浙江省名校协作体高考数学复数专题复习(专题训练)

浙江省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练复数、推理与证明一、复数1、（金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考）设a R ∈，若复数1a ii++（i 为虚数单位）的实部和虚部相等，则a =_________，z =_________． 2、（浙江省名校协作体2017届高三上学期9月联考）复数=--ii12 A.223i - B. 223i + C. 223i +- D. 223i --3、（浙江省名校新高考研究联盟2017届高三第二次选考联考）已知复数1z =i 是虚数单位），满足20z az +=，则实数a ＝＿＿＿＿，||z a +＝＿＿＿4、（温州市普通高中2017届高三8月模拟考试）已知i 是虚数单位，则满足34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.6、若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+（D ）12i --7、已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 8、设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（A ）1 （B ） （C （D ）29、已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 10、若12z i =+，则41izz =-(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i11、复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________ 12、（2014年浙江省高考）已知i 是虚数单位，a 、b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a b i i +=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、推理与证明1、（宁波市2016届高三上学期期末考试）对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x R ∈恒成立，则称()f x 为关于a的“倒函数”.已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“倒函数”， 且当]1,0[∈x 时，)(x f 的取值范围为]2,1[，则当[1,2]x ∈时，()f x 的取值范围为__▲__，当]2016,2016[-∈x 时，()f x 的取值范围为__▲__.2、（绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模））定义(),max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩,若实数,x y满足1111x y -≤≤⎧⎨-≤≤⎩,则{}max 21,25x x y +-+的最小值为 ．3、（绍兴市2016届高三下学期第一次教学质量调测）4、（温州市普通高中2017届高三8月模拟考试）记{},p qmax ,,p p q q p q≥⎧=⎨<⎩，设(){}22,max 1,1M x y x y y x =++-+，其中,x y R ∈，则(),M x y 的最小值是__________5、宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，, 成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为 ．6、若函数()f x 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“1的饱和函数”。

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =≥,{}22530B x x x =--<∣则A B =∪（ ）A ．{}1x x ≥12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ≤<2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（ ）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=, 则公比q 的值为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n 满足：2m n == ，且m 在n上的投影向量为12n，则向量m 与向量n m - 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足π1,3f ⎛⎫=⎪⎝⎭最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（ ）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）A ．0B ．18C D ．17二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,,N μσσ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量17,,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,,n n n n n n a a a a a a a n N ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++ ，124T =． 则（ ）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110ii a=>∑非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是______．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos ;A B C B C ++=-（1）求角C 的值；（2）若ABC △的面积为14，求ABC △的周长。

2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1本卷满分150分，考试时间120分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效：4考试结束后，只需上交答题卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）已知全集U=R,A={xl x.. o},B={xl-l<x<l}，则{xi-I<x<O} = ( )A.Au B B（炉）＾B c.A^（研） D.6u(AnB)2已知复数Z满足z=—-，则Z·Z=( )1-iA.-2B. 2iC.fi_D.2cosO-sin0 7t=2,则tan(e-�)=c)3已知cos0+sin0A.-2B.2C.--D.-2 24柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录如图所示；这是用柳条编织的圆台形米斗，上底直径30cm,下底迎径20cm,高为30cm,则该米斗的容积大概为（A.9升B.15升C.19升D.21升5有一组数据：1,1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4,去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是(A平均数B众数C中位数D极差6已知a>l,b>O,若抎＋log2a= b + log2b，则（）A.a>2bB.a<2bC.a>扩D.a<b27已知正项数列{a,，}满足生＝3a1,S,，为{a,,｝的前n项和，则”{a,，}是等差数列“是＂J芍为等差数列＂的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8已知平面向量a,b满足lal= l,(b,a +b) A.2 B.✓2+ 1 C. ✓3+1 D.3冗飞，则位－b|的最大值为（）二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．兀9．已知x=－为函数f(x)=si n2x+acos2x的一个极大值点，则（）6A函数f(x)的值域为(-2,2]B函数y=f(x－王）为奇函数12c．曲线y=f(x)关于直线x=－？对称D函数y=f(x)叶子门上单调递增10．三棱锥P-ABC各顶点均在半径为2的球0的表面上，AB=AC=2，乙BAC=90,二面角P-BC-A的大小为45,则下列结论正确的是()A．直线OA/／平面PBC2拉B三棱锥0-ABC的体积为－－－3c．点0到平面PBC的距离为1D点P形成的轨迹长度为2✓37tII．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量X,根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数n,寿命恰好为n的植物在所有寿命不小千n的柏物中的占比为10%记“一株植物的寿命为r1”为事件九，“一株植物的寿命不小于n,＇为事件B,，则下列结论正确的是（A. P(A2) =0.01B. P(B11) = 0.9n-iC设a n= P(A,,) B2)，则{a,,}为等比数列IID设S n=nP区），则I:s k< 10k=I三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．l x12已知正实数从Y满足x+2y=I,则一十一的最小值为X)'X13已知R,F2分别是双曲线C:—-�=l(a > O,b >0)的左右焦点，P是圆X Z+ y2 = C Z与C的渐近线的a2 b2一个交点，若2乙P�F2＝乙PF2�，则双曲线C的离心率为14已知函数f(x):n.x,x>0，若函数g(x)=f(f(x)）－可(x)+]有唯一零点，则实数0的取值范围是一一x,x<O,X四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（本小题满分13分）已知”ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=2bcosC(I)判断�.A BC的形状；(2)若µ,A BC的外接圆半径为1，求＾ABC周长的朵大值16（本小题满分15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A,D分别为RB,RC的中点，BC=BR=4,将...RAD沿AD折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD,RB（l)若M为PC的中点，求证：DM/／平面PAB;2 (2)若平面PAD上平面ABCD,点E在线段BC上，平面PDE与平面ABED夹角的余弦值为－，求线3段BE的长17（本小题满分15分）甲乙丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜,乙与丙比赛时，乙获胜的概率为P3的概率为P2(I)若p l=p2 =p3=0.5，求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望：(2)若p1+p3>l，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略18（本小题满分17分）已知过点(1,0)的归线与抛物线E:y2 =2px(p >0)交于A,B两点，O为坐标原点，当且线A B垂直于X轴时，A OB的面积为五(I)求抛物线E的方程；(2)若0为A BC的巫心，直线AC,B C分别交））轴于点M,N,记�M CN,�A O B的面积分别为S"S2, s 求-一的取值范围s19.（本小题满分17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合A={l,2,...,n},nEN十的函数称为n次置换满足对任意iEA，几）＝l的置换称作恒等置换所有n次置换组成的集合记作S,，对千f(i)ES,,,我们可用列表法表示此置换：兀）＝［ 1 2心］，记f(l) f(2)f (i) =I'(i),t(f (i)) =/2 (i),1(12 (i)) =/3 (i), ,f(广(i))=f飞），i EA,k EN+．(I)若f(l)E&，几）＝（：： 1 3 :），计算广(l)(2)证明对任意/(i)ES4,存在kEN+，使得广(i)为恒等置换，(3)对编号从．1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，，依次类推这样橾作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I:： [ 1:［ ［1:I:[ [ I二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分JO杻CD1答案I BC I BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.1+2✓2 13.2 514.a =-－或－1,,a< l4四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解析】(l)因为a=2bcosC,所以sinA= 2sinBcosC,所以sin(B + C) = 2sinBcosC,所以sinBcosC+ c osBsinC = 2sinBcosC,所以sinBcosC-cosBsinC = 0,即sin(B-C)=O,因为B-C云(-7t,7t），所以B=C:所以,t,.ABC为等腰三角形：(2)由题意可知a=2sinA,b =2sinB, c = 2sinC = 2sinB,所以ABC的周长为：a+b+c =2<;inA+4sinB =2sin(n-28)+4sinB =2sin28+4sinB,设f(B) =2sin28+4sin8, B十彗+ 4cosB =8cos2 B + 4cosB-4 = 4(cosB + 1)(2cosB-l),则/'(B)= 4cos2B所以当BE（吁］时，cosB>沪'(B)> O,f (B)单调递增当B E(巴卫]时,cos B<』,＇B3 2) - 2 f'(B) <0,/(B)单调递减兀所以当B＝一时，．f(B)取到最大值3✓3'3所以周长的最大值为3./3.16.【解析】(I)取PB中点N,连接AN,MN,1则MNII BC,且MN=�BC,2因为A,D分别为R B,R C的中点，1所以ADIi BC,且AD=－BC,2所以ADIi MN且AD=MN,所以四边形ADMN为平行四边形，所以DM II AN,又ANc平面PAB,DMc;:.平面PAB,所以DM/／平面PAB(2)因为平而PAD..L平面ABCD,平而PAD＾平而ABCD=AD,D,所以AB..L平面PAD,又D,所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y立轴建系，设B E=t,则P(0,0,2),D(0,2,0),E(2,t,0),所以PD=(0,2,-2),DE=(2,t-2,0),设n=(x,y,z)为平面P DE的法向量，则{n P D=0，即｛2y-2z=0 n·D E=O'�,·p x+(t-2)y=O'令y=2得n=(2-t,2,2)易知平面ABED的法向量为m=(0,0,1),设平面PDE与平面ABED的夹角为0,则cos0= !cos(ii，利＝2 2＝－ 扣－t）2+4+43'解得t=l或t=3,故BE=l或317.