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O x O xO x则该多面体的体积为______________A. 32个；B. 30个；C.28个；D.26个7、给定平面向量(1,1)，那么，平面向量(231-，231+)是将向量(1,1)经过________. A ．顺时针旋转60°所得；B ．顺时针旋转120°所得；C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；8、在直角坐标系Oxy 中已知点A 1(1,0)，A 2(1/2,3/2)，A 4(−1,0)，A 5(−1/2,−3/2)和A6(1/2, −3/2).问在向量−−→−ji A A (i,j=1,2,3,4,5,6，i≠j)中，不同向量的个数有_____.A.9个；B.15个；C.18个；D.30个 9、对函数f:[0,1]→[0,1]，定义f 1(x)=f(x)，……，f n (x) =f(f n−1(x))，n=1,2,3,…….满足f n (x)=x的点x ∈[0,1]称为f 的一个n−周期点.现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n−周期点的个数是___________.A.2n 个；B.2n 2个；C.2n 个；D.2(2n −1)个.10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________. A.13π/12;B.11π/12;C.−π/4;D.−7π/12.11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin(β−α)=______. A.±3/2;B.3/2，−1/2;C. ±1/2;D.1/2,−3/2.12、已知常数k 1,k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1.设C 1和C 2分别是以y=±k 1(x−1)+1和y=±k 2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线.则C 1和C 2的离心率之比e 1/e ·等于_______.A.222111k k ++; B.212211k k ++ C.1 D.k 1/k 213、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f(x)是____________.A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x=π对称；C ．周期为2aπ的周期函数D ．周期为2π的周期函数.14、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合D 称为可行域，将函数(y+1)/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解(x,y)，则k 的取值为_____.A.k≥1;B.k≤2C.k=2;D.k=1.15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩.则下列选项中正确的是________.A. y 是x 的函数；B. z 是y 的函数；C. w 是z 的函数；D. w 是x 的函数.16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________. A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”； B. 否命题为“单调函数是周期函数”； C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”； D. 以上三者都不正确17、设集合A={(x,y)|log a x+log a y>0}，B={(x,y)|y+x<a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______A ．∅;B ．a>0,a≠1;C ．0<a≤2, a≠1D ．1<a≤218、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x−x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点.用Z 表示整数集，则在下列集合(1){n/(n+1)|n ∈Z, n≥0}， (2) R\{0}， (3){1/n|n ∈Z, n≠0}， (4)整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____.A ．(2), (3)；B ．(1), (4)；C ．(1), (3)；D ．(1), (2), (4)19、已知点A(−2,0)，B(1,0)，C(0,1)，如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k=______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32- 20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xB ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2l D ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行22、设ABC−A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB ’A’的中心，则P到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21 B ．43 C ．814 D ．82323、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组.如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系.那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量,,分别变换成向量',','，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 26、设集合A,B,C,D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅.则下列选项中正确的是______. A.如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅；B.如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅；C.如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅；D.上述各项都不正确.27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n n B ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−i C ．1+i D ．1−i29.