高考数学复习 第十五章 复数15-1试题 选修2

§3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法一、基础过关1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i 6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)．二、能力提升7．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．8．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．9．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i＝－1 005＋1 005i.7．3＋i8.115＋3i 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ， ∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )．11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎨⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。

专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。

高二选修1-2《复数》单元测试卷及其答案复数单元测试题一、选择题。

（每小题5分，共60分） 把本题正确答案填入下列框中。

1．若i 为虚数单位，则=+i i )1(（ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --12．0=a 是复数(,)a bia b R +∈为纯虚数的（ ）A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3．在复平面内，复数ii+-12对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限4．下列命题中，假命题是( )（A ）两个复数不可以比较大小 （ B ）两个实数可以比较大小（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小 5．设R ,,,∈d c b a ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是（ ）A ．0ad bc -=B ．0ac bd -=C ．0ac bd +=D ．0ad bc +=6．如果复数ibi212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ）A ．32-B ．32C ．2D ．27．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ）A ．22±B ．22-C ．i 22±D ．i 22- 8．已知z+5-6i=3+4i ，则复数z 为（ ） A.-4+20i B.-2+10i C. -8+20i D. -2+20i 9．i 表示虚数单位，则2008321i i i i ++++Λ的值是（ ）A ．0B ．1C ．iD ．i - 10．复数8)11(i+的值是 （ ）A ． i 16B ． i 4C ．16D ． 411．对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1212．若C z ∈且1||=z ，则|22|i z --的最小值是 （ ）A ．22B ．122+C ．122-D ．2二、填空题。

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课堂达标·效果检测1.复数z=-1+2014i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.由-1<0,2014>0得复数z=-1+2014i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限.2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是( )A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|【解析】选D.|z 1|=|5+3i|==,|z 2|=|5+4i|==,因为<,所以|z 1|<|z2|.3.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则( )A.a≠2或a≠1B.a≠2或a≠-1C.a=2或a=0D.a=0【解析】选C.由题意知a2-2a=0,解得a=0或2.4.设z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,当b= 时,点Z位于实轴上.【解析】当b=0时,复数z=a+bi=a为实数即落在实轴上.答案:05.在复平面内(每个小正方形的边长为1)有A,B,C,D,E,F六个点分别在如图对应的节点处,如图指出各点表示的复数,并对这些复数进行归类.【解析】由图中所给点的位置可得A点对应复数为1+i;B点对应复数为3i;C点对应复数为-2+2i;D点对应复数为-2-2i;E点对应复数为-2i;F点对应复数为2.由复数的分类可得,其中虚数有:A点对应复数1+i;C点对应复数-2+2i;D点对应复数-2-2i.B点对应复数3i;E点对应复数-2i.实数有F 点对应复数为2.关闭Word文档返回原板块。

