第一章参考答案
（1） 5,4,1,5.
（2） 100=22*52, 3288=23*3*137.
（4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p
1p
2
––p
r
, b=q
1
q
2
––q
s
,又因为(a,
b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子
相乘a n=(p
1p
2
––p
r
)n, b n=(q
1
q
2
––q
s
)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.
（5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p
1p
2
––p
r
, b=q
1
q
2
––q
s
,
a n=(p
1p
2
––p
r
)n, b n=(q
1
q
2
––q
s
)n,因为a n| b n所以对任意的i有, p
i
的n次方| b n,
所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.
（6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p
1p
2
––p
r
,
b=q
1q
2
––q
s
, ab=p
1
p
2
––p
r
q
1
q
2
––q
s
, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中
没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).
（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.
（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.
（12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).
（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.
当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立.
（14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k
1m+r, bc=k
2
m+r,有
ac=k
1d(m/d)+r, bc=k
2
d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边
可以同除以一个c, 所以结论成立.
第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k
i *m
i
，a-b是任意m
i
的倍数，
所以a-b是m
i 公倍数，所以[m
i
]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/
最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)
（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能
第二章答案
（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.
（6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)
2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.
（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.
必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.
（8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解
x=a-1bca-1b-1使得方程成立。
（9）证明：对群中任意元素a,b有ab(ab)-1=e, 方程两边先左乘以a的逆元有b(ab)-1=a-1, 在左乘以b的逆元有(ab)-1=b-1a-1, 所以结论成立.
（13）证明：设群G的两个子群为G1, G2, 则对任意a,b∈G1∩G2有ab-1∈G1, ab-1∈G2, 所以ab-1∈G1∩G2, 所以G1∩G2也是G的子群.
（14）证明：设G是一个群, 对任意a,b∈G, 存在一个G到H的映射f,并且f(ab)=f(a)f(b).对任意f(a),f(b)∈H有f(a)f(b)=f(ab)∈H, 所以H满足运算的封闭性. 对任意f(a),f(b),f(c)有(f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c), f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc)), 又因为(ab)c=a(bc), 所以(f(a)f(b))f(c)=f(a)(f(b)f(c)), 所以H满足结合律. 对任意f(a)∈H, 有f(ae)=f(a)=f(a)f(e), 所以f(e)是H的单位元, 对任意的f(a)∈H, 有f(aa-1)=f(e)=f(a)f(a-1), 所以f(a)的逆元为f(a-1). 所以H是一个群.
（16）证明：设a到a-1的一一映射为f.
充分性：对任意G中a,b有f(a)=a-1, f(b)=b-1, f(ab)=(ab)-1又因为f同构, 所以f(ab)=f(a)f(b)=(ab)-1=a-1b-1=(ba)-1, 由(ab)-1=(ba)-1有ba=ab, 所以G是交换群.
必要性由上反推可得.
第三章
（2）第一个问题：设该有限群为G, 对任意阶大于2的元素a∈G, 有a n=e, n 为使得上式成立的最小正整数且n>2. 明显在群中存在一个a-1, 且a≠a-1(若相等则a2=e, 与a的阶大于2矛盾), 有(a-1)n=e, 所以a-1的阶也大于2. 综上对任意阶大于2的元素a, 存在a-1的阶也大于2. 所以结论成立.
第二个问题：因为在群G中只有e的阶为1, 在由上个结论有阶大于2的元素个数为偶数, 由已知条件G的阶为偶数可知结论成立.
（5）对a生成一个阶为n的循环群G, a m生成的循环群的阶为n/(n,m)=n. 又因为a m∈G所以a m也生成G.
（6）设G的阶为n, 由已知可得G'为一个群, 有由G与G'同态可知f(e)为
G'的单位元,f(g) ∈G', 且对任意g k∈G, 有f(g k)=(f(g))k, 所以G'中任意元素都可以由f(g)生成表示成(f(g))k, 当k=n时有(f(g))n=f(g n)=f(e), 所以G'也是也是一个循环群.
（8） 13阶：e的阶为1, 其他元素阶为13, 生成元g1到g12.
16阶：e的阶为1, g2阶为8, g4阶为4, g6阶为8, g8阶为2,g10的阶为8, g12的阶为4, g14的阶为8, 其余的g到g15的阶为16且是生成元.
（9）先分别求出15阶和20阶的正因子为3,5和2,4,5,10所以15阶的生成