已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P(x,y)关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是(A)2244x y x y -=+ (B)()22222x y x y -=+ (C)()22442x y x y -=+(D)()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±by a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k, m, n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A. m,n 都整除k ; B. m,n 的最大公因子整除k ; C. m,n,k 两两互素; D. m,n,k 除1外没有其它共因子2010年五校合作自主选拔通用基础测试 数学试题 适用高校:清华大学、上海交通大学等五校 一、选择题1．设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为( ) (A)32- (B)12- (C)12 (D)322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为( ) (A)2(C)13. 无试题4. 无试题5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为( ) (A)15 (B)14 (C)12 (D)236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为( )(A)1:4 (B)1:3 (C)2:5 (D)1:2O H G FEDCBA7．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是( )(A)1 (C)e2(D)2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )(A) (B)2 (C) (D)49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ.则ω可以表示为( )(A)στστσ (B)στστστ (C)τστστ (D)στσστσ 二、解答题11．在ABC ∆中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值．12．设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知12d d +=．(Ⅰ)判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；(Ⅱ)若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程．O(Ⅱ)一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．14．假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．(Ⅰ)求子一代中，三种基因型式的比例；(Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．15．设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ϕ==+>≠，满足2121()t s f t s-+=． (Ⅰ)证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t +-=； (Ⅱ)设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明：1123n n x --≤．2010年名牌大学自主招生考试试题(3)适用高校：清华大学、上海交通大学等五校(样题)一、选择题(每题5分，共25分)1.函数y=32cos sin cos x x x +-的最大值为 (A)2827 (B)3227 (C)43 (D)40272．已知a 、b 、c 、d 是实数,az bcz dω+=+, 且当Imz>0时，In ω＞0．则 (A)ad+bc>0; (B)ad+bc ＜0; (C)ad−bc ＞0; (D)ad−bc<0.3．甲、乙、丙、丁等七人排成一排，若要求甲在中间，乙丙相邻,且丁不在两端，则不同的排法共有( )(A)24种； (B)48种; (C)96种; (D)120种4．己知F 为抛物线y 2＝2px 的焦点，过点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点,l 1、l 2分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线，l 1、l 2相交于点C ，设|AF|=a ，|BF|=b ，则|CF|=(C)2a b+;5．设θ是三次多项式f(x)＝x 3−3x ＋10的一个根，且α=222θθ+-,若h(x)是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=．则h(0)= (A)−2; (B)2; (C)12-; (D)12二、解答题(本大题共55分)1.(本题15分)己知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时,f(x)单调递增，f(−1)=0．设函数()2sin cos 2x x m x m ϕ=+-,集合M=()|0,,02m x x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,N=()|0,,[]02m x f x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,求MN.2.(本题20分)甲、乙、丙、丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人．(l)经过2次传球后，球在甲乙两人手中的概率各是多少？(2)经过n 次传球后，球在甲手中的概率记为p n (n=1,2,…) ,试求1n P +与n P 的关系式,并求n P 的表达式及lim n n P →∞3.(本题20分)设p 、q 是一元二次方程x 2+2ax−1=0(a>0)的两个根．其中p ＞0，令y 1=p−q,yn+1=2n y −2,n=1,2，…，证明：11212111lim ......n n y y y y y y →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=p. 2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学三校联合自主招生考试试题(数学部分)1．(仅文科做)02απ<<，求证：sin tan ααα<<．(25分) 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB(25分)3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．(25分)4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．(25分)5．(仅理科做)存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．(25分)。
2010年五校合作自主选拔通用基础测试语文注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（甲）（16分）阅读下面的文章，完成第1-7题。
选出每小题答案后，用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