【解析】(I)由题意可知，X的取值可能为4,6,8P(x=4) =0.5x0.5x2=0.5;P(x=6) =0.5x0.5x0.5x2 =0.25;P(x =8) = 0.5x0.5x0.5x2= 0.25;所以三人总积分X的分布列为x 4 6 8p 0.5 0.25 0.25所以EX=0.5x4+0.25x6+0.25x8 =5.5.(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜“,B为“第一局乙对甲最终乙获胜“,C为“第一局甲对丙而最终乙获胜＂，则有：P(A)=A(l-P i)+p孔(l-p2)p3+（l-p3队(l-p l)p”P(B) =(1-p,)PJ +(l-P i)(1-A)P i(l-P i)+ P, (1-Pi)A (l-P,);P(C)= P i(l-p,)PJ +(l-P2趴(1-Pi) =A(1-P i);显然P(B)>P(C);P(A)-P(B) =A P, (1-Pi)A +(l-PJ)P2 (1-P1)PJ -(l-P1)(l-PJ)P2 (1-P,)-P, (1-P2)A (1-P,)= (Pi + P :1 -l) P i (1-P 2) p 3 + (Pi + P :1 -l) (l -p 3屈(l-p l )=(p, + PJ -l)[P , (1-P i ) P 3 +(1-PJ 队(1-p ,)]>0所以P (A )>P (B );故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局18【解析】(I)由题意可知，SAOB =1x 2l x2痴＝石，所以p =1,所以抛物线E 的方程为l =2x(2)设A (xl,y l ),B (乓,A ),C(X:i,),3），因为0为，AB C 的重心，所以X 1+x2＋X':i = (), s AOB = s AOC = s BOC ;因为SMO C ＝巴生－X 3,s /1,，oc＝四＝飞s AOC IACx ,-X:J ,S 80C l8CI X 2 -X 3且S .,.,,oc+SNoc飞，S AOC = S BOC = S 2 ;所以江二立十二土＿＝x 1 +x 2 + X 1 +x 2 = 3(x 1飞）2＝ 3(x 1飞）2s 2x 1 -X 3 x 2 -X 3互＋凸X 1+2x 2 (2x 1飞）（x 1+2x 2) 2(x 1飞）2＋X l x 2 ; 设AB:x =ty +l ，与y 2=2x 联立得：y 2-2ty -2=0,所以Y 1Y 2= -2,2所以环＝（y心）＝1'则X1飞么仄�=2;4．． ＼）3-2， 4-3＿＿E 2、I'儿一1+斗3 ,i l '、＋ 2 ＝s i ＿鸟以所s所以忒的取值范围为［彗）19.【解析】2( 1 2 3 4l 2 3 4(I )由题意可知f l)＝（3 2 4 1)吓）＝（12 3 4](2)【解法一】1 2 3 4＠若氏）＝［12 34)，则吓）为恒等置换，＠若存在两个不同的i'使得f (i)=i'不妨设i=1,2,则兀）＝［12 34)1 2 4 3所以吓）＝（｝： ： ：），即吓）为恒等置换，l2 341 2 3 4＠若存在唯一的i'使得兀）＝i'不妨设i =2,则兀）＝（）32 4 1或f (i)＝(421 3)当兀）＝（12 3 4)时，由(I)可知广(i 4 2 1 3 ）为恒等置换；1 2 3 4同理可知，当f (i)=( ）时，广(·32 4 1 l)也是恒等置换；＠若对任意的i,J (i)妇，则情形一：f（i)＝(1 22 1情形二：f (i )=(� ! 几）＝（：： ： ｝）： ：）或f(t )＝（：： ： ：）或f (i)＝（；二32 :) 34 :]或f (l)＝［；: ： ：］或f (i )=G � !:]或或几）＝（；： ： ：）幻(i)=(�: : �)对于悄形一：广(i)为恒等置换；对于情形二：广(i)为恒等置换；综上，对任意/(i)ES 4,存在KEN +，使得广(i)为恒等置换，【解法二】对千任意iE {1,23,4}，都有j 、1(l)，广(t)，广(i)，广（小叶123,4},所以广（小f飞），广(t )，广(i )中，至少有一个满足广(l)＝l ,即使得广(i)= i的K的取值可能为1,2,3,4.当l分别取1,2,3,4时，记使得广(i)= i的K值分别为k"k2,k3, k4,只需取k为k“幻，k3,k4的最小公倍数即可所以对任意f(i)ES4,存在kEN+,使得广(i)为恒等暨换：(3)不妨设原始牌型从上到下依次编号为l到52,则洗牌一次相当于对{1,2,...,52}作一次如下暨换：兀）＝（1 2 3 4 5,1 272 28 3, 其中k=1,2,...,26 52)，即几）＝ ｛K，i =2K-1, 52)..''126+k,i=2k,注意到各编号在置换中的如下变化：l f l f f f i l l f f f l l l f ll➔1,2➔27今14➔33➔17➔9➔5➔3➔2,4今28今40今46今49今25➔13➔7➔4f f f f f l l f f f f f l f f f6➔29➔15➔8➔30➔41今21➔11➔,10➔31➔16➔34➔43➔22今37➔19➔lO,12➔32今42➔47今24➔38➔45➔23今12,18今35➔18,20➔36➔44➔48➔50➔51➔26今39➔20,52➔52;所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最小公倍数为8,由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型。

专题能力训练17 复数与导数1.若复数z满足|z|=5,且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,|z-m|=5(m∈R),求z和m的值.2.已知复数z=,若z2+az+b=1+i(a,b∈R),求a+b的值.3.已知z,ω为复数,(1+3i)·z为纯虚数,ω=,且|ω|=5,求复数ω.4.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,若x>0时,xf'(x)-f(x)<0,求使得f(x)>0成立的x的取值X围.5.已知f(x)=x2-a ln x(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)+2x,若函数g(x)在区间[1,e]上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值X围.6.已知f(x)=ln x+.(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是,求a的值.7.已知复数z=b i,是实数,其中i是虚数单位,b∈R.(1)求复数z;(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,某某数m的取值X围.8.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.9.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.参考答案专题能力训练17复数与导数1.解:设z=x+y i(x,y∈R),∵|z|=5,∴x2+y2=25.①∵(3+4i)z=(3+4i)(x+y i)=(3x-4y)+(4x+3y)i,它在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.∴它的实部与虚部互为相反数.∴3x-4y+4x+3y=0,即y=7x.代入①,得x=,y=或x=-,y=-.∴z=i或z=-i.当z=i时,z=1+7i,依题意|1+7i-m|=5,即(1-m)2+72=50,解得m=0或m=2.当z=-i时,z=-1-7i,同理可解得m=0或m=-2.故z=i,m=0或m=2;或z=-i,m=0或m=-2.2.解:z==1-i,由z2+az+b=1+i,得(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,由复数相等得故a+b=1.3.解:设z=x+y i(x,y∈R),则(1+3i)·z=(x-3y)+(3x+y)i为纯虚数,所以x=3y≠0.因为|ω|==5,所以|z|==5.又x=3y,解得x=15,y=5;x=-15,y=-5.所以ω=±=±(7-i).4.解:当x>0时,令F(x)=,则F'(x)=<0,∴当x>0时,F(x)=为减函数.∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,∴F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)>0;在(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故所求x的取值X围是(-∞,-1)∪(0,1).5.解:(1)∵f(x)=x2-a ln x,∴f'(x)=x-(x>0).∴若a≤0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;若a>0,则函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.(2)∵g(x)=f(x)+2x,∴g'(x)=x-+2=(x>0).设h(x)=x2+2x-a(x>0),∵函数g(x)在区间[1,e]上不单调,∴g(x)在区间(1,e)上存在零点.∴⇒3<a<e2+2e.又∵g(x)在x=e处取得最大值,∴只需g(e)≥g(1),即a≤+2e-.综上所述,实数a的取值X围是.6.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,因为a<0,所以f'(x)>0.故函数f(x)在其定义域上是单调递增的.(2)①当a≤1时,f'(x)>0,函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,这与函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是相矛盾.②当1<a<e时,在区间[1,a)上有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(a,e]上有f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1.由ln a+1=,得a=,符合条件.③当a≥e时,在区间[1,e)上有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,其最小值为f(e)=2,这与最小值是相矛盾.综上所述,a的值为.7.解:(1)∵z=b i(b∈R),∴i.又是实数,∴=0,得b=-2.∴复数z=-2i.(2)由(1)得z=-2i,m∈R,则(m+z)2=(m-2i)2=(m2-4)-4m i,∵复数(m+z)2所表示的点在第一象限,∴得m<-2.∴实数m的取值X围是(-∞,-2).8.解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2,所以g'(x)=2-=.当0<a<时,g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减;当a≥时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.9.解:由题意知函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=+a(2x-1)=.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞).当a=0时,g(x)=1,此时f'(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;当a>0时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8).①当0<a≤时,Δ≤0,g(x)≥0,f'(x)≥0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;②当a>时,Δ>0,设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1<x2),因为x1+x2=-,所以x1<-,x2>-.由g(-1)=1>0,可得-1<x1<-.所以当x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数有两个极值点.当a<0时,Δ>0,由g(-1)=1>0,可得x1<-1.当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;当0≤a≤时,函数f(x)无极值点;当a>时,函数f(x)有两个极值点.。

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B = （ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1BC ．2D．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.74 4．已知向量12a =，b = ，若()()//a b a b λµ++，则（ ▲ ） A. 1λµ= B. 1λµ=− C.1λµ+=− D. 1λµ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= 则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727B ．1027，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π=+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23B ．π5π,23C ．5π5π,63D ．2π4π,33 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差 22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变11．四面体ABCD 中,3AC BC AB ===，5BD =，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ， 当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S=π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数()2()57m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ .13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xxxx 的最小值为 ▲ .14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）．15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx −=≤ −． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ=+−++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位， 得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ∈−，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=°，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()hx f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.。

