导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)

人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义第1课时同步作业（原卷版）1．在求平均变化率时，自变量的增量Δx应满足()A．Δx>0B．Δx<0C．Δx＝0D．Δx≠02．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3．若函数f(x)＝x2的图象上有一点P(2，4)及邻近点Q(2＋Δx，4＋Δy)，则limΔx→0ΔyΔx＝()A．4B．4xC．4＋2(Δx)2D．4＋2Δx4．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为() A．3B．0.29C．2.09D．2.95．函数f(x)在x＝a处可导，则limh→a f（h）－f（a）h－a＝()A．f(a)B．f′(a)C．f′(h)D．f(h)6．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①7．若f(x)＝ax，f′(1)＝1，则a的值为()A．1B．－1C．2D．－28．已知函数f(x)＝1x，则此函数在[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．9．已知f(x)＝1x ，则lim Δx →0f （2＋Δx ）－f （2）Δx 的值是________．10．函数y ＝(3x －1)2在x ＝x 0处的导数为0，则x 0＝________．11．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则limΔx →0f （x 0－Δx ）－f （x 0）Δx＝()A ．11B ．－11C.111D ．－11112．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则limΔx →0f （Δx －1）＋f （1）Δx＝()A ．1B ．－1C ．2D ．－213．设f(x)＝ax ＋4，若f′(1)＝2，则a ＝________．14．已知函数f(x)＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；(3)若设x 2＝x 1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．15．若f′(x 0)＝2，求limk →0f （x 0－k ）－f （x 0）2k的值．16．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝120t ＋5＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)(1)从t ＝0min 到t ＝10min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0min 到t ＝10min ，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．1．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy ＝()A ．f(x 0＋Δx)B ．f(x 0)＋ΔxC ．f(x 0)·ΔxD ．f(x 0＋Δx)－f(x 0)2．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为()A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx)2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx)23．设f(x)为可导函数，且满足limx →0f （1）－f （1－2x ）2x＝－1，则f′(1)的值为()A ．2B ．－1C ．1D ．－24．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为()A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定5.如图是函数y ＝f(x)的图象，则：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．6．动点P 沿x 轴运动，运动方程为x ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt ＝1，(2)Δt ＝0.1.7．求函数y ＝sinx 在区间0，π6和π3，π2上的平均变化率，并比较它们的大小．人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义第1课时同步作业（解析版）1．在求平均变化率时，自变量的增量Δx应满足()A．Δx>0B．Δx<0C．Δx＝0D．Δx≠0答案D解析Δx是自变量的改变量，不能为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案C3．若函数f(x)＝x2的图象上有一点P(2，4)及邻近点Q(2＋Δx，4＋Δy)，则limΔx→0ΔyΔx＝()A．4B．4x C．4＋2(Δx)2D．4＋2Δx 答案A解析limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0（2＋Δx）2－22Δx＝limΔx→0(4＋Δx)＝4.故选A.4．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为() A．3B．0.29C．2.09D．2.9答案D5．函数f(x)在x＝a处可导，则limh→a f（h）－f（a）h－a＝()A．f(a)B．f′(a)C．f′(h)D．f(h)答案B6．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝1x中，平均变化率最大的是()A ．④B ．③C ．②D ．①答案B7．若f(x)＝ax ，f ′(1)＝1，则a 的值为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案B解析f(1＋Δx)－f(1)＝a1＋Δx －a ＝a （－Δx ）1＋Δx，f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝－a 1＋Δx ，f ′(1)＝lim Δx →0－a1＋Δx ＝－a ＝1，所以a ＝－1.故选B.8．已知函数f(x)＝1x ，则此函数在[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．答案－11＋Δx解析Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝11＋Δx －1Δx＝－11＋Δx .9．已知f(x)＝1x ，则lim Δx →0f （2＋Δx ）－f （2）Δx 的值是________．答案－1410．函数y ＝(3x －1)2在x ＝x 0处的导数为0，则x 0＝________．