数列求和7种方法(方法全_例子多)

数列求与得基本方法与技巧一、总论:数列求与7种方法:利用等差、等比数列求与公式错位相减法求与反序相加法求与分组相加法求与裂项消去法求与分段求与法(合并法求与)利用数列通项法求与二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法,三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。

数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。

在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、一、利用常用求与公式求与利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。

1、等差数列求与公式:2、等比数列求与公式:3、４、5、［例1］已知,求得前n项与。

解:由由等比数列求与公式得(利用常用公式)＝==1-［例2］设S n＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式)∴＝=＝∴当,即n＝８时,二、错位相减法求与这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn·ｂn｝得前n项与,其中｛a n｝、｛bｎ}分别就是等差数列与等比数列。

［例3］求与:………………………①解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积设………………………。

②(设制错位)①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相减)再利用等比数列得求与公式得:∴[例4］ 求数列前n 项得与、解:由题可知,{｝得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列｛｝得通项之积设…………………………………①………………………………② (设制错位)①—②得 (错位相减)∴三、反序相加法求与这就是推导等差数列得前ｎ项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。

数列求和公式七个方法数列求和是数学中的一个重要概念，常用于计算数列中各项之和。

数列求和公式有多种方法，下面将介绍七种常见的求和公式方法。

方法一：等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。

等差数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。

等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

方法二：等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。

等比数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。

等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

方法三：斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

斐波那契数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。

斐波那契数列求和公式为Sn=f(n+2)-1，其中Sn表示数列的和，f表示斐波那契数列。

方法四：调和数列求和公式调和数列是指数列中每一项的倒数是一个调和级数的一项。

调和数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。

调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n，即Sn=Hn，其中Hn表示调和级数的n项和。

方法五：等差数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等差数列的求和公式。

差分公式是指数列中相邻两项之差等于同一个常数d。

等差数列求和差分公式为Sn=[(a1+an)/2]n，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

方法六：等比数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等比数列的求和公式。

差分公式是指数列中相邻两项之比等于同一个常数q。

等比数列求和差分公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

方法七：等差数列求和公式（倍差法）倍差法是一种基于等差数列的求和方法。

数列求和的基本方法和技巧[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n Sn f 的最大值.二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++= （8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11] 求证：οοοοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.[例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n n n ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足nn n a a a -=++122 *N n ∈ ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；。