2022学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}2{04},7100A x xB x x x =<≤=-+∣∣ ，则A B = （）A.{24}x x <≤∣B.{05}xx <<∣ C.{02}x x <≤∣ D.{45}xx <<∣2.已知i 为虚数单位，则12i2i++在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设命题2:,34p n n n ∀∈<+N ，则p 的否定为（）A.2,34n n n ∀∈>+N B.2,34n n n ∀∈≤+N C.2,34n n n ∃∈≥+N D.2,34n n n ∃∈>+N 4.已知数列{}n a 为递增数列，前n 项和2n S n n λ=++，则实数λ的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(),2-∞ C.(],0-∞ D.(),0∞-5.已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100ektθθθθ-=-+，其中t 为时间（单位：0min),θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度.假设在室内温度为20C o 的情况下，一杯饮料由100C 降低到60C 需要20min ，则此饮料从60C 降低到40C o 需要（）A.10minB.20minC.40minD.30min7.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,P Q 两点，若12125PF PF F Q ==，则C 的离心率是（）A.5B.4 C.4D.538.若不等式()2e ln ln 1xx ax x a +-≥+++（其中e 为自然对数的底数，约为2.71828）对一切正实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（）A.(],e -∞ B.(],1-∞ C.1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.(],0-∞二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知函数()sin3f x x x =-，则（）A.()y f x =的图象可由函数sin3y x =的图象向右平移π3个单位B.()y f x =在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C.()y f x =的图象关于直线π18x =-对称D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围是2⎡⎤⎣⎦10.甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以,,A B C 表示事件“取出的是红球”､“取出的是白球”､“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D 表示事件“取出的是红球”，则下列的结论中正确的是（）A.事件,,A B C 是两两互斥的事件B.事件D 与事件A 相互独立C .()411P DA =∣ D.()2455P D =11.已知()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（）A.()y f x =在(),0∞-上单调递增B.()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减C.()()1236f f +->D.()()1236f f -->12.如图，矩形ABCD 中，2,3,2AD AB AE EB ===，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △，若M 为线段1AC 的点，满足12CM MA =，则在ADE 翻折过程中（点1A 不在平面DEBC 内），下面四个选项中正确的是（）A.BM //平面1A DEB.点M 在某个圆上运动C.存在某个位置，使1DE A C⊥ D.线段1BA 的长的取值范围是)三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.10(1+的展开式的二项式系数的和是___________.（用数字作答）14.在ABC 中，43,5,cos 5AB AC BAC ∠===，若1132AD AB AC =+ ，则DB DC ⋅= ___________.15.如图，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F C 的准线与x轴交于点A ，过点F 的直线与C 交于点,(M N M 在x 轴上方），则AM AN=___________.16.已知实数,x y 满足22234x xy y +-=，则222x y -的最小值是___________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos a B b A a c -=-.（1）求B ；（2）若2,b a M ==为边AC 的中点，求BM 的长.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,1n n a S a +==-，数列{}n b 为等差数列，且4365231,7a b S b =+=.（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记nn n b c a=，求{}n c 的前n 项和为n T .19.为调查某小学学生的视力情况，随机抽取了该校150名学生（男生100人，女生50人），统计了他们的视力情况，结果如下：男生中有60人视力正常，女生中有40人视力正常.（1）是否有99%的把握认为视力正常与否与性别有关？（2）如果用这150名学生中，男生和女生视力正常的频率分别代替该校男生和女生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人视力正常”的人数，试求X 的分布列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.()2P k χ≥0.100.050.0250.010.005k 2.7063.8415.0246.6357.87920.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11131,2AB AC BC AA AC A B ======，点N 为11B C 的中点.（1）求1BC 的长；（2）求直线AN 与平面11A BC 所成角的正弦值.21.如图，已知双曲线22:12x C y -=，经过点()1,1T 且斜率为k 的直线l 与C 交于,A B 两点，与C 的渐近线交于,M N 两点（从左至右的顺序依次为,,,A M N B ），其中0,2k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）若点T 是MN 的中点，求k 的值；（2）求OBN △面积的最小值.22.已知函数()()22e 21(0),(ln )xf x x x xg x x x=+-->=，其中e 为自然对数的底数，约为2.71828.（1）求函数()f x 的极小值；（2）若实数,m n 满足0,1m n >>且()()e 2f m g n =≥-，证明：1mn >.2022学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}2{04},7100A x xB x x x =<≤=-+∣∣ ，则A B = （）A.{24}x x <≤∣ B.{05}x x <<∣ C.{02}x x <≤∣ D.{45}x x <<∣【答案】C 【解析】【分析】化简集合B ，再利用交集的定义求解.【详解】解：由题得{|(2)(5)0}{|5B x x x x x =--≥=≥或2}x ≤，所以A B = {02}xx <≤∣.故选：C 2.已知i 为虚数单位，则12i2i++在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可得对应点进行求解.【详解】由()()()()12i 2i 12i 43i 43===i 2i 2i 2i 555+-+++++-,所以在复平面对应的点为4355⎛⎫⎪⎝⎭，，在第一象限.故选：A 3.设命题2:,34p n n n ∀∈<+N ，则p 的否定为（）A.2,34n n n ∀∈>+N B.2,34n n n ∀∈≤+N C.2,34n n n ∃∈≥+N D.2,34n n n ∃∈>+N 【答案】C 【解析】【分析】利用全称命题的否定方法进行求解.【详解】因为命题2:,34p n n n ∀∈<+N ，所以p 的否定为：2,34n n n ∃∈≥+N .故选：C.4.已知数列{}n a 为递增数列，前n 项和2n S n n λ=++，则实数λ的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(),2-∞ C.(],0-∞ D.(),0∞-【答案】B 【解析】【分析】根据n S 可求2,(2)na n n =≥，要使{}n a 为递增数列只需满足21a a >即可求解.【详解】当2n ≥时，()()22111=2n n n a S S n n n n n λλ-⎡⎤=-=++--+-+⎣⎦，故可知当2n ≥时，{}n a 单调递增，故{}n a 为递增数列只需满足21a a >，即422λλ>+⇒<故选：B5.已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解.【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--，若22a b ->-时，比如5,1ab ==，但不满足2a b >>，因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件.故选：A6.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e kt θθθθ-=-+，其中t 为时间（单位：0min),θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度.假设在室内温度为20C o 的情况下，一杯饮料由100C 降低到60C 需要20min ，则此饮料从60C 降低到40Co 需要（）A.10min B.20minC.40minD.30min【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，将已知数据代入即可求解ln220k=，进而将020θ=，160θ=，40θ=，ln220k =代入解析式中即可求解时间．【详解】由题意可得，020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入100()e kt θθθθ-=-+，2080e2060k-+=，解得201e2k-=，故20ln2k-=-，解得ln220k =．故当020θ=，160θ=，40θ=，ln220k =时，将其代入100()e kt θθθθ-=-+得40e 2040kt -+=，解得20t =，故选：B7.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,P Q 两点，若12125PF PF F Q==，则C 的离心率是（）A.5B.4C.4D.3【答案】D 【解析】【分析】由已知，画出图像，根据12125PF PF F Q ==，可令1F Q t =，然后表示出1PF ，2PF ，然后利用椭圆定义找到t 与a 之间的关系，然后用a 分别表示出PQ、1QF 、2QF ，在2PQF 中，利用勾股定理判定2π2QPF∠=，然后在12PF F △中，可表示出c 与a 之间的关系，从而求解离心率.【详解】由已知，可根据条件做出下图：因为12125PF PF F Q==，令1F Q t =，所以15PF t =，252PF t =，由椭圆的定义可知125152522PF PF a t t t +==+=，所以415ta =，所以143PF a =，223PF a =，1415F Q a =，11442431515PQ PF F a a a Q =+=+=，由椭圆的定义可知12226215QF QF a QF a +=⇒=，在2PQF 中，22222QF QP PF =+，所以2π2QPF ∠=,在12PF F △中，122F F c =，所以2112222F F F P PF =+所以22222164549993c c a a c e a a +=⇒=⇒==.所以C的离心率是3.故选：D.8.若不等式()2eln ln 1x x ax x a +-≥+++（其中e 为自然对数的底数，约为2.71828）对一切正实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（）A.(],e -∞ B.(],1-∞ C.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.(],0-∞【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件将式子变形为()22e ln x x ax x a +-≥++，构造函数()e ln t a f t t a -=--，求导，利用导数求解单调性，进而可求最值进行求解.【详解】由()2eln ln 1x x ax x a +-≥+++得()22e ln xx ax x a +-≥++，记2x x t +=，()e ln t af t t a -=--，由于0x >，所以0t >，故()2eln ln 1x x ax x a +-≥+++对一切正实数x 都成立等价于()0f t ≥对0t ∀>都成立.1()e t a f t t -'=-，令1()0e t a f t t-'=⇒=在同一直角坐标系中画出121e ,t ay y t -==的图象，由图可知：存在()00,t ∈+∞满足01e t at -=，且当()00,t t ∈时，21y y >，即1()e 0t a f t t-'=-<，当()0t t ∈+∞，时，21y y <，即1()e 0t a f t t-'=->，故()f t 在()00,t t ∈单调递减，在()0,t t ∈+∞单调递增，故()()000min e ln t a f t f t t a-==--因为00001eln t at a t t -=⇒-=-，故()()0000min 01e ln 2t af t f t t a t a t -==--=+-，由于0012t t +≥，故001222t a a t +-≥-，因此220a-≥，解得1a ≤，故选：B 【点睛】本题考查了导数的应用，主要解决不等式恒成立问题，解决恒成立问题，可将问题等价转化，构造函数，利用导数解决单调性，进而可通过求最值方式求参数的范围.