七年级数学有理数的乘方6

七年级有理数乘方知识点在初中数学中，有理数乘方是一个很重要的知识点，它广泛应用于代数运算和几何学。

本文将详细介绍七年级有理数乘方的相关知识点。

一、有理数的乘方有理数的乘方指一个数自乘若干次的结果。

假设a为有理数，n为正整数，则a的n次方可以表示为a^n。

例如，2的3次方可以表示为2^3，结果为8。

我们可以将有理数的乘方分为两类：正数的乘方和负数的乘方。

1. 正数的乘方当a为正数时，a的n次方为正数。

例如，3的4次方可以表示为3^4，结果为81。

2. 负数的乘方当a为负数时，a的n次方具有不同的奇偶性。

当n为偶数时，a的n次方为正数；当n为奇数时，a的n次方为负数。

例如，-2的3次方可以表示为(-2)^3，结果为-8。

二、有理数乘方的运算规律有理数乘方遵守一些运算规律，这些规律对于解决乘方运算问题非常有用。

1. 幂的乘法法则当a为有理数，m、n为正整数时，(a^m)^(n) = a^(m×n)。

例如，(2^3)^(2) = 2^(3×2)，结果为64。

2. 幂的除法法则当a为有理数，m、n为正整数时，a^m÷a^n = a^(m-n)。

例如，2^7÷2^3 = 2^(7-3)，结果为32。

3. 幂的负指数当a为有理数，m为正整数时，a的-m次方可以表示为1÷a^m。

例如，(-3)^-2 = 1÷(-3)^2，结果为1/9。

三、有理数乘方在数轴上的表示有理数乘方的运算可以通过数轴上的表示来更好地理解。

当有理数a为正数时，a的n次方表示为沿数轴上原点方向移动n个单位。

例如，2的3次方表示为在数轴上从原点开始，向右移动3个单位。

当有理数a为负数时，a的n次方表示为沿数轴上原点相反的方向移动n个单位。

例如，-2的3次方表示为在数轴上从原点开始，向左移动3个单位。

四、习题解析1. 计算：(1.4)^2÷0.7^3解：(1.4)^2÷0.7^3 = (1.4×1.4)÷(0.7×0.7×0.7) = 1.96÷0.343 = 5.7122. 化简：(-2a^3b^2)^2解：(-2a^3b^2)^2 = (-2)^2(a^3)^2(b^2)^2 = 4a^6b^4三年级有理数乘方知识点就讲到这里，相信大家对有理数乘方有了更深刻的认识。

七年级数学有理数乘方知识点总结
1、乘方的意义：乘方是一种运算方式，表示将一个底数与指定的指数相乘。

2、乘方的符号法则：正数的任何次方都是正数，负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数。

3、乘方的运算性质：
(1)乘方的运算性质可以表示为am ×an = am+n。

(2)乘方的运算性质还可以表示为am+n = am ×an。

(3)乘方的运算性质也可以表示为am-n = am/an。

乘方运算的特殊情况：
(1)当底数为0.指数为偶数时，结果为1.
(2)当底数为0.指数为奇数时，结果为0.
(3)当底数为1.指数为任何数时，结果都为1.
(4)当底数为-1.指数为偶数时，结果为1.
(5)当底数为-1.指数为奇数时，结果为-1.
重难点解析：
1、重点掌握乘方的意义和符号法则，能够正确进行乘方运算。