一、选择题1．复数z＝－2＋i，则复数z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B[解析] 复数z在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．2．若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为( )A．0 B．－3C．－3i D．3[答案] C[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i. 3．复数z＝1＋(2－sinθ)i在复平面内对应的点所在的象限为( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] A[解析] ∵1>0,2－sinθ>0，∴复数对应的点在第一象限．4．复数z与它的模相等的充要条件是( )A．z为纯虚数B．z是实数C．z是正实数D．z是非负实数[答案] D[解析] ∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0.5．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )A．1或3 B．1C．3 D．2[答案] A[解析] 依题意可得m－32＋m－12＝2，解得m＝1或3，故选A．6．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量AB→的模|AB→|等于( )A． 5 B．25C．4 D．13[答案] D[解析] 由于OABC是平行四边形，故AB→＝OC→，因此|AB→|＝|OC→|＝|3－2i|＝13，故选D．二、填空题7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________.[答案] (1,2)[解析] 由已知，得⎩⎨⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1<x <2.8．已知复数z 1＝－2＋3i 对应点为Z 1，Z 2与Z 1关于x 轴对称，Z 3与Z 2关于直线y ＝－x 对称，则Z 3点对应的复数为z ＝________.[答案] 3＋2i[解析] Z 1(－2,3)，Z 2(－2，－3)，Z 3(3,2) ∴z ＝3＋2i.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.[答案] 12[解析] 由条件知⎩⎨⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题10．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ， 由题意得⎩⎨⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32， 即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.一、选择题1．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2[答案] A[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10， ∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2.2．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 一定不是纯虚数C．复数z对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数[答案] C[解析] ∵2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t2＋5t－3的值可正可负，∴A、B不正确．又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴D不正确，∴C正确．3．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )A．1 B．2C． 5 D．3[答案] D[解析] |z|＝2，复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.4．已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是( ) A．(1,5) B．(1,3)C．(1，5) D．(1，3)[答案] C[解析] 由已知，得|z|＝a2＋1.由0<a<2，得0<a2<4，∴1<a2＋1<5.故选C ． 二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是______.[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知， O C →＝xOA→＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i. 由复数相等可得 ⎩⎨⎧y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5.6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________.[答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tanθ＝12.三、解答题7．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．设z＝x＋y i(x，y∈R)，则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)．消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．8．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？[解析] 解法一：|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ→的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z的集合是以原点O为原点，以5为半径的圆．解法二：设z＝x＋y i(x、y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．22152 5688 嚈E20728 50F8 僸26701 684D 桍EQ26617 67F9 柹23853 5D2D 崭39481 9A39 騹24022 5DD6 巖32506 7EFA 绺36355 8E03 踃28849 70B1 炱。

人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。

要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。

） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。

福建省各地高考数学最新试题大汇编—第15部分 复数与推理证明一、选择题：1.(福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查理科)如果复数z =(a 2－3a +2)+(a －1)i 为纯虚数,则实数a 的值 ( C ).A.等于1或2B.等于1C.等于2D.不存在 2．(福建省厦门市2011年高三质量检查文科)在复平面内，复数121ii+-对应的点位于（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(福建省厦门市2011年高三质量检查理科)i 是虚数单位，集合21{,,},A i t A R i=则的元素个数为（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．34．(福建省莆田市2011年高中毕业班质量检查理科)复数(1)(z i i i =-+为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ C ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．(福建省古田县2011年高中毕业班高考适应性测试文科)复数2=（ A ）A．iB．iCiDi6、(福建省三明市2011年高三三校联考文科)已知复数2121,21,3z z i z bi z 若-=-=是实数，则实数b 的值为( D )A ．6-B ．0C ．61D ．6 7、(福建省三明市2011年高三三校联考文科)如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。

一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。

若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点;若停在偶数点上，则跳两个点。

该青蛙从5这点跳起，经2011 次跳后它将停在的点是( A )A ． 1B ．2C ．3D ．48．(福建省三明市2011年高三三校联考理科) 0=a 是复数),(R b a bi a ∈+为纯虚数的（ B ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：9. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查文科已知复数iiz -+=11（i 是虚数单位），则=||z 1 .10. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查文科将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一2个数称为某行某列的数，记作),(*N j i a ij ∈，如第2行第4列的数是15，记作2415a =，则有序数对()2882,a a 是. （51，63）1 4 5 16 ……23 6 15 …… 9 8 7 14 …… 10 11 12 13 …… …… …… …… ……11按照这种规律继续填写，2011出现在第 3 行第 1508 列。

