乘法公式活用例析

乘法公式的用法范文乘法公式是数学中的一个重要概念，用于计算两个或多个数的乘积。

它是数学中最基础也是最常用的运算之一、下面将详细介绍乘法公式的定义、原理、推导以及一些常见的应用。

1.乘法公式的定义乘法公式是指将两个或多个数相乘的方法。

用符号“×”表示乘法。

例如，将两个数3和4相乘，可以表示为3×4=122.乘法公式的原理乘法公式的原理是根据数的乘法性质和分配律。

乘法性质是指任何数和0相乘的结果都等于0，即a×0=0。

分配律是指两个数相乘后再与第三个数相加，等于先将第一个数与第三个数相加，再与第二个数相乘的结果，即(a+b)×c=a×c+b×c。

3.乘法公式的推导根据乘法性质和分配律，可以推导出一些常用的乘法公式。

(1)平方的乘法公式平方是指一个数与自己相乘的结果。

例如，3的平方可以表示为3×3，记作3²=9、通常，正数的平方都是正数，负数的平方都是正数。

(2)倍数的乘法公式倍数是指一个数乘以一个正整数的结果。

例如，3的2倍可以表示为3×2=6(3)乘方的乘法公式乘方是指一个数连乘多次的结果。

例如，2的3次方可以表示为2³=2×2×2=84.乘法公式的应用乘法公式在日常生活、工作和学习中都有广泛的应用。

(1)计算面积和体积：乘法公式可以用于计算长方形的面积、圆的面积和球的体积等。

例如，长方形的面积可以通过将长和宽相乘来计算，圆的面积可以通过将π乘以半径的平方来计算。

(2)求解方程：乘法公式可以用于求解方程。

例如，如果已知一个方程的两个解分别是3和4，那么根据乘法公式，可以得出方程的形式为(x-3)(x-4)=0，从而求得方程的解。

(3)统计分析：乘法公式可以用于统计分析中的概率计算。

例如，在投掷两个骰子的情况下，根据乘法公式，可以计算出每种点数的出现概率。

(4)商业应用：乘法公式在商业计算中也有广泛的应用。

乘法公式·要点全析1．平方差公式（formula for the difference of squares ）（1）表达式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．（2）语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．（3）注意事项：①运用公式要抓住公式的结构特征，左边是两个数的和与这两个数的差相乘，右边正好是这两个数的平方差，对于形如两数和与这两数差相乘，就可运用上述公式计算．②公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可运用该公式．③在运用公式时，要求分清哪个数相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ，按公式的结构相乘．例如：①（m ＋4）（m －4）＝②（2a 2＋3b ）（2a 2－3b ）＝．③（－43xy 3－32x 3）（43xy 3－32x 3）＝2．完全平方公式（formula for the square of the sum ）（1）字母表达式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2．可合写为（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．（2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．右面可说为：“首平方，尾平方，首尾之积的2倍加减在中央”．（3）注意事项：①对于形如两数和（或差）的平方运算，可运用完全平方公式计算．利用公式计算时，首先确定将哪个数或式看作a ，将哪个看作b ，再按公式结构展开． ②这两个公式，是据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的． ③公式中的a 、b 可表示具体的一个数或其他的一个代数式． ④可推广：如（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ．（a ＋b ＋c ＋d ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd ．……3．平方差公式的灵活运用有些式子在计算时，不能直接利用平方差公式，需要稍加变形或变式后，才能使用．常用的方法有如下几种：（1）调换位置．如：（1＋2a ）（－2a ＋1）＝（1＋2a ）（1－2a ）＝1－4a 2．（2）提取－1或其他公因式．如：（－a －b ）（a －b ）＝又如：（6x ＋2y ）（3x －4y）＝（3）分组．如：（a－b＋c－d）（a＋b－c－d）＝（4）运用积的乘方变形．如：（a－b）2 （a＋b）2＝（5）将乘式同时乘以并且同时除以一个适当的因式．如：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝…又如：（1－m）（1＋m2）（1＋m4）（m≠－1）＝（6）把一个因式适当变形．如：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（7）将因式多项式拆项或添项．如：（a－b）（a＋2b）＝4．完全平方公式的灵活运用a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，a2＋b2＝（a－b）2＋2ab，（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2），（a＋b）2－（a－b）2＝4ab．（1）恒等式a2＋b2＝（a＋b）2－2ab和a2＋b2＝（a－b）2＋2ab的应用．在此恒等式中，有三个量a2＋b2、（a＋b）2或（a－b）2、ab，若已知任意两个，则可求第三个，求得（a＋b）2或（a－b）2，也就求得a＋b或a－b．