2、难点在于理解乘方的运算性质和特殊情况的处理，例如负数的奇次方、0的特殊情况等。

3、在实际应用中，需要能够利用乘方的运算性质进行简化计算，例如am+n = am ×an等。

总之，学生需要熟练掌握有理数乘方的概念和运算方法，理解其算理，能够在实际问题中灵活运用。

对于难点问题，需要通过多练习来加深理解。

第六讲有理数的乘方一、有理数乘方1.乘方的定义（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；2.有理数的乘方法则（1）正数的任何次幂都是正数.（2）负数的奇次幂是负数.负数的偶次幂是正数.注意：当n为正奇数时: (-a)n=-a n或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =a n或(a-b)n=(b-a)n .二、科学记数法把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.三、近似数的精确位一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数的精确到那一位.四、有效数字从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.1.区分乘方与幂的不同2.熟练掌握科学计数法表示数的方法例1．﹣12的值是（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣2考点：有理数的乘方．分析：根据乘方运算，可得幂，根据有理数的乘法运算，可得答案．解答：解：原式=﹣1，故选；B．点评：本题考查了有理数的乘方，注意底数是1．例2．（﹣2）3的值为（）A．﹣6 B．6C．﹣8 D．8考点：有理数的乘方．专题：计算题．分析：根据有理数乘方的法则计算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．解答：解：（﹣2）3=﹣8，故选C．点评：本题考查了有理数的乘方法则，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，易于掌握．例3．据统计，2014年河南省机动车保有量突破280万辆，对数据“280万”的理解错误的是（）A．精确到万位B．有三个有效数字C．这是一个精确数D．用科学记数法表示为2.80×106考点：近似数和有效数字．分析：根据近似数、有效数字的意义和科学记数法的计数方法逐一分析得出答案即可．解答：解：A、280万精确到万位是正确的，此选项不合题意；B、280万有三个有效数字是正确的，此选项不合题意；C、280万是一个近似数，不是精确数，此选项符合题意；D、280万用科学记数法表示为2.80×106是正确的，此选项不合题意．故选：C．点评：此题考查近似数与有效数字，以及科学计数法，掌握基本概念和方法是解决问题的关键．例4．据国家统计局初步核算，2012年全年国内生产总值519322亿元，请用科学记数法表示519322亿元正确的是（）A．5.19322×105元B．519322×105元C．5.19322×108元D．5.19322×1013元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于519322亿有14位，所以可以确定n=14﹣1=13．解答：解：519322亿=51 932 200 000 000=5.19322×1013．故选D．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．例5．一种病毒长度约为0.000056mm，用科学记数法表示这个数为（）A．5.6×10﹣6B．5.6×10﹣5C．0.56×10﹣5D．56×10﹣6考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000056=5.6×10﹣5．故选：B．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．例6．用科学记数法表示数5.8×10﹣5，它应该等于（）A．0.005 8 B．0.000 58 C．0.000 058 D．0．O00 005 8考点：科学记数法—原数．分析：把5.8的小数点向右移动5个位，即可得到．解答：解：5.8×10﹣5=0.000 058．故选：C．点评：本题主要考查了用科学记数法表示的数化成一般的数的方法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．A档1．计算：32=．考点：有理数的乘方．分析：此题比较简单，直接利用平方的定义即可求出结果．解答：解：32=9．故填空答案：9．点评：此题只要利用平方的定义即可．2．﹣32=．考点：有理数的乘方．分析：﹣32即32的相反数．解答：解：﹣32=﹣9．点评：乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．3．计算：﹣22﹣（﹣2）2=．考点：有理数的乘方．分析：利用有理数的乘方运算法则得出即可．解答：解：﹣22﹣（﹣2）2=﹣4﹣4=﹣8．故答案为：﹣8．点评：此题主要考查了有理数的乘方运算法则，注意运算符号．4．近似数8.6×105精确到位．考点：近似数和有效数字．分析：根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，即可得出答案．解答：解：近似数8.6×105精确到万位；故答案为：万．点评：此题考查了近似数和有效数字，最后一位所在的位置就是精确度．5．近似数3.06精确到位．考点：近似数和有效数字．分析：精确到哪一位就是看这个近似数的最后一位的数字在什么位．解答：解：近似数3.06精确到百分位．故答案为：百分．点评：本题考查近似数与有效数字，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定．B档6．近似数1.02×105精确到了位．考点：近似数和有效数字．分析：根据近似数的精确度求解．解答：解：近似数1.02×105精确到了千位．故答案为千．点评：本题考查了近似数与有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．7．由四舍五入得到的近似数0.5600的有效数字的个数是，精确度是．考点：近似数和有效数字．分析：根据有效数字的定义和近似数的精确度求解．解答：解：近似数0.5600的有效数字是5、6、0、0，精确度为精确到0.0001．故答案为4，精确到0.0001．点评：本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．8．世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：6 700 000=6.7×106，则n=6，故答案为：6．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．嫦娥三号是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的第三颗人造绕月探月卫星．将于2013年下半年择机发射．奔向距地球1500000km的深空．用科学记数法表示1500000为．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：1 500 000=1.5×106，故答案为：1.5×106．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．截至2013年12月31日，余额宝规模已达到1853亿元，这个数据用科学记数法可表示为元．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1853亿有12位，所以可以确定n=12﹣1=11．解答：解：1853亿=185 300 000 000=1.853×1011．故答案为：1.853×1011．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．C档11．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故答案为：2.5×10﹣6．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．