高一数学数列求和2

数列求和的基本方法与技巧（1） 姓名引言： 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 接下去的几节课我们一起来研究数列求和的基本方法和技巧.方法一、公式法：1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、1(1)1232nn k n nS k k n =+==+++++=∑ 方法二、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列或的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列.如：{}n n a b A {}n nab {},{}n n a b 若数列是首项为公差为d 的等差数列，数列是首先为，公比为q 的等比数{}n a 1,a {}n b 1b 列.（1）11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=+++++（2）122311n n n n n qS a b a b a b a b -+=++++ 由（1）—（2）得11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++- 12111(1),(1)1n n n b q a b d a b q q-+-=+-≠-典例：例、（1）求数列前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n（2）求数列的前n 项和.{(1)(2)}nn +-A n S （3）求和121111135(21)333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1（4）求和： 2311234n n S x x x nx-=++++⋅⋅⋅+()x R ∈实战演练：1、（07福建文科17）数列的前项和为，，．{}n a n n S 11a =*12()n n a S n +=∈N （1）求数列的通项；{}n a n a （2）求数列的前项和．{}n na n n T 2、 (2008年全国卷）在数列中，，.}{n a 11a =122nn n a a +=+(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；12nn n a b -=}{n b (Ⅱ)求数列的前项和}{n a n nS 3、（08陕西文）已知数列的首项，，…．{}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =（Ⅰ）证明：数列是等比数列；1{1}na -（Ⅱ）数列的前项和．{}nna n n S 数列求和的基本方法与技巧（2） 姓名方法三：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，使之能前后能消去一些项，最终达到求和的目的.)()1(n f n f a n -+=如：可裂项的代数式结构有（1）设数列是首项为公差为d 的等差数列 （）{}n a 1a 0,0n a d ≠≠则 111111(n n n n n b a a d a a ++==-1111()()n m n m nc n m a a n md a a ==->-（2）111)1(1+-=+=n n n n a n （3）1111()(2)22n a n n n n ==-++ 123n S a a a =+++ 11111111111(1)(((2322421122n n n n =-+-++-+--++ 1111111111(1)232435122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++（4）1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++（5）n a ==(6)22221111()(2)4(2)n n n n n +=-++（6）数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则{}n b n S 11111,n n n n n b S S S S +++=-11111(n n n n n b S S q S S ++=-例、求下列数列的前n 项和（1）11(42)()2n a n n =-+（2）13693n a n=++++ （3）首项1公比3，前n 项和是，求{}n a n S 1212231n n n n a a aT S S S S S S +=+++ 实战演练：有 党的建立业要论，认头牢立和主施）位开照党誓和入党誓想体组织次确集季度召”、““四师格党学习学系员合我础1、(10山东)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．211n a -∈{}n b n T 2、(08江西)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，{}n a n a n n S {}n b 且，数列是公比为64的等比数列，.113,1a b =={}n a b 2264b S =（1）求；,n n a b （2）求证.1211134n S S S +++< 3、（06湖北卷）设数列的前n 项和为，点均在函数y ＝3x －2的图{}n a n S (,)()n n S n N *∈像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立13+=n n n a a b n T {}n b 20n m T <n N *∈的最小正整数m.4、设数列满足且{}n a 10a =1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；{}na （Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：1数列求和的基本方法与技巧（3） 姓名方法三：分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但是将这类数列通项公式适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.如：23[1(3)][3(3)][5(3)][21(3)]n n S n =+-++-++-++-+- =(13521)n ++++-+ 等差数列23(3)(3)(3)(3)n -+-+-++-等比数列例1、求下列数列的前n 项和（1）999999999n ++++个（2）1(2nn a n=-（3）121(3)n n a n -=-+-（4）21(2)2nn na =+（5）2113n nn a +=-+实战演练：1、设数列满足{}n a 112,32nn n a a a +=-=A （1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，求数列的前n 项和1n n b na =-nS2、（07浙江理科）已知数列中的相邻两项是关于的方程{}n a 212k k a a -，x 的两个根，且．2(32)320k k x k x k -++=A 212(123)k k a a k -≤= ，，，（I ）求，，，；1a 2a 3a 7a （II ）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 3、（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++（I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式;（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .数列求和的基本方法与技巧（4） 姓名方法四：奇偶项讨论、配对（并项）求和针对一些特殊的数列，如需对项数进行奇偶讨论、或者将某些项合并在一起就具有某种特殊的效果，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和.引例：设数列的通项公式是，求该数列的前n 项和.{}n a 2(1)3nn a =+-A n S 方法一、对项数奇偶讨论当n 为奇数时(1)5(1)5(1)=n n S =-++-+++-项11(1)52322n n n +--⨯+⨯=-当n 为偶数时=(1)5(1)5(1)5=n n S =-++-+++-+ 项(1)5222n nn =-⨯+⨯=2n所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法二、奇偶项配对（并项求和）利用递推性质 ：当时，有成立2,*n n N ≥∈14n n a a -+=当n 为奇数时123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++ 14(1)232n n -=⨯+-=-当n 为偶数时12341()()()422n n n nS a a a a a a n -=++++++=⨯= 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法三、分组求和当n 为奇数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2223n =+++-个23n -当n 为偶数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2220n =++++个2n 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数1例：求下列数列的前n 项和（1），1,2n nn n a +⎧=⎨⎩为正奇数，n 为正偶数（2）2(1)(21)nnn a n =+--（3）22cos n a n n π=-+⨯实战演练：1、已知数列的前项和为，且，数列满足，且{}n a n n S *22()n n S a n N =-∈{}n b 11b =点在直线上.*1(,)()n n P b b n N +∈2y x =+（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）设，求数列的前项和22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈{}n c 2n 2n T 2、等差数列 的前n 项和为，且{}n a n S 21017,100a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）若数列满足，求数列的前n 项和.{}n b (1)nn n b a n =-+A {}n b n T。

