高考数学专题讲解：复数

考法一 高考数学复习专题：复数复数的实部与虚部【例1-1】（2023·山西临汾·统考一模）复数()+=+z i 2i 54i 2)(的虚部为（ ）A ．−3iB ．−6iC ．−3D ．−6【答案】D【解析】+−+−+−−=====−−+−−−−z i(2i)12i (12i)(12i)536i 5(4i )1515(12i)1530i2，虚部为−6.故选：D. 【例1-2】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数=−z 1i ，则+z z212的实部为（ ） A ．101 B ．−101 C ．51D ．−51【答案】A【解析】：因为=−z 1i ，所以+=−+−=−z z 2(1i)2(1i)24i 22， 所以+−−+====+++z z 224i (24i)(24i)20105i 1124i 24i 112，所以+z z 212的实部为101.故选：A.【例1-3】（2023·重庆·统考一模）设复数z 满足+⋅=z z i i 1，则z 的虚部为（ ）A ．−21B ．21C ．−1D ．1【答案】B【解析】设=+∈z a b a b i(,R)，则=−z a b i ，所以+−+a b a b i(i)i=1i， −−+=a b a b (i )i+1，得=b 21，解得=b 21，所以复数z 的虚部为21.故选：B. 考法二 共轭复数【例2-1】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）复数z 满足+=−z (1i)24i 2，则复数z 的共轭复数=z （ ） A ．−12i B ．−−2i C ．−+2i D ．+2i【答案】C【解析】将式子+=−z (1i)24i 2化简可得，()+===−−−−z 1i 2i2i 24i24i2，根据共轭复数定义可知=−+z 2i ，故选:C【例2-2】（2023·陕西西安·统考一模）复数−=z 1i ()2i 2的共轭复数为（ ） A ．−2i B ．−4iC ．2iD ．4i【答案】C 【解析】=−+−+==−+z ((1i)(1i))2i 1[]i 2i(1i)22，则=z 2i ，所以复数−=z 1i()2i 2的共轭复数为2i .故选：C【例2-3】（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知复数z 满足−−+=z z 2i 3i 0，则z 的共轭复数=z （ ） A ．+1i B ．−1i C ．+5i 1D ．−5i 1【答案】B【解析】由−−+=z z 2i 3i 0，得−=−z 12i 3i −+=−+(12i)(12i)(3i)(12i)==++51i 55i ，所以=−z 1i .故选：B考法三 复数的模长【例3-1】（2022·北京·统考高考真题）若复数z 满足⋅=−z i 34i ，则=z （ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】由题意有()⋅−===−−−−−z i i i 43i 34i 34i i )()(，故==z ||5．故选：B ．【例3-2】（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）已知+=−zz 12i 3，则=z （ ）AB ．3C ．2D 【答案】D 【解析】由+=−zz 12i 3，得−=+z z 3i 2i ，−=+z 12i 3i )(，所以()()−−+===++++z 12i 12i 12i 55i 3i 173i 12i )()(，所以=z D ．【例3-3】（2023·全国·模拟预测）若复数z 满足⋅⋅+⋅−=z z z z 1112)()(，则+=z i （ ）AB C ．3D ．5【答案】B【解析】设=+z x y i ，∈x y ,R .所以+⋅−⋅++⋅−+=x y x y x y x y (i)(i)1i 1i 12)()(， 所以+−−+x y x y xy ()(12i)=122222，所以−−−−++=x y x y xy x y 122()i 0442222，所以⎩+=⎨−−−−=⎧xy x y x y x y 2()0120224422，所以⎩+=⎨+−−−=⎧xy x y x y x y 2()0()(1)120222222， 当+=x y 022时，方程组无解；当=≠x y 0,0时，++=y y 12042没有实数解； 当x 0,y=0≠时，−−=∴=∴=±x x x x 120,4,2422,所以=z 2或−2.所以当=z 2时，+=+z i |2；当=−z 2时，+=−+z i |2所以+=z i 故选：B考法四 复数对应的象限【例4-1】（2021·全国·统考高考真题）复数−−13i2i在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】−===−++−+13i 101022i 55i 1i2i 13i )()(，所以该复数对应的点为⎝⎭ ⎪⎛⎫22,11，该点在第一象限， 故选：A.【例4-2】（2023·全国·模拟预测）若复数=−+z a 2i 1i )()(在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．+∞2,)( B ．−∞−,2)( C ．−2,2)( D ．0,2)(【答案】A【解析】由于=−+=+−−=++−z a a a a a 2i 1i 22i i i 22i 2)()()(，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为+−a a 2,2)(，则⎩−<⎨⎧+>a a 2020，解得>a 2，所以实数a 的取值范围为+∞2,)(，故选：A ．【例4-3】（2023·湖南·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数R =−=+∈z z a a 12i,2i 12)(在复平面内对应的点为P ，Q ，若OP OQ ⊥（O 为坐标原点），则实数a =（ ） A ．−2 B ．−1 C ．0 D ．1【答案】D【解析】复数=−=+z z a 12i,2i 12，则−P 1,2)(，Q a 2,1)(，则(1,2OP =−)，(2,1OQ a =)， OP OQ ⊥，∴−=a 220，解得=a 1，故选：D.考法五 复数的分类【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知i 为虚数单位，复数＋＋=z a 2i 1i 3)()(为纯虚数，则=z （ ） A ．0 B ．21C ．2D ．5【答案】D【解析】由题意，在＋＋=z a 2i 1i 3)()(中，=−+=+−+=++−z a a a a a 2i 1i 22i i 221i)()()(∵z 为纯虚数，∴，+=−≠a a 20210，∴=−a 2，∴=−z 5i ∴=z 5，故选：D ． 【例5-2】（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研数学试题）若虚数z 使得z 2+z 是实数，则z 满足（ ） A ．实部是−21B ．实部是21C ．虚部是0D ．虚部是21【答案】A【解析】设=+z a b i （∈a b ,R 且≠b 0）+=+++=+−++=+−++z z a b a b a ab b a b a a b ab b (i)(i)2i i (2)i 222222， +z z 2是实数，因此+=ab b 20，=b 0（舍去），或=−a 21．故选：A ． 【例5-3】（2022秋·江苏南京·高三校考期末）设a 为实数，若存在实数t ，使得+−−t a 2i(1)i 12为实数（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ）A ．≥−a 2B ．0a<C ．≥−a 1D ．−≤≤−a 21【答案】C 【解析】由题知，⎝⎭⎪+−=+−=−−⎛⎫−−−t t t a a a 2i 2i 2(1)i (1)i 1i 111i 2222)(， 因为存在实数t ，使得+−−t a 2i (1)i 12为实数，所以关于t 的方程−−=−t a 21012有实数根， 所以，=+t a 212有实数根，所以=≥+t a 2012，即≥−a 1所以，a 的取值范围是≥−a 1故选：C考法六 相等复数【例6-1】（2022·全国·统考高考真题）设++=a b (12i)2i ，其中a b ,为实数，则（ ） A ．==−a b 1,1 B ．==a b 1,1 C ．=−=a b 1,1 D ．=−=−a b 1,1【答案】A【解析】因为a b ,R ，++=a b a 2i 2i )(，所以+==a b a 0,22，解得：==−a b 1,1．故选：A.【例6-2】（2023·云南红河· ）A ．⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−⎛⎫⎛⎫33cos isin ππB 2i 1C ．−1iD ．3i π【答案】A⎝⎭⎝⎭==211，由⎝⎭ ⎪−==⎛⎫332cos cos 1ππ，⎝⎭⎪−=−=−⎛⎫332sin sin ππ，A 正确，B 、C 、D 错误.故选：A ．考法七 在复数范围内解方程【例7-1】（2022·高一课时练习）复数2i 的平方根是（ ） A ．+1i 或−−1i B ．2iC ．+1iD ．−−1i【答案】A【解析】设2i 的平方根为+∈x y x y i(,R)，则+=x y (i)2i 2，即−+=x y xy 2i 2i 22，从而⎩=⎨−=⎧xy x y 22,0,22解得⎩=⎨⎧=y x 11,或⎩=−⎨⎧=−y x 1.1,所以复数2i 的平方根是+1i 或−−1i ，故选：A【例7-2】（2021·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知复数−i 2是关于x 的方程++=∈x px q p q R 0,2)(的一个根，则+=pi q （ ）A．25 B ．5C D ．41【答案】C【解析】因为复数−i 2是关于x 的方程++=x px q 02的一个根，所以−+−+=i p i q 2202)()(，所以+=+−pi q i p 423，所以==−p q p 4,23，所以==p q 4,5，则+=+=pi q i 45 C.【例7-3】（2021·江苏·一模）已知+i 2是关于x 的方程++=x ax 502的根，则实数a =（ ） A ．−i 2 B ．−4 C ．2 D ．4【答案】B【解析】因为+i 2是关于x 的方程++=x ax 502的根，则另一根为−i 2 由韦达定理得++−=−i i a 22)()(，所以=−a 4 故选：B考法八 复数的综合运用【例8-1】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）复数=−−z 2211，复数z 2满足⋅=z z 112，则下列关于z 2的说法错误的是（ ）A ．=−z 212B ．=z 12C ．z 2D ．z 2在复平面内对应的点在第二象限【答案】C【解析】对于A ，由已知可得，==z z 112==21=−421)(=−21，故A 正确.对于B ，因为=−z 212，所以==z 12，故B 正确；对于C ，根据复数的概念可知z 2，故C 错误；对于D ，根据复数的概念可知z 2在复平面内对应的点为⎝⎭⎪ ⎪−⎛⎫221，故D 正确.故选：C.【例8-2】（2023·高一课时练习）已知z 1、∈z C 2，且=z 11，若+=z z 2i 12，则−z z 12的最大值是（ ）． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【解析】设=+∈z a b a b i,,R 1)(，=z 11，故+=a b 122，+=z z 2i 12，则=−+−z a b 2i 2)(，−=+−===z z a b 222i 12)(∈−b 1,1][，当1b时，−z z 12有最大值为4.故选：C【例8-3】（2023江苏镇江）（多选）已知复数=+z a b i 111，=+z a b i 222（a 1，b 1，a 2，b 2均为实数），下列说法正确的是（ ） A ．若=z z 212，则>z z 12B ．z 1的虚部为b 1C ．若z z =12，则=z z 1222D ．=z z 1122【答案】BD【解析】对于A ，复数不等比较大小，A 项错误；对于B ，复数=+z a b i 111，a 1是实部，b 1是虚部，B 项正确；对于C ，z z =12==−+z a b a b 2i 11111222，=−+z a b a b 2i 22222222，不能得到=z z 1222，所以C 项错误；对于D ，=+z a b 111222，=−+z a b a b 2i 11111222，==+z a b 111222，所以=z z 1122，D 项正确；故选：BD.强化训练1．（2022·全国·统考高考真题）若=−z 1，则−=zz z1（ ）A ．−1 B ．−1C ．−31D ．−31【答案】C【解析】=−=−−=+=z zz 1(1113 4.−==−zz z 131故选 ：C2．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）若复数z 满足+⋅=+z (12i)34i （其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是115 B ．z 的虚部是52C ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限D ．=z 5 【答案】C【解析】由题设++−===−++−z 12i (12i)(12i)55i 34i (34i)(12i)112，==z ||=+z 55i 112, A 选项，z 的实部是511，故A 错误；B 选项，z 的虚部是−52，故B 错误； C 选项，复数z 对应的坐标为⎝⎭⎪⎛⎫55,112，在复平面内对应的点在第一象限，故C 正确；D 选项，z D 错误.故选：C3．（2023秋·江苏·高三统考期末）若复数z 满足≤−z 12，则复数z 在复平面内对应点组成图形的面积为（ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π4【答案】D【解析】z 在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，=S π4，故选：D.4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知R ∈a ，+=+a (5i)i 15i （i 为虚数单位），则a =（ ） A ．−1 B ．1 C ．−3 D ．3【答案】A【解析】由题意知，+=−+=+a a (5i)i 5i 15i ，则=−a 1.故选：A.5．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若复数z 满足−=z z 2i ，则++=z 32i （ ）A B C ．D 【答案】B【解析】+==−z 1i1i 2，则++=+=z 32i 4i B. 6．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知复数=−z 2i ，且−+=z az b i ，，其中a ，b 为实数，则−=a b （ ） A ．－2 B ．0C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意得=+z 2i ，则代入原式得：+−−+=a b 2i 2i i )(，即−+++=a b a i 221i )()(，所以⎩+=⎨⎧−+=a a b 11220，解得⎩=−⎨⎧=b a 20，所以−=a b 2．故选：C ．7．（2023·四川凉山·统考一模）已知复数z 满足=+−z1i 13i，z 是z 的共轭复数，则+z z 等于（ ） A ．−2i B ．−2C ．−4iD ．−1【答案】B【解析】由题意在=+−z 1i 13i 中，()()++−−====−=−−−−++−−z 1i 1i 1i 1i 212i 13i 3i 4i 14i 213i 1i 22)()( ∴=−+z 12i ∴+=−−−+=−z z 12i 12i 2故选：B.8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）若+=z 12i i （i 为虚数单位），则=z （ ）A．5 B CD 【答案】B【解析】由+=z 12i i 得==−+z i2i 12i，所以==z ，故选：B 9．