信息安全数学基础

第一章参考答案（1） 5,4,1,5.（2） 100=22*52, 3288=23*3*137.（4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,又因为(a,b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.（5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n,因为a n| b n所以对任意的i有, pi的n次方| b n,所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.（6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––pr,b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立.（14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=ki *mi，a-b是任意mi的倍数，所以a-b是mi 公倍数，所以[mi]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章答案（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.（6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.（8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。

信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案1.简答题 a) 什么是信息安全？信息安全是指保护信息的机密性、完整性和可用性，以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。

b) 什么是加密？加密是指通过对信息进行转换，使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。

加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。

c) 什么是对称加密算法？对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。

常见的对称加密算法有DES、AES等。

d) 什么是非对称加密算法？非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。

常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。

e) 什么是哈希函数？哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。

哈希函数具有单向性，即很难从哈希值逆推出原始数据。

2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法？ A. RSA B. AES C. ECC D.SHA-256答案：B. AESb) 下列哪种算法是非对称加密算法？ A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256答案：C. RSAc) 下列哪种函数是哈希函数？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256答案：D. SHA-2563.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密，密钥长度为128位，明文长度为64位。

请计算加密后的密文长度。

答案：由于AES算法使用的是128位的块加密，所以加密后的密文长度也为128位。

b) 使用RSA算法对明文进行加密，密钥长度为1024位，明文长度为64位。

请计算加密后的密文长度。

答案：由于RSA算法使用的是非对称加密，加密后的密文长度取决于密钥长度。

根据经验公式，RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。

所以加密后的密文长度为1024/2=512位。

c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算，请计算哈希值的长度。

答案：SHA-256哈希函数的输出长度为256位。

信息安全数学基础答案【篇一：信息安全数学基础习题答案】xt>第一章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k?z5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1 ，k1?z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1 即k1=7 k2，k2?z 所以n=2*5*7 k2 即n=70 k2, k2?z因此70|n32．证明：因为a-a=(a-1)a(a+1)3当a=3k，k?z 3|a 则3|a-a3当a=3k-1，k?z 3|a+1 则3|a-a3当a=3k+1，k?z 3|a-1 则3|a-a3所以a-a能被3整除。

3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k0?z22（2 k0+1）＝4 k0+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0(k0+1)=2k2所以（2 k0+1）=8k+1 得证。

34．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a-a3由第二题结论3|（a-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1所以6|(a-1)a(a+1) 得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k?z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1],i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。

1/26．证明：因为191＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191所以191为素数。

1/2因为547＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547所以547为素数。

信息安全数学基础导言信息安全是在当前信息时代中广泛关注的一个重要领域。

它涉及到保护数据的机密性、完整性和可用性，以及防止未经授权的访问、修改或破坏数据的行为。

在信息安全领域，数学起着至关重要的作用。

数学提供了许多基础概念和技术，用于保护信息和数据。

本文将介绍信息安全的一些数学基础知识。

1. 整数论整数论是信息安全中不可或缺的一部分，其主要研究整数及其性质。

在信息安全中，整数论常用于加密算法和密钥生成。

其中，最常见的整数论问题是素数的应用。

素数是只能被1和自身整除的整数。

在信息安全中，素数被广泛应用于加密算法，如RSA算法。

RSA算法的基本原理是利用两个大素数的乘积作为公钥的模数，并求解其积的欧拉函数值。

因此，整数论中研究素数的性质和生成方法对于实现安全的RSA加密算法非常重要。

除了素数，整数论还涉及到很多其他概念和技术，如模运算、同余和剩余类等。

这些概念和技术在信息安全中的密码算法和密钥生成中起着至关重要的作用。

2. 离散数学离散数学是信息安全中的另一个重要基础。

离散数学研究的是离散结构，如集合、图论、布尔代数等。

在信息安全中，离散数学的概念和技术被广泛应用于密码学和网络安全。

密码学是关于信息加密和解密的科学，其中离散数学起着关键作用。

密码学使用离散数学的技术来设计和分析密码算法。

例如，离散数学的图论技术可以用于构建网络拓扑图，以评估网络的安全性。

布尔代数被广泛应用于逻辑门电路的设计和分析，用于实现对信息的逻辑操作和处理。

离散数学的另一个重要应用是在密码学中的离散对数问题。

离散对数问题是指已知一个数的底数和模数，求解指数的问题。

这个问题在公钥密码学中扮演着重要角色，如Diffie-Hellman密钥交换协议和椭圆曲线密码算法。

3. 概率论与统计学概率论和统计学是信息安全中的另一对重要基础。

它们被用于分析密码算法的安全性、测量信息系统的可靠性，并为风险评估和安全决策提供支持。

在密码学中，概率论和统计学的概念被广泛应用于对密码算法的攻击和破解。

“信息安全数学基础”习题答案第一章1、证明： (1)|()|()()|a b b ma m Z c d d nc n Z bd acmn mn Z ac bd ⇒=∈⇒=∈∴=∈∵，，，即。