答案13解析Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(3x 0＋3Δx －1)2－(3x 0－1)2＝18x 0Δx ＋9(Δx)2－6Δx ，∴ΔyΔx＝18x 0＋9Δx －6.∴lim Δx →0Δy Δx ＝18x 0－6＝0，∴x 0＝13.11．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0f （x 0－Δx ）－f （x 0）Δx＝()A ．11B ．－11C.111D ．－111答案B12．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则limΔx →0f （Δx －1）＋f （1）Δx＝()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案A解析由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)，所以limΔx →0f （Δx －1）＋f （1）Δx＝lim Δx →0f （－1＋Δx ）－f （－1）Δx＝f′(－1)＝1.故选A.13．设f(x)＝ax ＋4，若f′(1)＝2，则a ＝________．答案2解析Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－a －4＝aΔx.∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0a ＝a.又f′(1)＝2，∴a ＝2.14．已知函数f(x)＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；(3)若设x 2＝x 1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．解析f(x)＝2x 2＋3x －5，x 1＝4，Δy ＝f(x 1＋Δx)－f(x 1)＝2(x 1＋Δx)2＋3(x 1＋Δx)－5－(2x 12＋3x 1－5)＝2(Δx)2＋(4x 1＋3)Δx ＝2(Δx)2＋19Δx.Δy Δx ＝2（Δx ）2＋19Δx Δx ＝2Δx ＋19.(1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx)2＋19Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1，Δy ＝2(Δx)2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92.ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2.(3)在(1)题中Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （5）－f （4）5－4，它表示抛物线上点P 0(4，39)与点P 1(5，60)连线的斜率，在(2)题中，Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （4.1）－f （4）4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4，39)与点P 2(4.1，40.92)连线的斜率．15．若f′(x 0)＝2，求limk →0f （x 0－k ）－f （x 0）2k的值．解析令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0.则原式可变形为limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）－2Δx＝－12lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.16．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝120t ＋5＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)(1)从t ＝0min 到t ＝10min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0min 到t ＝10min ，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．解析(1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝1200＋5＋15＝39，T(10)＝12010＋5＋15＝23，则T(0)－T(10)＝16，故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.(2)平均变化率为T （10）－T （0）10＝－1610＝－1.6.它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.(3)T′(5)＝lim Δt →0120（5＋Δt ）＋5＋15－1205＋5－15Δt ＝－1.2，它表示t ＝5min 时蜥蜴体温下降的瞬时速度为1.2℃/min.1．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy ＝()A ．f(x 0＋Δx)B ．f(x 0)＋ΔxC ．f(x 0)·ΔxD ．f(x 0＋Δx)－f(x 0)答案D解析函数值的改变量Δy 是表示函数y ＝f(x)在x ＝x 0＋Δx 的函数值与在x ＝x 0的函数值之差，因此有Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)．2．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为()A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx)2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx)2答案C3．设f(x)为可导函数，且满足limx →0f （1）－f （1－2x ）2x＝－1，则f′(1)的值为()A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案B4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为()A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定答案D解析由定义可知k 1＝2x 0＋Δx ，k 2＝2x 0－Δx ，因为Δx 可正、可负但不可为0，所以k 1与k 2大小不确定．故选D.5.如图是函数y ＝f(x)的图象，则：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．解析(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为f （1）－f （－1）1－（－1）＝2－12＝12.(2)由函数f(x)的图象知，f(x)1≤x≤1，1<x≤3，所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为f（2）－f（0）2－0＝3－322＝34.答案(1)12(2)346．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1.答案(1)215m/s(2)210.5m/s7．求函数y＝sinx在区间0，π6和π3，π2上的平均变化率，并比较它们的大小．解析y＝sinx在0，π6上的平均变化率为sinπ6－sin0π6－0＝3π，在π3，π2上的平均变化率为sinπ2－sin π3π2－π3＝3（2－3）π.因为2－3<1，所以3π>3（2－3）π，故在0，π6上的平均变化率较大．。

& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 《导数的概念和几何意义》同步测试题1、函数()f x =12x =到2x =的平均变化率为 2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是3、若0()4f x '=的值为 4、若()f a '=A ，则()()0lim x f a x f a x x∆→+∆--∆=∆ 5、已知函数()2ln 38f x x x =+，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值等于 6、如果函数x 1)(=x f ，则x f x f x ∆-∆+→∆)4()4(lim 0的值等于________ 7、曲线y=e x在点（0，1）处的切线方程为_________________8、函数()ln f x x =的图像在1x =处的切线方程是9、设曲线2x y xe x =+在原点处切线与直线10x ay ++=垂直，则a = 10、曲线c mx x y ++=3在点P （1，n ）处的切线方程为y ＝2x ＋1，其中m ，n ，c ∈R ，则m ＋n ＋c ＝________11、若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为12、设函数xb ax x f -=)(，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为7x-4y-12=0，求)(x f y =的解析式和)(x f '．13、已知函数3431)(3+=x x f .（1）求函数)(x f 在点)4,2(P 处的切线方程；（2）求过点)4,2(P 的函数)(x f 的切线方程.。

导数的概念及其几何意义 导数的概念 同步练习一,选择题:1．已知函数f(x)=2x+5，当x 从2变化到4时，函数的平均变化率是( )A 、 2B 、 4C 、 2D 、 -22．一个物体的运动方程为21s t t 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A 、 7米/秒B 、6米/秒C 、 5米/秒D 、 8米/秒4．32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．如果()f x 为偶函数，且导数()f x 存在，则()0f '的值为 （ ）A ．2B ．1C ．0D ．-16、根据导数的定义，)(1'x f 等于（ ）A. 01010)()(lim 1x x x f x f x --→ B.x x f x f x ∆-→∆)()(lim 010 C.x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 110 D.xx f x x f x ∆-∆+→)()(lim 1101 7、 物体作直线运动的方程为)(t s s =，则10)4('=s 表示的意义是（ ）（A ）经过4s 后物体向前走了10m （B ）物体在前4s 内的平均速度为10m/s（C ）物体在第4s 内向前走了10m （D ）物体在第4s 时的瞬时速度为10m/s8、某人拉动一个物体前进，他所做的功W （J ）是时间t （s ）的函数t t t t W W 166)(23+-==，则他在时刻s t 2=时的功率为（ ）（A ）4s J / （B ）16s J / （C ）5s J / （D ）8s J /9、一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度)/(s m v 与时间t （s ）的关系近似表示为t t t f v 10)(2+-==，则汽车在时刻1=t 秒时的加速度为（ ）（A ）9s m / （B ）92/s m （C ）82/s m （D ）72/s m10、 若函数x x x f +-=2)(的图像上一点)2,1(--及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+-，则=∆∆xy （ ）（A ）3 （B ）2)(3x x ∆-∆ （C ）2)(3x ∆- （D ）x ∆-311、若函数)(x f 对于任意x ，有3'4)(x x f =，1)1(-=f ，则此函数为（ ）（A ）1)(4+=x x f （B ）2)(4-=x x f（C ）1)(4-=x x f （D ）2)(4+=x x f12、已知函数63)(23-+=x ax x f ，若4)1('=-f ，则实数a 的值为（ ）（A ）319 （B ）316 （C ）313 （D ）310 二,填空题: 13、一质点运动方程为2t s =，则质点在4=t 时的瞬时速度为 。

导数的概念及其几何意义同步练习题 （理科）、选择题1. y 2x 1在（1,2）内的平均变化率为（ B ) A . 3B.2C . .1 D. o2. 质点运动动规律 s t 2 3，则在时间(3,3t ）中，相应的平均速度为（A ）A . 6 tB• 6 t - C .3 t D . 9 tt3. 函数y =f (x )的自变量x 由x o 改变到x o +/x 时，函数值的改变量 /y 为(D )A.f (x o +/x )B.f (x o )+ /xC.f (x o )?/x D. f (x o +/x )- f (x o )4. 一质点运动的方程为 s = 5 — 3t 2,则在时间［1 , 1 + △ t ］内相应的平均速度为(D ) A. 3 △ t + 6 B. — 3 A t + 6 C. 3 △ t — 6 D. — 3 A t — 67. 曲线y=2x 2+1在点P （-1,3 ）处的切线方程是（A ） A. y =-4 x -1B.y =-4 x -7 C. y =4x -1 D. y =4x -78. 过点(-1,2 )且与曲线y =3x 2-4 x +2在点M( 1,1 )处的切线平行的直线方程是( A. y =2x -1B.y =2x +1 C. y =2x +4 D .y =2x -49. 下面四个命题：① 若f '（X 。

）不存在，则曲线y = f （x ）在点（X 。

，f （x 。