（2023·江苏南通·统考一模）在复平面内，复数z z ,12对应的点关于直线−=x y 0对称，若=−z 1i 1，则−=z z 12（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】C【解析】=−z 1i 1对应的点为1,1，其中1,1关于−=x y 0的对称点为−1,1)(，故=−+z 1i 2，故−=−−=−==z z 1i+1i 22i 12故选：C10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知复数z 满足=+z i21，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】=+z i2=2-i 1，所以z 的共轭复数为=+z 2i ，对应在复平面内的点为（2，1），在第一象限， 故选：A11（2023·陕西榆林·统考一模）已知+−−=−z z z z 282i )()(，则+=z i （ ）A．B ．CD 【答案】A【解析】设R =+∈z a b a b i ,)(，则+−−=+=−=−z z z z z z a b 2342i 82i )()(，则==a b 2,1，故+=+=z i 22i 故选：A12．（2023·贵州毕节·统考一模）已知复数=+++z a a a 1i 2)(为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．0或−1C ．1D ．−1【答案】A【解析】因为复数=+++z a a a 1i 2)(为纯虚数，则⎩+≠⎨+=⎧a a a 1002，解得=a 0.故选：A.13．（2023·全国·模拟预测）已知复数z 满足−=+z z 2537i )(，则z 的虚部为（ ） A ．−1311B ．511 C ．1329 D ．−529 【答案】C【解析】对−=+z z 2537i )(移项并整理，得−=+z 23i 57i )(， ∴()()−−+===−++++z 23i 23i 23i 1313i 57i 112957i 23i )()(，∴z 的虚部为1329.故选：C. 14．（2022·全国·统考高考真题）若=+z 1i ．则+=z z |i 3|（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为=+z 1i ，所以+=++−=−z z i 3i 1i 31i 22i )()(，所以+==z z i 3 故选：D.15．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）若复数R +=∈+z a a 3i3i)(是纯虚数，则=z （ ） A ．−1 B ．−iC ．−a iD ．3i【答案】B 【解析】==+−++−z a a a 10103i 3i 339i )()()(为纯虚数，=−=a z 1,i ，=−z i ，故选：B .16．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）i 是虚数单位，设复数z 满足−=+z i 113i )(，则z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为+==13i 2，所以−−+−====−+++−+z i 1(i 1)(i 1)222i 23i (23i)(i 1)15i 15， 所以=+z 22i 15，所以z 的共轭复数对应的点位于第一象限，故选：A 17．（2023秋·浙江·高三期末）已知复数=+∈=z b b z i2i(R),212（其中i 为虚数单位），若−z z 12=b （ ） A ．1 B ．−5 C ．1或−5 D ．−1或5【答案】C【解析】由题意得==−z i2i 22，则−=++z z b 2(2)i 12，所以−==z z 12−b =5或=b 1，故选：C18．（2023广东深圳）设复数z 满足⋅+=−+z 12i 34i )(，则z 的虚部为（ ） A ．−2i B ．2iC ．−2D ．2【答案】D【解析】由⋅+=−+z 12i 34i )(可得++====−−−+z 12i 12i 512i 55(12i)34i ，故=+z 12i ，则z 的虚部为2，故选：D19．（2022·山东济南·山东省实验中学校考模拟预测）虚数单位i 的平方根是（ ） A ．−1B．−−i 22C+22D．+22或 【答案】D【解析】设i 的平方根为+∈a bi a b R (,)，则+=−+=a bi a b abi i ()2222，所以⎩=⎨−=⎧ab a b 21022，解得⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=⎧b a 22或⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=−⎧b a 2． 所以i的平方根为+i 22或−22． 故选：D ．20．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）若复数z 满足+−=+z z z z 2+323i )()(，则z =（ ） A ．+22i 11B ．−22i 11C ．+22iD ．−22i【答案】A【解析】设=+∈z a b a b i ,R )(，则=−z a b i ，所以+=++−=z z a b a b a i i 2)()(，−=+−−=z z a b a b b i i 2i )()(，所以+−=++z z z z a b 2+346i=23i )()(，所以===+a b z 2222,,i 1111.故选：A 21．（2023·广东佛山·统考一模）设复数z 满足+=−z 1i 52i 2)(，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵+=−z 1i 52i 2)(，则()+===−−−−z 1i 2i 21i 52i52i 52，∴z 在复平面内对应的点为⎝⎭ ⎪−−⎛⎫21,5，位于第三象限.故选：C.22．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知复数+z1i 为纯虚数，且+=z 1i1 ，则z =（ ） A ．−1i B ．+1i C ．−+1i 或−1i D ．−−1i 或+1i【答案】C【解析】设=+z a b i (a ，b ∈R )，则++===+++−+−z a b a b b aa b 1i 1i 222i i i 1i )()( ， 因为复数+z 1i 为纯虚数，所以⎩⎪≠⎪−⎨⎪⎪=⎧+b a a b 20,20,解得⎩≠⎨⎧=−a b a b ,, 又+=z 1i 1，所以=−b a 21或=−−b a21，解得=b 1或1b ，所以=−+z 1i 或=−z 1i ．故选:C23．（2023·安徽马鞍山·统考一模）若复数z 满足−=−zz z i 3i ，则z 的虚部为（ ） A ．−1 B ．2C ．1或2D ．−1或2【答案】D【解析】设复数=+∈z a b a b i(,R)，因为−=−zz z i 3i ，即+−−=−a b a b i 3i 22，所以⎩=⎨+−=⎧a a b b 1322，解得：1b或=b 2，所以z 的虚部为−1或2，故选：D .24．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知复数z 满足−=z (12i)i 2023，则=z （ ） A ．−55i 21 B ．+55i 21C ．−55i 12D ．+55i 12【答案】A【解析】因为=⨯=−ii ii 202321011)(，所以()()−−−+====−−−+z 12i 12i 12i 12i 55i i i 21i 12i 2023)(，故选：A. 25．（2023·河南郑州·统考一模）已知i 是虚数单位，若复数z 的实部为1，⋅=z z 4，则复数z 的虚部为（ ）A．B ．C ．−1或1D ．【答案】A【解析】由题意，设=+z b 1i ，则=−z b 1i ，所以⋅=+−=z z b b 1i 1i 4)()(，即+=b 142，所以=b =−z 1或z =+1，所以复数z 的虚部为故选：A.26．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知复数=++z 1i i 3)(，则复数z 的模为（ ）AB ．CD 【答案】C【解析】因为=++=−+z 2i(1i)i 23i ，所以=z C.27．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知复数=−z i 12的共轭复数为z ，则−=z i2（ ） A ．−1i B ．+2iC ．+1iD ．−+1i【答案】A【解析】由题知=+z 12i ，所以−+==−z i1i 1i 22故选：A 28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知复数=−z 12i 1，=+z 1i 2，则复数z z 12的模z z 12等于（ ）A B C ．D ．【答案】B【解析】复数=−z 12i 1，=+z 1i 2，则=−+=−z z (12i)(1i)3i 12，所以==z z 12故选：B29．（2023·广东梅州·统考一模）已知复数z 满足z +=−1i 2i )(，i 是虚数单位，则z 在复平面内的对应点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由z +=−1i 2i )(可得+===−−−−−z 1i 21i 2i (2i)(1i)， 则z 在复平面内的对应点为−−(1,1)，落在第三象限，故选：C 30．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知z 是纯虚数，−+z 1i2是实数，那么=z （ ） A ．2i B ．iC ．−iD ．−2i【答案】A【解析】因为z 是纯虚数，故可设）=≠z b b i(0，所以()()−−−+=+−−+z b b 1i 1i 1i 1i =22i 2i 1i )()(=++−b b 222i)(，因为−+z 1i 2是实数，所以−=b 20，即=b 2，所以=z 2i .故选：A31．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设a 为实数，若存在实数t ，使+−−t a 2i(1)i i2为实数(i 为虚数单位)，则a 的取值范围是（ ） A ．≥−a 2 B ．0a< C ．≤−a 1 D ．≤−a 2【答案】A 【解析】⎝⎭⎪+−+−−−+−−+−−⎛⎫−−−t t t t a a a a 2i 222221i=1i=i 1i=1i i11i i 2222)()()()()(， 因为存在实数t ，使+−−t a 2i (1)i i 2为实数，a 为实数，所以存在实数t ，−−=t a2102，故存在实数t ，−=t a 222， 所以≥−a 2，故选：A.32．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）设复数z 满足+=z i 2，z 在复平面内对应的点为x y ,)(，则（ ） A ．−+=x y 1422)( B ．++=x y 1422)( C ．+−=x y 1422)( D ．++=x y 1422)(【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为，x y ()，则复数=∈z x y x y +i,,R ，则+=++=z x y i (1)i 2，由复数的模长公式可得++=x y (1)422，故选：D ．33．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）设复数z 满足−=−z z z 1，则z 在复平面上对应的图形是（ ） A ．两条直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线【答案】A【解析】设=+z x y i ，则=−z x y i ，−=−z z z 1可得：−+=x y y 12222)()(，化简得：−=x y 1322)(，即−=x y 13或−=−x y 13，则z 在复平面上对应的图形是两条直线.故选：A34．（2022春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考开学考试）满足条件−=+z i 34i （i 是虚数单位）的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】B【解析】因为+==34i 5，设=+z x y i ∈x y ,R )(，所以−=+−z x y i 1i )(，所以i −==z 5，两边平方得+−=x y 12522)(，满足条件的复数在复平面上对应的点的轨迹是圆， 故选：B35（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知复数z 满足+=+ααz 1i sin i cos )(（i 是虚数单位），则=z （ ）A ．21B C ．2D ．1【答案】B【解析】因为+=+ααz 1i sin i cos )(， 所以()()++−===+++−++−ααααααααz 1i 1i 1i 22i sin i cos sin cos sin cos sin i cos 1i )()(，解得==z 故选：B36．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知复数+1i 是关于x 的方程++=∈x px q p q 0(,R)2的一个根，则+=p q i （ ）A．4 B ．C ．8D ．【答案】D【解析】因为复数+1i 是关于x 的方程++=x px q 02的一个根，所以⎩+=⎨++++=⇒+++=⇒⎧+=p p q p q p p q 201i 1i 02i 002)()()(，解得=−=p q 2,2，所以+==p qi另解：因为复数+1i 是关于x 的方程++=∈x px q p q 0(,R)2的一个根， 所以复数−1i 也是关于x 的方程++=∈x px q p q 0(,R)2的一个根， 所以有++−==−+−==p q 1i 1i 2,1i 1i 2)()(解得=−=p q 2,2，所以+=p qi 故选：D37．（2023·全国·模拟预测）若复数=+++⋅⋅⋅+z n i i i i 23，∈n N *则z 的最大值为（ ）A．1 B C D ．2【答案】B【解析】因为=i i 1，=−i 12，=−i i 3，=i 14，，=+k i i 41，=−+k i 142，=−+k i i 43，=k i 14，∈k N ，且+++=i i i i 0234，所以当=n k 4，∈k N *)(时=z 0，则=z 0，当=+n k 41，∈k N )(时=z i ，则=z 1，当=+n k 42，∈k N )(时=−+z 1i ，则==z当=+n k 43，∈k N )(时=−z 1，则=z 1，所以z 故选：B38．（2021秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）已知函数+=−−x f x x 1()log (1)212的定义域为A ,复数−=−−z a 12ii 3i,若∈a A ,则z ||的取值范围是( )A ．<z 1B ．≤<z 1C ．≤≤z 1D ．<≤z 1【答案】B 【解析】由+−>−x x 11021,得+>−+x x 102,即−<<x 12,所以=−A (1,2) 因为复数−=−=−+−=+−−z a a a 12i 5i (3i)(12i)i 1(1)i 3i 1所以z ||因为∈−a (1,2),所以z || 故选：B39．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）设z 1，z 2为复数，下列命题一定成立的是（ ）A ．如果=z a 1，a 是正实数，那么=z z a 112B ．如果z z =12，那z z =±12C ．如果≤z a 1，a 是正实数，那么−≤≤a z a 1D ．