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.9.已知函数()sin3f x x x =，则（）A.()y f x =的图象可由函数sin3y x =的图象向右平移π3个单位B.()y f x =在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C.()y f x =的图象关于直线π18x =-对称D.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围是2⎡⎤⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】根据辅助角公式得()π2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而结合三角函数的性质即可逐一求解.【详解】由()sin3f x x x =-得()π2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A:sin3y x =向右平移π3得到πsin 3sin 33y x x ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故错误；对于B:当ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π7ππ3π3,,33622x ⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故()y f x =在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，B 正确;对于C :πππ2sin 3218183f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故π18x =-是()f x 的对称轴；故C 对；对于D ：当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π3,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ3=32x -时，()f x 取最大值2，当ππ3=33x --时，()f x 取最小值2⎡⎤⎣⎦，D 正确；故选：BCD 10.甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以,,A B C 表示事件“取出的是红球”､“取出的是白球”､“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D 表示事件“取出的是红球”，则下列的结论中正确的是（）A.事件,,A B C 是两两互斥的事件B.事件D 与事件A 相互独立C.()411P D A =∣ D.()2455P D =【答案】AC 【解析】【分析】根据互斥事件和相互独立事件即可判断AB,由概率计算值即可判断CD.【详解】由题意可得4()10P A =，4()10P B =，2()10P C =，44343234()()()()111011*********P D P DA P DB P DC =++=⨯+⨯⨯,4416()1011110P AD =⨯=,事件,,A B C 是两两互斥的事件，故A 正确，()()()P AD P A P D ≠,故事件D 与事件A 不是相互独立,故B 错误，()1101(|)4()114106P DA P D A P A ===，故C 选项正确，3417()11055P D ==,故D 错误，故选：AC 11.已知()f x 是定义在{}0x x ≠∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（）A.()y f x =在(),0∞-上单调递增B.()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减C.()()1236f f +->D.()()1236f f -->【答案】BC 【解析】【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除12x x 得到()()121211f x f x x x ->-，然后根据210x x >>，即可判断()1f x 与()2f x 两者的大小，从而判断选项A ，选项B 由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定()1112f x x -与()2212f x x -的大小，从而确定函数的单调性，选项C 和选项D ，可利用前面得到的不等式，令12x =，23x =带入，然后借助()f x 是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，210x x >>，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦，所以()()2112011f x f x x x -+->，即()()121211f x f x x x ->-，因为210x x >>，所以12110x x >>，所以()()2211011f x f x x x ->->，因为210x x >>，所以210x x --＜＜，因为()f x 是定义在{}0x x ≠∣上的奇函数，所以()()f x f x =--，所以()()()()121212110f x f x f x f x x x -=--+->->，所以()()21f x f x ->-，因为210x x --＜＜，所以()y f x =在(),0∞-上单调递增，故选项A 错误；因为()()121211f x f x x x ->-，12110x x >>，所以1201122x x >>，所以()()()()()11121222112221111111122222f x f x f x f x f x x x x x x x x x -->->=+-++=-，即()()12122112f x f x x x ->-，又因为210x x >>，所以()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减，选项B 正确；因为210x x >>时，()()121211f x f x x x ->-恒成立，所以令12x =，23x =代入上式得()()311232f f ->-，即()()32361112f f --=>，又因为()f x 是定义在{}0x x ≠∣上的奇函数，所以()()33f f =--，所以()()1236f f +->，故选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.12.如图，矩形ABCD 中，2,3,2AD AB AE EB ===，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △，若M 为线段1AC 的点，满足12CM MA =，则在ADE 翻折过程中（点1A 不在平面DEBC 内），下面四个选项中正确的是（）A.BM //平面1A DE B.点M 在某个圆上运动C.存在某个位置，使1DE A C ⊥ D.线段1BA的长的取值范围是)【答案】ABD 【解析】【分析】由已知，选项A ，在DC上取一点N，令2CN ND =，可通过面面平行的判定定理证明平面BMN ∥平面ADE ，从而证明BM平面1A DE ；选项B ，可通过1π4A DE MNB ∠=∠=,43NM =，EB =BM 为定值，从而确定M 点的轨迹；选项C ，可先假设1DE A C ⊥成立，然后借助线面垂直的判定定理和性质定理得到DE CH⊥，然后在DHC 中，利用勾股定理验证是否满足，即可做出判断；选项D ，可通过点1A 运行轨迹，分别找出最大值和最小值点，然后求解即可做出判断.【详解】如上图所示，在DC上取一点N，令2CN ND =，连接NB ，在矩形ABCD中，AB CD =且AB CD ，又因为2AE EB = ，2CN ND =，所以EB ND =且EB ND ，所以四边形EBND 为平行四边形，所以NB ED ，又因为NB ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以NB平面ADE ，又因为2CN ND = ，12CM MA =，所以1NM A D ，又因为NM ⊄平面ADE ，1DA ⊂平面ADE ，所以NM平面ADE ，又因为NM NB N = 且NM NB ⊂、平面BMN ,所以平面BMN ∥平面ADE ，又因为MB⊂平面BMN ,所以BM平面1A DE ，选项A 正确；由NB ED ，1NM A D ，2AD AE ==,可得1π4A DE MNB ∠=∠=,由2CN ND = ，12CM MA = 可知，12433NM A D ==，而EB ND ==，由余弦定理可知，BM 为定值，而B 为定点，故M在以B 为圆心，BM 为半径的圆上运动，故选项B 正确；取ED 的中点H ，连接1HA 、HC ，在1A DE △中，2AD AE ==，所以1DE A H⊥，假设1DE A C ⊥成立，11A H A C ⊂、平面1A HC ,所以DE ⊥平面1A HC ，又因为CH ⊂平面1A HC ，所以DE CH⊥，而，在DHC 中，DH =3DC =，CH =π2DHC ∠≠，故DE CH ⊥不成立，所以假设不成立，该选项C错误；在DC 上取一点2A ，令222DA A C =，在ADE 翻折过程中,线段1BA 的最大值是1A 与A 点重合，此时13BA =，线段1BA 的最小值是1A 与2A 点重合，此时1BA =，又因为点1A 不在平面DEBC 内，所以线段1BA 的长的取值范围是)，选项D 正确；故选：ABD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.10(1的展开式的二项式系数的和是___________.（用数字作答）【答案】1024解析】【分析】根据二项式定理的二项式系数和性质即可求解.【详解】由于10n =，所以二项式系数的和为10221024n ==，故答案为：102414.在ABC中，43,5,cos 5AB AC BAC ∠===，若1132AD AB AC =+ ，则DB DC ⋅= ___________.【答案】94-【解析】【分析】根据向量的线性运算可用,AB AC 表示DB DC ，，根据数量积的运算律即可求解.【详解】2111=,3232DB AB AD AB AC DC AC AD AB -=-=-=-+ ,所以222111211==3232924DB DC AB AC AB AC AB AB AC AC⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221419=9355=92544-⨯+⨯⨯⨯-⨯-.故答案为：94-15.如图，抛物线2:2(0)Cy px p =>的焦点为,F C 的准线与x 轴交于点A ，过点F斜率为C 交于点,(M N M 在x轴上方），则AM AN=___________.【答案】3【解析】【分析】根据题意可得直线MN 方程，联立直线与抛物线方程可解,M N 坐标，进而根据两点间距离公式即可求解.【详解】由题意可知(,0),(,0)22p p P A -,直线MN方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭，联立方程22212203022p y x x px p y px⎧⎫=-⎪⎪⇒-+=⎭⎨⎪=⎩，解得123,26p p x x ==，由于M 在x轴上方,故可得33(),(,)263p p M N p -，因此3AMAN=，故答案为：316.已知实数,x y满足22234x xy y +-=，则222x y -的最小值是___________.【答案】72+##7172【解析】【分析】利用换元法，将问题转化为一元二次方程根的分布，即可求解.【详解】令222=,xy m -则22=2y x m -，由22234x xy y +-=得22243xy y x +-=，两边平方得()22222443x y y x -=+，化简得：()()242174026340x m x m +-+-=，令2tx =，则()()22174026340t m t m +-+-=（※）有正的实数根，因为当0=t 时，234y -=不成立，()21234017m t t -=≥，则满足：()()22=4026417340m m ∆--⨯-≥，且124026017mt t -+=->，即2780m m -+≥，且40260m -<解得7172m≥,当1772m=时，=0∆，此时（※）式的根为1226-40511317==3434m t t +=，即2511317=34x +，2217=234y x m -=，故m 的最小值为72+故答案为：72+bu 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos a B b A a c -=-.（1）求B ；（2）若2,b a M==为边AC 的中点，求BM 的长.【答案】（1）3π（2）2【解析】【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解.（2）根据余弦定理可求3AB =，由三角形中向量加法，由模长公式即可求解.【小问1详解】因为cos cos a B b A a c -=-，由余弦定理得22222222a c b b c a a b a c ac bc +-+--=-，化简得222b a c ac =+-，所以2221cos 22a cb B ac +-==，结合()0,πB ∈，得π3B =；【小问2详解】设AB x =，根据2222471cos 242a cb x B ac x +-+-===，解得3AB x ==(负根舍去)，又()12BM BA BC=+，所以2BM == .18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,1n n a S a +==-，数列{}n b 为等差数列，且4365231,7a b S b =+=.（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记nn nb c a =，求{}n c 的前n 项和为nT.【答案】（1）12n na -=，21nb n =-（2）12362nn n T-+=-【解析】【分析】（1）由已知，根据条件给的n S 与1n a +的关系，令2n ≥，递推作差得到1n a +与n a 的关系，然后再令1n =，验证1a 与2a 是否满足，最后利用给等比数列的定义证明数列{}n a 为等比数列，然后直接求解其通项公式，设出数列{}n b 的公差，然后根据题意列方程解出公差和首项，即可利用等差数列通项公式完成求解；（2）将（1）问中数列{}n a 与{}n b 的通项公式带入到nn nb c a =中，然后利用错位相减可直接进行求和.小问1详解】2n ≥时，1112n n n n n n n a S S a a a a -++=-=-⇒=，又1122111122a S a a a a ==-⇒=+==，所以{}n a 是首项是1，公比是{}n a 的等比数列，所以12n n a -=；设{}n b 的公差为d ，则由4365231,7a b S b =+=，得()()167116321,16374b d S a b d =++=-==+1125,49b d b d ⇒+=+=11,2b d ⇒==.21n b n ⇒=-【小问2详解】由（1）知1212n nn n b n c a --==，所以22123113523211222211352321222222n n n n n n n n T n n T -----⎧=+++++⎪⎪⇒⎨--⎪=+++++⎪⎩ 21111211122422n n n n T --=+++++-111212321312212n n nn n -⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=+-=--，所以12362nn n T -+=-.19.