人的眼睛可以看见的红光的波长是0.000077cm，请把这个数用科学记数法表示，其结果是cm．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000077=7.7×10﹣5，故答案为：7.7×10﹣5．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．用小数表示1.027×10﹣6=0.000001027．考点：科学记数法—原数．分析：科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据“1.027×10﹣6中1.027的小数点向左移动6位就可以得到．解答：解：原式=0.000001027，故答案为0.000001027．点评：本题考查了科学记数法，写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．14．我国第六次人口普查公布全国人口数约为137054万，将这个数精确到亿位，结果为．考点：科学记数法与有效数字．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于137054万有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．解答：解：我国第六次人口普查公布全国人口数约为137054万，将这个数精确到亿位，结果为1.3×109，故答案为：1.3×109．点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．15．2015年3月10日，苹果公司宣布Apple Watch从4月10日起开始预售，价格从2588元﹣126800元不等，将126800元精确到千位，结果为．考点：科学记数法与有效数字．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于126800有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．解答：解：将126800元精确到千位，结果为1.27×105；故答案为：1.27×105．点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．1．用科学记数法表示0.0000216，结果是（保留两位有效数字）．考点：科学记数法与有效数字．分析：根据科学记数法的表示方法，有效数字的意义，可得答案．解答：解：0.0000216=2.2×10﹣5，故答案为：2.2×10﹣5．点评：本题考查了科学记数法与有效数字，数字的前面有几个零，科学计数法中10的指数就是负几．2．计算：=．考点：有理数的乘方．分析：直接利用乘方的意义和计算方法计算得出答案即可．解答：解：﹣（﹣）2=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查有理数的乘方，掌握乘方的意义和计算方法是解决问题的关键．3．计算（﹣1）2012﹣（﹣1）2011的值是．考点：有理数的乘方．分析：根据﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1解答．解答：解：（﹣1）2012﹣（﹣1）2011，=1﹣（﹣1），=1+1，=2．故答案为：2．点评：本题考查了有理数的乘方，熟记﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1是解题的关键．4．中央电视台统计显示，南京青奥会开幕式直播有超过2亿观众通过央视收看，2亿用科学记数法可记为．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将2亿=200000000用科学记数法表示为：2×108．故答案为：2×108．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．光的速度为300000千米/秒，太阳光从太阳照到地球约需500秒，地球与太阳距离是米（用科学记数法）．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：300000×500=150000000千米=1.5×1014米．故答案为1.5×1014．点评：本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．1．计算：﹣24+（﹣2）4=．考点：有理数的乘方．专题：计算题．分析：此题比较简单，直接利用幂的定义就可以求出结果．解答：解：﹣24+（﹣2）4=﹣16+16=0．故填空答案：0．点评：此题主要考查了乘方的定义，其中的规律：①负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；②﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．2．在近似数6.48中，精确到位，有个有效数字．考点：近似数和有效数字．分析：近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，最后一位是什么位就是精确到哪一位；一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．解答：解：近似数6.48中，最后一位是百分位，因而是精确到百分位，有6，4，8共3个有效数字．故答案是百分和3．点评：本题主要考查了近似数与有效数字的确定方法，精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．3．用四舍五入法把3.0987精确到0.01的结果是．考点：近似数和有效数字．分析：精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．解答：解：把3.0987精确到0.01，即对千分位的数字进行四舍五入，是3.10．故答案为：3.10．点评：精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．这里对千分位的8入了后，百分位的是9，满了10后要进1．4．数2.30×103精确到位．考点：近似数和有效数字．分析：根据近似数的精确度求解．解答：解：2.30×103精确到十位．故答案为十．点评：本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．5．2014年我国的国内生产总值（GPD）达到636000亿元，请将636000用科学记数法表示，记为．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将636000用科学记数法表示为6.36×105．故答案为：6.36×105．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．人的眼睛可以看见的红光的波长是0.000077cm，请把这个数用科学记数法表示，其结果是cm．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000077=7.7×10﹣5，故答案为：7.7×10﹣5．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7．写出下列用科学记数法表示的数的原来的数：2.35×10﹣2=．考点：科学记数法—原数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．因而把这个数还原，就是把2的小数点向左移动2位．解答：解：2.35×10﹣2=0.0235．故答案为：0.0235．点评：本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．8．我国现有约7849万名共青团员，用科学记数法（保留两个有效数字）表示为名．考点：科学记数法与有效数字．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于7849万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：7849万=7.849×107≈7.8×107，故答案为7.8×107．点评：本题考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．课程顾问签字： 教学主管签字：。