第十三教时教材：数列求和目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。

过程：一、提出课题：数列求和——特殊数列求和常用数列的前n 项和：2)1(321+=++++n n n ΛΛ 2)12(531n n =-++++ΛΛ6)12)(1(3212222++=++++n n n n ΛΛ23333]2)1([321+=++++n n n ΛΛ二、拆项法：例一、（《教学与测试》P91 例二）求数列ΛΛΛΛ,)23(1,,101,71,41,11132-+++++-n aa a a n 的前n 项和。

解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 )23(11-+=-n aa n n)]23(741[)1111(12-+++++++++=∴-n aa a S n n ΛΛΛΛ当1=a 时，232)231(2nn n n n S n +=-++=当1≠a 时，2)13(12)231(11111n n a a a n n aa S n n n n n -+--=-++--=- 三、裂项法：例二、求数列ΛΛΛΛ,)1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和 解：设数列的通项为b n ，则)111(6)1(+-=+6=n n n n b n16)111(6)]111()3121()211[(621+=+-=+-++-+-=+++=∴n nn n n b b b S n n ΛΛΛΛ例三、求数列ΛΛΛΛΛΛ,)1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和 解：)2111(2)2)(1(2)1(211+-+=++=++++=n n n n n a n ΛΛΘ2)2121(2)]2111()4131()3121[(2+=+-=+-+++-+-=∴n nn n n S n ΛΛ 四、错位法：例四、求数列}21{n n ⨯前n 项和解：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛ ①12121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ ② 两式相减：112211)211(21212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S ΛΛ n n n n n nn S 2212)2211(211--=--=∴-+例五、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()21(*2N n a S n n ∈+=， 求数列{a n }的前n 项和 解：取n =1，则1)21(1211=⇒+=a a a 又： 2)(1n n a a n S +=可得：21)21(2)(+=+n n a a a n 12)(1*-=∴∈-≠n a N n a n n Θ2)12(531n n S n =-++++=∴ΛΛ五、作业：《教学与测试》P91—92 第44课 练习 3，4，5，6，7补充：1. 求数列ΛΛΛΛ,)23()1(,,10,7,4,1----n n 前n 项和)(⎪⎩⎪⎨⎧+-=为偶数为奇数n n n n S n 23213 2. 求数列}232{3--n n 前n 项和 )(32128-+-n n3. 求和：)12()9798()99100(222222-++-+-ΛΛ (5050)4. 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n ×(n + 1) )))(((351++n n n5. 求数列1，(1+a )，(1+a +a 2)，……，(1+a +a 2+……+a n -1)，……前n 项和2111012110)()()(a a a n n S a n n S a nS a n n n n -++=≠+====+时，、时，时，。

