高一数学数列求和2

数列求和的基本方法与技巧（1） 姓名引言： 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 接下去的几节课我们一起来研究数列求和的基本方法和技巧.方法一、公式法：1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、1(1)1232nn k n nS k k n =+==+++++=∑ 方法二、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列或的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列.如：{}n n a b A {}n nab {},{}n n a b 若数列是首项为公差为d 的等差数列，数列是首先为，公比为q 的等比数{}n a 1,a {}n b 1b 列.（1）11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=+++++（2）122311n n n n n qS a b a b a b a b -+=++++ 由（1）—（2）得11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++- 12111(1),(1)1n n n b q a b d a b q q-+-=+-≠-典例：例、（1）求数列前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n（2）求数列的前n 项和.{(1)(2)}nn +-A n S （3）求和121111135(21)333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1（4）求和： 2311234n n S x x x nx-=++++⋅⋅⋅+()x R ∈实战演练：1、（07福建文科17）数列的前项和为，，．{}n a n n S 11a =*12()n n a S n +=∈N （1）求数列的通项；{}n a n a （2）求数列的前项和．{}n na n n T 2、 (2008年全国卷）在数列中，，.}{n a 11a =122nn n a a +=+(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；12nn n a b -=}{n b (Ⅱ)求数列的前项和}{n a n nS 3、（08陕西文）已知数列的首项，，…．{}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =（Ⅰ）证明：数列是等比数列；1{1}na -（Ⅱ）数列的前项和．{}nna n n S 数列求和的基本方法与技巧（2） 姓名方法三：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，使之能前后能消去一些项，最终达到求和的目的.)()1(n f n f a n -+=如：可裂项的代数式结构有（1）设数列是首项为公差为d 的等差数列 （）{}n a 1a 0,0n a d ≠≠则 111111(n n n n n b a a d a a ++==-1111()()n m n m nc n m a a n md a a ==->-（2）111)1(1+-=+=n n n n a n （3）1111()(2)22n a n n n n ==-++ 123n S a a a =+++ 11111111111(1)(((2322421122n n n n =-+-++-+--++ 1111111111(1)232435122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++（4）1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++（5）n a ==(6)22221111()(2)4(2)n n n n n +=-++（6）数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则{}n b n S 11111,n n n n n b S S S S +++=-11111(n n n n n b S S q S S ++=-例、求下列数列的前n 项和（1）11(42)()2n a n n =-+（2）13693n a n=++++ （3）首项1公比3，前n 项和是，求{}n a n S 1212231n n n n a a aT S S S S S S +=+++ 实战演练：有 党的建立业要论，认头牢立和主施）位开照党誓和入党誓想体组织次确集季度召”、““四师格党学习学系员合我础1、(10山东)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．211n a -∈{}n b n T 2、(08江西)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，{}n a n a n n S {}n b 且，数列是公比为64的等比数列，.113,1a b =={}n a b 2264b S =（1）求；,n n a b （2）求证.1211134n S S S +++< 3、（06湖北卷）设数列的前n 项和为，点均在函数y ＝3x －2的图{}n a n S (,)()n n S n N *∈像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立13+=n n n a a b n T {}n b 20n m T <n N *∈的最小正整数m.4、设数列满足且{}n a 10a =1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；{}na （Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：1数列求和的基本方法与技巧（3） 姓名方法三：分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但是将这类数列通项公式适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.如：23[1(3)][3(3)][5(3)][21(3)]n n S n =+-++-++-++-+- =(13521)n ++++-+ 等差数列23(3)(3)(3)(3)n -+-+-++-等比数列例1、求下列数列的前n 项和（1）999999999n ++++个（2）1(2nn a n=-（3）121(3)n n a n -=-+-（4）21(2)2nn na =+（5）2113n nn a +=-+实战演练：1、设数列满足{}n a 112,32nn n a a a +=-=A （1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，求数列的前n 项和1n n b na =-nS2、（07浙江理科）已知数列中的相邻两项是关于的方程{}n a 212k k a a -，x 的两个根，且．2(32)320k k x k x k -++=A 212(123)k k a a k -≤= ，，，（I ）求，，，；1a 2a 3a 7a （II ）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 3、（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++（I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式;（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .数列求和的基本方法与技巧（4） 姓名方法四：奇偶项讨论、配对（并项）求和针对一些特殊的数列，如需对项数进行奇偶讨论、或者将某些项合并在一起就具有某种特殊的效果，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和.引例：设数列的通项公式是，求该数列的前n 项和.{}n a 2(1)3nn a =+-A n S 方法一、对项数奇偶讨论当n 为奇数时(1)5(1)5(1)=n n S =-++-+++-项11(1)52322n n n +--⨯+⨯=-当n 为偶数时=(1)5(1)5(1)5=n n S =-++-+++-+ 项(1)5222n nn =-⨯+⨯=2n所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法二、奇偶项配对（并项求和）利用递推性质 ：当时，有成立2,*n n N ≥∈14n n a a -+=当n 为奇数时123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++ 14(1)232n n -=⨯+-=-当n 为偶数时12341()()()422n n n nS a a a a a a n -=++++++=⨯= 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法三、分组求和当n 为奇数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2223n =+++-个23n -当n 为偶数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2220n =++++个2n 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数1例：求下列数列的前n 项和（1），1,2n nn n a +⎧=⎨⎩为正奇数，n 为正偶数（2）2(1)(21)nnn a n =+--（3）22cos n a n n π=-+⨯实战演练：1、已知数列的前项和为，且，数列满足，且{}n a n n S *22()n n S a n N =-∈{}n b 11b =点在直线上.*1(,)()n n P b b n N +∈2y x =+（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）设，求数列的前项和22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈{}n c 2n 2n T 2、等差数列 的前n 项和为，且{}n a n S 21017,100a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）若数列满足，求数列的前n 项和.{}n b (1)nn n b a n =-+A {}n b n T。