第06讲平行线的性质课程标准学习目标①平行线的性质 1.掌握两直线平行，同位角相等，并能够灵活应用。

2.掌握两直线平行，内错角相等，并能够灵活应用。

3.掌握两直线平行，同旁内角互补，并能够灵活应用。

知识点01平行线的性质1.两直线平行，同位角相等：①性质内容：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成两直线平行，同位角相等。

②符号语言：若AB ∥CD ，则∠NEB ＝∠NFD 2.两直线平行，内错角相等：①性质内容：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成两直线平行，内错角相等。

②符号语言：若AB ∥CD ，则∠AEM ＝∠NFD3.两直线平行，同旁内角互补：①性质内容：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成两直线平行，同旁内角互补。

②符号语言：若AB∥CD，则∠BEM＋∠NFD=180°【即学即练1】1．用一副三角板拼成如图所示的形状，使得两个三角形的直角边互相平行，则∠1与∠2相等的依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．两直线平行，内错角相等C．两直线平行，同旁内角互补D．对顶角相等【分析】由两平行线，内错角相等，即可得到答案．【解答】解：∠1与∠2相等的依据是两直线平行，内错角相等，故选：B．【即学即练2】2．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据含30°角的直角三角形的性质和平行线的性质得出∠2的度数即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠ACB+∠1＝30°+25°＝55°，故选：C．【即学即练3】3．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（）A．148°B．138°C．142°D．132°【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的定义即可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝48°，∴∠3＝∠1＝48°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣48°＝132°．故选：D．题型01根据平行线的性质计算【典例1】如图，a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．42°C．138°D．52°【分析】根据平行线的性质和对顶角相等解答即可．【解答】解：∵∠1＝∠3＝42°，a∥b，∴∠2＝∠3＝42°，故选：B．【变式1】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】根据邻补角定义得出∠DAC＝80°，根据角的和差求出∠CAE＝30°，根据平行线的性质即可得解．【解答】解：∵∠DAC+∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，∴∠DAC＝80°，∵∠DAC＝∠DAE+∠CAE，∠DAE＝50°，∴∠CAE＝30°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝30°，故选：C．【变式2】如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF 的度数为（）A．60°B．55°C．70°D．65°【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠EMB＝∠ECD＝50°，于是利用平角的定义可得∠AME＝130°，再根据角平分线的定义即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠ECD＝50°，∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，∵MF平分∠AME，∴∠AMF＝65°．故选：D．【变式3】如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝118°，则∠B的度数为（）A．62°B．72°C．102°D．118°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求得∠1＝50°，再两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠B．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠1+∠E＝180°，∵∠E＝118°，∴∠1＝62°，∵BC∥EF，∴∠B＝∠1＝62°．故选：A．题型02平行线与直角三角板【典例1】如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据余角的定义和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，∵直尺对边平行，∴∠1＝∠3＝55°．故选：C．【变式1】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（）A．60°15′B．39°45′C．29°85′D．29°45′【分析】根据平行线的性质得出∠3，进而利用互余解答即可．【解答】解：如图，由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故选：D．【变式2】如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．25°【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互余的性质求出∠2的度数即可．【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠3＝∠1＝55°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故选：A．【变式3】将等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上，若AE∥BC，则∠DAC的度数是（）A．12°B．15°C．20°D．25°【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CAE＝30°，再根据角的和差求解即可．【解答】解：∵AE∥BC，∠C＝30°，∴∠CAE＝∠C＝30°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE＝15°，故选：B．题型03平行线与折叠【典例1】如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠AEB′＝80°，从而利用平角定义求出∠BEB′＝100°，然后根据折叠的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠AEB′＝80°，∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，由折叠得：∠2＝∠FEB′＝∠BEB′＝50°，故选：A．【变式1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．55°【分析】已知四边形ABCD是矩形，则可得AB∥CD，∠C＝90°；联系折叠的性质易得∠BDC′、∠DC′B的度数，由平行线的性质可求出∠ABD的度数；接下来在△BC′D中利用三角形内角和即可求出∠2．【解答】解：由题意可知：∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠1＝35°由折叠的性质可知：∠BDC′＝∠1＝35°，∠DC′B＝∠C＝90°．