如果+=z z 01122，那么==z z 012 【答案】A【解析】设）（，=+=+∈z x y z x y x y x y i,i ,,,R 1112221122，对A ：∵==z a 1，则+=x y a 11222，∴=+−=+=z z x y x y x y a i i 11111111222)()(，A 正确；对B ：∵z z =12=+=+x y x y 11222222，不能得到=±=±x x y y ,1212，更不能得到z z =±12，例如==z z 1,i 12，则==z z 112，但≠±z z 12，B 错误；对C ：∵=z a 1，则+≤x y a 11222，但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C 错误；对D ：∵+=z z 01122，则+++=−++−+=+−−++x y x y x y x y x y x y x x y y x y x y i i 2i 2i 2i=0112211112222121211222222222222)()()()()()(，可得⎩+=⎨+−−=⎧x y x y x x y y 00112212122222，不能得到====x y x y 01122，例如==z z 1,i 12，则+=−=z z 1101122，但显然≠≠z z 0,012，D 错误.故选：A.40．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知复数1232023i i i i 1i +++++=z ，则复数z 的虚部是（ ） A ．21B ．−21C ．2i 1D ．−2i 1【答案】A 【解析】1232023i i i i 1i 1i 1i++++===+++−−+−−+++++++z i 1i 505i 1i 1i i i 505i i i i 1231234)()()()(+===−−+−−1i 2211i1i )(，故虚部为21 ，故选：A 41．（2022春·广西）下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ）A ．若关于x 的方程+++−=∈i x ax i a R 11402)()(有实根，则=−a 25B ．复数z 满足+=z i i12020)(，则z 在复平面对应的点位于第二象限C ．=−+++z a a a i 412312)(，=++i z a a a 222)(（i 为虚数单位，∈a R ），若>−a 21，则>z z 12D ．+i 12是关于x 的方程++=x px q 02的一个根，其中p ､q 为实数，则=q 5 【答案】D【解析】对于A 中，设方程的实数根为t ，代入方程可得+++−=i i t at 11402)(，所以⎩−=⎨++=⎧t t at 401022，解得=±a 25，所以A 不正确；对于B 中，复数+=z i i 12020)(，可得==−++=i i i i z 12112112020，则复数z 在复平面内对应的点为−22(,)11，位于第四象限，所以B 不正确；对于C 中，复数=−+++z a a a i 412312)(，=++i z a a a 222)(，当>−a 21时，可知当+≠a a 02时 ，因为虚数不能比较大小，所以C 不正确；对于D 中，+i 12是关于x 的方程++=x px q 02的一个根， 根据复数方程的性质，可得−i 12也是方程的根，可得⎩+−=⎨⎧++−=−i i q i i p (12)(12)1212，解得=−=p q 2,5，所以D 正确.故选：D.42．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）（多选）已知i 为虚数单位，复数，，=−=+∈z a z a a 2i 2i R 12)(，下列结论正确的有（ ）A ．z z =12B ．=z z 12C ．若+=⋅z z z z 21212)(，则=a 2D ．若=−z i 2，则=a 0 【答案】AC【解析】A 选项，==z z 12，A 选项正确. B 选项，=+≠z a z 2i 12，B 选项错误. C 选项，+=++−z z a a 22424i 12)()(， ⋅=+−z z a a 44i 122)(，若+=⋅z z z z 21212)(，则⎩−=−⎨⎧+=a a a a 2442442，解得=a 2，所以C 选项正确. D 选项，当=a 0时，=≠−z 2i 2，所以D 选项错误. 故选：AC43．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）（多选）设i 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ） A ．=⋅z z z z 1212B ．若z z ,12互为共轭复数，则z z =12C ．若z z =12，则=z z 1222D ．若复数=++−z m m 11i )(为纯虚数，则=−m 1【答案】ABD 【解析】由题意得：对于选项A ：令=+=+z a b z c d i,i 12则⋅=++=−++z z a b c d ac bd ad bc i i i 12)()()( =−++ac bd ad bc 22)()(=⋅z z 12所以=⋅z z z z 1212，故A 正确；对于选项B ：令=+=−z a b z a b i,i 12，z z 12z z =12，故B 正确；对于选项C ：令=+=−z a b z a b i,i 12，==z z 12，根据复数的乘法运算可知：=+=−+z a b a b ab i 2i 12222)(，=−=−−z a b a b ab i 2i 22222)( ，≠z z 1222，所以C 错误；对于选项D ：若复数=++−z m m 11i )(为纯虚数，则+=m 10，即=−m 1，故D 正确. 故选：ABD44．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）（多选）若复数=+z i 121，=−z 73i 2，则下列说法正确的是（ ）．A ．=z 1B ．在复平面内，复数z 2所对应的点位于第四象限C ．⋅z z 12的实部为13D ．⋅z z 12的虚部为−11 【答案】ABC【解析】由题意得，==z 1A 正确；在复平面内，复数z 2所对应的点为−7,3)(，位于第四象限，故B 正确； ∵⋅=+−=−++=+z z 12i 73i 73i 14i 61311i 12)()(， ∴⋅z z 12的实部为13，虚部为11，故C 正确，D 错误． 故选:ABC ．45．（2023秋·浙江宁波·高三期末）（多选）已知∈z z C ,12，且=+=z z z 10112，则（ ）A ．当R =−=+∈z z x y x y 1i,i(,)12时，必有++−=x y (1)(1)1022B ．复平面内复数z 1C ．−=z i 1min 1D ．=+z z 1max12【答案】BD【解析】A 项：+=⇒++−=z z x y 10111001222)()(，故错误；B 项：因为=z 1，故正确；C 项：−≥−=z i z i ||||111，当z 1与i 对应向量同向时取等，故错误；D 项：==≤==+z z 112+z z 12与z 1对应向量反向时取等，故正确. 故选：BD.46．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．−=+−z z z z z z 412121222)(B ．−z z 11是纯虚数或零C ．+≤+z z z z 1212恒成立D ．存在复数z 1，z 2，使得<z z z z 1212【答案】BC【解析】对于A ：+−=−z z z z z z 412121222)()(，令−=+z z x y i 12， 则−=+=−+z z x y x y xy i 2i 122222)()(，−==+z z x y 12222，+xy 22与−+x y xy 2i 22不一定相等，故A 错误；对于B ：=+z a b i 1，则=−z a b i 1，−=z z b 2i 11，当=b 0时为零，当≠b 0时为纯虚数，故B 正确；对于C ：=+=+==z x y z a b z z i,i,1212则+=z z 12+=z z ||||12，(ay bx −≥02),则+−≥a y b x abxy 202222，∴+++≥++a x b x a y b y a x b y abxy 442222222222222)()(∴++≥+x y a b ax by 42222222)()()(∴+ax by 22∴++++≥+++++x y a b x y a b ax by 2222222222，∴≥22，∴+−+≥z z z z ||||0121222)()(故C 正确；对于D ：设=+=+==z x y z a b z z i,i,1212则z z ||||12=+++=−++z z ax xb ay by ax by xb ay i i i i 122)()(==z z 12z z ||||12，故D 错误.故选：BD.47．（2022秋·甘肃甘南）（多选）已知=+∈z a b a b i ,R )(为复数，z 是z 的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）A ．若z 2为纯虚数，则=≠a b 0B ．若∈z R 1，则∈z RC ．若−=z i 1，则z 的最大值为2D ．⋅=z z z ||2【答案】BCD【解析】对于A ，=+=−+z a b a b ab (i)2i 2222)(为纯虚数，所以⎩≠⎨−=⎧ab a b 20022，即=±≠a b 0，所以A 错误；对于B ，()()++−++===−−z a b a b a b a b a ba b a bi i i i 11i 2222， 因为∈zR 1，所以=b 0，从而∈z R ，所以B 正确；对于C ， 由复数模的三角不等式可得=−+≤−+=z z z i i i i 2)(，所以C 正确；对于D ，⋅=+−=+=z z a b a b a b z i i ||222)()(，所以D 正确.故选：BCD ．48．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）（多选）已知复数z 1，z 2，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．若=z z 012，则=z 01或=z 02B ．若+=z z 01222，则==z z 012 C ．若=z z 1222，则z z =12D ．若z z =12，则=z z 1222【答案】AC【解析】对于A ， 设=+=+∈z x y z a b x y a b i,i,,,,R 12)(， 若=z z 012，则=++=−=z z x y a b xa yb xb ya i i ++i 012)()()(，所以⎩=⎨⎧−=xb ya xa yb +00，即⎩=−⎨⎧=xb ya xa yb，所以=−x y ab ab 22，若0a b ，则=−x y ab ab 22成立，此时=z 02；若，=≠a b 00，由=xa yb 得=y 0，由=−xb ya 得=x 0，此时=z 01； 若，≠≠a b 00，由=−x y ab ab 22得=−x y 22，所以==x y 0，此进=z 01， 所以若=z z 012，则=z 01或=z 02，故A 正确；对于B ，设=+=−z z 1i,1i,12则+=+−=z z 1i +1i 0122222)()(，故B 不正确； 对于C ，设=+=+∈z x y z a b x y a b i,i,,,,R 12)(，所以=+−=−∈z x y x y xy z a b ab x y a b i =+2i,+2i ,,,R 12222222)()(，若=z z 1222，则⎩⎩==⎨⎨⇒⎧−=−⎧=xy ab y b x y a b x a 222222或⎩=−⎨⎧=−y b x a ， 所以z z =12，故C 正确；对于D ， 由z z =12，取=+z 1i 1，=−z 1i 2满足条件，而=≠=−z z 2i 2i 1222，故D 不正确. 故选：AC.49．（2023·高一课时练习）在复平面上的单位圆上有三个点Z 1，Z 2，Z 3，其对应的复数为z 1，z 2，z 3．若−=+=z z z 1213△Z Z Z 123的面积S ＝______．【解析】由题意知，===z z z 1123， 由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，得⋅∠==−+−−z z Z OZ z z z z 22cos 112121212222，即∠=︒Z OZ 12012，⋅∠=−=+−+z z Z OZ z z z z 22cos 113131313222，即∠=︒Z OZ 6013，当OZ 2与OZ 3反向，=⨯⨯=S 22221；当线段OZ3在∠Z OZ12的内部时，==S2211所以△Z Z Z123..50（2023·高三课时练习）已知复数=−θz cos i1，=+θz sin i2，则⋅z z12的最大值为______．【答案】23【解析】⋅=⋅== z z z z1212===∵∈θsin20,12][，∴当=θsin212时，⋅z z12=23.故答案为：23.51．（2023·=______．====21)52．（2023·高一课时练习）设z 1，z 2，∈z C 3，下列命题中，假命题的个数为______． ①z z −=11；②若=z z 1222，则⋅=⋅z z z z 1122；③⋅=z z z z z z 3333121222； ④若−+−=z z z z 0122322)()(，则==z z z 123；⑤+≤z z z z 2121222．【答案】2【解析】令+z a b =i 1，+z c d =i 2，则−z a b =i 1,−z c d =i 2.则①−==z z 11，判断正确；②若=z z 1222，则=z z 1222，则=z z 1222又⋅=z z z 1112，⋅=z z z 2222，则⋅=⋅z z z z 1122.判断正确；③==⋅z z z z z z z z z 333333121212222.判断正确； ④若令z =2i 1，z =i 2，+z =1i 3，则−+−=−+=z z z z 110122322)()(， 但此时≠≠z z z 123.判断错误； ⑤当+z =23i 1，+z =2i 2时，=<+−=−=−z z z z z z 22i 402212121222)()(，即+>z z z z 2121222.判断错误.故答案为：253．（2023·上海·统考模拟预测）设∈z z ,C 12且=⋅z z i 12，满足−=z 111，则−z z 12的取值范围为_____．【答案】⎣⎡0,2【解析】设=+=+∈z a b z c d a b c d i,i,,,,R 12，=−z c d i 2，则+=⋅−=+a b c d d c i i i i )(，所以⎩=⎨⎧=b c a d ，−=−+==z a b 11i 11)(，所以−+=a b 1122)(，即z 1对应点a b ,)(在以1,0)(为圆心，半径为1的圆−+=x y 1122)(上.=+=+z c d b a i i 2，z 2对应点为b a ,)(，a b ,)(与b a ,)(关于=y x 对称，所以点b a ,)(在以0,1)(为圆心，半径为1的圆+−=x y 1122)(上，−z z 12表示a b ,)(与b a ,)(两点间的距离，圆−+=x y 1122)(与圆+−=x y 1122)(，如图所示，所以−z z 12的最小值为0+=112所以−z z 12的取值范围为⎣⎡0,2.故答案为：⎣⎡0,254．（2023·高三课时练习）复数z 1与z 2在复平面上对应的向量分别为OZ 1与OZ 2，已知=z i 1，OZ OZ ⊥12，且=OZ OZ 12，则复数=z 2______.【答案】1或−1【解析】依题意，(3,1)OZ =1，设(,)OZ x y =2，由OZ OZ ⊥12得：30OZ OZ ⋅=+=x y 12，由=OZ OZ 12得：+=x y 422，联立解得⎩⎪=⎨⎪⎧=y x 1⎩⎪⎨⎪⎧=−y x 1(1,3)OZ =−2或(1,3)OZ =−2，所以=z 12或=−z 12.故答案为：1或−155（2023·高三课时练习）已知复数z 满足−−≤−−+z z 12log 11121，则z 在复平面上对应的点Z所围成区域的面积为______． 【答案】π21 【解析】12log 1,2,215z z z z −+−+−−−−≤−∴≥<−≤z 12121111，∴=−=s π(52)21π22. 故答案为: π2156（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知=+z x y i ，x 、∈y R ，i 是虚数单位.若复数++z1ii 是实数，则z ||的最小值为______.【【解析】复数++−+=+=+=++−++−+−+z x y x y y x x y y x 1i (1i)(1i)222i i i i (i)(1i)()i 2是实数， 所以=−+y x 202，得=+x y 2.所以===≥z ||当且仅当=−y 1，=x 1取等号，所以z ||.。