例如：①若a2＋b2＝3，ab＝1，可求（a＋b）2．②若a－b＝3，ab＝4，则可求a2＋b2．（2）恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）的应用．在恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）中，有三个量a＋b、a－b、a2＋b2，若已知两个量，就可求第三个量．例如：已知a－b＝－1，a2＋b2＝5．求a＋b．解：（3）恒等式（a＋b）2－（a－b）2＝4ab的应用．在此等式中，有三个量a＋b，a－b，ab．若知任两个量，可求第三个量．例如：已知a－b＝1，ab＝2，求a＋b．解：（4）利用完全平方公式，求平方数．如：152＝ 232＝672＝．79.22＝（5）完全平方数是非负数．任何一个完全平方数M都能化为n2的形式，即M＝n2，由偶次幂的性质得n2≥0．当n＝0时，n2的最小值是0，并且n2具有非负数的性质，即若n个非负数的和为0，则这几个非负数就同时为0．因此，（a±b）2≥0．当a±b＝0时，（a±b）2的最小值为0．例如：①已知（x＋y－1）2＋（x－2）2＝0，则x＝_______，y＝___________．解：例如：②已知，a、b为自然数，且a＋b＝2，求ab的最大值及a、b的值．解：5．完全平方公式的逆运用，即a2±2ab＋b2＝（a±b）2把一个形如a2±2ab＋b2的二次三项式化为（a±b）2的形式，然后运用（a ±b）2的性质求解问题．例如：已知x2＋4x＋y2－2y＋5＝0，求x、y的值．解：再如：已知a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则a、b、c的关系为_______．解：也可以运用公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2把一类二次三项式直接化为（a±b）2的形式．如4x2－4xy＋y2＝（2x）2－2×2x×y＋y2＝（2x－y）2．6．完全平方式因为a2±2ab＋b2能化成（a±b）2的形式，所以，形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式，其中a、b表示代数式．例如：①已知x2＋4x＋k是完全平方式，求常数k的值．解：②已知x 2＋2kx ＋4是完全平方式，求常数k 的值．解：思考题；已知x 2＋M ＋4是一个完全平方式，求代数式M （提示：①当M 为常数项时；②当M 为乘积项，即“一次项式”时；③当M 为“二次项式”时．并分析在三种情况下，M 的值有多少个．）注意：完全平方数是完全平方式的特例．总之，完全平方公式，应用广泛，灵活，具有丰富的方法和技巧．7．平方差公式可变形后运用（1）可变形为a 2＝（a ＋b ）（a －b ）＋b 2，可快速求两位数的平方． 如：352＝（35＋5）（35－5）＋52＝1 225．972＝（97＋3）（97－3）＋32＝100×94＋9＝9 409．（2）在（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2中，有三个多项式，若已知任意两个的值，即可求第三个的值．如：已知a ＋b ＝3，a 2－b 2＝4，则a －b ＝--------．（3）对公式（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2的逆运用，即利用公式a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）求解问题．（其实（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2和a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）都是平方差公式）如：①x 2－4＝②1－4a 2b 2＝③（a ＋b ）2－（a －b ）2＝④（1－221）（1－231）（1－241）…（1－2101）＝。

1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

（ ） ６ ＝ （ 一 ６ 。 ２ ｂ ３ ｎ ＋ ： ｎ ＝ ）＋ ａ ； （ ） ｎ ６ （ 一 ６ ４ ｂ ４ （ ＋ ）～ 口 ）一 ａ．
一
丢㈣ ） （
一
—
【 ４ 已知（ 一． 。 ５ （ ＋ 。 ７求 ｘ 例 】 ｚ ｙ － ，ｚ ）－ ， ｙ的值． ）
【 ２ 计算 （＋１ （。 ）２＋１ （。 ） 例 】 ２ ） ２＋１ （ ） ２＋１．
分析 ： 因为 （—１ ＝ １ 所 以 ， ２ ）： ， ： 前面 配上 因式 （ —１ ２ ） 既不改变原式 的值又能连续运用平方差公式． 解： 原式一（ —１ （ ＋１ （ ）２ ＋１ （ ） ２ ）２ ） ２＋１ （ ） ２＋１
一
（ ｚ— ） 一 （ ＋ ） － ４ ｙ ｚ － ｘ
公式为基础 ， 能从 中看 到某 一公式 的“ 影子 ”这 时， ， 一
一 ５ 一 ４× ３ ＝ １． ３
般 的做法是把题 目进行适 当变形后套用公 式． 【 ０ 】 计算 （ 侈 １ ＋ ｚ ）（。 ）（ — ｚ ＋ ）．
［ｚ －ｙ） ＋ ） 用 掌握 了课 本 上 的几 个 公式 后 ， 注意 对公 式 进 行推
一（ －ｙ）
＝ － ２ ｘ Ｙ ＋ ．
广， 这样既深化了所 学知识 ， 又能为解 题带来很大 方便．
常见的推广公式有 ：
一
—
解 ：’ｚ ｙ ｚ ’（ ＋． 一（ — ）＝４ ｙ ． ） ｘ ，
且（ ｚ— ） 一 ５ （ ＋ ） ７ 。 ，ｚ 一 ，
２‘
（ 任编辑 责
金
铃）
８ ２ 中学教学参考 （ 上旬）２ １． ０ ０ ２总第 ４ ０期
Ｉ