））处没有切线； ② 若曲线y = f （x ）在点（x o , f （x o ））处有切线，则f ' （x o ）必存在；③ 若f ' （x o ）不存在，则曲线y =f （x ）在点（x o , f （x o ））处的切线斜率不存在； ④ 曲线的切线和曲线有且只有一个公共点•其中，真命题个数是 （B ）A. oB. 1C. 2D. 310. 曲线y = 2x 2上有一点A （2,8），则点A 处的切线斜率为（C ） A.4 B. 16 C. 8 D. 211. 曲线y = x 3 — 3x 2 + 1在点（1 , — 1）处的切线方程为（B ） A. y = 3x — 4 B. y =— 3x + 2 C. y =— 4x + 3 D. y = 4x — 5一A S12. 一直线运动的物体，从时间 t 到t + A t 时，物体的位移为A S ,那么Ai x n o 云为（A ） 5.设函数f (x )=—，则lim x? af(x )- f(a)等于(C )A.-- aB.C.D.3（t 是时间,s 是位移），则物体在时刻t = 2时的速度为（D ）1917A. B. ~4C415D.13 7A .在t 时刻该物体的瞬时速度•当时间为A t 时物体的瞬时速度6.已知物体的运动方程为s =t 2+C.从时间t 到t + △ t 时物体的平均速度 D •以上说法均错误 2A . 1在点(2, e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(曲线y=2sinx 在点P (n, 0)处的切线方程为13. (2012 •宝鸡检测)已知函数f (x ) = x 3 — x 在x = 2处的导数为f '⑵=11,则(D )A . f ' (2)是函数f (x ) = x 3— x 在x = 2时对应的函数值 B. f '⑵ 是曲线f (x ) = x 3— x 在点x = 2处的割线斜率 C. f ' (2)是函数f (x ) = x 3— x 在x = 2时的平均变化率⑵ 是 曲线f (x ) =x 3 — x 在点 x =2处的切线的斜率214. (2012 •上饶检测)函数y = 3x 在x = 1处的导数为( A . 2B . 31215. 设 f (x ) = ax + 4,若 f ' (1) = 2,贝U a 等于(A )16.设曲线y = ax 2在点(1 , a )处的切线与直线 2x — y — 6 = 0平行，则 a 等于(A . 1 B.17.已知曲线 122x y =4的一条切线斜率为 1 —21 一2，则切点的横坐标为18 .曲线 A. e 2B.2e 2C.4e 2D.19 . 函数 f(x)x 2在点(2, f (2))处的切线方程为20 . y 4x 4 B . y 4x 44x曲线y e x 在点A 处的切线与直线0平行, 则点 A 的坐标为(A )1,e 1(B ) 0,1 (C )1,e(D ) 0,221 .A. y 2x 2B.C.2x 2 D. y 2x 222 . 设曲线y x n1 *(n N )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为 x n ，则捲 X 2 L X n 的值为(B )【答案】B 【解析】试题分析：因为, n n 1x n 1(n ，所以，y' (n 1)x n，曲线yn 1 *x (n N )在点(1,1)处的切线斜率为n+1，切线方程为(n 1)x令 y=0 得，x= —，即 x n ―,n 1 n 1所以 x , x 2 L x n12 32 3 4、填空题23.若质点M 按规律s = 2t 2 — 2运动，则在一小段时间［2,2 +△ t ］内，相应的平均速度_ 8 + 2A t24.已知函数y = f (x )的图像在点M』1 , f (1))处的切线方程是y =产+ 2,则f (1) + f ' (1) = 3325.曲线y = f (x ) = 2x — x 在点(1 , 1)处的切线方程为 _____________ .答案：x + y — 2= 0 26.直线y 2x b 与曲线y x 3ln x 相切，则b 的值为 -3 . ______ 27.(如图所示)函数y f(x)在点P 处的切线方程是y x 8，则f(5) f (5) = 2因为函数 y f (x)在点P 处的切线方程是 y x 8，所以J Q A【答案】 ■【解析】解：因为在两曲线y sinx 和y cosx 的交点(一,)处，两切线的斜率之积等于24 22 12=2即 4x + y — 4 = 0.f 5 =-1,f 5 =-5+8=3，所以f(5) f (5)=2.28 .在两曲线 y sinx 和y cosx 的交点(一,—)处，两切线的斜率之积等于4 ' 2.229.函数y = x 2在x = 处的导数值等于其函数值.2解析：y = f (x ) = X 在x = X o 处的导数值为f '(X o )f ( X 0+A x )— f ( X 0) ymi2=A m ^0( A x + 2x °) = 2x 0.由 2x 0= x °，解得x °= 0或x ° = 2.答案：0或2 230. (2012 •南昌调研)若一物体的运动方程为 s = 3t + 2,求此物体在三、解答题t = 1时的瞬时速度是61 31.求等边双曲线y =-在点x12,2处的切线的斜率，并写出切线方程. A y解析：••• y '=A X =阿1 1 x +A xxA x点£ 2在曲线上,切线的斜率 k = y ' x = 1=—4.二切线方程为y — 2=— 432.已知抛物线f (x ) = ax 2 + bx — 7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x — y — 3= 0，求a , b 的值.a +b — 7 = 1由已知可得2a + b = 4 ，解得a =—4, b =1233. (2012 •榆林调研)已知曲线y = 1x 3上一点P 2, 3。

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

1.函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( )． A ．－3B ．－2C ．－5D ．－12．设函数f (x )为可导函数，则0(1)(1)lim 2x f x f x∆→+∆-∆等于( )．A ．f ′(1)B ．2f ′(1)C ．12f ′(1)D ．f ′(2)3．如果过函数y ＝f (x )图像上点A (3，a )的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)＝( )．A ．2B ．12-C ．－2D ．124．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点，3)，则在该点处的切线方程是( )． A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋75．已知曲线y ＝x 3上过点(2,8)的切线方程为12x －ay －16＝0，则a ＝( )． A ．－1B ．1C ．－2D ．26．如果曲线y ＝x 3＋x －10的一条切线与直线y ＝4x ＋3平行，则曲线与切线相切的切点坐标为( )．A ．(1，－8)B ．(－1，－12)C ．(1，－8)或(－1，－12)D ．(1，－12)或(－1，－8)7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.8．