数列求和的七种根本方法甘志国局部容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基此题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种根本方法.1 运用公式法很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记：还要记住一些正整数的幂和公式：例1 数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤⇔>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时，所以 2232(1,2,,16)32512(17,)n n nn T n n n n *⎧-=⎪=⎨-+≥∈⎪⎩N 且例2 求1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n .解 设2)1()1(k n k k n k a k -+=-+=，此题即求数列}{k a 的前n 项和.高考题1 (2014年高考卷文科第19题(局部))求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =.高考题2 (2014年高考卷理科第19题(局部))求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-.高考题3 (2014年高考卷文科第17题)在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.(1)求n a ； (2)设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .答案：(1)13n na -=；(2)22n n nS -=.高考题4 (2014年高考卷文科第16题){}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.(1)求n a 及n S ；(2)设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足244(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .答案：(1)221,n n a n S n =-=；(2)2122,(41)3n n n n b T -==-.2 倒序相加法事实上，等差数列的前n 项和n S 的公式推导方法就是倒序相加法. 例3 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S . 解 显然，这些既约分数为：有 )31()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S 也有 )31()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+=例4 设4()42xx f x =+，求和12320012002200220022002f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解 可先证得()(1)1f x f x +-=，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012. 3 裂项相消法例5 假设}{n a 是各项均不为的等差数列，求证：1113221111++=+++n n n a a n a a a a a a . 证明 设等差数列}{n a 的公差为d ：假设0d =，要证结论显然成立；假设0≠d ，得例8 证明222211112(123n n*++++<∈N 且2)n ≥. 证明 22221312111n++++高考题5 (2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：(1)133n a n =-；(2)10(103)n nS n =-.高考题6 (2014年高考卷文科第19题)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222.(1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有31)1(1)1(1)1(12211<++++++n n a a a a a a .答案：(1)12a =；(2)2n a n =；(3)当1n =时，可得欲证成立.当2n ≥时，111111(1)2(21)(21)(21)22121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++-+-+⎝⎭，再用裂项相消法可得欲证.高考题7 (2014年高考卷理科第19题)等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T . 答案：(1)21n a n =-，2221221n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数.4 分组求和法例9 求11111111111224242n nS -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解 设11111242n n a -=++++，得1122n n a -=-.所以此题即求数列1122n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和： 例10 设数列}{n a 的前n 项和n S 满足221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S ，又n n n S b )1(-=，求数列}{n b 的前n 项和n T .解 在221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S 中，令1n =可求得11=a .还可得相减，得所以}{n a 是首项为1公差为2的等差数列，得所以 222)1(,21n b n a S n n n n ⋅-==⎪⎭⎫⎝⎛+=当n 为偶数时， 当n 为奇数时， 总之，2)1()1(+⋅-=n n T nn . 高考题8 (2014年高考卷文科第15题){}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和.答案：(1)1=3,=32n n n a n b n -+；(2)3(1)212n n n ++-. 高考题9 (2014年高考卷文科第19题)在等差数列{}n a 中，公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .答案：(1)2n a n =，2(1)2(1)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数.高考题10 (2014年高考卷理科第19题(局部))求数列12(1)n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S .答案：1221n nn +--+. 5 错位相减法高考题11 (2014年高考卷理科第17题)首项都是1的两个数列{}{}∈≠n b b a n n n ,0(,N *)满足02111=+-+++n n n n n n b b b a b a .(1)令nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式； (2)假设13-=n n b ，求数列{}n a 的前n 项和n S .解 (1)12-=n c n .(2)得13)12(-⋅-==n n n n n c b a .