数列求和的七大方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、[例1]已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－[例2]设S n＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得，（利用常用公式）∴＝＝＝∴当，即n＝8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设………………………. ②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴[例4]求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{的通项之积设…………………………………①………………………………②（设制错位）①－②得（错位相减）∴三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例5]求证：证明：设………………………….. ①把①式右边倒转过来得（反序）又由可得…………..…….. ②①+②得（反序相加）∴[例6]求的值解：设…………. ①将①式右边反序得…………..②（反序）又因为①+②得（反序相加）＝89∴ S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得S n＝（分组）＝＝（分组求和）＝五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)[例9] 求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝[例10]在数列{a n}中，，又，求数列{b n}的前n项的和.解：∵∴（裂项）∴数列{b n}的前n项和（裂项求和）＝＝[例11] 求证：解：设∵（裂项）∴（裂项求和）＝＝＝∴原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n.[例12]求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵（找特殊性质项）∴S n＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°（合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n}：，求S2002.解：设S2002＝由可得……∵（找特殊性质项）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质（找特殊性质项）和对数的运算性质得（合并求和）＝＝＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求之和.解：由于（找通项及特征）∴＝（分组求和）＝＝＝[例16] 已知数列{a n}：的值.解：∵（找通项及特征）＝（设制分组）＝（裂项）∴项求和）＝＝。