科学与人文科学研究表明，与左半脑密切相关的逻辑思维同与右半脑密切相关的形象思维很有差异，与逻辑思维密切相关的科技活动同与形象思维密切相关的人文活动也很有差异。
然而，这种差异，正好相互补充，相互支持，不同而合，浑成一体。
人为地将科技教育与人文教育割裂，文理分离，学理工的不知人文，学人文的不知理工，就是所学的专业，内容也很窄狭。
这势必严重地妨碍、制约、损害乃至扼杀人的本性、灵性、创造性的发展，势必导致培养出梁思成先生1948年所讲的“半个人”，也就是“非全人”。
表面看来，科学是求真解决对客观世界及其规律的认识问题。
它要回答的是：是什么？为什么？回答的越符合客观世界及其规律就越真，越科学。
科学技术活动主要同逻辑思维紧密联系，思维极为致密、严格，步步为营，不能越雷池半步。
而人文是求善，解决精神世界的认识问题。
它要回答的是：应该是什么？应该如何做？回答得越有利于人民就越善。
人文活动主要同形象思维紧密联系，思维极为开放、奔放，规矩虚位，妙想天开。
但是，科学与人文又是密切相关，不可分割的。
科学与人文都有着明确而强烈的追求。
一个追求真，一个追求善，追求者都在为所追求的美好而献身，一生无悔。
诺贝尔获奖者、DNA双螺旋结构的发现者克里克自传的题目就是“疯狂的追求”，曹雪芹在《红楼梦》开始就写道：“满纸荒唐言，一把辛酸泪；都云作者痴，谁解其中味？”一切献身于自己所追求的崇高事业的人，都是将一生与事业融为一体，如同苏轼赞扬一位画竹者时所写：“其身与竹化，无穷出清新。
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为 度 （A ）60 （B ）45 （C ）30 （D ）22.54.正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点， 则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（A ）1：6 （B ）1：5 （C ）1：4 （D ）1：35．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
2010年五校合作自主选拔高校特色测试（清华大学）试题高级综合（理科）注意事项1. 本试卷包括四个部分，第1-4题为第一部分，第5-8题为第二部分，第9题为第三部分，第10题为第四部分。
四个部分的原始分均为100分。
2. 本试卷题目数量较多，难度较大。
考生可以根据自己的特点选择其中部分题目做答，其中第一、第二部分至多选择6题。
3. 考生应当在答题卡上做答，在试卷制作答无效。
回答第一、第二部分试题是应当用2B 铅笔将选答题目的题号填涂在答题卡相应位置；未填涂题号的答案不能评阅，题号填涂错误的不给分。
第三、第四部分试题直接在答题卡指定位置做答。
4. 四个部分的成绩将分别评阅并折算为标准分。
最终成绩将根据四个部分的标准分情况决定。
某一个或者几个部分成绩特别突出，或者整体表现较为突出的，成绩可评定为A 。
第一部分1．（25分）计算?70sin 50sin 10sin 444=︒+︒+︒2．（25分）现有一段长度为n 的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段的长度都要严格小于当前最短的一段的长度的两倍。
例如：当n =6时最多只能锯成两段：6=3+3，但n =7时最多可以锯成3段：7=3+4，然后4可以在锯成2+2。
问：n =30时最多能够锯成多少段？3．（25分）请设计一种方案，对1维实数轴上的每一个点进行染色，使得任意距离为1、2或者5的两个点都不同色，要求所使用的颜色数目尽可能少。
4．（25分）12个人围坐在一个圆桌旁参加一个游戏，主持人给每个人发一顶帽子，帽子的颜色包括红、黄、蓝、紫。
每一个人都可以看到所有其他11个人头上帽子的颜色，这12个人可以事先约定好一种策略，但是当游戏开始后就不能再进行交流。
他们的目标是使12个人同时回答正确的机会最大。
假定主持人给每个人发的帽子的颜色是完全随机的，试给出一种策略，并分析再次策略下所有人都猜对的概率。
第二部分5．（35分）一个质量为m 的质点，初始时刻静止，从光滑的半球面顶点开始下滑，半球固定，其半径为R ．求：（1）小球到达地面时距离初始位置的水平距离；（2）对地面的冲量．（假设小球落地时没有弹起来）6．（20分）直立的汽缸被活塞封闭有1mol 气体，活塞上装有中物，活塞及重物的总质量为m ，活塞面积A ，重力加速度g ，活塞与汽缸间摩擦可忽略，但活塞可以传导热量．初始时活塞位置固定，气体温度与环境平衡，气体体积为V o ．活塞被放松后将振动起来，最后活塞静止于具有较大体积的新的平衡位置．假设环境压强P o ，环境温度为T o ．试问：（1）若气体是理想气体，活塞从运动达到平衡过程，气体向环境吸热多少？（2）实际气体中分子间平均是吸引力，若气缸内气体是实际气体，其它量都与理想气体时相同，则上述过程气体向环境吸热比理想气体情形多还是少？7．（30分）有个半球壳均匀带电Q ，球壳在空间直角坐标系o-xyz 中方程为： []0,,2222R x R z y x -∈=++．求：（1）半球中心O （0,0,0）点的电势；（2）半球直径面上S （0,y ,0）点的电势（y >R ）；（3）半球对称轴上P ’（x ,0,0）点的电势．假设另一对称点P （-x ,0,0）点电势U p 为已知（x >R ）．8．（15分）有一圆柱形玻璃柱，一光束从圆柱底面入射．为了简单我们只考虑圆柱轴线在入射面（光线与入射点发现构成的平面）上的情形．无论入射角多大，光束进入玻璃柱后都不能从侧面射出．求玻璃的折射率应满足什么条件？这其实就是光纤通讯的基本原理．现在我们减小圆柱形玻璃柱的直径是其小于1微米，以上讨论还有效吗？为什么？请给予简短讨论．第三部分9．太湖是中国第三大淡水湖，是苏锡常地区重要的饮用水水源地。
2008年清华大学考题1.求()x e f x x=的单调区间及极值.2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求1lim nk n k A →∞=∑.3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不到声音的概率.4.(1)求三直线60x y+=，1 2y x=，0y=所围成三角形上的整点个数；(2)求方程组21260y xy xx y<⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩的整数解个数.5.已知(1,1)A--，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线1(0)xy x=>一支上.(1)求证B 、C 关于直线y x =对称；(2)求△ABC 的周长.6.对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{}P R PP r M ∈<⊆.判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论.2009年清华大学自主招生数学试题第一天（共11题，艺术生做1－7，10－11，其他考生1－9题）1.求公差是8、由三个质数组成的数列。
2.证明：一个2n+1项的整数数列，它们全部相等的充分必要条件是满足条件p ，条件p 为任意取出2n 个数，都存在一种划分方法，使得两堆数每堆含有n 个数，并且这两堆数的和相等。
3.四面体ABCD,AB=CD,AC=BD,AD=BC 。
（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。
（2）设底面为BCD ，设另外三个面与面BCD 所形成的二面角为α，β，γ。