专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。

高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。

2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。

二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。

三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。

复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。

复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。

此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。

复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。

通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。

高考数学冲刺复数考点全面解析在高考数学的征程中，复数是一个不可或缺的重要考点。

对于即将踏入高考考场的同学们来说，透彻理解和熟练掌握复数相关知识，无疑是取得优异成绩的关键一步。

接下来，让我们一起对高考数学中复数这一考点进行全面而深入的解析。

首先，我们要明确什么是复数。

复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和b 均为实数，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。

在复数中，a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。

复数的四则运算规则是我们必须要掌握的重点。

加法：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i减法：（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i乘法：（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i除法：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（ac ＋ bd) ／（c²＋ d²) ＋（bc ad) ／（c²＋ d²)i在进行四则运算时，要特别注意 i²＝－1 的运用，以及合并实部和虚部。

复数的几何意义也是一个重要的知识点。

在复平面上，复数可以用点来表示，实部 a 对应横坐标，虚部 b 对应纵坐标。

复数的模长|z| ＝√（a²＋ b²)，表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。

共轭复数同样不容忽视。

对于复数 z ＝ a ＋ bi，其共轭复数为z＝a bi。

共轭复数在复数的运算和性质研究中有着重要的作用。

接下来，我们看看高考中关于复数的常见题型。

一是复数的概念与分类。

会给出一个复数，要求判断它是实数、虚数还是纯虚数。

这就需要我们根据实部和虚部的取值来进行判断。

如果虚部为 0，就是实数；如果实部为 0 且虚部不为 0，就是纯虚数；否则就是虚数。

二是复数的四则运算。

通常会给出两个或多个复数，要求进行加、减、乘、除运算，然后求出结果的实部和虚部。

高考数学知识点速记复数的运算与性质在高考数学中，复数是一个重要的知识点。

复数的运算与性质不仅是数学学科中的基础内容，也是解决许多数学问题的有力工具。

让我们一起来快速了解一下复数的运算与性质。

一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（＼（a\）、＼（b\）均为实数）的数称为复数，其中\（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。