∴∠2＝180°﹣∠DC′B﹣∠ABD﹣∠BDC′＝20°．故选：A．【变式2】如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74°B．106°C．122°D．148°【分析】利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度数．【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．故选：B．【变式3】如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（）A．若∠1＝∠2，则∠1＝40°B．若∠1＝∠2，则∠1＝55°C．若∠1＝2∠2，则∠1＝80°D．若∠1＝3∠2，则∠1＝108°【分析】先根据已知条件画出图形，再根据平行线的性质证出∠ABC＝∠1，再由折叠性质证出2∠2+∠1＝180°，最后按照证出的∠1和∠2的关系式，根据各个选项的中的已知条件，求出∠1的度数，进行判断即可．【解答】解：如图所示：由平行线的性质可得：∠ABC＝∠1，由折叠性质可得：∠CBD+∠ABD＝180°，即∠2+∠2+∠ABC＝180°，∴2∠2+∠ABC＝180°，∴2∠2+∠1＝180°，A．若∠1＝，则，∠1＝36°，故此选项不符合题意；B．若∠1＝∠2，则3∠1＝180°，∠1＝60°，故此选项不符合题意；C．若∠1＝2∠2，则4∠2＝180°，∠2＝45°，∠1＝90°，故此选项不符合题意；D．若∠1＝3∠2，则5∠2＝180°，∠2＝36°，∠1＝108°，故此选项符合题意；故选：D．题型04平行线间的拐点【典例1】如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．【变式1】如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．【解答】解：延长AB交直线n于点D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故选：D．【变式2】如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故选：D．【变式3】如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（）A．∠A+∠C+∠F＝∠E B．∠A+∠C+∠E+∠F＝360°C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180°D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180°【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，得到EM∥FN∥CD，因此∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，得到∠MEF＝∠EFC﹣∠C，故∠AEM＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，于是得到∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥FN∥CD，∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，∴∠C+∠MEF＝∠NFE+∠NFC＝∠EFC，∴∠MEF＝∠EFC﹣∠C，∵∠AEM＝∠AEF﹣∠MEF＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，∴∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．故选：C．【变式4】如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG 与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（）A．64°B．54°C．42°D．32°【分析】过点G，M，H作AB的平行线，容易得出∠AEG+∠GHF＝104°，EM和MH是角平分线，所以∠AEM+∠MHF＝52°，进一步求∠M即可．【解答】解：如图所示，过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，∵AB∥CD．∴AB∥GN∥M P∥KH∥CD，∵GN∥AB．∴∠AEG＝∠EGN，∵GN∥KH，∴∠NGH＝∠GHK，∵KH∥CD，∴∠HFD＝∠KHF，∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，∴∠AEG+∠GHF＝104°，∵EM和MH是角平分线，∴∠AEM+∠MHF＝52°，∵∠HFD＝∠KHF＝20°，∴∠AEM+∠MHK＝32°，∵MP∥AB∥KH，∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK，∴∠EMP+∠PMH＝32°，即∠EMH＝32°．故选：D．题型05平行线的判定与性质求值【典例1】如图，已知∠1＝∠2，下列结论正确的是（）A．∠3＝∠4B．∠1＝∠4C．∠B＝∠5D．∠D＝∠5【分析】根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得结论．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴∠D＝∠5．故选：D．【变式1】如图，已知a⊥c，b⊥c，若∠1＝65°，则∠2等于（）A．65°B．90°C．25°D．70°【分析】先根据a⊥c，b⊥c，可得a∥b，根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再根据对顶角的性质即可得出答案．【解答】解：因为a⊥c，b⊥c，所以a∥b，所以∠1＝∠3＝65°，所以∠2＝∠3＝65°．故选：A．【变式2】如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝76°，则∠4＝（）°A．76B．104C．114D．14【分析】由∠1＝∠2，证出a∥b，由平行线的性质即可得出∠4＝∠3＝76°．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠3＝76°，故选：A．【变式3】如图，若∠1＝55°，∠3+∠4＝180°，则∠2的度数为（）A．115°B．120°C．125°D．135°【分析】由∠3+∠4＝180°，得到AB∥CD，推出∠5＝∠1＝55°，即可求出∠2＝125°．【解答】解：∵∠3+∠4＝180°，∴AB∥CD，∴∠5＝∠1＝55°，∵∠5+∠2＝180°，∴∠2＝125°．故选：C．题型06平行线的判定与性质证明【典例1】将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）．【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，进而根据同位角相等，两直线平行，判定EF∥BC．【解答】解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）故答案为：两直线平行，内错角相等，∠CFE．等量代换，∠CEF，同位角相等，两直线平行．【典例2】如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°【变式1】如图，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．试说明∠B+∠F＝180°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论根据．解：∵∠B＝∠BGD（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）．