一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23(C)22 (D)6313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2m α2m α),12b =(2n β2n β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2mn θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则22x y + ）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为12328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()333(cossin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]663i ππ-+- 31sin )6623i i ππ+=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅2211221111(1)(1)x x x x ++2121111x x +++11122||||x x +⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2||||OA OB ⋅22,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离2111()1x x -+1，正确。
2010清华大学自主招生考试试题第一二部分（略）第三部分如下白骨一堆粉丝李国文中国文学，一直有大众化和小众化的分野。
唐代的白居易，则是最能代表中国文学大众化的典型诗人。
白居易，生于公元772年（唐代宗大历七年），终于公元846年（唐武宗会昌六年），活了74岁。
经历顺宗、宪宗、穆宗、敬宗、文宗、武宗六朝。
无论当时，无论后世，谈及这位诗人，离不开以下三点：一，他在诗坛领袖群伦，推动潮流的地位；二，他在朝野引起轰动，遐迩知名的程度；三，作为诗人，他在当时中国人之大多数心目中的无与伦比的尊崇，非同凡响的声望，他的粉丝，可以说是举国上下，遍地皆是，大江南北，无处不在，这也许是最值得大书而特书的中国文学的“白居易现象”。
他的朋友元稹为他的诗集《白氏长庆集》序中，这样写道：“二十年间，禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书，王公、妾妇、马走之口无不道。
缮写模勒，炫卖于市井中，或持之以交酒茗者，处处皆是。
”明人胡震享的《唐音癸签》一书中引《丰年录》：“开成中，物价至贱，村路卖鱼肉者，俗人买以胡绡半尺，士大夫买以乐天诗。
”白居易的一首诗，竟可以换来一条胖头鱼，一方五花肉，我估计当代诗人的作品，怕难以卖出这样的高价来。
所以，我一直认为，白居易大众化的文学追求，和白居易诗歌的大众化现象，是特别应该加以研究的对象。
因为与之相对的文学小众化，文人的小圈子化，贵族化，雅痞化，老爷化，使得文学脱节于现实，疏隔于生活，陌生于人民，淡漠于民众，再这样下去，不但换不来鱼，换不来肉，被人唾弃，视作敝屣的日子，也就不远了。
为什么要研究，因为在唐朝，中国文人的作品，其传播的范围，速度，方法，手段，都是极其有限的。
然而，白居易能够在这有限的空间里，创造出来无限的局面，在中国文学史上，是少有的被他同时代广大公众所追捧，千载以来被更广大公众所认可的成功者。
“自长安抵江西三四千里，凡乡校、佛寺、通旅、行舟之中，往往有题仆诗者；士庶、僧徒、孀妇、处女之口，每每有咏仆诗者。
教育部考试中心2010年1月用2010年五校合作自主选拔通用基础测试数 学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1．设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）（A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B ） （C ）1 （D 3．如果平面,αβ，直线,m n ，点,A B ，满足：//,,,,m n A B αβαβαβ⊂⊂∈∈，且A B 与α所成的角为,4m A B π⊥，n 与A B 所成的角为3π，那么m 与n 所成的角大小为（ ） （A ）3π（B ）4π（C ）6π（D ）8π4．在四棱锥V A B C D -中，11,B D 分别为侧棱,VB VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V A B C D -的体积之比为（ ）（A ）1:6 （B ）1:5 （C ）1:4 （D ）1:35．在A B C ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ）（A ）15（B ）14（C ）12（D ）236．如图，A B C ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作O F 垂直B C 于F ，O H 与A F 相交于G ，则O F G ∆与G A H ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B ）2（C ）e 2（D ）2e48．设双曲线2212:(2,0)4x yC k a k a-=>>，椭圆2222:14x yC a+=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线O A 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于O C D 所在平面的镜面反射，设l 为过A B 中点与C D 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ 表示变换的复合，先作τ，再作σ。
目录2010年华约自招——数学 (1)2011年华约自招——数学 (3)2011年卓越自招——数学 (5)2012年华约自招——数学 (7)2012年卓越自招——数学 (9)2013年北约自招——数学 (11)2013年华约自招——数学 (12)2013年卓越自招——数学 (13)2010年华约自招——物理 (15)2011年华约自招——物理 (18)2012年华约自招——物理 (21)2012年卓越自招——物理 (24)2013年北约自招——物理 (27)2013年华约自招——物理 (29)2013自招整体评析 (31)2013自主招生“北约”“华约”“卓越”数学试卷评析 (32)2013自主招生“北约”“华约”“卓越”物理试卷评析 (33)2013自主招生“北约”“华约”“卓越”语文试卷评析 (34)2013自主招生“华约”数学试卷解析 (35)2013自主招生“华约”数学试卷解析 (37)2013自主招生“北约”数学试卷解析 (38)2013自主招生“华约”物理试卷解析 (39)2013自主招生“北约”物理试卷解析 (41)2010年华约自招——数学即2010年五校合作自主选拔通用基础测试一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设复数21a i w i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为A ．32-B ．12-C ．12D ．322． 设向量a b ，满足1a b a b m ==⋅=，，则()a tb t +∈R 的最小值为A ．2 BC ．1 D3．如果平面αβ，，直线m n ，，点A B ，满足：m n A B αβαβαβ⊂⊂∈∈，，，，，∥且AB与α所成的角为π4m AB n ，，⊥与AB 所成的角为π3，那么m 与n 所成角的大小为A ．