当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）就是实数；当\（b ≠ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ≠ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为纯虚数。

二、复数的几何意义在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，建立复平面。

复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a, b)＼），向量\（＼overrightarrow{OZ}＼）的坐标也是\（（a, b)＼）。

三、复数的运算1、复数的加法设\（z_1 ＝ a ＋ bi\），＼（z_2 ＝ c ＋ di\），则\（z_1 ＋ z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）。

复数的加法满足交换律和结合律，即\（z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1\），＼（（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＼）。

2、复数的减法＼（z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i\）3、复数的乘法＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2 ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi^2}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼end{align}＼四、复数的性质1、共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.5复数最新考纲1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．(×)(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)题组二教材改编2．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于()A ．0 B.12C ．1D.2答案C 解析∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是()A ．1－2i B ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案D解析CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1答案A解析∵z 为纯虚数，2－1＝0，－1≠0，∴x ＝－1.题组三易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析∵复数a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．(2020·模拟)若复数z 满足i z ＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析由题意，∵z ＝2－2i i ＝(2－2i )·(－i )i·(－i )＝－2－2i ，∴z ＝－2＋2i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B.7．i 2014＋i 2015＋i 2016＋i 2017＋i 2018＋i 2019＋i 2020＝________.答案－i解析原式＝i 2＋i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝－i.题型一复数的概念1．(2018·武汉华中师大一附中月考)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则复数z 的虚部为()A.35B ．－35C.35i D ．－35i答案B解析因为(1＋2i)z ＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋2i＝(1－i )(1－2i )5＝－1－3i5，因此复数z 的虚部为－35，故选B.2．(2019·钦州质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是()A ．－32＋12iB ．－32－12iC.32－12iD.32＋12i 答案D解析由复数2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ，所以共轭复数为32＋12i ，故选D.3．(2018·烟台模拟)已知复数a ＋2i2－i是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 等于()A ．－4B ．4C ．1D ．－1答案C解析a ＋2i 2－i ＝(a ＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2a －2＋(a ＋4)i5，∵复数a ＋2i2－i为纯虚数，∴2a －2＝0且a ＋4≠0，解得a ＝1.故选C.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于()A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i －i －i 2＝3＋i.(2)i (2＋3i )等于()A ．3－2iB ．3＋2iC ．－3－2iD ．－3＋2i答案D解析i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D.命题点2复数的除法运算例2(1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i等于()A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案D解析1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z (1＋i)＝1－i ，则z 等于()A ．iB ．－iC ．1＋iD ．1－i答案A解析由题意，复数z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－i ，所以z ＝i ，故选A.命题点3复数的综合运算例3(1)(2018·达州模拟)已知z (1＋i)＝－1＋7i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|z |等于()A.2B ．3＋4i C ．5D ．7答案C解析z ＝－1＋7i 1＋i＝(－1＋7i )(1－i )2＝3＋4i ，故z ＝3－4i ⇒|z |＝5，故选C.(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③|αβ|＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，故②正确；③|αβ|＝|－i |＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i －1＋1＋2i －1＝0，故④正确．故选C.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1(1)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋a i ，z ·z ＝4，则a 为()A ．1或－1B ．1C ．－1D ．不存在的实数答案A解析由题意得z ＝3－a i ，故z ·z ＝3＋a 2＝4⇒a ＝±1，故选A.(2)(2018·潍坊模拟)若复数z 满足z (2－i)＝(2＋i)·(3－4i)，则|z |等于()A.5B ．3C ．5D ．25答案C解析由题意z (2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i ，则z ＝10－5i 2－i ＝(10－5i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5，所以|z |＝5，故选C.题型三复数的几何意义例4(1)(2018·天津河东区模拟)i 是虚数单位，复数1－ii在复平面上对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析由题意得1－i i ＝(1－i )i i 2＝1＋i－11－i ，因为复数－1－i 在复平面上对应的点在第三象限，故选C.(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③B 点对应的复数．解①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练2(1)(2018·洛阳模拟)已知复数z ＝5i 3＋4i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的点在()A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案A解析∵z ＝5i 3＋4i ＝5i·(3－4i )(3＋4i )·(3－4i )＝45＋35i ，∴z ＝45－35i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第四象限．故选A.(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．答案5解析由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，x ＋y ＝3，x －y ＝－2，＝1，＝4，故x ＋y ＝5.1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2等于()A ．－8－6iB ．－8＋6iC ．8＋6iD ．8－6i答案C解析∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i 2＝8＋6i.2．(2018·聊城模拟)设复数z ＝(1－i )21＋i，则|z |等于()A ．4B ．2 C.2D ．1答案C解析z ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－i(1－i)＝－1－i ，|－1－i|＝2，故选C.3．(2018·海淀模拟)已知复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则()A ．z ＋1是实数B ．z ＋1是纯虚数C ．z ＋i 是实数D ．z ＋i 是纯虚数答案C解析由题意得复数z ＝1－i ，所以z ＋1＝2－i ，不是实数，所以选项A 错误，也不是纯虚数，所以选项B 错误．所以z ＋i ＝1，是实数，所以选项C 正确，z ＋i 是纯虚数错误，所以选项D 错误．故选C.4．已知i 为虚数单位，若复数z 满足z ＋iz －i＝1＋i ，那么|z |等于()A ．1 B.2C.5D ．5答案C解析∵z ＋i z －i＝1＋i ，z ＋i ＝(1＋i)(z －i )，i z ＝(2＋i)i ，∴z ＝2＋i ，∴|z |＝1＋4＝5，故选C.5．(2018·成都七中模拟)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若i －2a －i为纯虚数，则a 等于()A.12B ．－12C ．2D ．－2答案B 解析由题意知i －2a －i ＝(i －2)(a ＋i )(a －i )(a ＋i )＝(－2a －1)＋(a －2)i a 2＋1＝－2a －1a 2＋1＋a －2a 2＋1i ，又由i －2a －i为纯虚数，所以－2a －1＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，故选B.6．若复数z 满足(3＋4i )z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于()A ．－15－75iB ．－15＋75iC ．－125－725iD ．－125＋725i 答案D解析由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i ，故选D.7．(2018·济南模拟)设复数z 满足z (1－i)＝2(其中i 为虚数单位)，则下列说法正确的是()A ．|z |＝2B ．复数z 的虚部是i C.z ＝－1＋iD ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限答案D解析z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝2，复数z 的虚部是1，z ＝1－i ，复数z 在复平面内所对应的点为(1,1)，显然在第一象限．故选D.8．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案3或6解析∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．9．(2018·江苏)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．答案2解析由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii＝2－i ，∴z 的实部为2.10．(2018·天津)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________.答案4－i解析6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.11．已知复数z 满足z ＋3z ＝0，则|z |＝________.答案3解析由复数z 满足z ＋3z＝0，则z 2＝－3，所以z ＝±3i ，所以|z |＝ 3.12．若复数z ＝1－i ，则z ＋1z 的虚部是________．答案－12解析z ＋1z ＝1－i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 2＝32－12i ，故虚部为－12.13．(2018·厦门质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝i 3，则|z |＝________.答案22解析由题意知z ＝i 31－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－i ＋12＝12－12i ，则|z |＝22.14．(2019·天津调研)已知i 为虚数单位，复数z (1＋i)＝2－3i ，则z 的虚部为________．答案－52解析由z (1＋i)＝2－3i ，得z ＝2－3i 1＋i ＝(2－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－5i 2＝－12－52i ，则z 的虚部为－52.15．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解(1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，2－4>0，4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．16．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝又z ＋3＝a ＋3＋b i 的实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，0，＋3＝－b ，因为b ≠02＋b 2＝5，＝－b －3，＝－1，＝－2＝－2，＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.17．(2018·威海模拟)若复数a ＋i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案C 解析由题意得z ＝a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2，因为z 在复平面内对应的点在第一象限，＋1>0，－a >0，所以－1<a <1.故选C.18．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋3i 3＋i∈R ，则复数z ＝________.答案3解析∵复数z ＝a ＋3i 3＋i ＝(a ＋3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3(1＋a )＋(3－a )i 4＝3(1＋a )4＋3－a 4i ∈R ，∴3－a 4＝0，即a ＝3.则复数z ＝3(1＋a )4＝434＝ 3.19．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是()A ．[－1,8] B.－916，1C.－916，7 D.916，7答案A 解析由复数相等的充要条件可得＝2cos θ，－m 2＝λ＋4sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋4sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－4sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－4sin θ＋4＝4sin 2θ－4sin θ＝θ－1，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－4sin θ∈[－1,8]．20．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则a ＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．。

上海高考数学复数知识点复数，作为高考数学中的一个重要概念，广泛应用于各个数学分支中。

对于上海高考来说，对复数的理解和应用是考生必备的数学知识之一。

本文将全面介绍上海高考数学中的复数知识点，帮助考生更好地掌握这一内容。

一、复数的引入1. 实数的不完备性在高中数学中，我们知道实数是由有理数与无理数构成的。

然而，即便是把这两类数合并在一起，仍然有些问题无法解决。

例如，方程x²=-1在实数范围内无解，这就引出了复数的概念。

2. 复数的定义复数由实部和虚部构成，形如a+bi。

其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数可以用平面上的点表示，实部对应的是点在实轴上的投影，虚部对应的是点在虚轴上的投影。

二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法就是实部相加，虚部相加。

例如，(3+2i)+(5+4i)=8+6i。

减法同理，即实部相减，虚部相减。

2. 乘法和除法复数的乘法则是根据分配律展开进行计算。

例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

复数的除法可以通过有理化的方法进行，具体推导与实数的除法类似。

3. 共轭复数一个复数的共轭复数由实部保持不变，虚部变号得到。

例如，对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。

共轭复数的应用十分广泛，例如求复数的模、求复数的平方等等。

三、复数的性质和定理1. 关于复数的模复数的模是指复数到原点的距离，记作|z|。

对于复数a+bi，它的模为√(a²+b²)。

复数的模具有非负性、三角不等式和模的性质等特点。

2. 欧拉公式欧拉公式是数学中一条重要的公式，被广泛应用于各个领域。

它的表达形式为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e表示自然对数的底，i为虚数单位，x为实数。