高中数学数列求和方法数列是数学中常见的概念之一，它是由一系列有序的数所构成的集合。

数列求和是数列中的重要问题之一，可分为等差数列和等比数列求和两类。

一、等差数列求和1.表达式法对于等差数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差。

若已知数列的首项、末项和项数，则可以根据求和公式Sn=n(a1+an)/2来求和，其中Sn表示数列的和。

这种方法适用于已知数列的前n项求和。

2.规律法有些等差数列存在规律，可通过分组进行求和。

例如，对于等差数列1,4,7,…,97，可将其分解为(1+97)+(4+94)+(7+91)+…+(49+49)，共有25组，每组的和都是98、因此，该数列的和等于25×98=2450。

3.差分法等差数列的求和还可以利用差分法进行求解。

首先将数列的前n项依次相减得到一个新的数列，然后再对新数列进行求和，即可得到原数列的和。

例如，对于等差数列1,2,3,…,100的和，首先得到的差分数列为1,1,1,…,1，接着对差分数列进行求和，得到的和等于100。

二、等比数列求和1.通项公式法等比数列的通项公式为an=a1×q^(n-1)，其中a1表示首项，q表示公比。

已知数列的首项、末项和项数时，可以利用求和公式Sn=a1(q^n-1)/(q-1)来求和。

这种方法适用于已知数列的前n项求和。

2.等比中项法对于等比数列，若首项和第三项已知，则可以求出公比q=(第3项/首项)^(1/2)，从而求得数列的和。

这种方法适用于已知数列的首项和第三项求和。

3.分组求和法对于一些等比数列，可以通过合理的分组求和来得到数列的和。

例如，对于等比数列1,3,9,…,6561，可以发现这个数列可以分解为(1+3)+(3+9)+(9+27)+…+(2187+6561)，共有10组，每组的和为4、因此，该数列的和等于10×4=40。

三、求和公式的推导1.等差数列求和公式的推导我们将等差数列的前n项分别记作a1,a2,…,an。

一般数列求和应从通项入手，然后通过对其变形转换，形成遇特殊数列(等比或等差)或具有某种方法使用特点的形式，在选择适合的求和方法。

下面给大家带来了高中数学数列求和方法，希望对您们有帮助。

1.公式法(适用于等比和等差数列)这是非常常规的方法，只要先判断出数列是否为等比和等差数列就可以套公式进行计算了。

一般来说这也不算难题2.裂项相消(适用于分时形式的通项公式)我们可以把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后进行累加，之后我们就可以消除中间的许多项。

3.错位相减法(适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比和等差等比相乘的数列)这个方法不推荐大家死背公式，建议大家可以做几道运用此方法的题去熟悉它，这个公式原理是将公式乘以一个数之后将它与原式(求和式子)相减，形成一个用规律可循的式子，从而求和。

4.分组求和(适用于将一个式子拆开后有等差或等比产生的数列)遇到这种式子时，我们将他拆开，然后分别求和即可。

数列求和1. 公式法：等差数列求和公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式：Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)2.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例如：an=2n+n-13.倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+...... +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1 上下相加得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/24.错位相减法适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn 例如：an=a1+(n-1)d bn=a1•q(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn qTn=a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an•b1•qn+d•b2[1-q(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)求和方法一、裂项相消Sn=A1+A2+···+AnAn=f(n+1)-f(n)f(x)为任意函数Sn=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+···+f(n+1)-f(n) #注意到中间的全部抵消了!=f(n+1)-f(1)二、分组求和概括：若Cn=An+Bn，且An，Bn是可求和数列，则Cn可以用分组求和通常情况下，An，Bn为等差或等比或其它可求和数列2、公式：∑Cn=∑Bn+∑An例题：求在闭区间[4,8]上分母为3的所有最简分数的和分析：题中符合条件的所有分数为13/3 14/3 16/3 17/3 ······22/3 23/3 #求这些数的和注意观察这其实是两个等差数列1)13/3 16/3 19/3 22/32)14/3 17/3 20/3 23/3把这两个数列分别求和，就是本题答案∑=(13/3+22/3)*4/2+(14/3+23/3)*4/2=48三、倍差法1、概括Cn=An*Bn其中An为等差数列 Bn为等比数列可以应用倍差法2、例题求数列An=(2n-1)*2^(n-1)的和解：Sn=1*2^0+3*2^1+5*2^2+······+(2n-3)*2^(n-2)+(2n-1)*2^(n-1)2Sn= +1*2^1+3*2^2+······+(2n-5)*2^(n-2)+(2n-3)*2^(n-1)+(2n-1)*2^n 注意这里，错开一位，剩下的2次数相同将下面的式子和上面的式子作差，得Sn=(2n-1)*2^n-2*(2+4+8+······+2^(n-1))-1中间的可以用等比数列求和，就可以解决四、常见裂项公式(1) n(n+1)=[(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(2) 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)(3) 1/(根号下n+根号下n+1)=根号n+1 - 根号n(4) n/(n+1)!=1/n!-1/(n+1)!常用的方法1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=n5、求数列的最大、最小项的方法：①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3②(an>0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.(2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