已知f (x )在x ＝6处可导，且f (6)＝8，f ′(6)＝3，则226[()][(6)]lim 6x f x f x →--＝__________.9．已知点M (0，－1)，过点M 的直线l 与曲线f (x )＝13x 3－4x ＋4在点42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线平行，求直线l 的方程．10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程．参考答案1.答案：A 解析：f ′(2)＝00(2)(2)13(2)(132)lim limx x f x f x x x∆→∆→+∆--+∆--⨯=∆∆ ＝0lim x ∆→(－3)＝－3.2.答案：B 解析：00(1)(1)1(1)(1)1limlim (1)222x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆ ．3.答案：B 解析：因为过点A (3，a )的切线与2x ＋y ＋1＝0平行，所以过A 点的切线斜率f ′(3)＝－2.4.答案：B 解析：由3＝2a 2＋1，得a ＝1或a ＝－1(舍去)．又∵f ′(1)＝22002(1)1(211)limlim x x a x a x∆→∆→+∆+-⨯+=∆(4＋2Δx )＝4， ∴在点(1,3)处的切线方程为y －3＝4(x －1)， ∴y ＝4x －1.5.答案：B 解析：k ＝3300(2)2limlim x x x x∆→∆→+∆-=∆[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12， ∴过点(2,8)的切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，∴a ＝1. 6.答案：B 解析：设切点坐标为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 03＋x 0－10.切线斜率为k ＝3300000()()10(10)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆=0lim x ∆→(3x 02＋1)＋3x 0·Δx ＋(Δx )2]＝3x 02＋1＝4，∴x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－8；当x 0＝－1时，y 0＝－12，即切点为(1，－8)或(－1，－12)． 7.答案：3 解析：f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 8.答案：48 解析：f ′(6)＝3，∴6()(6)lim6x f x f x →--＝3.∴226[()][(6)]lim 6x f x f x →-- ＝6[()(6)][()(6)]lim6x f x f f x f x →-+-＝[f (6)＋f (6)]·f ′(6)＝(8＋8)×3＝48. 9.答案：解：Δy ＝13(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－311242433⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(Δx )3＋2(Δx )2， ∴13y x ∆=∆(Δx )2＋2Δx ， ∴2001limlim ()23x x y x x x ∆→∆→∆⎡⎤=∆+∆⎢⎥∆⎣⎦＝0，即k ＝f ′(2)＝0.∴直线l 的方程为y ＝－1.10.解：f ′(1)＝220(1)(1)2(112)lim x x x x∆→+∆++∆--+-∆＝3，即l 1的斜率为k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 02＋x 0－2)，∴f ′(x 0)＝2200000()()2(2)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆＝0lim x ∆→(2x 0＋Δx ＋1)＝2x 0＋1，则直线l 2的斜率为k 2＝f ′(x 0)＝2x 0＋1. 又∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即3(2x 0＋1)＝－1，∴x 0＝23-，y 0＝22233⎛⎫-- ⎪⎝⎭－2＝209-.∴切点为220,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭，斜率k 2＝13-，∴直线l 2的方程为y ＋2012933x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴3x ＋9y ＋22＝0.。

导数的概念及其几何意义同步练习题一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ B ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ A ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（ D ） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)•⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ C ）A.4B.4xC.4+2⊿xD.4+2(⊿x )25. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( D ) A. 3Δt ＋6 B. －3Δt ＋6 C. 3Δt －6 D. －3Δt －66.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()lim h f x h f x h®+-的值（ B ）A.与x 0，h 有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C. 仅与h 有关，而与x 0无关D. 与x 0，h 都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ C ）A.2B.1C.0D.-1 8.设函数f (x )=，则()()limx af x f a x a®--等于( C )A.1a -B.2aC.21a- D.21a 9. 下列各式中正确的是( D )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( C ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( A ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为(D)A. 194B. 174C. 154D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ A ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -714.