1 乘法公式应用一、基本公式平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2 完全平方公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) = x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) = (x -y )2-z 2 = (x -y )(x -y )-z 2 = x 2-xy -xy +y 2-z 2 = x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) =(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4 ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 二、派生公式：得如下几个比较有用的派生公式：()()()()22222221.23.2.a b ab a b a b a b a b +-=+++-=+ ()()()222222.24.4a b ab a b a b a b ab-+=++--=2 三、计算:1、平方差公式应用①()()b a b a 5353-+； ②()()t s t s ---22； ③()()()4222+-+x x x ； ④101⨯99.⑤()()n m n m 7474+-； ⑥()()b a b a 5252---； ⑦()()232322-+a a ；⑧()()()1112++-a a a ； ⑨ 402⨯398； ⑩ 79.9⨯80.1.2、完全平方公式应用（1） （a －b)2； （2）（2x －3y )2； （3）（2x ＋y 2)2； （4） （x ＋3)2；（5）（x －3)2； （6）（2m －n)2； （7）（3a 2＋b ）2； （8）（2a ＋31b ）2；（9）（－2m－n)2；（10）（2a＋1）（－2a－1）；（11）（2x＋y）2（12）（－2m－n）23、灵活应用公式①()()yxyx22-+；②()23yx-；③()23yx+；④()()22baba-++；⑤()()22baba--+；⑥()212-+ba.⑦()232ba+；⑧()223ba+-；⑨()222)2(yxyx-++；⑩()()zyxzyx3232+--+；①()23ba+；②；()()222255xyyx-+34 ③()()2233m n n m ++-； ④)()()n m n m 7474+- ； ⑤()()()()y x y x y x y x 22-++-+4、请用简便方法计算：(1) 1.03⨯0.97 ； (2)402⨯398 ； (3)10022 ； (4)(99.9)2； (5)999⨯1001 ； (6)1982.5、公式变式训练①（a －b+c )2； ②（a ＋b －1）（a ＋b +1）； ③（2x －y －z ）（2x + y －z ）③（2m －n+1)2； ④（2a ＋b －1）（2a ＋b +1）； ⑤（－2m －n -a ）2⑦2x －y －z ）2⑧（a ＋21b －1）2； ⑨（2a ＋b －1）（1－b－2 a ）；5 ⑩22)2()2(+-x x ①22)12()12(+-x x ②22)2()2(y x y x +-6、用公式ab x b a x b x a x +++=++)())((2口算 （1） （x ＋2）（x －3）； （2）（x －2）（x ＋3）； （3）（x ＋2）（x ＋3）； （4） （x －2）（x －3）；（5）（x ＋4）（x －6）； （6）（x －6）（x ＋4）； （7）（x ＋4）（x ＋6）； （8）（x －4）（x －6）；（9）（x －7）（x －8）； （10）（x ＋7）（x ＋8）； （11）（x ＋7）（x －8）； （12）（x －7）（x ＋8）；（13）（2x －7）（2x +8）； （14）（-2x ＋7）（-2x ＋8）； （15）（x ＋7）（8－x ）； （16）（7－x ）（x ＋8）；6 四、解答：1、判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？2、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。

乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。

灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。

本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。

乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。

乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。

在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。

例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。

这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。

乘法公式还可以用于因数分解。

因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。

例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。

因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。

乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。

例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。

如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。

此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。

例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。

乘法公式的应用乘法公式是数学中常用的公式之一，用于解决乘法运算问题。

在现实生活中，乘法公式的应用十分广泛，涵盖了经济、工程、科学等多个领域。

以下是乘法公式的一些应用供参考：1.计算面积和体积：乘法公式可以用来计算各种形状的面积和体积。

例如，矩形的面积可以通过将矩形的长乘以宽来计算，即面积=长×宽。

圆的面积可以通过将π（圆周率）乘以半径的平方来计算，即面积=π×半径²。

立方体的体积可以通过将边长相乘三次来计算，即体积=边长×边长×边长。

2.计算物品的价格：在购买物品时，乘法公式可以用来计算物品的总价格。

例如，如果一件衣服的价格为100元，而购买了10件相同的衣服，那么总价格可以通过将价格乘以数量来计算，即总价格=价格×数量=100×10=1000元。

3.计算利润和损失：在经济领域中，乘法公式可以用来计算利润和损失。

例如，如果一个商人以每件商品10元的价格购买了100件商品，并以每件商品15元的价格出售，那么他的总利润可以通过将销售价格减去购买价格后再乘以商品的数量来计算，即总利润=（销售价格-购买价格）×数量=（15-10）×100=500元。

4.求解几何问题：乘法公式可以用来求解各种几何问题。

例如，两条平行线之间的距离可以通过将一条平行线上两个点之间的距离乘以一个比例因子来计算。

另外，三角形的面积可以通过将底边的长度乘以高度再除以2来计算。

5.计算光速和速度：乘法公式可以用来计算光速和速度。

光速是物理学中的一个重要常数，音速和其他速度也可以通过光速乘以相应的倍数来计算。

除了以上提及的应用，乘法公式还广泛应用于科学实验、财务分析、统计学和工程等领域。

通过运用乘法公式，我们可以更加准确地解决实际问题，并得出相关结论。

因此，掌握和理解乘法公式的应用对于数学和各个领域的研究和应用都具有重要意义。

总结起来，乘法公式的应用十分广泛，涵盖了数学、经济、工程、科学等多个领域。

∥ ４－ ＋＋１ ２ （＋１ ＋ ２ —＝ ） － 一
咒 。 戈
２ （ ２－ － ： Ｘ－２１ ＇ － ｔ
。
一２）－２ （ ２ ：【 ＋ ）－ ２ 一 ２ ］ ｚ
例 ４ 已知 一 ＋１ ， ＝０ 求 ＋ １的值．
分析 ： ２ ＋１ Ｘ一 ＝Ｏ是一个一元二次方程 ，
的．
分析 ： ０ １０×９ ＝ （ ９ ８ ９ ＋１ （ ９ ） ９ —１ ， ） 恰好 然 后使 用公 式计算 ，从而 达 到化难 为 易 的 目 可用平方差公式计算 ．
解 ：９ 。 ０ ９一１０×９ －９ （ ９ １ （ ９ ８ ９一 ９ ＋ ） ９ —
１） ９一 （ ９一 １） ． ＝９ ９ ＝１
９２ ｂ＋４ ａ－ ６— ４；
分析： 本题前面 的连乘 中后一个 因式恰好 是前一个 因式里 两个数 的平方 和 ， 针对 这一特
（） ３ 原式＝［ 一３ ） ＋３ ） ＝（ 一 （ ｙ （ ，】 ，２
＋８ ｙ； １４
６ 点， 只要在连乘 因式前面添上 因式 （ —１ ， ２ ） 即 ９ ）＝ １ ｘ一７
１） ２ 一 ．
＝
＝
解 ：（ ） １ 原式 ＝ （ 一３） ＋３） Ｘ＋９ （ （２ ）
（ 一９）（ ＋９） 。 ＝ 一８ ； １
（ ） 式 ＝［ａ￣（ －２ 】 口 （ 一２ ］ ２原 ３ － ｂ ）【 一 ｂ ） － ３
（ ０ 一 （ ３） ｂ一２） ＿ ａ 一 （ ４ ｍ９ ２ ｂ － ｂ＋４）＝
原 式 通过 变 形 后 再 运用 乘 法
公式进行计算 ． 其变形 如下 ： 第
１ 小题 利用乘法交换 律 ，两次
使用平 方差公 式计算 ； ２小 第

知识应用：活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．一、对号a、b，正确运用例1 计算(-2+3x)(-2-3x)．分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用例2 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用例3 计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4 计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用例5 计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．例6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。