π3B ．π4C ．π6D ．π84．在四棱锥V ABCD -中，11B D ，分别为侧棱VB VD ，的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V ABCD -的体积之比为 A ．1:6 B ．1:5 C ．1:4 D ．1:35．在ABC △中，三边长a b c ，，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为A ．15B ．14C ．12D ．236．如图ABC △的两条高线AD BE ，交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG △与GAH △面积之比为A ．1:4B ．1:3C ．2:5D ．1:27． 设()()0ax f x e a =>，过点()0P a ，且平行于y 轴的直线与曲线():C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是A ．1 BC ．2e D ．24e8． 设双曲线()2212:204x y C k a k a -=>>，，椭圆2222:14x yC a +=，若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为A． B ．2 C． D ．49． 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．910． 设定点A B C D 、、、是以o 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180旋转，设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ，则ω可以表示为 A ．στστσ B ．στστστ C ．τστστ D ．στσστσFDBCOGH E A二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11． （本题满分14分）在ABC △中，已知22sin cos212A BC +==，外接圆半径2R =．⑴ 求角C 的大小；⑵ 求ABC △面积的最大值． 12． （本题满分14分）设A B C D ，，，为抛物线24x y =上不同的四点，A D ，关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12d d ，，已知12d d +=．⑴ 判断ABC △是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； ⑵ 若ABC △的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程． 13． （本小题满分14分）⑴ 正四棱锥的体积3V =求正四棱锥的表面积的最小值；⑵ 一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．14． （本小题满分14分）假定亲本总体中三种基因型式：AA Aa aa ，，的比例为:2:(0002u v w u v w u v >>>+，，， 1)w +=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． ⑴ 求子一代中，三种基因型式的比例；⑵ 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15． （本小题满分14分）设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()102s t at b t a φ⎛⎫==+>≠ ⎪⎝⎭，，满足2121t s f t s -+⎛⎫=⎪⎝⎭． ⑴ 证明：存在函数()()0t s cs d s φ==+>，满足2121s t f s t +-⎛⎫=⎪⎝⎭； ⑵ 设()11312n n x x f x n +===，，，，，证明：1123n n x --≤．2011年华约自招——数学即2011年高水平大学自主选拔学业能力测试一、 选择题1． 设复数z 满足1z <且152z z +=则z =（ ） A ．45 B ．34 C ．23 D ．122．在正四棱锥P ABCD -中，M N 、分别为PA PB 、的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为DM 与AN 所成角的余弦为（ ） A ．13 B ．16 C ．18D ．1123．过点（-1,1）的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，点（-1,1）不是切点，则直线l 的斜率是（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-24．若2π3A B +=，则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）A．312， B ．1322， C．11+ D．112+， 5．如图，1O 和2O 外切于点2C O ，又都和O 内切，切点分别为A B ，．设AOB ACB αβ∠=∠=，，则（ ）A ．cos sin02αβ+= B ．sin cos02αβ-=C ．sin 2sin 0βα+=D ．sin 2sin 0βα-=6．已知异面直线a b ，成60︒角．A 为空间一点则过A 与a b ，都成45︒角的平面（ ）A 有且只有一个B 有且只有两个C 有且只有三个D 有且只有四个7．已知向量()()313101112222a b c xa yb zc ⎛⎫⎛⎫==--=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，则222x y z ++的最小值为（ ）A ．1B ．43C ．32D ．28．AB 为过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=︒，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为（ ）A ．BC D9．如图，已知ABC △的面积为2，D E ，分别为边AB ，边AC 上的点，F 为线段DE D 上一点，设ADAE DFx y z AB AC DE ===，，，且1y z x +-=，则BDF △面积的最大值为（ ） A ．827 B ．1027C ．1427D ．1627A D E F10． 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）A ．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B ．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C ．存在某种分法，所分出的三有形至少有3个锐角三角形D ．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 二、 解答题11． 已知ABC △不是直角三角形．⑴ 证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；⑵若tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2sin 2sin 2sin 2A B B C ，，，的倒数成等差数列，求cos 2A C-值． 12． 