3. 复数根的性质对于复数z的n次方根，一共有n个解。

这些解在平面上均匀分布在一个圆周上，称为复数单位圆。

复数根的求解可以利用欧拉公式和三角函数理论来处理。

新《复数》专题解析一、选择题1．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则ab的值为（ ） A ．32-B ．23-C ．23D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值. 【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=， 因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi2．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.3．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z = A ．12i + B ．12i - C ．1i + D ．1i -【答案】C 【解析】 【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-，故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+. 故选：C . 【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.4．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．5．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.6．设复数4273iz i-=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729-B ．1729C ．129-D ．129【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解1712929z i =-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129- 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.7．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1 B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.8．若1z i =+，则31izz =+（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】B 【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1izz i i i zz =+-==+，故选B.9．已知i 是虚数单位，则131ii +=+（ ） A ．2i - B ．2i +C ．2i -+D ．2i --【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】由复数的运算法则有：13(13)(1)422(1)(11)2i i i ii i i i ++-+===++-+. 故选B . 【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.10．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.11．已知i 是虚数单位，则31ii+-=（ ） A ．1-2i B ．2-iC ．2+iD ．1+2i【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，由于33124121112i i i ii i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．12．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C 【解析】直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.13．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i -- B ．1i +C ．312i -D ．312i +【答案】D 【解析】21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.14．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.15．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ） A ．i B ．1C ．i -D ．1-【答案】B()()1i 1i z +=-，则()()()21i 1i2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i，1z ∴=，故选B.16．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．22i -+ D ．22i --【答案】A 【解析】 【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=,整理可得：()()2440b a i b b ++++=，所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A .17．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．2CD．【答案】C 【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 考点：复数的模18．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限. 故选:B 【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.19．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题97 利用复数几何意义求与模有关的最值问题一、复数的几何意义每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应的关系，复数z=a+bi在复平面内的对应点Z(a,b)二、复数模的几何意义⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|，1、向量OZ即|z|=|a+bi|=√a2+b2，其中a、b∈R|z|表示复平面内的点Z(a,b)到原点的距离；2、|z1−z2|的几何意义：复平面中点Z1与点Z2间的距离，如右图所示。

示例：|z+(1+2i)|表示：点Z到点(−1,−2)的距离小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则|z−(a+bi)|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，则|z−(a+bi)|=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题如图所示，点P 在圆O 上运动，在圆上找一点P 使得PA 最小（大）如图，当P 为OA 连线与圆O 交点时，PA 最小，最小为OA −r ；当P 在AO 延长线与圆O 交点P ′时，PA 最大，最大为OA +r题型一 与复数有关的轨迹（图形）【例1】已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. 设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？【答案】以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．【解析】|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是:以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．【变式1-1】已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( )A ．一个圆B ．线段C ．两点D ．两个圆【答案】A【解析】∵|z |2－2|z |－3＝0，∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0，∴|z |＝3，表示一个圆．故选A.【变式1-2】若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【答案】2π【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则由|z －i|≤ 2可得 x 2＋(y －1)2≤2，即x 2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【变式1-3】（多选）|(3+2i )−(1+i)|表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模【答案】ACD【解析】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确.【变式1-4】满足条件|z －2i|＋|z ＋1|＝5的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆【答案】C.【解析】|z －2i|＋|z ＋1|＝5表示动点Z 到两定点(0，2)与(－1，0)的距离之和为常数5，又点(0，2)与(－1，0)之间的距离为5，所以动点的轨迹为以两定点(0，2)与(－1，0)为端点的线段．【变式1-5】在复平面内，已知定点M 与复数m =1+2i ，那个点Z 与复数z =x +yi ，问：满足不等式|z −m |≤2的点Z 的集合是什么图形？【答案】以(1,2)为圆心，半径为2的圆及圆的内部【解析】不等式|z −m |≤2即|(x +yi )−(1+2i)|≤2，根据复数的几何意义可得：点(x,y)到点(1,2)的距离小于等于2所以点Z 的集合表示以(1,2)为圆心，半径为2的圆及圆的内部题型二 模长最值问题【例2】已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为（ ）A ．1B ．2C ． 5D ．3【答案】D【解析】∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D ．【变式2-1】已知复数z 的模为1，则2z +的最大值为__________.【答案】3【解析】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，∴()22z x yi +=++=，即表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离， 因此2z +的最大值为213OP R +=+=，【变式2-2】已知|z |＝2，求|z ＋1＋3i|的最大值和最小值．【答案】最大值为4，最小值为0【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z |＝2知x 2＋y 2＝4，故z 对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z ＋1＋3i|表示点(x ，y )到点(－1，－3)的距离．又因为点(－1，－3)在圆x 2＋y 2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4， 即|z ＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.【变式2-3】已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．【答案】4【解析】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，【变式2-4】若z C ∈，且4z =，则1z i +-的取值范围是________.【答案】[44-+【解析】因为z C ∈，所以设(,)z x yi x y R =+∈因为4z =，所以2216x y +=，复数z 在复平面对应点的轨迹是以原点为圆心半径为4的圆O. 式子1z i +-的几何意义是：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离,圆心O 到(1,1)-2,由圆的几何性质可知：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离的最大值为42最小值为42, 因此1z i +-的取值范围是[42,42]-+.【变式2-5】已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______ 51【解析】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点(1,1)距离为1的点的轨迹，如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=．【变式2-6】若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．【答案】最大值为3，最小值为1【解析】根据复数的几何意义可知|z ＋3＋i|≤1表示以(−√3,−1)为圆心，1为半径的圆上及圆内如图所示，2|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−√3)2+(−1)2=2. 由圆的几何性质可知：|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.【变式2-7】若z C ∈且342z i ++≤，则z 的取值范围为__________．【答案】[]3,7 【解析】342z i ++≤的几何意义为：复平面内动点Z 到定点()3,4A --的距离小于等于2的点的集合，z 表示复平面内动点Z 到原点的距离， ∵22||(3)(4)5OA =-+-=，5252z ∴-≤≤+. ∴z 的取值范围为[]3,7．【变式2-8】若cos sin z i θθ=+(R i θ∈，是虚数单位)，则22z i --的最小值是（ ） A.22C.221D.221【答案】D【解析】由复数的几何意义可知：cos sin z i θθ=+表示的点在单位圆上，而|z −2−2i|表示该单位圆上的点到复数22i +表示的点Z 的距离， 由图象可知：22z i --的最小值应为点A 到Z 的距离， 而22222OZ =+=，圆的半径为1， 故22z i --的最小值为221，。

数学高考文科复数知识点作为数学高考文科的一部分，复数在解析几何和代数中起着重要的作用。

它作为一个数域的扩张，拓宽了数字的概念。

本文将重点介绍高考文科复数的相关知识点，帮助学生更好地准备高考。

一、复数的定义和表示复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a + bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i² = -1。