∴∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°．【解答】解：∵∠B＝∠BGD（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）．∴∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：AB；内错角相等，两直线平行；EF；同位角相等，两直线平行；AB；EF；两直线平行，同旁内角互补．【变式2】请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C证明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，对顶角相等∴∠2＝∠3，（等量代换）∴AE∥FD同位角相等，两直线平行∴∠A＝∠BFD两直线平行，同位角相等∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠BFD（等量代换）∴AB∥CD内错角相等，两直线平行∴∠B＝∠C两直线平行，内错角相等．【分析】先根据题意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，故可得出AB∥CD，进而可得出结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），又∵∠1＝∠3对顶角相等，∴∠2＝∠3（等量代换），∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）．∵∠A＝∠D（已知），∴∠D＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【变式3】如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）试说明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．【分析】（1）只要证明∠2＝∠DAC即可．（2）利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵AD∥EF，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DAC，∴DG∥AC．（2）∵DG∥AC，∴∠AGD+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°【变式4】已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．1．如图所示，直线a∥b，直线l与a，b相交，若∠1＝110°，∠2的度数为（）A．110°B．55°C．70°D．80°【分析】由推出平行线的性质推出∠1+∠3＝180°，又∠1＝110°，求出∠3＝70°，由对顶角的性质得到∠2＝∠3＝70°．【解答】解：∵a∥b，∴∠1+∠3＝180°，∵∠1＝110°，∴∠3＝70°，∴∠2＝∠3＝70°．故选：C．2．如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝36°，则∠1+∠2的度数是（）A．66°B．72°C．78°D．82°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝＝72°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ABC+∠2+∠BAC＝180°，即∠1+72°+∠2+36°＝180°，∴∠1+∠2＝72°．故选：B．3．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l1上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】由直角三角形的性质求出∠ACB＝30°，得到∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°．由平行线的性质推出∠2＝∠BCD＝55°．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°，∵∠1＝25°，∴∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠BCD＝55°．故选：C．4．如图两直线m、n与△ABC的边相交，且m、n分别与AB、BC平行．根据图中所示角度，可知∠B的度数为（）A．52°B．58°C．70°D．72°【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得出∠A和∠C的度数，再根据三角形内角和可得出∠B的度数．【解答】解：因为m、n分别与AB、BC平行，所以∠C+122°＝180°，∠A+110°＝180°，所以∠C＝58°，∠A＝70°，所以∠B＝180°﹣∠C＝∠A＝52°．故选：A．5．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，∴∠FED＝∠GFB＝60°，∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，故选：B．6．如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62°B．58°C．52°D．48°【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：过点E作直线HI∥AB．∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，∴CD∥HI，∴∠HEF＝∠EFD＝32°，∵GE⊥EF于点E，∴∠GEF＝90°，∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，∵AB∥HI，∴∠BGE＝∠GEH＝58°．故选：B．7．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．30°B．40°C．45°D．50°【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠2．【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∵直线AB⊥AC，∴∠2+∠3＝90°．∴∠2＝40°．故选：B．8．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED 与∠BFD的关系．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．9．图1是长方形纸条，∠DEF＝α，将纸条沿EF折叠成折叠成图2，则图中的∠GFC的度数是（）A．2αB．90°+2αC．180°﹣2αD．180°﹣3α【分析】由折叠得∠GEF＝α，由长方形知FC∥GD，AE∥BG，从而得到∠FGD，再由平行线的性质得到∠GFC的度数．【解答】解：由折叠和∠DEF＝α，得∠GEF＝α，由长方形得，C∥GD，AE∥BG，∴∠GFC+∠FGD＝180°，∠EFB＝∠DEF＝α，∴∠FGD＝∠GEF+∠EFB＝2α，∴∠GFC＝180°﹣2α，故选：C．10．平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①．一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝30°时，∠DCN的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由题意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，根据平角的定义可求出∠ABC的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，从而求出∠DCN的度数．