算幂函数5x2+3x+2的前3项和。

幂函数中的系数a=5，最高次幂n=2。

根据幂函数求和公式，我们可以得到：S3=5(1−(x2)3)1−x2=5(1−x6)1−x2因此，幂函数5x2+3x+2的前3项和为5(1−x6)1−x2。

等差数列的前n 项的和（2）教学目标：（1）能熟练地应用等差数列前n 项和公式解决有关问题； （2）能利用“公式法”、“裂项相消法”等常用方法求一些特殊数列的和；教学重点，难点1．等差数列前n 项和公式的应用；2．数列通项公式与前n 项和之间的关系的应用。

教学过程一．复习回顾1、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+2、等差数列{}n a 中，2519a a +=，540S =，则10____________a =；3、数列n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩二．应用例1、已知数列}{n a 中，128,2a a ==且满足212n n n a a a ++=-,求数列}{n a 的通项公式及前n 项和n S例2、数列{}n a 的通项公式为*)()1(1N n n n a n ∈+=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，求10S ．例3、等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且723n nS n T n +=+，求77a b 的值。

例4、数列{}n a 是首项为22，公差为整数的等差数列，且50a >，60a <， （1）求公差d ；（2）设前n 项和为n S ，求n S 的最大值；（3）当n S 为正数时，求n 的最大值。

备选练习： 1、 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.2、在等差数列{}n a 中,已知848S =，12168S =，求1a 和d 。

3、教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰．（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？（说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。