先写出n S 的表达式：13213)12(37353311-⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S ①把此式两边都乘以公比3，得n n n n n S 3)12(3)32(35333131321⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ②①-②，得n n n n S 3)12(32323232121321⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+=-- ③13)12()3232323232(213210-⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=--n n n n S ④由等比数列的前n 项和公式，得23)22(13)12(132+⋅-=+⋅-++-=n n n n n n S ⑤因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式③右边前n 项的符号都是"+〞，但最后一项为哪一项"—〞；(2)当等式③右边的前n 项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式④)，这增加了难度；(3)等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度.但这种方法(即错位相减法)又是根本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就缺乏为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到总分值.这里笔者再给出一个小技巧——检验：算得了n S 的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下21,S S 是否正确，假设它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.对于此题，已经算出了13)1(+⋅-=n n n S ，所以10,121==S S .而由通项公式可知1033,1111121=⋅+==⋅=S S S ，所以求出的答案正确.高考题12 (2014年高考课标全国卷I 文科第17题){}n a 是递增的等差数列，42,a a 是方程2560x x -+=的根.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 答案：(1)121+=n a n . (2)用错位相减法可求得答案为1242++-n n . 高考题13 (2014年高考卷文科第18题)数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n +==+++∈N *.(1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)设3nn b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案：(1)略.(2)由(1)可求得2n a n =，所以3n n b n =⋅，再用错位相减法可求得433)12(1+⋅-=+n n n S .高考题14 (2014年高考卷文科第19题)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上(n ∈N *). (1)证明：数列{}n b 为等比数列；(2)假设11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2{}n n a b 的前n 项和n S .答案：(1)略.(2)可求得,2n n n a n b ==，所以24n n n a b n =⋅，再用错位相减法可求得944)13(1+⋅-=+n n n S .高考题15 (2014年高考卷理科第19题)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上(n ∈N *).(1)假设12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； (2)假设11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 答案：(1)2=3n S n n -.(2)可求得,2n n n a n b ==，所以2n n n a nb =，再用错位相减法可求得答案为nn n T 222+-=. 6 待定系数法例11 数列}3)12{(nn ⋅-的前n 项和=n S .解 设等差数列{}m a 的公差为d ，等比数列{}m b 的公比为(1)q q ≠，得 先用错位相减法求数列{}m m a b ⋅的前n 项和n S ：所以有下面的结论成立：假设{},{}m m a b 分别是等差数列、等比数列(其公比1≠q )，且11,a b 均是与n 无关的常数，则数列{}m m a b ⋅的前n 项和b q b an S n n -+=)(，其中,a b 是与n 无关的常数.由此结论就可以用待定系数法快速求解此题： 可设()3n n S an b b =+⋅-(其中,a b 是常数).可得123,32730S S ==+=，所以3()39(2)30a b b a b b +-=⎧⎨+-=⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以33)1(1+⋅-=+n n n S .例12 求和12212+22+32++(1)2+2n n n n S n n --=⋅⋅⋅-⋅⋅.解 得012111111+2+3++22222n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.用待定系数法可求出该等式的右边为1242n n -+-，所以2224n n S n +=--. 七、求导法、积分法例13 (1)求证：)1(111132≠--=++++++x x x x x x x n n； (2)求证：)1()1(1]1)1[(321212≠-+--=++++-x x x n x nx x x n n ；(3)求数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和n S(此即例6).解 (1)当0=x 时，显然成立.当0≠x 时，由等比数列的前n 项和公式知，欲证结论也成立.(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立.(3)1(21)3=6(3)3nn n n n --⋅⋅-.由(2)的结论中令3=x ，得数列{}13n n -⋅的前n 项和为413)12(+⋅-n n ；又数列{}3n的前n 项和为2331-+n .所以数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和为高考题16 (2008年高考卷第23题)请先阅读：在等式∈-=x x x (1cos 22cos 2R )的两边对*求导，得)1cos 2()2(cos 2'-='x x .由求导法则，得)sin (cos 42)2sin (x x x -⋅=⋅-，化简后得等式x x x cos sin 22sin =.(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式∈++++=+x x C x C x C C x nn n n n n n ()1(2210 R ，整数)2≥n 证明：∑=--=-+nk k k n n x kC x n 211]1)1[(.(2)对于整数3≥n ，求证： (i))1(1=-∑=nk knkkC ； (ii))1(12=-∑=nk k n kC k ；(iii)1121110+-=++=∑n C kn nk kn .答案：(1)在等式两边对x 求导后移项可得欲证. (2) (i)在结论(1)中令1-=x 可证.(ii)由等式两边对x 求导后再求导，又令1-=x ，得0)1()1(22=--∑=-nk k k nCk k ，即0)()1(12=--∑=nk kn kC k k ，再由结论(i)得结论(ii)成立.(iii)在等式两边在[0,1]上对x 积分后可得欲证.。