数列求和的根本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学 高等数学的基. 在高考和各种数学 中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定 的技巧 . 下面，就几个 届高考数学和数学 来 数列求和的根本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法.1、 等差数列求和公式： S nn(a 1 a n )na 1n(n 1) d 22na 1( q 1)2、等比数列求和公式：S na 1 (1 q n ) a 1a n q1)1 q1(qqn1 (1)n2 1 (1)(21)3、 S nk4、 S nk n nn n6 nk 1 2k 1nk 3 [ 1n( n 1)]25、 S nk12[ 例 1]log 3 x1 ，求 x x 2x 3x n的前 n 和 .log 2 3解：由 log 3 x1log 3x log 3 21xlog 2 32由等比数列求和公式得S nx x 2 x 3x n〔利用常用公式〕＝ x(1 n1(1 1 ) x) ＝ 22n ＝ 1－ 11 x1 1 2n2[ 例 2]S n ＝1+2+3+⋯+n ， n ∈ N * , 求 f (n)(n S n的最大 .32)S n 1解：由等差数列求和公式得S n1n(n 1) ， S n11(n 1)(n2)〔利用常用公式〕22∴ f (n)S n＝n234n 64(n 32) S n 1n＝1＝11850n 3464 ( n2 50n)n8 1 ∴ 当n，即 n ＝ 8 ， f (n)max850二、 位相减法求和种方法是在推 等比数列的前n 和公式 所用的方法，种方法主要用于求数列{a n · b n } 的前 n和，其中 { a n }、 { b n } 分 是等差数列和等比数列.[ 例 3] 求和： S n1 3x 5x2 7x 3(2n 1) x n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由 可知， { (2n1)x n 1 } 的通 是等差数列 {2n － 1} 的通 与等比数列 { x n 1 } 的通 之xS n1x 3x 25x 3 7 x 4(2n 1) x n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②〔设制错位〕①－②得(1 x) S n 1 2x 2x 22 x3 2x 42x n 1 (2n 1) x n〔错位相减 〕再利用等比数列的求和公式得：(1 x)S n 11 x n1( 2n 1)x n2x 1 x∴S n (2n 1) x n 1 (2n 1) x n (1 x)(1 x)2[ 例 4] 求数列 2, 42 ,63 ,,2nn , 前 n 的和 .2 222解：由 可知， {2n {2n}{1n}的通 是等差数列 的通 与等比数列 n } 的通 之22S n2462n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①2 2 2 232n1 2 4 62n〔设制错位〕S n2 22 32 42 n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2①－②得 (11)S n 2 2 2 2 2 2n〔错位相减〕2 2 22 23 24 2n 2n 12 1 2n2 n 1 2n 1∴S n 4 n 22n1三、反序相加法求和是推 等差数列的前n 和公式 所用的方法，就是将一个数列倒 来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a 1a n ) .[ 例5]求 ：C n03C n15C n2(2n 1)Cn n(n1)2n明：S nC n03C 1n5C n2(2n1)Cnn ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..①把①式右 倒 来得S n (2n1)C n n ( 2n 1)C n n 1 3C n 1 C n 0〔反序〕又由 C n mC n n m 可得S n (2n1)C n 0 (2n 1)C n 1 3C n n1C n n ⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ .. ②①+②得2S n (2n 2)(C n 0 C n 1 C n n1C n n ) 2(n 1) 2 n〔反序相加〕∴S n(n 1) 2 n[ 例 6] 求 sin 2 1sin 2 2 sin 2 3 sin 2 88 sin 2 89 的解： S sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3sin 2 88 sin 2 89 ⋯⋯⋯⋯. ①将①式右 反序得S sin 2 89 sin 2 88sin 2 3 sin 2 2sin 2 1 ⋯⋯⋯⋯ .. ②〔反序〕又因 sin x cos(90x), sin 2 x cos 2 x1① +②得〔反序相加〕2S (sin 2 1 cos 2 1 )(sin 2 2 cos 2 2 ) (sin 2 89 cos 2 89 ) ＝ 89∴ S ＝四、分 法求和有一 数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将 数列适当拆开，可分 几个等差、等比或常 的数列，然后分 求和，再将其合并即可.[ 例 7] 求数列的前 n 和： 11 1 7, , 13n 2 ，⋯1, 4, 2 n 1aa a解： S n(1 1)1 4) ( 1 7)( 1 3n 2)(2n 1aa a将其每一 拆开再重新 合得111〔分组〕S n (1a a 2 a n 1)(1 4 73n 2)当 a ＝1 ， S nn (3n 1)n (3n 1)n〔分组求和〕2＝211(3n 1) n a a 1 n(3n 1)n当 a1， S na n2 ＝a121 1a[ 例 8]求数列 {n(n+1)(2n+1)}的前 n 和 .