为调查某小学学生的视力情况，随机抽取了该校150名学生（男生100人，女生50人），统计了他们的视力情况，结果如下：男生中有60人视力正常，女生中有40人视力正常.（1）是否有99%的把握认为视力正常与否与性别有关？（2）如果用这150名学生中，男生和女生视力正常的频率分别代替该校男生和女生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人视力正常”的人数，试求X的分布列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.()2P k χ≥0.100.050.0250.010.005k 2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）没有99%的把握认为视力正常与性别有关（2）分布列答案见解析，数学期望：2【解析】【分析】（1）根据题意，写出列联表，结合独立性检验的公式，可得答案；（2）由题意，可得此为离散型分布，利用其概率公式和分布律的定义，结合均值计算公式，可得答案.【小问1详解】由已知得150名学生男女､视力正常与否的22⨯列联表为：视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计10050150所以22150(6001600)6 6.6351005050100χ-==<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为视力正常与性别有关.【小问2详解】由已知得该小学男､女生视力正常的概率分别为34,55.X的取值有0,1,2,3，且()()221221432124280,1C 5512555555125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅===⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()2212313245734362C ,35555512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯===⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即X的分布列为X0123P4125281255712536125从而X 的均值()281141082125E X ++==.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11131,2AB AC BC AA AC A B ======，点N 为11B C 的中点.（1）求1BC 的长；（2）求直线AN 与平面11A BC 所成角的正弦值.【答案】（1）2（2）68【解析】【分析】（1）根据线线垂直可证明AC ⊥平面1OA B ,进而线面垂直得线线垂直，在直角三角形11C A B 中，即可由勾股定理进行求解.（2）建立空间直角坐标系，根据向量运算求解平面法向量和直线方向向量，根据向量的夹角求线面角.【小问1详解】取AC 中点O ，连1,A O OB .因为11,A A A C BA BC ==，所以1,AC OA AC OB ⊥⊥，又11,,OA OB O OA OB ⋂=⊂平面1OA B ,所以AC ⊥平面1OA B ,因为111,AC A B A C AC ⊥∥，所以1190C A B ∠= ，所以12BC===.【小问2详解】以O为原点，,OB OC所在的直线为,x y轴，如图建立直角坐标系，则11,0,0,0,,0,0,,0222B A C⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1OA y⊥轴，故可设()1,0,,A x z根据213,2AO⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭且213,2A B⎛⎫== ⎪⎝⎭可得13,0,,44A⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭因为11AC AC=，所以13,1,44C⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，因为11AB A B=，所以1313,,424B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，故0,433,4N⎛⎫⎪⎝⎭所以530,,44AN⎛⎫= ⎪⎝⎭,设平面11A BC的法向量(),,n a b c=，()1113,0,,0,1,044A B A C⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭所以111,,n A B n AC⊥⊥所以3044a cb⎧-=⎪⎨⎪=⎩，取1a=，则c=0b=所以平面11A BC的法向量(n= ，设直线AN与平面11A BC所成角为θ，则00sin cos,68n ANn ANn ANθ++⋅==21.如图，已知双曲线22:12xC y-=，经过点()1,1T且斜率为k的直线l与C交于,A B两点，与C的渐近线交于,M N两点（从左至右的顺序依次为,,,A M N B ），其中0,2k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）若点T 是MN 的中点，求k 的值；（2）求OBN △面积的最小值.【答案】（1）12（2）4【解析】【分析】（1）联立直线l 与双曲线方程，根据点T 是MN 的中点，列方程求解即可.（2）联立直线l 与双曲线方程，表示出BN的长，根据点到直线的距离公式表示出三角形的高，从而得到三角形面积表达式，即可求得结果.【小问1详解】设()()1122,,,A x y B x y 联立直线l 与双曲线方程()221102y k x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()22212412(1)0k x k k x k -----=，由韦达定理可知，()221212222144,1212k k k x x x x k k ---+=⋅=--联立直线l 与其中一条渐近线方程()112y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得2x =即22N x =，同理可得22M x =，则21224412M N k k x x x x k-+==+-，则可知AB 的中点与MN 中点重合.由于()1,1T 是MN 的中点，所以()241212k k k -=-，解得12k =；【小问2详解】()11y k x =-+与2212xy -=联立，消去y 得()()22212412(1)20k xk k x k ------=由（1）知，2AB MNBN AM -==.或()12OBN OAB OMN S S S =-由于AB MN ==，所以BN =又O到直线的距离d=122OBN S BN d =⋅=22-=整理得22OBN S=令11,12t k ⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭，则2222212241142(1)k t t k t t t --+-==-+--，当12t =，即12k =时，2212(1)k k --的最大值为2，所以OBNS 的最小值为4.22.已知函数()()22e 21(0),(ln )xf x x x xg x x x=+-->=，其中e 为自然对数的底数，约为2.71828.（1）求函数()f x 的极小值；（2）若实数,m n 满足0,1m n >>且()()e 2f m g n =≥-，证明：1mn >.【答案】（1）e 2-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数极值的定义及导数法求函数极值的步骤即可求解；（2）根据已知条件对m 进行讨论，构造函数()()()h x f x g x =-，再利用导数法求函数的最值，得出()()f x g x >，从而()()()f m g n f n '=<'即可求解.【小问1详解】由题意可知，()()22e e e 2212x xx x f x x x x x ⎛⎫-=+-=-+ ⎪⎝⎭'.21令()0f x ¢=，则()2e 120x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得1x =，当1x >时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x ¢<，所以()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.所以当1x =时，函数()f x 取得极小值为()12e 11e 22111f =+--=-⨯.【小问2详解】若m 1≥，则显然成立；若01m <<，令()10,1n n∈'=，因为()()g n g n ='.当1x >时，()g x 单调递增；当01x <<时，()g x 单调递减；()ln x g x x '=，令()()()22e 21(ln )(01)x h x f x g x x x x x x=-=+---<≤，则()()221212e 22ln 122ln x x x h x x x x x x x x x x--=+--≤++--'2211222ln x x x x x x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭.令()221222ln x k x x x x x -=+--，则()32221242141x x x k x x x x x --+=-+-'=.令()32421m x x x x =--+，则()()()2122222131m x x x x x =--=-+'，所以()111102244m x m ⎛⎫≥=-=> ⎪⎝⎭，即()0k x '>，所以()k x 在01x <≤时递增，从而()()10k x k ≤=，即()0h x '≤，所以()h x 在01x <≤时递减，所以()()120h x h ≥=->e ，从而()()f x g x >，所以()()()f m g n f n '=<'，所以1m n n>'=，即1mn >.【点睛】解决此题的关键是第一问直接利用导数法求函数的极值的步骤即可，第二问根据已知条件对m 进行讨论，构造函数()()()h x f x g x =-，再利用导数法求函数的最值即可.。

2021学年第二学期浙江名校协作体高三下开学考一、选择题：每小题4分，共40分1. 设全集U =R ，集合{}2A x x =≥，{}05B x x =≤<，则集合()U A B =（ ）A ．{}02x x ≤≤B ．{}25x x ≤<C ．{}02x x ≤<D ．{}0x x ≥2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足：1i i z -=⋅，则z 的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 已知a ，b ∈R ，则“a b ≥”是“22a b ≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A3 B3C ．34cmD ．36cm5. 若实数x ，y 满足约束条件111x y -+-≤，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．26. 函数()22sin xf x x x =+的图象大致是（ ）7. 函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<在区间()0,1上不可能（ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．单调递增D ．单调递减8. 已知a 、b 、c 、d 均为正实数，且22122c d a b +=+=，则ba+的最小值为（ ）A ．3B ．C D俯视图侧视图正视图B.A.9. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，1AC =，BC =D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM △沿CM 向上折起至B CM '△，设平面B CM '与平面ACM 所成锐二面角为α，直线MB '与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面B CA '所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①tan βα≤；②γβ≤；③γα>A ．①B ．①②C ．②③D ．①③10. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，()11e cos n a n n a a n +*+=-∈Ν，其前n 项和为n S ，则下列关于数列{}n a 的叙述错误的是（ ） A ．()1n n a a n *+>∈ΝB ．()211n n n a a a n *++<+∈ΝC．)n a n *∈ΝD．)n S n *<∈Ν二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 已知函数()e ,1ln ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f = ；方程()1f x =的解集为 ．12. 我国古代数学家已经会借助三角数表来计算二阶等差数列的和，例如计算()()112123+++++，把第一个数表逆时针旋转两次，得到后两个数表，再把3个数表叠在一起，每一个位置的和都是5，所以()()561121233⨯+++++=，我们使用类似的想法计算： ()()()112123123412++++++++++++，三个数表叠加之后每一个位置的和都是 ；推广可得()()()1121231234n ++++++++++++的求和公式n S = ．13. 已知多项式()()()()354254101111x x a x a x a x a +=-+-++-+，则0a = ，3a = ．14. 已知点A 是直线y x =在第一象限上的动点，点B 是直线3y x =-在第二象限上的动点，O 为原点，则tan AOB =∠ ；当线段AB 长为2时，AOB △面积的最大值为 ．15. 盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的方差()D ξ= ．A11112321123223211116. 已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，2124r r a ≤，则此双曲线离心率的取值范围为 ．17. 已知平面向量a ，b ，c 满足：1-=⋅+a b a b ，1==a c ，则3-+a b c 的最小值为 ． 三、解答题：5小题，共74分18. （本题满分14分）在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知tan tan a B b A =．（1）若2cos cos 13A B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，求角A ； （2）求222sin sin sin 222A B C++的取值范围．