数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。

一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。

二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。

三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。

Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。

四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。

递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。

例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。

五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。

斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。

六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。

设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。

七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：οοοοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1οοοοοοοοο-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝οο1cot 1sin 1⋅＝οο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos οοοn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k 43421321个个 （找通项及特征） ∴ 32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(9113214434421个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝418)4131(4⋅++⋅＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；。

1、2、3、5、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n(a1 a n) “ n(n - 1)dna1 d2等差数列求和公式:等比数列求和公式:S nS n=^n(n 1)2nS n 八k3k 4［例1］已知log 3 x解：由log3x* a1 (1 -q.1-qa i —^n qi -q(q =1)、& 八k2n(n 1)(2n 1)-1 2 3，求x x x 'I Xn项和.log 23-1=log 3 -log3 2 =log 2 31x =—2由等比数列求和公式得S n = x x2x3(利用常用公式)［例2］设S= 1+2+3+…+n, n€ N,求f (n)解: 由等差数列求和公式得S n•••当题1.等比数列S nf(n) ,n 32)S n 1x(1 x n)1 -xSn1 1齐-班)_ 1丄1一1 —歹2(n 32)Sm的最大值.1」n(n1), S22n 34n 641= -(n 1)( n 2)2(利用常用公式)1n 34 64(、n 8 )250n J n— 8、n ——，即 n= 8 时，f (n)(8max1502 2J 的前n项和 S n= 2n- 1,则Ll'i 〔4—1练习题1 已知 1 f ，求数列｛ a n ｝的前n 项和S. 答案爲二〃2" _ 1$ _ 22心二泌-2"+1 答案： -1 3 5 加-1■ ■ ' '■■'・' ______ ■ ■ ■练习题2 221V2"的前n 项和为 ____题 2.若 12+22+…+(n -1) 2=an 3+bn 2+cn ,贝H a = , b = , c = __________(卑T)用•(沏-1) 2h-划+罔 1 1J 解: 原式= •」 . 答案：_ _ 1 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列｛a n • b n ｝的前n项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列 • ［例 3］求和：S n =1 3x 5x 2 7x 3（2n -1）x nJL.............. ①解：由题可知，｛ （2 n-L ）x n J ｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛x n」｝的通项之积设xS n =1x 3x 2 5x 3 • 7x 4心……爲（2n- 1）x n..................... .②（设制错位） ①—②得（1 -x ）^ =1 2x 2x 2 2x 3 • 2x 4「一 2x nJ -（2 n-1）x n（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n J1 — X(1 _x)S n=1 2x(2n _ 1)x nS n =(2n - 1)x n 1 -(2n 1)x n (1 x)(1-x)2［例4］求数列2, 42 , 63 ,，前n 项的和.2 2 2 2解：由题可知,出｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛2n｝的通项之积设S nWn2n①•②1 2 2 ①-②得（一評匸歹F IF-/n（设制错位） （错位相减）S n 1^_2nJ2n-4 -答案:— 、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） 数列相加，就可以得到 n 个（a 1 a n ）. ［例 5］求证：c ： 3C ： 5C ； （2n 1）C ： =（n 1）2n ，再把它与原证明：设 S n =C n ■ 3C 15C^. . (2n . 1)C ： .............. ..①把①式右边倒转过来得S n =(2n 1)C ： (2 n-1)C ：「3C ： C ：又由o m 二可得1n 1 nS n -(2n 1)C n (2n- 1)C n 3C n - C n .......... . ……..②① + ②得 2S n =(2n+2)(C ： +C ： + …y +C ：) = 2(n +1) 2n5 =(n 1) 2n［例 6］求 sin 1 sin 2 sin 3 飞in 88 sin 89 的值 （反序）（反序相加）(2) 2 ' 2 ' 2 ' 2 ••• 2 " 解：设 S = sin 1 sin 2 sin 3 亠 亠 sin 88 sin 89 .................... ① 将①式右边反序得 2 0 2。