乘法公式的综合应用乘法公式是数学中常见的一个工具，它可以在各种实际问题中得到广泛的应用。

本文将介绍乘法公式的几个重要应用，包括比例关系、面积和体积计算、概率问题等。

第一部分：比例关系的应用乘法公式在比例关系的建立和求解中起着关键作用。

比例关系是两个或多个量之间的等比关系，常用形式为a:b=c:d。

乘法公式可以用来求解未知量或进行比较。

例子1：若一辆汽车每小时行驶60公里，则2小时行驶的里程是多少？解：根据题意可知，汽车的行驶速度为60公里/小时，行驶时间为2小时。

我们可以用乘法公式来求解问题。

令行驶里程为x公里，则60公里/小时乘以2小时等于x公里，即60*2=x。

通过计算可得，x=120公里。

例子2：一桶水中液位每分钟下降0.5厘米，若桶里的水先后下降了10厘米和15厘米，则这两段时间的时间差是多少？解：设时间差为t分钟，根据题意可得水面下降的速度为0.5厘米/分钟。

利用乘法公式，可以得到0.5厘米/分钟乘以t分钟等于水位下降的总高度，即0.5t=25、通过计算可得，t=50分钟。

第二部分：面积和体积的计算乘法公式在计算面积和体积时也起到重要的作用。

对于不规则图形和立体图形，乘法公式可以通过将各个边长或高度相乘得到最终的结果。

例子3：一个长方形花坛的长为5米，宽为3米，求其面积是多少？解：面积可以通过将长和宽相乘得到，即5米*3米=15平方米。

因此，该花坛的面积为15平方米。

例子4：一个正方体的边长为2厘米，求其体积是多少？解：体积可以通过将边长相乘三次得到，即2厘米*2厘米*2厘米=8立方厘米。

因此，该正方体的体积为8立方厘米。

第三部分：概率问题乘法公式在概率问题中也发挥着重要的作用。

通过乘法公式，可以计算得到事件发生的概率。

例子5：有一个有15个白色球和10个红色球的箱子，从箱子中随机抽取两个球，不放回。

求抽出两个白色球的概率。

解：首先计算抽出第一个白色球的概率，为15/25；然后计算抽出第二个白色球的概率，为14/24、通过乘法公式，可以得到两个白色球同时被抽出的概率为(15/25)*(14/24)=7/20。

活用乘法公式解题武汉 李小明乘法公式是某些特殊形式的多项式相乘，得出的规律的概括。

牢固掌握乘法公式的结构特征。

深刻理解公式中字母的广泛含义，灵活运用公式解题是教学的重难点。

本文就乘法公式的活用，略举几例加以说明。

一、对号a 、b ，活用公式例1 计算)231)(231(22y x y x --- 分析：解决本题的关键是弄清公式中的a 、b 各表示什么，然后用准公式. 方法一：)231)(231(22y x y x ---方法二：)231)(231(22y x y x --- =)312)(312(22x y x y +--- =)231)(231(22y x y x -+- =222)31()2(x y -- =])2()31[(222y x -- =24914x y - =24914x y - 二、变化系数，活用公式例2：计算 ))(44(21b a b a -+ 分析：从表面上看起来，不便使用公式，但仔细观察会发现4a+4b 可变形为4(a+b)，这样转化后便可用公式计算了. 解：))(44(21b a b a -+=222222)(2))((421b a b a b a b a -=-=-+⨯ 三、合理分组、活用公式例3 计算：(2x+y-3)(2x-y+3)分析：观察题目的结构，进行合理分组，视2x 为公式中的a ，y-3为公式中的b ，“套用”公式便转化为平方差公式的形式.解: (2x+y-3)(2x-y+3)=22)3()2()]3(2)][3(2[--=---+y x y x y x=964)96(42222-+-=+--y y x y y x例4 计算：(5a+2b-3c)2分析：将5a+2b 视为公式中的a,3c 视为公式中的b ，利用公式(a-b)2=a 2-2ab+b 2便可计算.解：(5a+2b-3c)2=(5a+2b)2-2(5a+2b )·3c+(3c)2=25a 2+2·5a ·2b+(2b)2-30ac-12bc+9c 2=25a 2+20ab+4b 2-30ac-12bc+9c 2 四、连续运用，活用公式例5 计算：4(5+1)(52+1)+1分析：将4变形为5-1，便可连续运用平方差公式计算.解：4(5+1)(52+1)+1=(5-1)(5+1)(52+1)+1=(52-1)(52+1)+1=54-1+1=54=625 五、优选方法、活用公式例6 计算：(3x+22)213()21y x y 分析：若按一般的运算顺序来解，先平方，再做乘法，则很复杂。