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ C ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( A )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( C ) A.4 B. 16 C. 8 D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( B ) A. y ＝3x －4 B. y ＝－3x ＋2 C. y ＝－4x ＋3 D. y ＝4x －519.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0ΔsΔt为( ) A ．在t 时刻该物体的瞬时速度 B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度 C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 D ．以上说法均错误解析：选A.根据导数的概念可知，lim Δx →0 ΔsΔt 表示瞬时变化率，即t 时刻该物体的瞬时速度． 20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( D )A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时的平均变化率D ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的切线的斜率21.已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 解析：选B.f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )＜f ′(x B )．22.(2012·上饶检测)函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．12解析：选C.f ′(1)＝lim Δx →0 3（1＋Δx ）2－3×12Δx ＝lim Δx →0 3＋6Δx ＋3（Δx ）2－3Δx ＝6. 23.设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 解析：选A.∵f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝a （1＋Δx ）＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，又f ′(1)＝2，∴a ＝2.24.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A.令f (x )＝y ＝ax 2，则2＝k ＝f ′(1)＝lim Δx →0f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝2a ，故a ＝1.25．已知曲线y ＝x 24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为 ( A )A ．1B ．2C ．3D ．426．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( A )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0二、填空题27. 在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为_Δx ＋2____．28. 若质点M 按规律s ＝2t 2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt ]内，相应的平均速度_ 8＋2Δt _．29.已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__3___．30．曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1，1)处的切线方程为________．答案：x ＋y －2＝031.函数y ＝x 2在x ＝________处的导数值等于其函数值．解析：y ＝f (x )＝x 2在x ＝x 0处的导数值为f ′(x 0) ＝lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0.由2x 0＝x 20，解得x 0＝0或x 0＝2.答案：0或2 32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s ＝3t 2＋2，求此物体在t ＝1时的瞬时速度是 633．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是___2x －y ＋4＝0__．34.函数f (x )=3x 2-4x 在x =-1处的导数是 . 解析. Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1. lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴ y ′| x ＝1＝12.三、解答题35. 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)求当x 1＝4，且Δx ＝0.01时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx；解析： f (x )＝2x 2＋3x －5，∴ Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 21＋3×x 1－5)＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .(1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21，∴ Δy Δx ＝211＝21.(2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝1.92.∴ Δy Δx ＝1.920.1＝19.2.(3)当x 1＝4，Δx ＝0.01时，Δy ＝2×0.012＋(4×4＋3)×0.01＝0.190 2，∴ Δy Δx ＝0.190 20.014＝19.02.36. 已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2，求：(1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；(2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；(4)落体在t ＝2 s 时的瞬时速度． 解析： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内(即Δt 时间内)取得的路程增量为Δs ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20.