百度文库-让每个人平等地提升自我数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

1、2、3、5、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n（a1 a n）等差数列求和公式:等比数列求和公式:S nS nnk3k 1S nS n1)1)］2na13d1［例1］已知x ，求xx2解：由等比数列求和公式得na1印(11(q 1) x3a.qS n［例2］设S n= 1+2+3+ …+n, n€ N*,求f(n)4、S n的前(q 1)nk2k 1n项和.2x3x(1 x n)1 x2(1S n(n 32)S n 1」n(n 1)(2 n 1)6x nJ2L =1 _ 丄11 2n2的最大值.（利用常用公式）百度文库-让每个人平等地提升自我2解：由等差数列求和公式得1Sn2n(n 1)，S n1-(n 1)( n 2) 2（利用常用公式）S n…f(n) (n 32)S n 1n ~2n 34n 641 ""“ 64n 34•••当 n -8•一 n1 I,5050，即 8 时，f （n ）max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列 2 3［例 3］求和：S n 1 3x 5x 7x(2n 1)x n 1解：由题可知, ｛（2n 1）x n 1｝的通项是等差数列设xS n1x 3x 2 5x 3 7x 4(2n 这种方法主要用于求数列 ｛2n — 1｝的通项与等比数列｛ x nn1)x ①一②得 (1 x)S n 1 2x 2x 2 2x 32x 42x n 1(2n 1)x n｛a n • b n ｝的前n｝的通项之积 （设制错位）（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：（1X )Snn 1c 1 X /c 2x(2n1 xn1)x［例4］求数列2,-62 2 解：由题可知,设S n2 ' '2n4 22 4 戸 2 22 22①一②得（1n 1S (2n 1)x(2nS n2(1 x)贵前n 项的和.1)x n (1 x) ｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛ I ｝的通项之积2n_6_ 23 6 24 1)S n2S n2 22 1尹n 2 yr....................2n、“ 1 2 2 23 24 2n盯 2 2n 2* 2*1（设制错位） （错位相减）百度文库-让每个人平等地提升自我练习题1 已知，求数列｛a n｝的前n项和S.答案:练习题的前n项和为百度文库-让每个人平等地提升自我答案:三、逆序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a.a n).0 12［例5］求证：C n 3C n 5C n(2n 1)C：(n 1)2n证明：设S n C0 3C1 5C；(2n i)c n把①式右边倒转过来得又由c nmS n (2n 1)C：(2nC：m可得S n (2n 1)C0 (2n①+②得2S n(2nS n (n1)C：1i)c n2)(C°C：1) 2n3c n C0（反序）3C；1C n 1 nC：C n n) 2(n 1) 2n（反序相加）题1 已知函数（1）证明:（2）求的值.解：（1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边(2)利用第(1 )小题已经证明的结论可知, 两式相加得:百度文库-让每个人平等地提升自我所以四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 .1 1［例7］求数列的前n 项和：1 1,— 4,-y 7,a a 1 1解：设 S n (1 1) (- 4) (-2a a将其每一项拆开再重新组合得1 S n (1 一a3n 2，•-7)(丄 a n 13n 2)1a(3n 1)n2丄 孑(3n 1)n\ 1丄a［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n 项和.当a = 1时, 当a 1时,S n解：设 a k k(k 1)(2k 1)2k 3 )(13k 23n 2)(3n 1)n1a a 1(3n 1)n 2nS n k(k 1)(2kk 11)n(2 k 313k 2 k)将其每一项拆开再重新组合得nS n = 2k 1k 3 k 2=2(13 233\n )3(12 2 (1 2n)(分组)(分组求和)(分组)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 22n(n 1) (n 2)2（分组求和）五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 .裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解 （裂项）如:(1) a nf(n 1) f(n)(2) sin1 cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3) a n1 n(n 1)(4) a n(2n )2 (2n 1)(2 n1)1 2n 1(5)a nn(n 1)( n 2) 12[n(n 1) (n 1)(n 2)](7)a na n(8) a n［例9］求数列n 2 1 n(n 1) 2n2(n 1) n n(n 1)1 2n1 n 2n 1，则 S n1(n 1)2n ' n1 (n 1)2n(An B)(A n C)C B (AnAn七）的前 n 项和.（裂项）解：设a n则S n=(.2 .1)(..n 1(3 （裂项求和）［例10］在数列｛a n ｝中，a n、、n ）-，求数列｛b n ｝的前n 项的和•a n a n 1解:a n••• b nS n8[(1 =8（1/n 1（2009年广东文）20.（本小题满分n n 1 f nn 12 2｝的前n 项和2)(丄1)2 3(14)(-二n n1 =8nn 114分)• 数列｛b n （裂项）（裂项求和）1 x已知点（1,一）是函数f （x ） a （a 0,且a 1）的图象上一点，等比数列｛a n ｝的前n 项和为f （n ） 3c ,数列｛b n ｝(b n 0)的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S * — S n 1 = ... S n + .. S n1(n2).（1）求数列｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式;1(2)若数列｛—— bn b n｝前n 项和为T n ，问Tn > 1000的最小正整数2009n 是多少？0.【解析】（1）a 1 又数列又公比又b n 数列b n ,a 2a 3f 3a n 成等比数列, a 2 a 12 27S n2n a12a s4 81 2 27所以1，所以3a nS n 1S n 1构成一个首相为 1( n N )；1公差为 1的等差数列,1 n , S n n 21 2 2n 1 ；⑵T n1 1b|b2 b2b3b s b4HI ib n b n i7 III 1(2n 1) 2n 1由T n 11 1 1 11 -2 3 2 3 5HI 1 12 2n 112n 11 1丄2 2n 1n2n 1 n2n 11000得n 1000，满足T n2009 9竺0的最小正整数为112.2009练习题1.练习题2。