虚部b取值为0时，复数就变成了实数。

二、复数的加减乘除运算1. 复数的加减运算：将实部和虚部分别相加或相减，得到结果的实部和虚部。

2. 复数的乘法运算：将实部和虚部进行分配律的展开，然后利用i² = -1化简。

3. 复数的除法运算：将除数的共轭复数作为分子和分母的乘法因子，然后进行分子分母的乘法运算和化简。

三、复数的共轭与模1. 复数的共轭：将复数的虚部取相反数，实部不变，所得的新复数称为原复数的共轭复数。

如果复数为a + bi，其共轭复数为a - bi。

2. 复数的模：复数的模是指复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。

对于复数a + bi，它的模是√(a² + b²)。

四、复数的三角形式复数可以通过极坐标表示，即用模长和辐角表示。

对于复数a + bi，可以表示为|r|·e^(iθ)，其中|r|为模长，θ为辐角。

使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，可以将复数的三角形式转化为指数形式。

五、复数的指数和对数指数函数和对数函数可以扩展到复数域。

对于复数z = a + bi，指数函数e^z的定义是e^z = e^a * e^(ib) = e^a * [cos(b) + isin(b)]。

复数z = a + bi的对数函数定义为ln(z) = ln|z| + i arg(z)，其中ln|z|是复数的模的自然对数，arg(z)是复数的辐角。

六、复数的方程和不等式1. 复数方程：类似于实数方程的解法，复数方程也可以通过代数运算和方程的性质进行求解。

1专题5复数知识必备1复数的概念 （1）虚数单位i 叫做虚数单位，并规定它的平方等于1，即i 2=1； （2）复数定义形如a bi (a ，b ∈R )的数叫复数，复数通常用小写字母z 来表示，即：z =a bi (a ，b ∈R )其中a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数构成的集合叫做复数集，通常用大写字母C 来表示，即：C ={a bi ∣a ∈R ，b ∈R}. （3）复数分类满足条件(a ，b ∈R )复数的分类a bi 为实数⇔b =0a bi 为虚数⇔b ≠0 a bi 为纯虚数⇔a =0且b ≠0（4）复数相等a bi =c di ⇔a =c 且b =d (a ，b ，c ，d ∈R ).2复数的几何意义（1）复平面：建立了直角坐标来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数：除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数z =a bi 一一对应↔ 复平面内的点Z (a ，b ). （2）复数的向量表示平面直角坐标系内的任意一点Z (a ，b )有唯一的向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与之对应，而平面中的点Z (a ，b )与复数集中的复数z =a bi (a ，b ∈R )也是一一对应的因此，复数集C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即： 复数|z |=|a bi |一一对应↔ 复平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . （3）复数的模向量的模OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做复数z =a bi (a ，b ∈R )的模或绝对值，记做|z |或|a bi |.2即|z |=|a bi |=√a 2b 2(a ，b ∈R ).（4）共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数z 的共轭复数用z ⃐表示即如果z =a bi ，那么z ⃐=a bi.①在复平面中，表示两个共轭复数的点关于实轴对称； ②共轭复数的模相等；③实数的共轭复数是它本身.3复数的运算（设z 1=a bi ，z 2=c di (a ，b ，c ，d ∈R )） （1）复数的加法与减法运算法则为：z 1z 2=(a bi )(c di )=(a c )(b d )iz 1z 2=(a bi )(c di )=(a c )(b d )i对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1z 2=z 2z 1，(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3). （2）复数的乘法运算法则为：z 1⋅z 2=(a bi )(c di )=(ac bd )(ad bc )i复数的乘法可以按照多项式乘法的方式运算.对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1z 2=z 2z 1； (z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2z 3)=z 1z 2z 1z 3 对复数z ，z 1，z 2和自然数m ，n ，有z m ⋅z n =z m n；(z m )n =z mn ，(z 1⋅z 2)n =z 1n ⋅z 2n.（3）复数的除法运算法则为：z 1÷z 2=(a bi )÷(c di )=ac bd c 2d 2bc adc 2d 2i (a ，b ，c ，d ∈R ，c di ≠0).（4）加减法的几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如如给出的的平行四边形OZ 1ZZ 2如可以直地地反出的复数加减法的几何意义，即OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .典型例题考点一复数的有关概念及几何意义【例题1】若复数z =a 21(a 1)i 是纯虚数，则实数a =__________【例题2】设复数z =m 2i ，若z 的实部与虚部相等，则实数m 的值为（ ）3A 3 B 1 C 1 D 3 【例题3】已知z =(m 3)(m 1)i 如在复平面内对应的点在四四限 ，则实数m 如的值值围是是（ ） A (3，1) B (1，3) C (1，∞) D (∞，3) 【例题4】设z =32i ，则在复平面内z ⃐对应的点位于（ ） A 四一限 B 四二限 C 四三限 D 四四限 【例题5】已知i 为虚数单位，且|1ai |=√5，则实数a 的值为（ ） A 1B 2C 1或1D 2或2考点二复数的运算【例题6】若复数z =(1i )(2i )（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A 1 B i C 2 D 1【例题7】法国数学家棣莫弗(16671754)发现的公式(cosx isinx )n =cosnx isinnx 推动了复数领域的研究根据该公式，可得(cos π8isin π8)4(12i )=( ) A 12i B 2i C 12i D2i【例题8】已知(1i )2z=1i ，则复数z =( )A 1iB 1iC 1iD 1i【例题9】已知复数z =3i 32i，则z 的虚部为（ ）A15i B15C 1D i【例题10】若复数z 满足(2i )z =4i ，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A 25 B 25C25i D25i【例题11】设i 为虚数单位，复数z 满足iz 1=(1i )2，则|1z |=( ) A √2B 2C√5D 2√3【例题12】已知z(1i )=17i （i是虚数单位），z的共轭复数为z ⃐，则|z⃐|等于（）A（）√2B34iC5D7=2i，则a=( )【例题13】若a为实数，且7ai3iA2B1C1D2【例题14】复数z满足z⋅z⃐z z⃐=17，则|z2i|的最小值为（）A2√2B3√2C4√2D5√245。

专题02 复数一、单选题1．（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数()()2i 1i z a =++（其中i 为虚数单位，a R ∈）在复平面内对应的点为()1,3，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．1-D ．0【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为()()()2i 1i 22i z a a a =++=-++， 又因为复数在复平面内对应的点为()1,3，所以2123a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a = 故选：A2．（2022·河北保定·高三期末）()()2212i 1i --+=（ ） A ．32i -- B ．36i -- C ．32i - D ．36i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】22(12i)(1i)34i 2i 36i --+=---=--.故选：B3．（2022·河北张家口·高三期末）已知12z i =-，则5iz=（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．105i -D ．105i -+【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()5i 12i 5i 5i2i 12i 12i 12i z +===-+--+， 故选：A.4．（2021·福建·莆田二中高三期末）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10C ．11D ．无数【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4kZ ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数z 满足()23i 32i z -=+，则z =（ ）A．12 B C ．1 D 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合复数除法计算复数z ，进而计算z 的模作答. 【详解】因复数z 满足()23i 32i z -=+，则32i (32i)(23i)13ii 23i (23i)(23i)13z +++====--+， 所以1z =. 故选：C6．（2022·山东枣庄·高三期末）已知i 为虚数单位，则2022i =（ ）． A ．1 B ．1- C ．I D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由于41i =，故2022i 可以化简为2i ，即可得到答案. 【详解】20224505+22i i ==i ⨯=1-.故选：B.7．（2022·山东德州·高三期末）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】21i 22|2i |i i +=+=-=z =则复数z 在复平面内所对应的点坐标为⎝⎭，在第一象限.故选：A8．（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z 是纯虚数，11iz+-是实数，则z =（ ） A ．－i B ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【解析】 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B9．（2022·山东临沂·高三期末）已知复数26i1iz +=-，i 为虚数单位，则z =（ ）A．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，然后求得z . 【详解】 ()()()()()()()()26i 1i 26i 1i 13i 1i 24i1i 1i 2z ++++===++=-+-+，z =故选：C10．（2022·湖北武昌·高三期末）已知复数1i z =-，则2iz=-（ ） A ．13i 55-B ．13i 55--C ．13i 55-+D ．1355i +【答案】D 【解析】 【分析】先得出z ，由复数的乘法运算可得答案. 【详解】复数1i z =-，则1i z =+则()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 2i 5z ++++===---+ 故选：D11．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列{}n a 满足12i a =，1i i 1n n a a +=++，N n *∈，（i 为虚数单位），则10a =（ ） A ．2i B ．2i - C ．1i + D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】推导出数列{}i n a -是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得10a 的值. 【详解】由已知可得()1i i i n n a a +-=-，因此，数列{}i n a -是以1i i a -=为首项，以i 为公比的等比数列，所以，91010i i i i 1a -=⋅==-，故101i a =-+.故选：D.12．（2022·湖北江岸·高三期末）已知()12i 43i z -=-，则z =（ ） A ．10i +B ．2i +C ．2i -D ．25i +【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】 由已知可得()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，因此，2i z =-. 故选：C.13．（2022·湖北襄阳·高三期末）下面是关于复数22i 1i z =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．z 的共轭复数为11i 22-D ．z 的虚部为1i 2-【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项即得． 【详解】∵22i 11i 1i 1i 2z ---===--，所以z =A 错误；所以复数z 在复平面内对应点坐标为11(,)22--，在直线y x =上，B 正确；所以z 的共轭复数为11i 22-+，C 错误；所以z 的虚部为12-，D 错误．故选：B ．14．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）复数4i1iz =+，则z =（ ） A ．22i -- B ．22i -+C ．22i +D ．22i -【答案】D 【解析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+ ，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.15．（2022·湖北·高三期末）已知复数121i,i z z =-=，则复数12z z 的共轭复数的模为（ ） A ．12 B2C ．2 D【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得121i z z =--，再根据共轭复数的概念与模的公式计算即可. 【详解】解：因为121i,i z z =-=， 所以()121iii 1i 1i z z -==--=--， 所以复数12z z 的共轭复数为1i -+.故选：D16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若1i z =-+．设zz ω=，则ω=（ ） A ．2i B ．2C ．22i +D ．22i -【答案】B 【解析】 【分析】根据1i z =-+求出1i z =--，结合复数的乘法运算即可. 【详解】由1i z =-+，得1i z =--，所以2(1i)(1i)=(i 1)=2zz ω==-+----. 故选：B17．（2022·湖南常德·高三期末）已知复数z 满足：()1i i z +=，则z z ⋅=（ ）A ．12 B C ．1D ．i 2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算求出z ，然后根据复数的乘法运算即可求出结果. 【详解】 因为(1)z i i +=， 所以()()i 1i i 1i 11i 1i (1i)1i 222z -+====+++-， 因此11111i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=.故选：A.18．（2022·湖南娄底·高三期末）复数()i 3i z =-⋅在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘法法则计算出z ，然后可得其对应点的坐标，得所在象限． 【详解】∵()3i i 13i z =-=+⋅，∴z 在复平面内对应的点为()1,3，位于第一象限． 故选：A ．19．（2022·湖南郴州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 123i 4z +=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B 【解析】根据复数的模和除法运算，即可得到答案； 【详解】 |43i |55(12i)12i 12i 12i 5z +-====-++ ∴12i z =+，故选：B20．（2022·广东揭阳·高三期末）复数z 满足()1i 1i(i z +=-为虚数单位)，则z 的模为（ ） A．12-B ．12C ．1 D【答案】C 【解析】 【分析】先做除法运算求出复数z ，再根据复数模的计算公式求其模. 【详解】由()1i 1i z +=-得1ii 1iz -==-+，从而i 1z =-= 21．（2022·广东潮州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数21i 1i -=+z ，则z 的虚部为（ ）A ．0B ．－1C ．－iD ．1【答案】B 【解析】 【分析】化简复数z 1i =-， z 的虚部为i 前面的系数，即可得到答案. 【详解】21i 22(1-i)1i 1i 1i (1i)(1-i)z -====-+++.则z 的虚部为－1.故选：B.22．（2022·广东罗湖·高三期末）已知复数()1i i =+⋅z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】求出复数z，进而可得其共轭复数.【详解】()1i i=1+iz=+⋅-，则1iz=--故选：D.23．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数z满足(1i)|1|+=z，则z=（）A．1i-B．1i+C．22i-D．22i+【答案】B【解析】【分析】结合复数除法运算求出z，进而得出z.【详解】因为21i1i===-+z，所以1iz=+．故选：B24．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足1i12iz+=+其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．3i5--B．3i5-+C．3i5-D．3i5+【答案】D 【解析】【分析】化简可得3i5z-=，根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】因为1i(1i)(12i)3i12i(12i)(12i)5z++--===++-，所以3i5z+ =，故选：D．25．（2022·江苏通州·高三期末）20221i1i-⎛⎫=⎪+⎝⎭（）A ．1B ．iC ．－1D ．－i【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法和复数的乘方运算计算． 【详解】21i (1i)i 1i (1i)(1i)--==-+-+， 所以2022202221i (i)i 11i -⎛⎫=-==- ⎪+⎝⎭．故选：C ．26．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知复数z 满足()1i 4i z +=，则z =（ ） A．2 B C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()()()()4i 1i 4i2i 1i 22i 1i 1i 1i z -===-=+++-，因此，z = 故选：C.27．（2022·江苏扬州·高三期末）若复数z ＝202112i +（i 为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数z ＝202112i +，得到其对应点的坐标即可解决.【详解】z 202112i ==+12i =+2i 21i 555-=-， 则z 在复平面上对应的点为21(,)55Z -，Z 位于第四象限.故选：D28．（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．－12＋52iB ．12＋52iC ．12－52iD ．－12－52i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】 ∵(1－i)z ＝2＋3i, ∴()()()()23i 1i 23i 15i 15i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+-+-. 故选：A.29．（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z 满足202120222023i 4i 3i z =-，则z ＝（ ） A ．4＋3i B ．4－3iC ．3＋4iD ．3－4i【答案】C 【解析】 【分析】将202120222023i 4i 3i z =-中的202120222023i ,i ,i ，根据41i = 化简，即可得答案. 【详解】 因为41i =，故由202120222023i 4i 3i z =-可得：23i 4i 3i z =-，即4i 334i z =+=+， 故选：C.30．（2022·江苏苏州·高三期末）设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】 【分析】用复数的乘法法则及纯虚数的定义即可. 【详解】(1i)(1i)1i i 1(1)i a a a a a -+=+-+=++-为纯虚数，10a ∴+=，1a ∴=-，故选:A ．31．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C. 二、多选题32．（2022·河北唐山·高三期末）已知复数i z a b =+（,a b ∈R 且0b ≠），z 是z 的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．z z +∈R B ．z z -∈RC ．z z ⋅∈RD ．zz∈R【答案】AC 【解析】 【分析】由题知i z a b =-，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，i z a b =+，i z a b =-，所以2z z a +=∈R ，故正确； 对于B 选项，i z a b =+，i z a b =-，2i z z b -=∉R ，故错误；对于C 选项，i z a b =+，i z a b =-，22z z a b ⋅=+∈R ，故正确；对于D 选项，i z a b =+，i z a b =-，()22222222i i i i z a b ab z a a b a b a b b a b --===+-+-+， 所以当0a =时，z z ∈R ，当0a ≠时，zz ∉R ，故错误.故选：AC33．（2022·山东莱西·高三期末）已知复数()21i z a a =+-，i 为虚数单位，a R ∈，则下列正确的为（ ）A ．若z 是实数，则1a =-B ．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上C ．zD ．若21z z =+，则1a =±【答案】BC 【解析】 【分析】以实数定义求出参数a 判断选项A ；以复数z 对应点的坐标判断选项B ；求出复数z 的模判断选项C ；以复数相等求出参数a 判断选项D. 【详解】选项A ：由复数()21i z a a =+-是实数可知210a -=，解之得1a =±.选项A 判断错误；选项B ：复数()21i z a a =+-在复平面内对应点2(,1)Z a a -，其坐标满足方程21y x =-，即点2(,1)Z a a -位于抛物线21y x =-上. 判断正确；选项C ：由()21i z a a =+-，可得z ===判断正确； 选项D ：21z z =+ 即()()221i =2121i a a a a +-+--可得()2221121a a a a =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解之得1a =-.选项D 判断错误. 故选：BC34．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【解析】 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，z z ==，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC35．（2022·江苏如皋·高三期末）关于复数12z =- (i 为虚数单位)，下列说法正确的是（ ）A ．|z |＝1B ．z ＋z 2＝－1C ．z 3＝－1D ．(z ＋1)3＝i【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D. 【详解】由复数12z =-,可得||1z == ，故A 正确；2211112222z z +=--=-- ，故B 正确；3222111()1222z z z =⋅=--+--=，故C 错误；3221111(1)(1)(1)(((12222z z z ⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误， 故选：AB.36．（2022·江苏苏州·高三期末）下列命题正确的是（ ） A ．若12,z z 为复数，则1212z z z z =⋅ B ．若,a b 为向量，则a b a b ⋅=⋅C ．若12,z z 为复数，且1212z z z z +=-，则120z z =D ．若,a b 为向量，且a b a b +=-，则0a b ⋅= 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】令1i z a b =+，()2i ,,,R z c d a b c d =+∈，，12()i z z ac bd ad bc =-++，12z z ===1z =2z =1212z z z z ∴=⋅，A 对；cos a b a b θ⋅=⋅⋅，cos a b a b a b θ∴⋅=⋅⋅=⋅不一定成立，B 错； 12()()i z z a c b d +=+++，12()()i z z a c b d -=-+-，1212z z z z -=+，0ac bd ∴+=，12(i)(i)()i 0z z a b c d ac bd ad bc =++=-++≠，C 错．将a b a b +=-两边平方并化简得0a b ⋅=，D 对. 故选：AD 三、填空题37．（2021·福建·莆田二中高三期末）设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______ 【答案】5π 【解析】 【分析】依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解； 【详解】解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π38．（2022·广东佛山·高三期末）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________. 【答案】28i -- 【解析】 【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答. 【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--. 故答案为：28i --39．（2022·江苏常州·高三期末）i 是虚数单位，已知复数z 满足等式2i0i z z+=，则z 的模z =________．【解析】 【分析】以复数运算规则和复数模的运算性质对已知条件进行变形整理，是本题的简洁方法. 【详解】 由2i 0i z z +=，可得2i i z z =- 则有2ii z z-=，即i 2i 2z z ⨯=⨯-=，故有z =。