19. （本题满分15分）如图，四棱锥C ABMP -中，平面MBC ⊥平面ABC ，MB MC =，PM AB ∥，23PM AB =，2AC AB =，BC =2ABC π=∠．（1）求证：AC PB ⊥；（2）当MC =MC 与平面P AC 所成角的正弦值．20. （本题满分15分）已知数列{}n a 满足：11a =，()111n n n n na n a a a ++-+=，n *∈Ν，且0n a ≠；等比数列{}n b 满足：113b =，1223n n n b b b ++=+，n *∈Ν，且0n b >．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若不等式()1121n nS n λ-⎛⎫--≤⎪+⎝⎭对任意n *∈Ν都成立，求实数λ的取值范围．ACBPM21. （本题满分15分）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且2RF =，过点()4,0P -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段P A 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E （异于点A ，B ），且直线DE 交线段PB 于点H ． （1）求抛物线C 的方程； （2）求证：AD BH +为定值；（3）设EAD △，EBH △的面积分别为1S ，2S ，求12133S S S =+的最小值．22. （本题满分15分）已知函数()()2ln f x a x x =-，0a >．（1）当e a =时，求()2e f x -的单调区间； （2）设函数()()()2g x f a x f x =--， ①若()g x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；②记函数()()(]()(),0,,,2g x x a h x g x x a a ⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩，若关于x 的方程()2ln 2h x a =-有4个根，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，求证：322x x ->；41x x -<．2021学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科命题：春晖中学、湖州中学 审核：温岭中学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目10.【解析】设函数()cos (0)xf x e x x =->，则'()sin 0xf x e x =+≥，故()f x 在(0,)+∞上单调递增.用数学归纳法先证01n a <≤：当1n =时，有101a <≤；假设01k a <≤，由于1(0)0()1(1)k k f a f a f +=<=≤<，从而101k a +<≤.由数学归纳法原理可知01n a <≤.对于选项A ，由于1(0)xe x x >+>，则11111cos 1cos n a n n n n n a e a a a a +++++=->+->，故A 正确.对于选项B, 由于当01x <≤时，可利用导数证明不等式：()cos x f x e x =-2x x >+，故121111cos ()n a n n n n n a e a f a a a +++++=-=>+，从而选项B 错误.对于选项C ，也可用数学归纳法.当1n =时，有101a <≤=成立，假设*)k a k N ≤∈若1k a +>，则21111k k k a a a k ++>+>+=>>+，与假设k a ≤矛盾，故1k a +≤.故*)n a n N ≤∈.从而选项C 正确.对于选项D ，当1n ≥时,1na n n <=，故112nnn k k k S a ===<-=∑∑选项D 也可如下证明：由于21n n n a a a -<-，从而2222212311223()()n a a a a a a a a a ++++<+-+-+1()2n n n a a a -+-=-.从而由柯西不等式得2221211ni n i a a a a =≤++⋅+++<∑综合上述，选B.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 1, {}0,e 12. 14；(1)(2)6n n n ++ 13. 8；2514. 2,215+ 15. 5916. (1,3] 17.117. 解析：如图，设,OA a OB b ==，由1a b a b -=⋅+的几何意义可得B 的轨迹为抛物线：24y x =.3(3)a b c c b a -+=--可看作抛物线上任意点B 到以'(3,0)A 为圆心，半径为1的圆上任一点C 的距离，设(,)B x y ，则'223(3)1(3)1a b c c b a BC BA x y -+=--=≥-=-+-22(3)41(1)81221x x x =-+-=-+-≥-，当1x =时取等号.故3a b c -+的最小值为221-.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分14分) 解析： A b B a tan tan =∴AAb B B a cos sin cos sin =……………………1分 由正弦定理得A b B a sin sin =∴ A B cos cos =……………………2分 ),0(,π∈B A ……………………3分∴ A B =……………………4分（Ⅰ） A A A B A sin 23cos 21cos )32cos(cos +-=-+π 1cos 21sin 23=+=A A ……………………5分 ∴ 1)6sin(=+πA ……………………6分)32,6(6πππ∈+A ……………………7分 ∴ 26ππ=+A ，即3π=A ……………………8分（Ⅱ） 2cos 12cos 12cos 12sin 2sin 2sin 222C B A C B A -+-+-=++………………9分 2)2cos(12cos 12cos 1A A A --+-+-=π………………10分 22cos 1cos 1AA ++-=……………………11分43)21(cos 21cos 21cos 122+-=-++-=A A A ……………………12分)1,0(cos ∈A ……………………13分∴ )1,43[2sin 2sin 2sin 222∈++C B A ……………………14分19. (本小题满分15分)解析：法一：（Ⅰ）证明：过M 在平面MBC 内做作BC 的垂线，垂足为N ， 因为平面MBC ⊥平面ABC ，所以MN ABC ⊥平面过P 作PQ 垂直平面ABC ，垂足为Q ，连接QN QB ，交AC 于I H 、 所以//MN PQ ，所以M N P Q 、、、四点共面 又//PM AB ，所以//PM ABC 平面，=PMQN ABC QN ⋂平面平面所以//PM QN ，所以MNPQ 是矩形……………………………4分 所以////PM QN AB ，因为MB MC =，所以N 为中点，又因为23PM AB =，所以1=2IN AB ，所以=QI AB ，所以=AH HI ，所以1=3AH HC ，又2AC AB =，2ABC π∠=，所以AC BQ⊥，又PQ ABC⊥平面，所以AC PB ⊥…………………………7分（Ⅰ）延长CM 使得CM MS =，所以SB ABC ⊥平面，所以SB 与平面PQH 共面，平面PQH APC ⊥平面，交线为PH ，所以过S 在平面SPGH 内作ST PH ⊥,垂足为T所以ST PAC ⊥平面 .……………………………9分 所以SCT ∠是MC 与平面PAC 所成角. …………………………11分 因为2AC AB =，BC =2ABC π∠=，所以=2AB QI =，所以HB QH =，又因为MC =，所以MN PQ ==，因为45PHQ ∠=︒，可求得：ST =SC = ……………14分 ∴直线MC 与平面PAC所成角的正弦值为34ST SC == .………15分法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，由平面MBC ⊥平面ABC ，MB MC =，可知OM ABC ⊥平面 如图建系， ……………2分(2,0)A,(0,0)B，0)C ，设(0,0,)M h ，则(3,0,)P h ……………4分（Ⅰ）得(2,AC =-，(3,)PB h =--0AC PB ∴=得AC PB ⊥ ……………7分 （Ⅰ）MC =推出h = ……………9分所以MC =，(1,AP = 设平面PAC 的法向量为n ，0(3,1,2)0n AC n n AP ⎧=⎪⇒=-⎨=⎪⎩， …………12分 设直线MC 与平面PAC 所成角为θ333sin cos ,4622MC n MC n MC nθ⋅=<>===所以直线MC 与平面PAC 所成角的正弦值为34. .………………15分20.(本小题满分15分)解析：（Ⅰ）由11(1)n n n n na n a a a ++-+=两边同除(1)n n +得：111(1)n n n n a a a an n n n ++-=++， 两边同除1n n a a +得：1111(1)(1)n n n a na n n +-=++，则11111(1)1n n n a na n n +-=-++， ………………………2分所以11221111111111...(1)(1)(2)2n n n n n na na n a n a n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111...1212112n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（2n ≥）………4分 所以121n a n =-，又11a =符合121n a n =-，故121n a n =-，*.n N ∈……5分 由1223n n n b b b ++=+得：2123q q =+，解得：13q =，所以13nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.……7分（Ⅱ）∵213n n n b n a -=， ∴211113...(21)333nn S n ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ①∴231111113...(21)3333n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②x由①-②得：2312111112...(21)333333n n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111111222(1)(21)333333n n n n n -+++=+---⋅=- ∴n S =113n n +-. ……………………………………11分则11(1)(1)13nn n nS n -⎛⎫-=-⋅⎪+⎝⎭，由1(1)21n n S n λ-⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭得： 111(1)2(1)2(1)2333n n n n nn λλ-⋅-≤⇒-⋅-≤≤-⋅+， 因为1,13(1),13,3n n n nn n ⎧⎪⎪-⋅=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数 所以当n 为偶数时，11(0,]39n ∈； 当n 为奇数时，11[,0)33n -∈-.故 111(1)[,0)(0,].339n n -⋅∈-⋃ …………………………………13分所以112293λ-≤≤-+，即17593λ-≤≤，故λ的取值范围是175,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…15分 21.(本小题满分15分)解析：（I ）由抛物线定义及||2RF =得122p+=，则2p = 所以抛物线C 的方程为2:4C y x =. ………………………4分 （II ）（i ）证明：设直线:(4)AP y k x =+则由2(4)4y k x y x=+⎧⎨=⎩得2222(84)160k x k x k +-+= 22421(84)64064162k k k k ∆=--=⇒=⇒=±，2164A A x x =⇒= ∴不妨设1:(4)2AP y x =+，1:(4)2BP y x =-+，(4,4)A ，(4,4)B -，……6分 设(2,2)D t t +，(2,2)t ∈-，设直线:(2)2DH x m y t t =--+，则由2(2)42x y m y t x t =--+⎧⎨=⎩得244880y my mt m t -++-= 22161632320(2)202(m mt m t m t m t m t m ∆=--+=⇒-++=⇒==或舍去)……8分 ∴2(,2)E t t ，2:DH x ty t =-由21(4)2x ty t y x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩得(2,2)H t t --∴||+|||||)242)A D B H AD BH x x x x t t =-+-=-++=10分（ii ）由（i）得222)E ADd t -==-，42|||2t AD -=222)E BHd t -==+，42|||2t BH +=∴3111||(2)22E AD S AD d t -=⋅=-，3211||(2)22E BH S BH d t -=⋅=+， ………12分∴33121313(2)(2)()326S S S t t f t =+=-++= ∴22191'()(2)(2)(263)(263)4(1)(4)222f t t t t t t t t t =+--=++-+-+=---∴()f t 在(21)-，上递减，在(12)，递增∴min (1)6S f ==. ………………………………………………………15分 22.(本小题满分15分) 解答： （Ⅰ）令(2)ln(2)=()f ex x ex h x ， (,2)x e ∈-∞,'2()=ln(2)ln(2)122x eh x ex e x exe x, ……2分'()h x 在定义域上单调递减，所以 xe 为()h x 的极大值点, …… 4分所以(2)f e x -在(-,)e 上单调递增，(,2)e e 单调递减. ……5分（或者求出()f x 的单调区间，再利用对称性得(2)f e x 的单调区间）（Ⅱ）（i ）()ln(2)(2)ln g x x ax ax x ， (0,2)x a ∈因为'2()ln[(2)]()2a xx g x ax x x ax……7分2ln 2a ≤- ，当x a =时取等号. ……9分所以当0a e <≤时，'()0g x ，()g x 单调递减，又()0g a ，符合要求.当a e >时，由()g x 的对称性，只需考虑(0,)x a ∈()ln(2)(2)g e e a e a e =---，由1ln x x e< 得()0g e <又1111()ln(2)(2)0g a a e e e e ，所以()g x 在1(,)e e 上有零点，又()0g a ， 与()g x 有且只有一个零点矛盾.综上:0a e <≤. ……11分（ii ）由()g x 的对称性，(),(0,]()(),(,2)g x x a h x g x x a a -∈⎧=⎨∈⎩关于x a =轴对称, 有4个根，由（i ）中分析可知a e >，23a x x a -=-,所以3232()x x x a -=-，不妨考虑(,2)x a a ∈时, 此时()()h x g x =，考虑()g x 在a 处的切线，记()()(2ln 2)()x g x a x a ϕ，由（i ）得,,()()(2ln 2)x g x a ϕ0≤， 所以()()0x a ϕϕ<=，即()(2ln 2)()g x a x a <--在(,2)x a a ∈上恒成立， 330()22ln (2ln 2)()22ln g x a a x a a =+-<--+-，推出31x a >+，所以31x a ->，所以322x x -> ……13分又(,2)x a a ∈时，()ln(2)(2)g x x a x x a x <-<-4440()22ln (2)22ln g x a a x x a =+-<-+-推出4x a <，并由对称性,4142()x x x a -=-<……15分。