【解答】解：由题意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，∵∠ABM＝30°，∴∠CBO＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠CBO＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝60°，∵∠BCD+∠BCO+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝60°，故选：C．11．为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC ＝35°．【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，故答案为：35°．12．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝100°，则∠FEC＝20°．【分析】根据折叠的性质、平行线的性质和三角形内角和，即可得到结论．【解答】解：由题意可得，∠AED＝∠DEF，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∠DEF＝∠EFC，∴∠C＝∠EFC，∵∠A+∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣100°＝80°，∴∠EFC＝80°，∵∠C+∠EFC+∠FEC＝180°，∴∠FEC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，故答案为：20°．13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，连接OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是80°．【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知OP平分∠AOB，又∠POB＝40°，进而可得∠AOB的度数．再由长方形直尺可得CP∥OB，利用平行线的性质可求解．【解答】解：由题意，得OP平分∠AOB，∴∠AOB＝2∠POB＝2×40°＝80°，由长方形直尺可知：CP∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝80°，故答案为：80°．14．如图，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝54°．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：∵∠1＝37°，∠2＝37°，∴∠1＝∠2，∴AE∥CD，∴∠BAE＝∠D＝54°，故答案为：54．15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE其余符合条件的度数为60°或105°或135°．【例如：图3，当∠CAE＝15°时，BC∥DE】．【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A 点中心对称的情况即可求解．【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，故答案为：60°或105°或135°．16．一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，求出∠CED的度数．【分析】由直角三角形的性质求出∴∠ECB＝60°，∠FED＝45°，由平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB ＝60°，即可求出∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝15°．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ECB＝90°﹣∠A＝60°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB＝60°，∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，∴∠FED＝90°﹣∠F＝45°，∴∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝60°﹣45°＝15°．17．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠C的度数．【分析】根据AB∥CD，则∠A＝∠1＝40°，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠1＝40°，∵∠C+∠E＝∠1，∠C＝∠E，∴2∠C＝40°，∴∠C＝20°．18．如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）．【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定定理完成填空即可求解．【解答】解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）故答案为：已知；平角的定义；等量代换；∠BAM；角平分线的定义；∠AMC；∠1＝∠2；等量代换；AE∥MF；内错角相等，两直线平行．19．综合与实践如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F．（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；理由如下：如图②，∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD−∠AEM＝90°；（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，∴∠BHF＝∠PHE＝75°，∵AB∥CD，∴∠DFH+∠BHF＝180°，∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，∴∠OFN＝∠DFH＝105°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．20．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP 和∠PBN，交射线AM于点C，D．（1）求∠ABN和∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，由AM∥BN得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据BD平分∠PBN得∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；（3）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°．∵∠A＝60°，∴∠ABN＝120°．∵BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°，故答案为：120°，60°；（2）∠APB与∠ADB之间的数量关系不变，∠APB＝2∠ADB；理由：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN．又∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN．∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，即∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN．∵BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN，∴．。