数列求和的根本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学 高等数学的基. 在高考和各种数学 中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定 的技巧 . 下面，就几个 届高考数学和数学 来 数列求和的根本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法.1、 等差数列求和公式： S nn(a 1 a n )na 1n(n 1) d 22na 1( q 1)2、等比数列求和公式：S na 1 (1 q n ) a 1a n q1)1 q1(qqn1 (1)n2 1 (1)(21)3、 S nk4、 S nk n nn n6 nk 1 2k 1nk 3 [ 1n( n 1)]25、 S nk12[ 例 1]log 3 x1 ，求 x x 2x 3x n的前 n 和 .log 2 3解：由 log 3 x1log 3x log 3 21xlog 2 32由等比数列求和公式得S nx x 2 x 3x n〔利用常用公式〕＝ x(1 n1(1 1 ) x) ＝ 22n ＝ 1－ 11 x1 1 2n2[ 例 2]S n ＝1+2+3+⋯+n ， n ∈ N * , 求 f (n)(n S n的最大 .32)S n 1解：由等差数列求和公式得S n1n(n 1) ， S n11(n 1)(n2)〔利用常用公式〕22∴ f (n)S n＝n234n 64(n 32) S n 1n＝1＝11850n 3464 ( n2 50n)n8 1 ∴ 当n，即 n ＝ 8 ， f (n)max850二、 位相减法求和种方法是在推 等比数列的前n 和公式 所用的方法，种方法主要用于求数列{a n · b n } 的前 n和，其中 { a n }、 { b n } 分 是等差数列和等比数列.[ 例 3] 求和： S n1 3x 5x2 7x 3(2n 1) x n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由 可知， { (2n1)x n 1 } 的通 是等差数列 {2n － 1} 的通 与等比数列 { x n 1 } 的通 之xS n1x 3x 25x 3 7 x 4(2n 1) x n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②〔设制错位〕①－②得(1 x) S n 1 2x 2x 22 x3 2x 42x n 1 (2n 1) x n〔错位相减 〕再利用等比数列的求和公式得：(1 x)S n 11 x n1( 2n 1)x n2x 1 x∴S n (2n 1) x n 1 (2n 1) x n (1 x)(1 x)2[ 例 4] 求数列 2, 42 ,63 ,,2nn , 前 n 的和 .2 222解：由 可知， {2n {2n}{1n}的通 是等差数列 的通 与等比数列 n } 的通 之22S n2462n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①2 2 2 232n1 2 4 62n〔设制错位〕S n2 22 32 42 n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2①－②得 (11)S n 2 2 2 2 2 2n〔错位相减〕2 2 22 23 24 2n 2n 12 1 2n2 n 1 2n 1∴S n 4 n 22n1三、反序相加法求和是推 等差数列的前n 和公式 所用的方法，就是将一个数列倒 来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a 1a n ) .[ 例5]求 ：C n03C n15C n2(2n 1)Cn n(n1)2n明：S nC n03C 1n5C n2(2n1)Cnn ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..①把①式右 倒 来得S n (2n1)C n n ( 2n 1)C n n 1 3C n 1 C n 0〔反序〕又由 C n mC n n m 可得S n (2n1)C n 0 (2n 1)C n 1 3C n n1C n n ⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ .. ②①+②得2S n (2n 2)(C n 0 C n 1 C n n1C n n ) 2(n 1) 2 n〔反序相加〕∴S n(n 1) 2 n[ 例 6] 求 sin 2 1sin 2 2 sin 2 3 sin 2 88 sin 2 89 的解： S sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3sin 2 88 sin 2 89 ⋯⋯⋯⋯. ①将①式右 反序得S sin 2 89 sin 2 88sin 2 3 sin 2 2sin 2 1 ⋯⋯⋯⋯ .. ②〔反序〕又因 sin x cos(90x), sin 2 x cos 2 x1① +②得〔反序相加〕2S (sin 2 1 cos 2 1 )(sin 2 2 cos 2 2 ) (sin 2 89 cos 2 89 ) ＝ 89∴ S ＝四、分 法求和有一 数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将 数列适当拆开，可分 几个等差、等比或常 的数列，然后分 求和，再将其合并即可.[ 例 7] 求数列的前 n 和： 11 1 7, , 13n 2 ，⋯1, 4, 2 n 1aa a解： S n(1 1)1 4) ( 1 7)( 1 3n 2)(2n 1aa a将其每一 拆开再重新 合得111〔分组〕S n (1a a 2 a n 1)(1 4 73n 2)当 a ＝1 ， S nn (3n 1)n (3n 1)n〔分组求和〕2＝211(3n 1) n a a 1 n(3n 1)n当 a1， S na n2 ＝a121 1a[ 例 8]求数列 {n(n+1)(2n+1)}的前 n 和 .