解： ak k k 1)( 2 k 1) k 3k 2 k(2 3n n∴ S n k(k 1)(2k 1) ＝ (2k3 3k 2 k) k 1 k 1将其每一项拆开再重新组合得nk3 nk 2nS n＝2 3 k 〔分组〕k 1 k 1k 1＝ 2(13 23 n3 ) 3(12 22 n2 ) (1 2 n)＝n2 (n 1) 2 n(n 1)( 2n 1) n(n 1)〔分组求和〕2 2 2＝n(n 1)2 (n 2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔 1〕a n f (n 1) f ( n) 〔 2〕sin 1 tan(n 1) tan n1)cosn cos(n〔 3〕a n 11) 1 11〔 4〕a n(2n(2n) 21)1 1 ( 1 1 )n(n n n 1)( 2n 2 2n 1 2n 1〔 5〕a n1 1[1 1] n(n 1)(n 2) 2 1) ( n 1)(n 2)n(n(6) a nn 2 1 2(n 1) n 1 1 1 n , 那么S n 11n(n 1) 2 n n(n 1) 2 n n 2 n 1 (n 1)2 (n 1) 2 n[ 例 9] 求数列 1 , 1 , , 1 , 的前 n 项和 .1 2 3 n n2 1解：设 a n1n 1 n 〔裂项〕n n 1那么S n 1 1 1 〔裂项求和〕2 23 n n 11＝ ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n )＝n 1 1[ 例 10]在数列 {a n } 中， a n12n ，又 b n 2，求数列 {b n } 的前 n 项的和 .n 1 n 1n 1a nan 1解：∵ a n12n nn 1 n1n 12∴ b nn 2 1 8( 11 )〔裂项〕n n n 12 2∴ 数列 {b n } 的前 n 项和S n8[(1 1 ) ( 1 1) (11 ) (11 )]〔裂项求和〕2 23 34 nn 1＝ 8(11 ) ＝ 8nn 1 n 1[ 例 11]求证：111 cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin 2 1cos0 cos1 解：设 S111cos 0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89∵sin1tan(n 1) tan n〔裂项〕1)cos n cos(n∴ S111〔裂项求和〕cos 0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89＝1{(tan 1 tan 0 ) (tan 2 tan1 ) (tan 3tan 2 ) [tan 89tan 88 ]}sin 1＝1(tan 89 tan 0 ) ＝ 1 cos1sin 1cot 1 ＝2 1sin 1sin∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[ 例 12]求 cos1° + cos2 ° + cos3 ° +···+ cos178 ° + cos179 °的值 .解：设 S n ＝ cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° +··· + cos178 ° + cos179 °∵ cos ncos(180 n )〔找特殊性质项〕∴ S n ＝ 〔 cos1 ° + cos179 °〕 +〔 cos2 ° + cos178 °〕 + 〔 cos3 °+ cos177 °〕 +···+〔 cos89 °+ cos91 °〕 + cos90 ° 〔合并求和〕＝ 0[ 例 13]数列 {a n } ： a 1 1,a 2 3, a 3 2, a n 2 a n 1 a n ，求 S 2002.解：设 S ＝ a 1 a 2a 3a20022002由 a1 1, a2 3, a3 2, a n 2 a n 1 a n可得a4 1, a5 3, a6 2,a7 1, a8 3, a9 2, a10 1, a11 3, a12 2,⋯⋯a6 k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2, a6 k 4 1, a6k 5 3, a6 k 6 2∵a6k1 a6k2 a6k3 a6 k4 a6 k5 a6 k 6 0 〔找特殊性质项〕∴S2002＝a1 a2 a3 a2002 〔合并求和〕＝ ( a1 a2 a3 a6 ) ( a7 a8 a12 ) (a6k 1 a6k 2 a6k 6 )(a1993 a1994a1998) a1999a2000a2001a2002＝ a1999 a2000 a2001 a2002＝a6 k 1 a6k 2 a6k 3 a6 k 4＝ 5[ 例 14] 在各均正数的等比数列中，假设a5 a6 9, 求 log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10的.解： S n log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10由等比数列的性m n p q a m a n a p a q 〔找特殊性质项〕和数的运算性log a M log a N log a M N 得S n (log 3 a1 log 3 a10 ) (log 3 a2 log 3 a9 ) (log 3 a5 log 3 a6 ) 〔合并求和〕＝ (log 3 a1 a10 ) (log 3 a2 a9 ) (log 3 a5 a6 )＝ log 3 9 log 3 9 log 3 9＝ 10七、利用数列的通求和先根据数列的构及特征行分析，找出数列的通及其特征，然后再利用数列的通揭示的律来求数列的前n 和，是一个重要的方法.[ 例 15]求111 111111 1 之和.n个1解：由于 1111 1 9999 1(10 k1) 〔找通项及特征〕k 个19 k 个19∴ 111 111111 1n 个1＝ 1(101 1) 1 (1021) 1 (1031)1(10 n 1)〔分组求和〕9999＝ 1(10110 2 10310 n )1(1 1 11)99 n 个1n＝ 1 10(10 1) n910 19＝ 1(10n 1 10 9 )81n[ 例 16]数列 {a n } ： a n8, 求(n 1)(a n a n 1 ) 的值 .( n 1)(n 3)n 1解：∵ (n1)(a n a n 1 ) 8(n1)[ 11 ]〔找通项及特征〕3)( n 2)( n ( n 1)(n4)＝ 8 [11]〔设制分组〕2)(n4) (n 3)(n(n 4)＝ 4 (11 ) 8 ( 11 〔裂项〕n 2nn 3n)44∴( n1)(a n a n1) 4 ( 11 ) 8 (11 ) 〔分组、裂项求和〕n 1n 1 n2 n 4n 1n3 n 4＝ 4 (11 )8 13 44＝133说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列〞一章的学习。