数列求和的七种方法
1. 求和公式法：利用数列的通项公式和求和公式，将每一项的值代入公式求和。

2. 算术数列求和法：对于等差数列，可以利用求和公式 S =
n/2(2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差，n为项数。

3. 几何数列求和法：对于等比数列，可以利用求和公式 S =
a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比，n为项数。

4. 分割求和法：将数列分割成多个子序列，分别求和后再将结果相加。

5. 枚举法：遍历数列中的每一项，依次相加求和。

6. 递推关系式法：通过建立递推关系式，根据当前项与前一项的关系来求和。

7. 数学归纳法：对于特定的数列，可以利用数学归纳法证明求和公式的正确性，然后代入数值计算求和结果。

数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1 运用公式法很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记：221231123(1)2135(21)12222111111122222n nn n n n n n n -++++=+++++-=++++=-++++=-还要记住一些正整数的幂和公式：2233332222)1(41321)12)(1(61321+=++++++=++++n n n n n n n例1 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤⇔>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时，512322)()()(21616161817162121+-=-=--=+++++++=+++=n n S S S S S a a a a a a a a a T n n n nn所以 2232(1,2,,16)32512(17,)n n nn T n n n n *⎧-=⎪=⎨-+≥∈⎪⎩N 且例2 求1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n .解 设2)1()1(k n k k n k a k -+=-+=，本题即求数列}{k a 的前n 项和.)2)(1(61)12)(1(61)1()1(21)321()1)(321(2222++=++-+⋅+=++++-+++++=n n n n n n n n n n n n S n高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =.高考题2 (2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-.高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.(1)求n a ； (2)设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .答案：(1)13n na -=；(2)22n n nS -=.高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题)已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.(1)求n a 及n S ；(2)设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足244(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .答案：(1)221,n n a n S n =-=；(2)2122,(41)3n n n n b T -==-.2 倒序相加法事实上，等差数列的前n 项和n S 的公式推导方法就是倒序相加法. 例3 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S . 解 显然，这些既约分数为：31,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m有 )31()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S 也有 )31()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+=例4 设4()42xx f x =+，求和12320012002200220022002f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解 可先证得()(1)1f x f x +-=，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012. 3 裂项相消法例5 若}{n a 是各项均不为0的等差数列，求证：1113221111++=+++n n n a a n a a a a a a . 证明 设等差数列}{n a 的公差为d ：若0d =，要证结论显然成立；若0≠d ，得)11(1111++-=n n n n a a d a a11111113221132211111)11()11()11(1111+++++=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=+++n n n n n n n a a na a nd d a a d a a a a a a d a a a a a a 例8 证明222211112(123n n*++++<∈N 且2)n ≥. 证明 22221312111n++++11111223(1)11111111223111121n nn n n <++++⋅⋅-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭高考题5 (2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：(1)133n a n =-；(2)10(103)n nS n =-.高考题6 (2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n,033222. (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有31)1(1)1(1)1(12211<++++++n n a a a a a a .答案：(1)12a =；(2)2n a n =；(3)当1n =时，可得欲证成立.当2n ≥时，111111(1)2(21)(21)(21)22121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++-+-+⎝⎭，再用裂项相消法可得欲证.高考题7 (2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列. (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T . 答案：(1)21n a n =-，2221221n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数.4 分组求和法例9 求11111111111224242n nS -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解 设11111242n n a -=++++，得1122n n a -=-.所以本题即求数列1122n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和： 111111212222422n n n n S n n a n --⎛⎫=-++++=-=-+ ⎪⎝⎭例10 设数列}{n a 的前n 项和n S 满足221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S ，又n n n S b )1(-=，求数列}{n b 的前n 项和n T .解 在221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S 中，令1n =可求得11=a .还可得22114(1),4(1)n n n n S a S a ++=+=+相减，得20)2)((22411112211=-=--+-+-=++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a所以}{n a 是首项为1公差为2的等差数列，得12-=n a n所以 222)1(,21n b n a S n n n n ⋅-==⎪⎭⎫⎝⎛+=当n 为偶数时，2)1()12(1173])1([)43()21(222222+=-++++=+--+++-++-=n n n n n T n 当n 为奇数时，2)1()(2)1(21+-=--=+=-n n n n n b T T n n n 用以上结论 总之，2)1()1(+⋅-=n n T n n .高考题8 (2014年高考北京卷文科第15题)已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和.答案：(1)1=3,=32n n n a n b n -+；(2)3(1)212n n n ++-. 高考题9 (2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .答案：(1)2n a n =，2(1)2(1)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数.高考题10 (2014年高考浙江卷理科第19题(部分))求数列12(1)n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S .