七年级数学上册《有理数乘方》教学反思1、七年级数学上册《有理数乘方》教学反思有理数乘方是初中数学教学的重点之一，也是初中数学教学的一个难点。

所以我在教这一节课的教学中要从有理数乘方的意义、有理数乘方的符号法则、有理数乘方运算顺序、有理数乘方书写格式、有理数乘方常见错误等五个方面来教学。

一、要求学生深刻理解有理数乘方的意义。

即求n个相同的因数相乘的简便记法。

在教学上应该抓住以下几点：乘方是一种运算。

相当于“＋、－、×、÷”。

教师在教学时要让学生明白这一点，同时要求学生掌握其书写方法，及格式。

强调幂的意义，幂的意义与“和、差、积、商”一样。

如2的3次方的结果是8。

所以说2的3次方的幂是8。

与2×4一样，2×4＝8.所以不能说8是幂，说成2的3次方的幂是8。

同时强调a的n次方具有两个意义，它既表示n个a相乘。

又表示乘方的运算结果二、在有理数乘方的教学中主要强调它的运算，所以特别注意有理数乘方符号法则的教学。

法则是：正数的任何次幂是正数，0的任何正整数次幂是０，负数的正数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，教师在教学时强调做乘方时先确定符号再计算，如（-2）的平方等于+2的'平方等于4.三、注意教学生的书写格式。

注意负数与分数作底数都要加括号。

四、注意讲清有理数乘方中的常见错误。

如２的平方前面带负号，表示2的平方的相反数，－２加括号后再平方是表示–2的平方，写法不同计算的结果不同。

有理数乘方是在乘法的基础之上的一种运算，要结合乘法来教乘方。

同时讲清楚区别与联系。

2、七年级数学上册《有理数的乘方》教学反思在具体的实施过程中还是暴露出了很多问题，有事先没预计到的，也有想体现但没体现完整的。

经过课后反思及同年组教师的指点，主要表现在：（1）较多的着眼于课堂形式的多样化及学生能力（如：合作、探究、交流等）的培养，而忽视了教学中最重要的知识点的落实。

综合应用部分的练习题处理得很仓促，例题学生讲解的机会不多，教师在课前可鼓励学生大胆发表自己的意见和看法。

七年级数学上册有理数的乘方有理数的乘方是数学中一个重要的概念，它在数学运算和实际问题中都有着广泛的应用。

本文将介绍有理数的乘方的定义、规则以及解答习题的方法。

一、有理数的乘方定义及性质1. 定义：对于任意的有理数a和正整数n，a的n次方记为a^n，它表示将a连乘n次的结果。

当n为0时，任何非零有理数a的0次方都等于1，即a^0 = 1。

2. 性质：a. 乘方的运算性质：对于任意的有理数a、b和正整数m、n，有以下规则：(a) a^m × a^n = a^(m + n)(b) (a^m)^n = a^(m × n)(c) a^m ÷ a^n = a^(m - n)b. 乘方的特殊性质：(a) 任何数的1次方都等于该数本身，即a^1 = a。

(b) 非零数的负次方等于该数的倒数的正次方，即a^(-m) = 1 / (a^m)。

二、有理数的乘方计算方法1. 同底数的乘方计算：当底数相同时，可以直接将指数进行运算。

例如：计算2^3 × 2^4。

解：由乘方的运算性质(a)得知，2^3 × 2^4 = 2^(3 + 4) = 2^7。

2. 乘方与乘法的关系：乘方运算可以转化为多次乘法运算。

例如：计算3^4。

解：3^4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81。

3. 有理数的乘方与整数指数的乘法：有理数的乘方可以转化为整数指数的乘法。

例如：计算(-5)^3。

解：(-5)^3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125。

4. 有理数的乘方与分数指数的开方：有理数的分数指数可以转化为开方。

例如：计算4^(2/3)。

解：4^(2/3)等于将4开3次方再平方。

4开3次方得到2，再平方得到4。

三、解答习题例题：计算下列各式的值。

1. 5^2 + 3 × 4^2 - (-2)^3解：由乘方的计算方法可得，5^2 + 3 × 4^2 - (-2)^3 = 25 + 3 × 16 - (-8) = 25 + 48 + 8 = 81。