已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处． ⑴ 若3b a =，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； ⑵ 水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13． 已知函数()()2121123x f x f f ax b ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭，，．令()1112n n x x f x +==，．⑴ 求数列{}n x 的通项公式； ⑵ 证明12112n x x x e +>． 14． 已知双曲线()221222:100x y C a b F F a b -=>>，，，分别为C 的左右焦点．P 为C 右支上一点，且使12π3F PF ∠=，又12F PF △的面积为2．⑴ 求C 的离心率e ；⑵ 设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C C 上的任意一点，问是否存在常数()0λλ>，使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．F 1F 2x2a 2cPE FP15． 将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以n p 表示未出现连续3次正面的概率．⑴ 求1234p p p p ，，，；⑵ 探究数列{}n p 的递推公式，并给出证明；⑶ 讨论数列{}n p 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．2011年卓越自招——数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.向量,a b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则,a b 的夹角为（ ） A ．6π B.3π C.23π D.56π 2.已知()sin 2sin 2n αγβ+=，则()()tan ()tan αβγαβγ++=-+A ．11n n -+ B. 1n n + C.1n n - D.11n n +- 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，F 是棱11A B 上的点，且11:1:3A F FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为（）A ．153 B.155C.53D.554.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，ABC ∆三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4200x y +-=，则抛物线方程为（ ）A ．216y x = B.28y x =C. 216y x =-D. 28y x =-5.在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均等于2，且E 为1CC 的中点，则点1C 到平面1AB E 的距离是（ ） A ．3B.2C.32D.226.若关于x 的方程24xkx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ）A ．()0,1 B.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.()1,+∞7.如图，ABC ∆内接于O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交O 于G ，F ，交O 在A 点处的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则P A 的长为（ ）A ．5 B.6 C.7 D.228.数列{}n a 共有11项，11110,4,1,1,2,...,10k k a a a a k +==-==，满足这样的条件的不同数列的个数为 （ ）A ．100 B. 120 C.140 D.1609. i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则2221z z z i-+-+的最大值为（）A 1 B. 2 C. 1 D. 2+10.设σ是坐标平面按照顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射，用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用k σ表示连续k 次σ的变换，则234στστστσ是（ ） A ．4σ B. 5σ C. 2στ D. 2τσ二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11.（本题满分14分）设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+（1） 设1n n n b a a +=-，证明：若a ≠b ，则{}n b 是等比数列； （2） 若()12lim ...4n n a a a →∞+++=，求a 、b 的值12.（本题满分14分）在ABC ∆中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC 。
北京大学：1.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。
2.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0<t0<1/5时，夹角的取值范围。
3.存不存在0<x<π/2，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列。
上海交通大学：1．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．2．方程7x2 (k+13)x+k2 k 2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是__________．3．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件"有3个盒子各放一个球"的概率是________．4．若今天是星期二，则31998天之后是( )A．星期四B．星期三C．星期二D．星期一5．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的两个根，则此数列各项的积是( )A．pm B．p2m C．qm D．q2m6．设f '(x0)＝2，则( )A．2 B．2 C．4 D．4）7．已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有，．试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．8．设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝f( x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．9．设在x＝0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．(b,c>0)10．两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．。