(2)12111112|,|,,|11(3)|(),,k k k k a b a b a b a b c b c b c c c c ∴−+++∵ ，根据整除的性质及递归法，可证得：，其中为任意整数。

2、证明：1-2(2)(3,5)13|5|15|,(15,7)17|105|a a a a a =∴=∴∵∵∵根据例题的证明结论知：，又且,又，且,。

3、证明：1n p n p n >>因为，且是的最小素因数，若假设n/p 不是素数，则有121223131312,2,,,,2,,k k n p p p p k p p p p k n p p p p n p p n n p n n p =×××≥≥==×≥∴≥≤>> （其中为素数且均）若，则即,与题设矛盾，所以假设不成立，即为素数得证。

7、证明：首先证明形如6k -1的正整数n 必含有6k -1形式的素因子，这显然是成立的。

因为如果其所有素因数均为6k +1形式，则12,(61,1,2,,)j i i n p p p p k i j =×××=+= ,从而得到n 是形如6k +1形式的正整数，这与题设矛盾。

其次，假设形如6k -1的素数为有限个，依次为1212,,6s s q q q n q q q = ，考虑整数-1， 则n 是形如6k -1的正整数，所以n 必有相同形式的素因数q ，使得使得q = q j (1≤j ≤s )。

由整数的基本性质(3)有：12|(6)1s q q q q n −= ，这是不可能的。

故假设错误，即存在无穷多个形如4k -1的素数得证。

2n3n最小非负余数最小正余数绝对值最小余数最小非负余数最小正余数绝对值最小余数3 0、1 1、3 0、1 0、1、2 1、2、3 -1、0、14 0、1 1、4 0、1 0、1、3 1、3、4 -1、0、1 8 0、1、4 1、4、8 1，0 0、1、3、5、7 1、3、5、7、8 3、1、-3、-1、0 10 0、1、4、5、6、9 1、4、5、6、9、10 -4、-1、0、1、4、5 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,8,10-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,413、解： (1)259222137222376(222,259)37372592221,1,1s t =×+=×⇒==−×∴==−(2)139571316827136821316823122(1395,713)31317136821713(13957131)2713(1)1395,1,2s t =×+=×+=×⇒==−×=−−×=×+−×∴=−=16、解： (1)(112,56)5611256[112,56]112(112,56)=×== (2)(67,335)6767335[67,335]335(67,335)=×== (3)(1124,1368)411241368[1124,1368]384408(1124,1368)=×==(7,4)1,0,7(1)4211,24410,1,2,771||1000142||100040,1,1427c s t k x k k k y k x k y x kk y k ==∴×−+×=∴=−=⎧=−=−⎪⎪=±±⎨⎪==⎪⎩≤⎧∴≤⎨≤⎩=−⎧∴=±±⎨=⎩∵ 而不定方程的一切解为：　其中，又方程的全部解为　，其中 ，第二章1、解：(1) 错误。

信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案信息安全是当今社会中一个重要的领域，它涉及到人们的隐私和数据的保护。

在信息安全的学习过程中，数学是一个不可或缺的基础。

本文将为您提供一些信息安全数学基础习题的答案，帮助您更好地理解和应用相关的数学概念。

一、离散对数问题离散对数问题是信息安全领域中的一个重要数学概念。

以下是一些常见的离散对数问题及其答案：1. 如果p是一个素数，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程a^x ≡ b (mod p)的x值。

答案：x ≡ log_a(b) (mod p-1)2. 如果p是一个素数，g是一个p的原根，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程g^x ≡ a (mod p)的x值。

答案：x ≡ log_g(a) (mod p)二、RSA算法RSA算法是一种非常常见的公钥加密算法。

以下是一些与RSA算法相关的习题及其答案：1. 如果p=17，q=11，e=7，计算n和d的值，其中n是模数，d是私钥。

答案：n = p * q = 17 * 11 = 187，d ≡ e^(-1) (mod (p-1)*(q-1)) = 7^(-1) (mod 160) = 232. 如果n=187，e=7，加密明文m=88，计算密文c的值。

答案：c ≡ m^e (mod n) = 88^7 (mod 187) = 11三、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学问题的加密算法。

以下是一些与椭圆曲线密码学相关的习题及其答案：1. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算公钥Q的值。

答案：Q = d * G2. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算共享密钥K的值。

答案：K = d * Q = d * (d * G)结语本文为您提供了一些信息安全数学基础习题的答案，涉及了离散对数问题、RSA算法和椭圆曲线密码学等内容。

信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章整数的可除性一整除的概念和欧几里得除法1 整除的概念定义1 设a、b是两个整数，其中b≠0如果存在一个整数q 使得等式a=bq 成立，就称b整除a或者a被b整除，记作b｜a ，并把b叫作a的因数，把a叫作b的倍数.这时,q也是a的因数，我们常常将q写成a／b或否则,就称b不能整除a或者a不能被b整除，记作a b。