活用乘法公式进行计算的六种技巧（今日推出适合七年级数学下册第8章《整式乘法与因式分解》的学习指导类文章，与现行的版本同步，敬请大家关注和分享！）乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧。

【技巧一】巧用乘法公式的变形求式子的值例1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值．【技巧二】巧用乘法公式进行简便运算【技巧三】巧用乘法公式解决整除问题例4．对任意正整数n ，整式(3n ＋1)(3n －1)－(3－n)(3＋n)是不是10的倍数？为什么？解：对任意正整数n，整式(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)是10的倍数，理由如下：(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1)．∵对任意正整数n，10(n2－1)是10的倍数，∴(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)·(3＋n)是10的倍数．【技巧四】应用乘法公式巧定个位数字例5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1的个位数字．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(264－1)＋1＝264＝(24)16＝1616.因此个位数字是6。

【技巧五】巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)【技巧六】巧用乘法公式解决实际问题（分类讨论思想）例7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？解：总人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人，(5n＋3)2人，(5n＋4)2人．(n为正整数)(5n)2＝5n·5n；(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1；(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4；(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4；(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.由此可见，无论哪一种情况总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数只可能是1人或4人，不可能是3人．。

、
～
＝
二 、 方 后 运 用 公 式 配
－
．
．
， 中至少有一个大 于 ０ 故 选 Ｂ ， 、 ， ．
．
例 ２ 多项式 ５ 一 ｘ ４ ：＋１ｘ ０ ９的最 小值 ｘ ４ｙ＋ ｙ ２ ＋２ １
＋ 。＋ 。． 。． 。＋ 。＋ 。． ．＋ 。． ．． 。＋ 。． 。＋
四、 复运用公式 反
。． ．．
＝
Ｂ ［ ｂ ）一（ ｃ ］ 口 （ —ｎ ０一 ） ＝０ ．ｂ＋ ：２ ， ，． ｃ ａ 故 ・
一
２ 号） ａ ＋
＝
（ ２ １ ＋（ ２ ＋１ ＋（ ２ ＋１ 叮一 ． ０ 一 ａ＋ ） ｂ 一 ｂ ） ｃ 一 ｃ ）＋ ｒ ３ （ 一１。 ｂ ） ） ＋（ 一１ ＋（ 一１ ｃ ） ＋订一 ≥叮一 ＞ ． ３ Ｔ ３ ０
＝
又 血 ＋ｂ ｐ ＝ ＋ｑ ，． ａ ． ２ ｂ＝２ ｑ ・ ｐ．
・ ． ．
ａ。
一
２ ｂ＋ｂ ａ 。＝ｐ 。一２ ｑ＋ｑ ， 即 ｐ 。
［ 。一 ０ ８ ） ｂ一 ０ ８ ） （ ２０ ｂ 一（ ２０ ａ ］ ［０ ９ 。一 ） ２０ （ ｂ
一
例 ａ、 实 ， ｛ ２ 号， ｂ ２ ３设 ， 为 数 ｇ ｂ Ｙ ｃ ｂ ｃ ２ ＋ ＝一 ＋ —
詈，ｃ ２ 詈，ｘ， ，少 一 值 ） ｚ ａ 则 ， 中至 有 个 （ ． ＝一 ＋ ｙ ｚ
Ａ 小于 ０ ． Ｃ 不小于 ０ ． Ｂ 大于 ０ ． Ｄ． 大 于 ０ 不
＝ ，
・ ．
‘
（ ｘ＋ ） ＞０ （ 一 ｙ ｉ０ ． 原 式 ３２ １． ２ ３ ／ ， ２ ） ＞ ，． ＿ ００
当 且 仅 当 （ ＋３ ＝ ， 一２ ） ０ 即 ＝ 一 ３ ２ ） ０（ ｙ 。： ，