1专题5复数知识必备1复数的概念 （1）虚数单位i 叫做虚数单位，并规定它的平方等于1，即i 2=1； （2）复数定义形如a bi (a ，b ∈R )的数叫复数，复数通常用小写字母z 来表示，即：z =a bi (a ，b ∈R )其中a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数构成的集合叫做复数集，通常用大写字母C 来表示，即：C ={a bi ∣a ∈R ，b ∈R}. （3）复数分类满足条件(a ，b ∈R )复数的分类a bi 为实数⇔b =0a bi 为虚数⇔b ≠0 a bi 为纯虚数⇔a =0且b ≠0（4）复数相等a bi =c di ⇔a =c 且b =d (a ，b ，c ，d ∈R ).2复数的几何意义（1）复平面：建立了直角坐标来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数：除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数z =a bi 一一对应↔ 复平面内的点Z (a ，b ). （2）复数的向量表示平面直角坐标系内的任意一点Z (a ，b )有唯一的向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与之对应，而平面中的点Z (a ，b )与复数集中的复数z =a bi (a ，b ∈R )也是一一对应的因此，复数集C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即： 复数|z |=|a bi |一一对应↔ 复平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . （3）复数的模向量的模OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做复数z =a bi (a ，b ∈R )的模或绝对值，记做|z |或|a bi |.2即|z |=|a bi |=√a 2b 2(a ，b ∈R ).（4）共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数z 的共轭复数用z ⃐表示即如果z =a bi ，那么z ⃐=a bi.①在复平面中，表示两个共轭复数的点关于实轴对称； ②共轭复数的模相等；③实数的共轭复数是它本身.3复数的运算（设z 1=a bi ，z 2=c di (a ，b ，c ，d ∈R )） （1）复数的加法与减法运算法则为：z 1z 2=(a bi )(c di )=(a c )(b d )iz 1z 2=(a bi )(c di )=(a c )(b d )i对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1z 2=z 2z 1，(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3). （2）复数的乘法运算法则为：z 1⋅z 2=(a bi )(c di )=(ac bd )(ad bc )i复数的乘法可以按照多项式乘法的方式运算.对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1z 2=z 2z 1； (z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2z 3)=z 1z 2z 1z 3 对复数z ，z 1，z 2和自然数m ，n ，有z m ⋅z n =z m n；(z m )n =z mn ，(z 1⋅z 2)n =z 1n ⋅z 2n.（3）复数的除法运算法则为：z 1÷z 2=(a bi )÷(c di )=ac bd c 2d 2bc adc 2d 2i (a ，b ，c ，d ∈R ，c di ≠0).（4）加减法的几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如如给出的的平行四边形OZ 1ZZ 2如可以直地地反出的复数加减法的几何意义，即OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .典型例题考点一复数的有关概念及几何意义【例题1】若复数z =a 21(a 1)i 是纯虚数，则实数a =__________【例题2】设复数z =m 2i ，若z 的实部与虚部相等，则实数m 的值为（ ）3A 3 B 1 C 1 D 3 【例题3】已知z =(m 3)(m 1)i 如在复平面内对应的点在四四限 ，则实数m 如的值值围是是（ ） A (3，1) B (1，3) C (1，∞) D (∞，3) 【例题4】设z =32i ，则在复平面内z ⃐对应的点位于（ ） A 四一限 B 四二限 C 四三限 D 四四限 【例题5】已知i 为虚数单位，且|1ai |=√5，则实数a 的值为（ ） A 1B 2C 1或1D 2或2考点二复数的运算【例题6】若复数z =(1i )(2i )（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A 1 B i C 2 D 1【例题7】法国数学家棣莫弗(16671754)发现的公式(cosx isinx )n =cosnx isinnx 推动了复数领域的研究根据该公式，可得(cos π8isin π8)4(12i )=( ) A 12i B 2i C 12i D2i【例题8】已知(1i )2z=1i ，则复数z =( )A 1iB 1iC 1iD 1i【例题9】已知复数z =3i 32i，则z 的虚部为（ ）A15i B15C 1D i【例题10】若复数z 满足(2i )z =4i ，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A 25 B 25C25i D25i【例题11】设i 为虚数单位，复数z 满足iz 1=(1i )2，则|1z |=( ) A √2B 2C√5D 2√3【例题12】已知z(1i )=17i （i是虚数单位），z的共轭复数为z ⃐，则|z⃐|等于（）A（）√2B34iC5D7=2i，则a=( )【例题13】若a为实数，且7ai3iA2B1C1D2【例题14】复数z满足z⋅z⃐z z⃐=17，则|z2i|的最小值为（）A2√2B3√2C4√2D5√245。