2整除的基本性质（1)当b遍历整数a的所有因数时,—b也遍历整数a的所有因数。

（2）当b遍历整数a的所有因数时,a/b也遍历整数a的所有因数。

（3)设b,c都是非零整数，(i）若b|a，则|b｜|｜a|.（ii)若b|a，则bc|ac.（iii）若b|a，则1<｜b|≤|a｜.3整除的相关定理（1）设a,b≠0，c≠0是三个整数。

若c|b，b｜a，则c｜a.（2）设a，b，c≠0是三个整数，若c|a，c|b,则c|a±b(3)设a，b，c是三个整数。

若c｜a,c｜b则对任意整数s，t，有c|sa+tb. (4）若整数a1, …，a n都是整数c≠0的倍数，则对任意n个整数s1，…，s n，整数是c的倍数（5)设a，b都是非零整数.若a｜b，b｜a，则a=±b(6)设a，b , c是三个整数，且b≠0，c ≠0，如果（a , c）=1，则(ab , c）=（b , c）(7)设a , b ，c是三个整数，且c≠0，如果c｜ab ，(a , c) = 1, 则c ｜b.(8）设p 是素数，若p ｜ab ，则p |a或p｜b（9)设a1, …，a n是n个整数,p是素数，若p｜a1…a n，则p一定整除某一个a k二整数的表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化.三最大公因数和最小公倍数（一)最大公因数1．最大公因数的概念定义：设是个整数，若使得 ,则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作。

若，则称互素．若，则称两两互素．思考：1．由两两互素，能否导出2．由能否导出两两互素?2．最大公因数的存在性（1)若不全为零，则最大公因数存在并且（2)若全为零,则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．3．求两个正整数的最大公因数．定理1:设任意三个不全为零的整数，且则辗转相除法由带余除法得(1）……因为每进行一次带余除法，余数至少减少1，且是有限整数，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零的情况，即由（1）知，定理2:任意两个正整数,则是(1）中最后一个不等于零的余数．定理3:任意两个正整数的任意公因数都是的因数．4．性质定理4：任意两个正整数，则存在整数，使得成立定理5：设是不全为零的整数．（i）若则（ii）若则（iii)若是任意整数，则从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论：①② 且③④5．求两个以上正整数的最大公因数设则有下面的定理：定理6：若是个正整数，则只需证①是的一个公因数．② 是的公因数中最大一个例求解：6．求两个正整数的最大公因数的线性组合(重点掌握)方法一运用辗转相除法求最大公因数的逆过程；方法二补充的方法方法三运用列表法求解（二）最小公倍数1．最小公倍数的定义定义：是个整数，如果对于整数，有 ,那么叫做的一个公倍数．在的一切公倍数中最小一个正整数,叫做最小公倍数．记作．2．最小公倍数的性质．定理1：设是任给的两个正整数，则（i）的所有公倍数都是的倍数．(ii)定理2:设正整数是的一个公倍数，则3．求两个以上整数的最小公倍数定理3：设是个正整数，若则只需证：①是的一个公倍数,即,②设是的任一公倍数，则例1 求解:又四素数算术基本定理1．素数、合数的概念定义：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．2．性质定理1:设是大于1的整数，则至少有一个素因数，并且当是合数时，若是它大于1的最小正因数，则定理2设n是一个正整数，如果对所有地素数，都有p n,则n一定是素数。

信息安全的数学基础
信息安全的数学基础可以总结为以下几个方面：
1. 密码学：涉及到各种加密算法和解密算法，主要是数论、代
数和概率论方面的知识。

对称加密算法（如DES、AES等）和非对称加
密算法（如RSA、ECC等）都是基于数学原理的。

2. 数字签名：数字签名是数字证书体系的基础。

数字签名涉及
到哈希函数、公钥密码体制等数学算法，这些算法在数字认证、电子
邮件、电子商务等领域得到广泛应用。

3. 随机数生成：随机数生成是很多加密算法中不可或缺的功能。

在信息安全中，随机数的产生要具有不可预测性，这可以通过伪随机
序列算法和真随机序列算法来实现。

其中，真随机序列算法主要依赖
于物理随机事件的产生，如收音机收音噪声和光学噪声等，这也需要
数学中的统计学和概率论知识。

4. 数字证书：数字证书是数字身份证明的一种方式，它包括了
某个实体的公钥以及相关的信息，可以用于数字证明的验证。

数字证
书一般采用了基于数学算法的公钥密码体制，如RSA和ECC等。

此外，数字证书的设计和实现还要涉及证书格式、证书吊销等方面的数学知识。

总之，信息安全中的数学基础是十分广泛和深奥的，需要掌握多
种数学知识才能确保信息安全。