延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写 出理由． 解：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.理由： 设三个连续整数的中间一个为m，则其余的两个整数是m －1，m＋1，它们的平方和为(m－1)2＋m2＋(m＋1)2＝m2 －2m＋1＋m2＋m2＋2m＋1＝3m2＋2. ∵m是整数，∴m2是整数． ∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.
【点拨】由“杨辉三角”的规律可知，令a＝b ＝1，代入(a＋b)9计算可得所有项的系数和 为(1＋1)9＝29＝512.
8．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员 排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不 少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化， 其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换图 形．在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5 人一组分将多出3人，你说这可能吗？
6．计算：20
242
20 242 0232 0222＋20 242
0242－2.
解：设 20 242 023＝m，则原式＝（m－1）2＋m（2 m＋1）2－2 ＝（m2－2m＋1）＋m（2 m2＋2m＋1）－2＝2mm22＝12.
7．(2019·烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》 中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系 数的有关规律如下，后人也将下图称为“杨辉三角”．
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13．【中考·荆州】在探究“物质熔化规律”的实验中，小芳 将质量相等的冰和石蜡分别装在两个相同的试管中，并 放在同一个装有水的大烧杯中进行加热，如图甲所示。 根据实验数据绘制的温度随时间变化的图像，如图丙所 示。请回答下列问题：
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A
BHale Waihona Puke CD专题技能训练

乘法公式及运用范文乘法公式是数学中常用的一个公式，用于计算两个或多个数相乘的结果。

在数学中，乘法公式有很多种，每种公式都有其特定的运用场景，下面将详细介绍乘法公式及其运用。

1.基本乘法公式基本乘法公式是最基础的乘法公式，用于计算两个数相乘的结果。

基本乘法公式如下：a×b=c其中，a和b是被乘数，c是积。

利用基本乘法公式，我们可以计算任意两个数相乘的结果。

2.分配律乘法公式分配律乘法公式用于计算一个数与两个数相加乘积的结果。

分配律乘法公式如下：a×(b+c)=a×b+a×c其中，a、b、c是任意实数。

利用分配律乘法公式，我们可以把一个乘法运算转换成两个乘法运算，简化计算。

3.平方公式平方公式用于计算一个数的平方。

平方公式如下：a²=a×a其中，a是任意实数。

利用平方公式，我们可以计算任意一个数的平方。

4.立方公式立方公式用于计算一个数的立方。

立方公式如下：a³=a×a×a其中，a是任意实数。

利用立方公式，我们可以计算任意一个数的立方。

5.指数公式指数公式是一种特殊的乘法公式，用于计算一个数的指数幂。

指数公式如下：aⁿ=a×a×...×a(共n个a相乘)其中，a是底数，n是指数，aⁿ是指数幂。

利用指数公式，我们可以计算任意一个数的指数幂。

运用乘法公式，我们可以在各种数学问题中快速计算数的乘积。

下面通过几个例子来说明乘法公式的运用：例1：计算乘积例题：计算15×16的乘积。

解答：根据基本乘法公式，我们可以得到：15×16=240所以，15和16的乘积是240。

例2：计算分配律乘积例题：计算2×(3+4)的乘积。

解答：根据分配律乘法公式，我们先计算括号内的加法运算，得到：3+4=7然后，用2乘以7，得到：2×7=14所以，2乘以3加4的乘积是14例3：计算平方和例题：计算(9+5)²的结果。