十三、 复数的运算一、选择题1．【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】若复数z 满足232z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z =( ) A. 12i - B. 12i + C. 12i -- D. 12i -+ 【答案】B2．【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知复数()2z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )【答案】B【解析】()22z i i i i =-=-==B ．3．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】，所以共轭复数是，故选 .4．【2017届浙江省ZDB 联盟高三一模】若复数z 满足： ()1120z i ++=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A. 12-B. 12C. 12i -D. 12i 【答案】B【解析】()1120z i ++= ()1111i 12i 2z -⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭ ,所以复数z 的虚部是12,选B.5．已知i 为虚数单位，a R ∈，若2(1)(1)1(1)a a i a a i -++=-+-是纯虚数，则a 的值为（ ）A.-1或1B.1C.3D.-1 【答案】D【解析】因为(1)(1)a a i -++=21(1)a a i -+-是纯虚数，则210a -=且10a -≠，所以a =-1，故选D.6．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知i 是虚数范围，若复数z 满足411i z=-+，则•z z =（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B【解析】由411i z =-+，得41121z i i=-=+-，则25z z z ⋅==，故选B ． 7．在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B8．【2017届浙江省嘉兴一中高三测试】复数z 满足()234z i i ⋅-=-（其中i 为虚数单位），则复数zi=（ ）A. 23x y xy ++=B. ()1,y ∈+∞C. aD. (-∞ 【答案】D【解析】()()()()3423410522225i i i i z i i i i -+--====---+， z zi i ==. 9．【2017届浙江省名校协作体高三下学期考试】已知（为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意，当时，的实部为，虚部为，此时为纯虚数，即充分性成立；当为纯虚数时，有，即必要性成立，故选C.10．【2017届浙江嘉兴市高三上测试】已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．2 【答案】A 【解析】222122a i a a i i ++-=++，由21a ii++是纯虚数得20,22a a +=∴=-，故选A ．11．【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】在复平面内，复数1z i =-对应的向量为OP ，复数2z 对应的向量为OQ ，那么向量PQ 对应的复数为（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i -+ D. 1i -- 【答案】D【解析】()()221i 1i 1i PQ z z =-=---=-- ,选D.12．【2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟】已知i 是虚数单位，则满足34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】345z i i -=+=，5z i =+，对应点(5,1)，在第一象限．故选A ． 二、填空题13．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则z =________； 2z =__________．【答案】 5 724i +14．【2017年浙江卷】已知a ，b∈R，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab =________。

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科命题：春晖中学 舟山中学 审核：丽水中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,230A B x x x =-=+->，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}2,3C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2- 2．已知复数2i1iz +=-，则2z z +在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在ABC △中，13BD BC =，若,AB a AC b ==，则AD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b + C ．1233a b - D ．2133a b -4．已知函数()22log y ax x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()1,+∞5．抛物线24y x =的焦点为F ，过点)M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ．若3BF =，则BCAC=（ ） A ．34 B ．45 C ．56 D ．676．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ） A ．124 B ．246 C ．114 D ．1087．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，M N 、是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且29MN π=，则()f π的值为（ ）A B ．1- C ． D ．8．已知四面体ABCD 中，2,120AD BD BCD ==∠=︒，直线AD 与BC 所成的角为60︒，且二面角A CDB --为锐二面角．当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A ．323πB ．163π C ．16π D ．8π二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．9．下列命题成立的是（ ） A ．已知()0,1N ξ~，若(1)P p ξ>=，则()1102P p ξ-≤≤=- B ．若一组样本数据()(),1,2,3,,i i x y i n =的对应样本点都在直线23y x =-+上，则这组样本数据的相关系数r 为1-C ．样本数据64，72，75，76，78，79，85，86，91，92的第45百分位数为78D ．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大 10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为平面ABC 内一动点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在棱AD 上运动，则1A P PC +的最小值为2+B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面1PBC 截正方体所得截面的周长为+C ．若点P 满足11PD DC ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线D ．若点P 在直线AC 上运动，则P 到棱1BC 11．设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．()10g =B ．函数()g x '的图象关于()1,0对称C ．()f x 的周期为4D ．20231()0k g k ==∑12．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且10a >，则下列叙述中正确的是（ ） A ．若1423a a a a +=+，则1q = B ．若213ln ln a a a =+，则0q <C ．若1232aaa e e =+，则1q > D ．若101a <<，且()1231234ln a a a a a a a ++=+++，则1q >非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数()()()41,,12log ,1,xx f x x x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈+∞⎩，则()1f x >的解集为__________． 14．若过点()2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为__________．15．已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为__________．16．已知不等式ln ln x x m x x n -≥+对0x ∀>恒成立，则当nm取最大值时，m =__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知()()sin sin f x x x x =-． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若()3,22f A a ==，求2b c +的取值范围． 18．（本题满分12分）已知四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，,4,2AB DC AB AD DC ===∥，4,BE ADE=△为等边三角形．（1）求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；（2）是否存在一点F ，满足(01)EF EB λλ=<<，使直线AF 与平面BDE 所成的角为60︒？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()()*1312n n S a n =-∈N ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设,,n n n n a n b n a n +⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 的项和2n T ．20．（本小题满分12分）某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺（Dopamine ）的分泌，所以又叫“快乐药”．其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺（Dopamine ）的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪．人体多巴胺（Dopamine ）分泌的正常值是107.2246.6μg/24h -，定义运动后多巴胺含量超过400μg/24h 称明显有效运动，否则是不明显有效运动．树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为1∶2，女生中明显有效运动的人数占1，男生中明显有效运动的人数占34． （1）根据所给的数据完成上表，并依据0.100α=的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说明理由．（2）若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有可能是多少？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为,AB P 、为双曲线上异于A 、B 的任意一点，直线PA PB 、的斜率乘积为13．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线C 的方程；（2）设不同于顶点的两点M N 、在双曲线C 的右支上，直线AM BN 、在y 轴上的截距之比为1:3．试问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 22．（本小题满分12分）已知函数()2e (1)x f x a e x =--有两个极值点()1212,x x x x <．其中,a e ∈R 为自然对数的底数． （1）求实数a 的取值范围；（2）若()()()()121222111ex e x e x x λ+-+-≥--恒成立，求λ的取值范围．2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．三、填空题：本大题共4小题，单空题4分，多空题6分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．()(),04,-∞+∞ 14 15．274 16．e四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）化简得()1cos21sin 22226x f x x x π-⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，得到2,63k x k k ππππ+≤≤+∈Z 所以()f x 的增区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）由()32f A =，得sin 216A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于132666A πππ<+<，所以3262A ππ+=得到23A π=()2sin 2sin sin 2sin 4cos sin 3a b c B C B B B A π⎫⎛⎫+=+=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由于()0,24cos 2,43B b c B π<<+=∈18．