高一数学 必修五课题：数列求和数列求和常用方法有：1. 公式法: 直接运用等差、等比数列求和公式，或是将已知数列的求和问题转化为等差、等比数列求和问题；例1．求和：n 1n 2n2n 1n x x x 1x 2222---+++++ 答案：n 1n 11212n x ()1,(x )x 2n 11,(x )22++⎧-≠⎪⎪-=⎨+⎪=⎪⎩原式2．分组法求和： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别由等差、等比数列求和公式求和。

例2.求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 答案：n 1109n 1081+--=原式例3．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .答案：n 12n (n 1)a a ,(a 1)(1a)n(n 1),(a 1)2+⎧-++≠⎪⎪-=⎨+⎪=⎪⎩原式3.并项求和法：有些数列，将某些项合并在一起就构成某种特殊的数列，从而求得所求的和。

.例4．求和：22222222123456(2n 1)(2n)-+-+-++-- 答案：n(2n 1)=-+原式例5．设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--，求S n ；答案：n (1)n =-⋅原式4．裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.例6．求和：2)⋅⋅⋅+≥答案：1,(n 2)≥原式例7．求数列2(2n)(2n 1)(2n 1)⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和. 答案：2n(n 1)n 2n 1+=+S5．错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例8．求和：23n x 3x 5x (2n 1)x .(x 0)++++-≠ 答案：2n 1n !22x x 2x (2n 1)x ,(x 1)(1x)1x n ,(x 1)++⎧+---≠⎪--=⎨⎪=⎩原式例9．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