小专题(十三)活用乘法公式计算求值类型1直接运用乘法公式计算求值1．计算：(1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)；解：原式＝[(x＋2y)(x－2y)](x2－4y2)＝(x2－4y2)(x2－4y2)＝x4－8x2y2＋16y4.(2)(a＋b－3)(a－b＋3)；解：原式＝[a＋(b－3)][a－(b－3)]＝a2－(b－3)2＝a2－(b2－6b＋9)＝a2－b2＋6b－9.(3)(x2＋x－3)(x2－x－3)；解：原式＝(x2－3＋x)(x2－3－x)＝(x2－3)2－x2＝x4－6x2＋9－x2＝x4－7x2＋9.(4)(3x－2y)2(3x＋2y)2.解：原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2＝(9x2－4y2)2＝81x4－72x2y2＋16y4.2．先化简，再求值：(1)(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3；解：原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝－4a＋5.当a＝－3时，原式＝12＋5＝17.(2)(河池中考)(3＋x)(3－x)＋(x＋1)2，其中x＝2；解：原式＝9－x2＋x2＋2x＋1＝2x＋10.当x＝2时，原式＝2×2＋10＝14.(3)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝1 2.解：原式＝(x2＋4xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)－(x2－4y2)－4y2＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2－x2＋4y2－4y2＝－x2＋8xy.当x＝－2，y＝12时，原式＝－(－2)2＋8×(－2)×1 2＝－12.类型2运用乘法公式进行简便计算3．用简便方法计算：(1)2002－400×199＋1992；解：原式＝2002－2×200×199＋1992＝(200－199)2＝1.(2)999×1 001；解：原式＝(1 000－1)×(1 000＋1)＝1 0002－12＝999 999.(3)4013×3923； 解：原式＝(40＋13)(40－13) ＝402－(13)2 ＝1 600－19＝1 59989.(4)1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1；解：原式＝(1002－992)＋(982－972)＋(962－952)＋…＋(22－1) ＝(100＋99)＋(98＋97)＋(96＋95)＋…＋(2＋1)＝(100＋1)＋(99＋2)＋(98＋3)＋(97＋4)＋…＋(51＋50) ＝50×(100＋1)＝5 050.(5)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1.解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)＋1＝28－1＋1＝256.类型3乘法公式的技巧4．已知a，b都是正数，a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝(B) A．－3B．3C．±3D．95．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n＝2．6．若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝7．7．已知a2＋b2＝13，(a－b)2＝1，则(a＋b)2＝25．8．计算：(1)(a＋b＋c)2；解：原式＝(a＋b)2＋c2＋2(a＋b)c＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.(2)(a＋b)3；解：原式＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.(3)(a－b)3；解：原式＝a3－3a2b＋3ab2－b3.(4)(a＋b)(a2－ab＋b2)；解：原式＝a3＋b3.(5)(a－b)(a2＋ab＋b2)；解：原式＝a3－b3.(6)(x －y －m ＋n)(x －y ＋m －n)．解：原式＝[(x －y)－(m －n)][(x －y)＋(m －n)]＝(x －y)2－(m －n)2＝x 2－2xy ＋y 2－m 2＋2mn －n 2.9．已知(x ＋y)2＝25，(x －y)2＝16，求xy 的值．解：∵(x ＋y)2－(x －y)2＝4xy ＝25－16＝9，∴xy ＝94.10．已知(m －53)(m －47)＝24，求(m －53)2＋(m －47)2的值．解：(m －53)2＋(m －47)2＝[(m －53)－(m －47)]2＋2(m －53)(m －47)＝(－6)2＋48＝84.11．如果a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，求ab ＋bc ＋ca 的值．解：由两等式，得a ＋b ＝－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.∵a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，∴ab ＝12[(a ＋b)2－(a 2＋b 2)] ＝12[(－c)2－(1－c 2)]＝c 2－12. 原式＝ab ＋c(a ＋b)＝(c 2－12)＋c(－c)＝－12.。

第3讲整式运算及乘法公式活用知识点回顾 1整式概念⑴单项式是数与字母的积，单个数或字母也是单项式。

⑵多项式是几个单项式的和.。

⑶同类项：在多项式中，所含字母相同..，并且相同字母的指数也相同 的项，叫同类项。

⑷把一个多项式按同一字母的指数从大(小)至切、(大)的顺序排列起来，叫做把这个多项式进行降(升) 幕排列。

⑸掌握去括号、添括号法则，能熟练地进行同类项的合并。

3、乘法公式⑴(a b)(a -b)二 a 2-b 2⑶(a b)(a2-ab b 2) =a 3b 3⑵(a_b)2二 a 2 _2ab b 2⑷(a-b)(a2ab b 2) =a 3 -b32 2 2 2⑹(a b c) = a b c 2ab 2ac 2bc⑺(a b)3二 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3⑻(a - b)3 二 a 3 -3a 2b 3ab 2-b 34、完全平方公式的常见变形式2 22a b = (a b)「2ab222 2(a b) (a -b) = 2a 2b2 2 2 2a b c =(a b c) -2ab-2ac-2bc a 2b 2c 2ab be ac 二-[(a b)2(b c)2(a c)2]2一 (a+b)2-(a-b)2(a+b)2-(a 2+b 2) (a 2+b 2)-(a-b)2ab =422灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例1(1)已知9a"bi 与-2a3m1b 2n的积与5a4b 是同类项，求m ,的值。

2、幕的运算(m n 都是正整数) m n m i n⑴ a a =a ; m nm _n /⑷ a ■- a = a (a=0); ⑵(am)n =a mn;⑸ a ，1(a = 0);⑶(ab)n=a n b n;⑹ a" p (a = 0).a2⑸(x a)(x b) =x (a b)x ab2 22a b = (a 「b) 2ab22(a b) -(a -b) = 4ab(2)已知32m=5 , 9n=10，求(1) 9m n；( 2) 92m*七下数学培优 练习m小n小3m_2nm n 2m 4n±1、（ 1）已知 a =3 , a =9，求 a 的值。