解： ak k k 1)( 2 k 1) k 3k 2 k(2 3n n∴ S n k(k 1)(2k 1) ＝ (2k3 3k 2 k) k 1 k 1将其每一项拆开再重新组合得nk3 nk 2nS n＝2 3 k 〔分组〕k 1 k 1k 1＝ 2(13 23 n3 ) 3(12 22 n2 ) (1 2 n)＝n2 (n 1) 2 n(n 1)( 2n 1) n(n 1)〔分组求和〕2 2 2＝n(n 1)2 (n 2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔 1〕a n f (n 1) f ( n) 〔 2〕sin 1 tan(n 1) tan n1)cosn cos(n〔 3〕a n 11) 1 11〔 4〕a n(2n(2n) 21)1 1 ( 1 1 )n(n n n 1)( 2n 2 2n 1 2n 1〔 5〕a n1 1[1 1] n(n 1)(n 2) 2 1) ( n 1)(n 2)n(n(6) a nn 2 1 2(n 1) n 1 1 1 n , 那么S n 11n(n 1) 2 n n(n 1) 2 n n 2 n 1 (n 1)2 (n 1) 2 n[ 例 9] 求数列 1 , 1 , , 1 , 的前 n 项和 .1 2 3 n n2 1解：设 a n1n 1 n 〔裂项〕n n 1那么S n 1 1 1 〔裂项求和〕2 23 n n 11＝ ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n )＝n 1 1[ 例 10]在数列 {a n } 中， a n12n ，又 b n 2，求数列 {b n } 的前 n 项的和 .n 1 n 1n 1a nan 1解：∵ a n12n nn 1 n1n 12∴ b nn 2 1 8( 11 )〔裂项〕n n n 12 2∴ 数列 {b n } 的前 n 项和S n8[(1 1 ) ( 1 1) (11 ) (11 )]〔裂项求和〕2 23 34 nn 1＝ 8(11 ) ＝ 8nn 1 n 1[ 例 11]求证：111 cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin 2 1cos0 cos1 解：设 S111cos 0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89∵sin1tan(n 1) tan n〔裂项〕1)cos n cos(n∴ S111〔裂项求和〕cos 0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89＝1{(tan 1 tan 0 ) (tan 2 tan1 ) (tan 3tan 2 ) [tan 89tan 88 ]}sin 1＝1(tan 89 tan 0 ) ＝ 1 cos1sin 1cot 1 ＝2 1sin 1sin∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[ 例 12]求 cos1° + cos2 ° + cos3 ° +···+ cos178 ° + cos179 °的值 .解：设 S n ＝ cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° +··· + cos178 ° + cos179 °∵ cos ncos(180 n )〔找特殊性质项〕∴ S n ＝ 〔 cos1 ° + cos179 °〕 +〔 cos2 ° + cos178 °〕 + 〔 cos3 °+ cos177 °〕 +···+〔 cos89 °+ cos91 °〕 + cos90 ° 〔合并求和〕＝ 0[ 例 13]数列 {a n } ： a 1 1,a 2 3, a 3 2, a n 2 a n 1 a n ，求 S 2002.解：设 S ＝ a 1 a 2a 3a20022002由 a1 1, a2 3, a3 2, a n 2 a n 1 a n可得a4 1, a5 3, a6 2,a7 1, a8 3, a9 2, a10 1, a11 3, a12 2,⋯⋯a6 k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2, a6 k 4 1, a6k 5 3, a6 k 6 2∵a6k1 a6k2 a6k3 a6 k4 a6 k5 a6 k 6 0 〔找特殊性质项〕∴S2002＝a1 a2 a3 a2002 〔合并求和〕＝ ( a1 a2 a3 a6 ) ( a7 a8 a12 ) (a6k 1 a6k 2 a6k 6 )(a1993 a1994a1998) a1999a2000a2001a2002＝ a1999 a2000 a2001 a2002＝a6 k 1 a6k 2 a6k 3 a6 k 4＝ 5[ 例 14] 在各均正数的等比数列中，假设a5 a6 9, 求 log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10的.解： S n log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10由等比数列的性m n p q a m a n a p a q 〔找特殊性质项〕和数的运算性log a M log a N log a M N 得S n (log 3 a1 log 3 a10 ) (log 3 a2 log 3 a9 ) (log 3 a5 log 3 a6 ) 〔合并求和〕＝ (log 3 a1 a10 ) (log 3 a2 a9 ) (log 3 a5 a6 )＝ log 3 9 log 3 9 log 3 9＝ 10七、利用数列的通求和先根据数列的构及特征行分析，找出数列的通及其特征，然后再利用数列的通揭示的律来求数列的前n 和，是一个重要的方法.[ 例 15]求111 111111 1 之和.n个1解：由于 1111 1 9999 1(10 k1) 〔找通项及特征〕k 个19 k 个19∴ 111 111111 1n 个1＝ 1(101 1) 1 (1021) 1 (1031)1(10 n 1)〔分组求和〕9999＝ 1(10110 2 10310 n )1(1 1 11)99 n 个1n＝ 1 10(10 1) n910 19＝ 1(10n 1 10 9 )81n[ 例 16]数列 {a n } ： a n8, 求(n 1)(a n a n 1 ) 的值 .( n 1)(n 3)n 1解：∵ (n1)(a n a n 1 ) 8(n1)[ 11 ]〔找通项及特征〕3)( n 2)( n ( n 1)(n4)＝ 8 [11]〔设制分组〕2)(n4) (n 3)(n(n 4)＝ 4 (11 ) 8 ( 11 〔裂项〕n 2nn 3n)44∴( n1)(a n a n1) 4 ( 11 ) 8 (11 ) 〔分组、裂项求和〕n 1n 1 n2 n 4n 1n3 n 4＝ 4 (11 )8 13 44＝133说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列〞一章的学习。