数学高考知识点复数公式复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分构成。

在高考数学中，掌握复数的概念和运算是非常重要的。

下面将介绍数学高考中常见的复数公式。

1. 复数的表示复数可表示为 a + bi 的形式，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i为虚数单位，满足 i² = -1。

例如，2 + 3i 就是一个复数，其中实数部分为 2，虚数部分为 3。

2. 共轭复数共轭复数是指虚数部分符号相反的复数。

设 z = a + bi 是一个复数，那么它的共轭复数记为z = a - bi。

例如，对于复数 2 + 3i，它的共轭复数为 2 - 3i。

3. 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，将实数部分分别相加或相减，虚数部分也分别相加或相减。

例如，(2 + 3i) + (4 + 2i) = 6 + 5i，(2 + 3i) - (4 + 2i) = -2 + i。

4. 复数的乘法两个复数相乘时，可应用分配律展开并根据 i² = -1 化简。

例如，(2+ 3i)(4 + 2i) = 8 + 4i + 12i + 6i² = 8 + 4i + 12i - 6 = 2 + 16i。

5. 复数的除法两个复数相除时，可利用共轭复数将分母有理化，然后根据乘法的性质进行计算。

例如，(2 + 3i) / (4 + 2i) = (2 + 3i)(4 - 2i) / (4² - (2i)²) = (8+ 14i + 6) / (16 + 4) = (14 + 14i) / 20 = 7/10 + 7i/10。

6. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，记为 |z|。

对于一个复数 z = a + bi，其模为|z| = √(a² + b²)。

例如，对于复数 2 + 3i，其模为|2 + 3i| = √(2² +3²) = √13。

高考复数知识点及总结高考对学生来说是一次至关重要的考试，而数学作为其中重要的科目之一，复数知识点在高考中也扮演着重要角色。

掌握好复数的概念和运算规则能够为学生在高考中取得更好的成绩提供有力支撑。

本文将对高考中常见的复数知识点进行总结，帮助同学们更好地应对高考数学考试。

1. 复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。

复数包括实数和纯虚数两种情况，实部为0的复数称为纯虚数。

2. 基本运算规则2.1 复数的加法和减法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其加法和减法的运算规则分别如下：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2.2 复数的乘法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其乘法的运算规则如下：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i2.3 复数的除法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其除法的运算规则如下：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i3. 复数的共轭对于复数a+bi，其共轭复数定义为a-bi。

共轭复数的性质是实部相等，虚部的符号相反，即(a+bi)的共轭复数为(a-bi)。

4. 复数的模和幅角4.1 复数的模对于复数a+bi，其模定义为|a+bi|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。

4.2 复数的幅角对于非零复数a+bi，其幅角定义为arg(a+bi)，表示与正实轴之间的夹角，通常用弧度表示。

5. 复数的指数运算复数的指数运算可以利用欧拉公式来进行计算。

欧拉公式表达为e^(ix)=cosx+isinx，其中e为自然对数的底数。

6. 复数的根对于复数a+bi和正整数n，复数a+bi的n次方根有n个，可以利用公式(a+bi)^(1/n)=r^(1/n)[cos(θ/n)+isin(θ/n)]其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

高考数学中的复数问题解析高中数学中，复数是一个较为抽象的概念，在数学学科中是至关重要的。

其中，复数在高考数学中占据着举足轻重的位置，是高考数学的必修内容。

复数可以被视为是可扩展的数，它不仅可以进行实数的运算，还能进行虚数的运算，从而能够解决实数无法解决的问题。

本文将对高考数学中的复数问题进行解析。

一、复数的定义及基本运算复数定义为一个形如a+bi的数，其中a是实数部分，b是虚数部分，i为虚数单位，i平方等于-1。

复数之间可以进行加减乘除的运算，其中，加法和减法是分别对实数部分和虚数部分进行相应的加减运算；而乘法和除法需要应用到复数的公式和三角函数的定义。

二、复数的表示方式和共轭复数复数有多种表示方法，最常见的是直角坐标系和极坐标系。

在直角坐标系中，复数可以表示为平面直角坐标系上的一个有序数对，已知复数z=a+bi，实数a为复数z的实部，虚数b为复数z的虚部。

在极坐标系中，复数可以表示为半径为r，极角为θ的复数z=r(cosθ+i sinθ)，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角。

共轭复数是指实部相同，虚部相反的复数。

即若z=a+bi，则z*（z的共轭复数）=a-bi。

在复数的乘除法中，会经常用到共轭复数。

三、复数方程的解法复数也可以用于解决实数无法解决的问题，其中一个典型的例子就是复数方程。

在高考数学中，关于复数方程的题目也比较常见。

我们可以通过先将方程转换为标准形式，再运用求根公式进行解答，或者直接使用因式分解法、配方法等技巧对复数方程进行求解。

四、复数平面向量与极坐标系下的复数复数平面向量是指以复数为顶点，以原点为起点的向量。

我们可以对复数的加减乘除、求共轭复数等运算等价于对向量的平移、翻转等操作。

在经过相关推导后，我们还可将复数与向量的运算统一于极坐标系上，即把复数看做复平面向量，从而能够更方便地进行复数的运算和处理。

五、拉格朗日插值法和复数数列拉格朗日插值法是一种通过已知函数部分节点的值来确定函数的方法，其中复数在插值多项式的构造中起到了重要的作用。