解：（1）等腰梯形ABCD 中，4,2A B A D D C ===，得到B D A D ⊥，BD =．由22216BD DE BE +==，得到BD DE ⊥，且AD DE D =，因此BD ⊥平面ADE ，又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面ADE⊥平面ABCD（2）方法一：由（1）知BD ⊥面ADE ，得到面BDE⊥面ADE ．作AH DE ⊥于H 点，有AH ⊥面BDE ．AFH ∠即为直线AF 与面BDE 所成角在直角三角形AHF 中，由AH =60AFH ∠=︒，得到1FH =由1,60EHFH HEF ==∠=︒得1FE =，又4EB =，所以存在14λ=．方法二：以点D 为坐标原点，x 轴，DB 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．其中()()()(0,0,0,2,0,0,,D A B E得到()(0,23,0,DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =由00n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设1z =-，则取()3,0,1n =-又()()1,23,3,,EB EF EBλλ=--==-(()(),AF AE EF λλ=+=-+-=--则cos ,sin 60216AF n AF n AF nλ⋅===︒=，0λ=（舍去）或14所以，14λ= 19．解：（1）由231n n S a =-，得()112312n n S a n --=-≥，两式相减得()132n n a a n -=≥． 令11,1,n a ==∴数列{}n a 成等比数列，13n n a -∴=（2）由于113,3,n n n n n b n n --⎧+=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ()()024222911352133338n n S n n --=++++-+++++=+奇数项1352123436323n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅偶数项①，则35721923436323n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅偶数项②，①-②得：()()13212121319823332322319n n n n S n n -++⋅--=+++-⋅=-⋅-偶数项()22433332n n S -⋅+=偶数项()()2222224333241319183232nn n n n n T n n -⋅++⋅--∴=++=+20．解：（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为1:2，女生中明显有效运动的人数占1，男生中明显有效运动的人数占34，得到下面的列联表： 给定假设0H ：明显有效运动与性别没有关系．由于()()()()()222() 3.75 2.7060.100n ad bc P a b c d a c b d χχ-==>=≥++++， 则根据小概率值0.100α=的2χ独立性检验，有充分的证据推断假设0H 不成立，因此认为明显有效运动与性别存在差异．（2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为13，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为13， 设11人不明显有效运动的人数为X ，则111,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以()()11111110,1,2,1133kkk P x k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是k ，则1111011111111121111111111133331111113333k kk kk k k k k kk k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得34k ≤≤所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4．21．解：（1）设()22000022,,1x y P x y a b -=，则2220022y x a b a -=，又()(),0,,0A a B a -，2200022200013PA PBy y b k k x a x a x a a ∴⋅=⋅===+--， 又焦点到其一条渐近线0bx ax +=1b ==，解得：1a b ==．所以双曲线C 的方程：2213x y -=（2）设直线MN 的方程为()()1122,,,,x my t M x y N x y =+．由2233x my t x y =+⎧⎨-=⎩得()2222121222233230,,33mt t m y mty t y y y y m m --++-=∴+=-=--()),A B，直线:AM y x =+，则直线AM 在y轴上的截距为，直线:BN y x =-，则直线BN 在y，=13AM BM k k ⋅==1=所以11x y =，则(12120x x y y -+=，(()(()22121212120,1(0my t my t y y m y y t m y y t ∴+-++=∴++-++-=，()(22222321(033t mtm t m t m m --∴+⋅+-⋅+=--，化简得：t =t =若t =MN过顶点，舍去．t ∴=则直线MN的方程为x my =+，所以直线MN过定点()E ． 22．解：（1）由于()()e 21x f x a e x '=--， 由题知()0f x '=有两个不同实数根，即()21xe x a e -=有两个不同实数根． 令()()21xe x g x e-=，则()()220x e x g x e -'=≥，解得2x ≤，故()g x 在(],2-∞上单调递增，在[)2,+∞上单调递减，且()()()2lim ,lim 0,2x x g x g x g e→-∞→+∞=-∞==，故()g x 的图象如图所示，当20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x '有两个零点12,x x 且12x x <．则()100f x x x ≥⇔<≤'或2x x ≥，故()f x 在(]10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，()f x 的极大值点为1x ，极小值点为2x ． 故()2e (1)x f x a e x =--有两个极值点时，实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）由于()()()()()()()()()12121212e 2211112111ex x e x x e x e x x x λλ+-+-≥--⇔-+--≥--若设()1122121,10t x t x t t =-=-<<，则上式即为()12122et e t t t λ+-≥⋅由（1）可得1212e 20e 20t t a t a t ⎧=>⎨=>⎩，两式相除得2121e t tt t -=，即2211ln 0t t t t -=>，由()12122et e t t t λ+-≥⋅得()()221121212lnt t t et e t t t t λ-+-≥⎡⎤⎣⎦ 所以()2112212e 2e lnt t t t t t λ+--⋅≤，令()()21221,(1)ln ee t t t t h t t t t+--=>=>，则()h t λ≤在()1,+∞恒成立，由于()()()22222ln 22ln e t e t t e t e h t t t⎡⎤-+---+⎦='⎣， 令()()()222ln 22t e t e t t e t eϕ⎡⎤=-+---+⎣⎦，则()()()22ln 22et e t t e t tϕ=----+'，()()()222ln 222et e t e e tϕ=-+---'+'，显然()t ϕ''在()1,+∞递增， 又有()()1120,e 3e 60eϕϕ=-<'-'-'=>'，所以存在()01,t e ∈使得()00t ϕ''=，且易得()t ϕ'在()01,t 递减，()0,t +∞递增，又有()()210,e e 2e 10ϕϕ==--'>'，所以存在()11,e t ∈使得()10t ϕ=，且易得()t ϕ在()11,t 递减，()1,t +∞递增，又()()1e 0ϕϕ==，则1e x <<时，()()0,0,et h t x ϕ<'<>时，()()0,0t h t ϕ'>>，所以易得(h t 在()1,e 上递减，在()e,+∞上递增，则()2min ()e (e 1)h t h ==-，所以λ的取值范围为(2,(1)e ⎤-∞-⎦．。

一．基础题组1. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知i是虚数单位，复数满足，则为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知条件计算出，继而得到2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】若复数满足（为虚数单位），则__________；__________．【答案】. .【解析】分析：原等式可化成，利用复数的除法可及．详解：由题设有，故，填及．点睛：本题考查复数的四则运算和复数的模，属于基础题．3. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】复数（是虚数单位），则A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：根据复数代数形式的除法运算法则化简，利用复数模长公式求解即可.详解：复数，，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知,a b R ∈，复数z a i =-且11zbi i=++（i 为虚数单位），则ab =__________， z =_________． 【答案】 6ab =- 10z =5. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】若复数（为虚数单位），则的虚部为__________，__________.【答案】 . 5.【解析】分析：先化简复数z,再求z 的虚部和模. 详解：由题得所以复数z 的虚部为4，.故答案为：4；5.点睛：（1）本题主要考查复数的运算，考查复数的模和实部虚部，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)复数的实部是a,虚部是b,不是bi.6. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】若复数z 满足32i z i ⋅=-+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为__________； z = _________． 【答案】 3 13点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,.a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(),a b 、共轭为.a bi -7. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知是虚数单位，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：由题意得，利用复数的运算，即可求解. 详解：由题意，所以，故选D.8. 【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知复数，，则复数__________，__________．【答案】 1【解析】9. 【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A． 1 B．﹣1 C． i D．﹣i【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z，根据复数概念得结果.详解：因为（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，所以因此，虚部为1,选A.10. 【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性】已知是虚数单位)，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得值．11.【浙江省宁波市2018届高三5月模拟】已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：先根据已知求复数z，再求复数z的虚部得解.详解：由题得所以复数z的虚部为.故答案为：C.12. 【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】复数在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由题意可得，对应点为，所以在复平面对应的点在第三象限，选C.13. 【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟】若复数满足（为虚数单位），则________；________．【答案】14. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】设a∈R，若(1＋3i)(1＋a i)∈R（ i 是虚数单位），则a＝（）A． 3 B．－3 C． D．－【答案】B【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算展开，根据实数的特征得虚部为0即可求得值.详解: ，∵，∴，解得，故选：B15. 【浙江省绍兴市2018届高三3月模拟】已知为虚数单位，复数满足，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得. 故选C.16. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】31ii-=+( )A．5B．10 C．10D．5【答案】D【解析】33105112iii i--===++，选D17.【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】设为虚数单位），则为（）A． 3 B． 4 C． 10 D．【答案】D18. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】已知i是虚数单位，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】故选19. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）】已知i是虚数单位，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】故选20. 【浙江省台州中学2018届高三模拟】复数是纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．或【答案】A。