数列求和公式方法总结数列求和是高中数学中的重要内容之一，也是许多学生难以消化的内容。

不同的数列有不同的求和公式，本文将总结数列求和的常见方法和公式，助力学生更好地掌握数列求和的技巧。

一、等差数列的求和公式：等差数列是最常见的数列之一，其特点是每个项之间的差值是相等的。

设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则等差数列的求和公式为：Sₙ=(a₁+aₙ)×n÷2Sₙ=(a₁+aₙ)×(n+1)÷2其中，Sₙ表示前n项和。

二、等比数列的求和公式：等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比值相等的数列。

设首项为a₁，公比为q，末项为aₙ，则等比数列的求和公式为：Sₙ=(a₁×(qₙ-1))÷(q-1)其中，Sₙ表示前n项和。

三、二次数列的求和公式：二次数列是指每个项与前一个项之间的关系满足一次方程的数列。

设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则二次数列的求和公式为：Sₙ=(2a₁+(n-1)d)×n÷2Sₙ=(2a₁+d(n-1))×n÷2其中，Sₙ表示前n项和。

四、调和数列的求和公式：调和数列是指数列的倒数数列，每个项与前一个项之间的差异与常数成反比的数列。

设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则调和数列的求和公式为：Sₙ=(n×(2a₁+(n-1)d))÷2其中，Sₙ表示前n项和。

五、费波纳西数列的求和公式：费波纳西数列是指数列中每个项都是前两个相邻项之和的数列。

设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则费波纳西数列的求和公式为：Sₙ=(a₁+a₂)×(aₙ+aₙ₊₁)÷2Sₙ=(a₁+a₃)×(aₙ+aₙ₋₂)÷2其中，Sₙ表示前n项和。