答案：1221n nn +--+. 5 错位相减法高考题11 (2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列{}{}∈≠n b b a n n n ,0(,N *)满足02111=+-+++n n n n n n b b b a b a .(1)令nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13-=n n b ，求数列{}n a 的前n 项和n S .解 (1)12-=n c n .(2)得13)12(-⋅-==n n n n n c b a .先写出n S 的表达式：13213)12(37353311-⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S ①把此式两边都乘以公比3，得n n n n n S 3)12(3)32(35333131321⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ②①-②，得n n n n S 3)12(32323232121321⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+=-- ③ 13)12()3232323232(213210-⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=--n n n n S ④由等比数列的前n 项和公式，得13)12(132-⋅---=-n n n n S23)22(13)12(132+⋅-=+⋅-++-=n n n n n n S ⑤13)1(+⋅-=n n n S因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式③右边前n 项的符号都是“+”，但最后一项是“—”；(2)当等式③右边的前n 项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式④)，这增加了难度；(3)等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度.但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.这里笔者再给出一个小技巧——检验：算得了n S 的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下21,S S 是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.对于本题，已经算出了13)1(+⋅-=n n n S ，所以10,121==S S .而由通项公式可知1033,1111121=⋅+==⋅=S S S ，所以求出的答案正确.高考题12 (2014年高考课标全国卷I 文科第17题)已知{}n a 是递增的等差数列，42,a a 是方程2560x x -+=的根.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 答案：(1)121+=n a n . (2)用错位相减法可求得答案为1242++-n n . 高考题13 (2014年高考安徽卷文科第18题)数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n +==+++∈N *.(1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)设3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案：(1)略.(2)由(1)可求得2n a n =，所以3n n b n =⋅，再用错位相减法可求得433)12(1+⋅-=+n n n S .高考题14 (2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n na b 在函数()2xf x =的图象上(n ∈N *). (1)证明：数列{}n b 为等比数列；(2)若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2{}n n a b 的前n 项和n S .答案：(1)略.(2)可求得,2n n n a n b ==，所以24n n n a b n =⋅，再用错位相减法可求得944)13(1+⋅-=+n n n S .高考题15 (2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n na b 在函数()2xf x =的图象上(n ∈N *).(1)若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； (2)若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 答案：(1)2=3n S n n -.(2)可求得,2n n n a n b ==，所以2n n n a nb =，再用错位相减法可求得答案为n n n T 222+-=. 6 待定系数法例11 数列}3)12{(nn ⋅-的前n 项和=n S .解 设等差数列{}m a 的公差为d ，等比数列{}m b 的公比为(1)q q ≠，得111[(1)](1,2,,)m m m a b a m d b q m n -⋅=+-⋅=先用错位相减法求数列{}m m a b ⋅的前n 项和n S ：21111112111111211112111111{()(2)[(1)]}{()[(2)][(1)]}(1){[(1)]}{()[(1)]}[(1n n n n n n n n n n n S b a a d q a d q a n d q qS b a q a d q a n d q a n d q q S b a dq dq dq a n d q b d dq dq dq a n d q a d d dq b a n q ----=+++++++-=+++++-++--=++++-+-=++++-+-+---+-＝11)]n d q a d ⎧⎫-+-⎨⎬⎩⎭111111n n q d dS dn a d q a d b q q ⎛⎫-=+---++ ⎪--⎝⎭所以有下面的结论成立：若{},{}m m a b 分别是等差数列、等比数列(其公比1≠q )，且11,a b 均是与n 无关的常数，则数列{}m m a b ⋅的前n 项和b q b an S n n -+=)(，其中,a b 是与n 无关的常数.由此结论就可以用待定系数法快速求解本题： 可设()3n n S an b b =+⋅-(其中,a b 是常数). 可得123,32730S S ==+=，所以3()39(2)30a b b a b b +-=⎧⎨+-=⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以33)1(1+⋅-=+n n n S .例12 求和12212+22+32++(1)2+2n n n n S n n --=⋅⋅⋅-⋅⋅.解 得012111111+2+3++22222n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.用待定系数法可求出该等式的右边为1242n n -+-，所以2224n n S n +=--. 七、求导法、积分法例13 (1)求证：)1(111132≠--=++++++x x x x x x x n n； (2)求证：)1()1(1]1)1[(321212≠-+--=++++-x x x n x nx x x n n ；(3)求数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和nS(此即例6).解 (1)当0=x 时，显然成立.当0≠x 时，由等比数列的前n 项和公式知，欲证结论也成立.(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立.(3)1(21)3=6(3)3nn n n n --⋅⋅-.由(2)的结论中令3=x ，得数列{}13n n -⋅的前n 项和为413)12(+⋅-n n ；又数列{}3n的前n 项和为2331-+n .所以数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和为33)1(233413)12(611+⋅-=--+⋅-⋅=++n n n n n n S高考题16 (2008年高考江苏卷第23题)请先阅读：在等式∈-=x x x (1cos 22cos 2R )的两边对x求导，得)1cos 2()2(cos 2'-='x x .由求导法则，得)sin (cos 42)2sin (x x x -⋅=⋅-，化简后得等式x x x cos sin 22sin =.(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式∈++++=+x x C x C x C C x nn n n n n n ()1(2210 R ，整数)2≥n 证明：∑=--=-+nk k k n n x kC x n 211]1)1[(.(2)对于整数3≥n ，求证： (i))1(1=-∑=nk knkkC ； (ii))1(12=-∑=nk k n kC k ；(iii)1121110+-=++=∑n C kn nk kn . 答案：(1)在已知等式两边对x 求导后移项可得欲证. (2) (i)在结论(1)中令1-=x 可证.(ii)由已知等式两边对x 求导后再求导，又令1-=x ，得0)1()1(22=--∑=-nk k knCk k ，即0)()1(12=--∑=nk kn kC k k ，再由结论(i)得结论(ii)成立.(iii)在已知等式两边在[0,1]上对x 积分后可得欲证.。