高中数列求和公式高中数学中，数列求和公式那可是相当重要的一部分啊！咱们先来说说等差数列的求和公式。

这公式就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开等差数列求和的大门。

公式是：$S_{n} = \frac{n(a_{1} +a_{n})}{2}$ ，这里的$n$ 表示项数，$a_{1}$ 是首项，$a_{n}$ 是末项。

记得我之前教过一个学生小明，他一开始对这个公式那是一头雾水。

有一次课堂练习，碰到一个等差数列求和的题目，他愣是半天没写出个所以然来。

我走到他身边，发现他在那抓耳挠腮，草稿纸上写得乱七八糟。

我就问他：“小明，你知道等差数列求和的关键在哪吗？”他迷茫地摇摇头。

我耐心地给他解释，说：“你看啊，这个公式里，首项和末项很关键，你得先找到它们。

” 然后我带着他一起分析题目中的数列，找出首项和末项，再代入公式计算。

经过这一次，小明好像有点开窍了。

再来说说等比数列的求和公式。

当公比$q \neq 1$ 时，$S_{n} =\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$ ；当$q = 1$ 时，$S_{n} = na_{1}$ 。

这个公式可有点小复杂，但理解了之后就会发现其实也不难。

就像有一次考试，有一道等比数列求和的题目，很多同学都做错了。

我在讲解试卷的时候，特意放慢了速度，从最基础的概念讲起，一步一步推导这个公式。

我看到同学们的眼神从迷茫逐渐变得清晰，那种感觉真的很棒。

咱们来具体分析分析这些公式怎么用。

比如说，有一个等差数列，首项是2，公差是3，一共10 项，那咱们就可以用等差数列求和公式。

先算出末项，末项就是$a_{10} = a_{1} + 9d = 2 + 9×3 = 29$ ，然后代入公式$S_{10} = \frac{10×(2 + 29)}{2} = 155$ ，是不是很简单？等比数列也是一样的道理。

假如有一个等比数列，首项是 3，公比是 2，一共 5 项。

二、知识要点（一）基本公式：1.等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=，2)1(1dn n na S n -+=2.等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1①或q q a a S n n --=11②当q ＝1时，1na S n =（二）数列求和的常用方法：1.公式法（若问题可转化为等差、等比数列，则直接利用求和公式即可） 例1：求2222222210099654321+--+-+-+- 之和分析：本题运用平方差公式将原数列变形为等差数列，然后用等差数列的求和公式 解：原式＝)99100()56()34()12(22222222-++-+-+-＝)99100)(99100()56)(56()34)(34()12)(12(-+++-++-++-+ ＝1991173++++其中n ＝50，由等差数列求和公式，得：50502)1993(5050=+=s ；当q ＝1时，1na S n =2.拆项法(分组求和法)：若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法例2：求数列 ,)23(1,,101,71,41,11132-+++++-n aa a a n 的前n 项和. 解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则)23(11-+=-n a a n n)]23(741[)1111(12-+++++++++=∴-n aa a S n n当1=a 时，232)231(2nn n n n S n +=-++=当1≠a 时，2)13(12)231(11111n n a a a n n aa S n n n n n -+--=-++--=-3.裂项法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项相互抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法.例3：求数列,)1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和 解：设数列的通项为b n ，则)111(6)1(+-=+6=n n n n b n16)111(6)]111()3121()211[(621+=+-=+-++-+-=+++=∴n nn n n b b b S n n例4：求数列,)1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和 解：)2111(2)2)(1(2)1(211+-+=++=++++=n n n n n a n2)2121(2)]2111()4131()3121[(2+=+-=+-+++-+-=∴n nn n n S n4.错位法：若数列{}n c 的通项公式为n n n b a c ⋅=，其中{}n a ，{}n b 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法.例5：求数列}21{nn ⨯前n 项和解：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯= ① 12121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② 两式相减：112211)211(21212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S n n n n n nn S 2212)2211(211--=--=∴-+5.特殊数列求和－－常用数列的前n 项和： 例6：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()21(*2N n a S n n ∈+=，求数列{a n }的前n 项和.解：取n ＝1，则1)21(1211=⇒+=a a a 又：2)(1n n a a n S +=可得：21)21(2)(+=+n n a a a n 12)(1*-=∴∈-≠n a N n a n n2)12(531n n S n =-++++=∴例7：求和S n ＝2222321n ++++ 分析：由133)1(233+++=+k k k k 得133)1(233++=-+k k k k ,令k ＝1、2、3、…、n 得23－13＝3·12＋3·1＋1 33－23＝3·22＋3·2＋1 43－33＝3·32＋3·3＋1……（n+1）3－n 3＝3n2+3n+1把以上各式两边分别相加得：3n(n+1)+n （n+1）3－1＝3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n＝3S n+21n(n+1)(2n+1)因此，S n＝6。