六、其他数列的求和公式：除了上述常见的数列类型外，还存在其他特殊的数列，其求和公式需要通过推导和递推等方法得到。

比如，输出数列、幂和数列、等差几何数列等。

二、知识要点（一）基本公式：1.等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=，2)1(1dn n na S n -+=2.等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1①或q q a a S n n --=11②当q ＝1时，1na S n =（二）数列求和的常用方法：1.公式法（若问题可转化为等差、等比数列，则直接利用求和公式即可） 例1：求2222222210099654321+--+-+-+- 之和分析：本题运用平方差公式将原数列变形为等差数列，然后用等差数列的求和公式 解：原式＝)99100()56()34()12(22222222-++-+-+-＝)99100)(99100()56)(56()34)(34()12)(12(-+++-++-++-+ ＝1991173++++其中n ＝50，由等差数列求和公式，得：50502)1993(5050=+=s ；当q ＝1时，1na S n =2.拆项法(分组求和法)：若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法例2：求数列 ,)23(1,,101,71,41,11132-+++++-n aa a a n 的前n 项和. 解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则)23(11-+=-n a a n n)]23(741[)1111(12-+++++++++=∴-n aa a S n n当1=a 时，232)231(2nn n n n S n +=-++=当1≠a 时，2)13(12)231(11111n n a a a n n aa S n n n n n -+--=-++--=-3.裂项法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项相互抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法.例3：求数列,)1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和 解：设数列的通项为b n ，则)111(6)1(+-=+6=n n n n b n16)111(6)]111()3121()211[(621+=+-=+-++-+-=+++=∴n nn n n b b b S n n例4：求数列,)1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和 解：)2111(2)2)(1(2)1(211+-+=++=++++=n n n n n a n2)2121(2)]2111()4131()3121[(2+=+-=+-+++-+-=∴n nn n n S n4.错位法：若数列{}n c 的通项公式为n n n b a c ⋅=，其中{}n a ，{}n b 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法.例5：求数列}21{nn ⨯前n 项和解：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯= ① 12121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② 两式相减：112211)211(21212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S n n n n n nn S 2212)2211(211--=--=∴-+5.特殊数列求和－－常用数列的前n 项和： 例6：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()21(*2N n a S n n ∈+=，求数列{a n }的前n 项和.解：取n ＝1，则1)21(1211=⇒+=a a a 又：2)(1n n a a n S +=可得：21)21(2)(+=+n n a a a n 12)(1*-=∴∈-≠n a N n a n n2)12(531n n S n =-++++=∴例7：求和S n ＝2222321n ++++ 分析：由133)1(233+++=+k k k k 得133)1(233++=-+k k k k ,令k ＝1、2、3、…、n 得23－13＝3·12＋3·1＋1 33－23＝3·22＋3·2＋1 43－33＝3·32＋3·3＋1……（n+1）3－n 3＝3n2+3n+1把以上各式两边分别相加得：3n(n+1)+n （n+1）3－1＝3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n＝3S n+21n(n+1)(2n+1)因此，S n＝6。

数列求和常用公式在数学的学习中，数列求和是一个重要的课题。

掌握数列求和的常用公式，对于解决各种数学问题有着至关重要的作用。

接下来，就让我们一起来深入了解一下这些常用的公式。

一、等差数列求和公式等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

对于一个首项为$a_1$，公差为$d$，项数为$n$的等差数列，其求和公式为：＄S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄其中，＄a_n$ 表示数列的第＄n$ 项，可表示为＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$ 。

这个公式的推导其实并不复杂。

我们可以将等差数列的和表示为：＄S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d$然后将这个式子倒过来写一遍：＄S_n ＝ a_1 ＋（n 1)d ＋ a_1 ＋（n 2)d ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ d) ＋ a_1$将这两个式子相加，会发现对应的项相加的和都是相同的，即都为$a_1 ＋ a_n$，一共有$n$组，所以：＄2S_n ＝ n(a_1 ＋ a_n)＄从而得到等差数列求和公式$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄例如，对于等差数列 1，3，5，7，9，······，19。

其中首项$a_1 ＝1$，公差$d ＝ 2$，末项$a_n ＝ 19$。

项数$n ＝＼frac{（19 1)｝｛2} ＋ 1 ＝ 10$。

则其和$S_{10} ＝＼frac{10×（1 ＋ 19)｝｛2} ＝ 100$二、等比数列求和公式等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

对于首项为$a_1$，公比为$q$（＄q ＼neq 1$），项数为$n$的等比数列，其求和公式为：＄S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＄这个公式的推导需要用到一些代数运算。