数列求和公式七个方法求和公式是数列中常用的一个工具，用于计算数列中一定数量的项的和。

在数学中，有七种不同的方法可以使用求和公式。

1.求等差数列的和：等差数列的求和公式是：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。

这个公式的核心思想是将数列分成两部分，每部分的和都是数列的首项和末项之和的一半。

2.求等比数列的和：等比数列的求和公式是：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn是数列前n 项和，a1是数列的首项，r是数列的公比，n是数列的项数。

这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。

3.求等差数列的和差：等差数列的和差公式是：Sa=Sn-S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。

这个公式的思想是将数列分成两部分，分别计算它们的和，然后将后一部分的和减去前一部分的和，即可得到和差。

4.求等比数列的和差：等比数列的和差公式是：Sa=Sn/S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。

这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。

5.求调和数列的和：调和数列的求和公式是：Sn = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)，其中Sn是数列前n项和，a1，a2，...，an是数列的各项。

这个公式的思想是将数列的各项的倒数相加，然后再取它们的倒数。

6.求幂和数列的和：幂和数列的求和公式是：Sn=(a^(n+1)-1)/(a-1)，其中Sn是数列前n项和，a是数列的公比，n是数列的项数。

这个公式利用了幂和数列的特性，即每一项都是公比的幂次。

7.求有限项数列的和：有限项数列的求和公式是：Sn = (n / 2) * (a1 + an)，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。

数列求和常见的7种方法数列求和是数学中比较常见的问题之一，它在各个领域中都有广泛的应用。

在数学中，我们常常使用不同的方法来求解数列求和问题，以下将介绍一些常见的数列求和方法。

一、公式法：公式法是求解数列求和中最常用的方法之一、对于一些特定的数列，我们可以通过找到它们的通项公式，从而直接计算出数列的和。

例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其前n项和Sn =[n(a1+an)]/2，其中a1为首项，an为末项，d为公差。

同样地，对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其前n项和Sn = a1 *(1 - r^n)/(1 - r)，其中a1为首项，r为公比。

二、递推法：递推法是另一种求解数列求和问题的常用方法。

通过推导出数列的递推关系式，我们可以通过逐项求和的方式来求解数列求和问题。

例如，对于斐波那契数列Fn=Fn-1+Fn-2（其中n>2），我们可以通过递推的方式来求得前n项和。

三、画图法：画图法是一种直观的方法，通过画图可以更清楚地理解数列求和问题，并帮助我们找到解题思路。

例如，对于等差数列Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... +(a1+nd)，我们可以将其表示为一个由等差数列首项、末项组成的矩形，然后通过计算矩形的面积来求解数列的和。

四、换元法：换元法是将数列中的变量进行换元，从而将原始数列转化为另一种形式，从而更容易求出数列的和。

例如，对于等差数列Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... +(a1+nd)，我们可以将其表示为Sn = (n+1)a1 + d(1+2+3+...+n)，然后再利用等差数列的求和公式来求解。

五、差分法：差分法是一种将数列进行相邻项之间的差分操作，从而得到一个新的数列，通过对新数列进行求和的方式来求解原始数列的和。

例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，我们可以计算得到数列bn = a2 - a1，然后求出bn的和，再通过一些变换得到原始数列的和。

数列求和常见的7种方法数列求和是数学中常见的问题之一、在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数，求和则是将数列中的所有数相加得到一个结果。

在实际问题中，数列求和涉及到很多应用，比如计算排列组合、概率统计、几何等。

本文将介绍常见的七种求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、递推数列求和、特殊数列求和、级数求和、积性函数求和和递归求和。

一、等差数列求和方法等差数列指的是数列中的每一项与下一项之间的差值都相等的数列。

等差数列求和的方法有两种：公式法和递推法。

公式法：设等差数列的首项为a1，公差为d，求等差数列的前n项和Sn，则有下面的公式：Sn = (a1+an) * n / 2，其中an是数列的末项。

递推法：通过递推方法，可以依次计算等差数列的每一项，将它们相加得到数列的和。

递推公式为：an = a1 + (n-1) * d。

使用递推法时要注意，计算的次数需要与指定的项数相等。

二、等比数列求和方法等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。

等比数列求和的方法有两种：公式法和递推法。

公式法：设等比数列的首项为a1，公比为q，求等比数列的前n项和Sn，则有下面的公式：当q≠1时：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

当q=1时：Sn=a1*n。

递推法：通过递推方法，可以依次计算等比数列的每一项，将它们相加得到数列的和。

递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。

同样，使用递推法时要注意计算的次数与指定的项数相等。

三、递推数列求和方法递推数列是指数列中的每一项都由前面的项经过其中一种规律计算得到的数列。

递推数列求和的方法有两种：递推法和公式法。

递推法：通过递推方法，依次计算数列的每一项，将它们相加得到数列的和。

递推公式由数列的规律决定。

公式法：有些递推数列可以找到与之对应的公式，从而可以直接通过公式计算数列的和。

四、特殊数列求和方法特殊数列是指具有特殊性质的数列，比如斐波那契数列、Lucas数列等。