因此，落体在这段时间内的平均速度为v ＝Δs Δt ＝12g t 0＋Δt 2－12gt 20Δt ＝12g (2t 0＋Δt )．(2)落体在t 0时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0v ＝lim Δt →0 12g (2t 0＋Δt )＝gt 0. (3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 时，其时间增量Δt ＝t 1－t 0＝0.1 s ，由(1)知平均速度为v ＝12g (2×2＋0.1)＝2.05g ≈2.05×9.8＝20.09(m/s)．(4)由(2)知落体在t 0＝2 s 的瞬时速度为v ＝g ×2≈9.8×2＝19.6(m/s)．37. 求等边双曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程． 解析：∵ y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x Δx ＝－1x 2，又 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在曲线上， ∴ 切线的斜率 k ＝y ′⎪⎪⎪x ＝12＝－4.∴ 切线方程为 y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即 4x ＋y －4＝0.38. 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．解析： f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x . 设点P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即点P (2,4)．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94. (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即 2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 39．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．解析：f′(x)＝li m Δx→0 a x ＋Δx 2＋b x ＋Δx －7－ax 2－bx ＋7Δx＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝1240. (2012·榆林调研)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83。

高中数学 3.2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大版选修1-11．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线2．若函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．f ′(x 0) B ．－f ′(x 0) C ．f (x 0) D ．－f (x 0)3．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y －1＝04．若运动物体的位移s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则该物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为( ) A ．19.6 m/s B ．9.8 m/sC ．4.9 m/sD ．39.2 m/s 5．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线斜率k 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4 6．已知曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12 D ．－17．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________．8．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32处切线的倾斜角为________． 9．某块正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热后会膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数，则该铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为________．10．求曲线y ＝f (x )＝1x和y ＝f (x )＝x 2在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．11．已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43. (1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？参考答案1. 解析：当切线斜率不存在时，其切线方程为x ＝x 0.答案：C2. 解析：lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)，故选B. 答案：B3. 解析：由导数的定义，可得lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →014(2＋Δx )2－14×22Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14Δx ＝1， 所以抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的导数为1. 又点Q (2,1)在抛物线上，所以所求的切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 答案：B4. 答案：A5. 解析：利用导数的定义及其几何意义直接求结果．k ＝f ′(2)＝7.答案：A6. 解析：令f (x )＝y ＝ax 2，则曲线在点(1，a )处的切线斜率k ＝f ′(1)，即2＝k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2a ，故a ＝1. 答案：A7. 解析：∵f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴li m Δx →011＋Δx ＋1＝12.∴f ′(1)＝12. 答案：128. 解析：f ′(－1)＝li m Δx →0f (－1＋Δx )－f (－1)Δx ＝－1，即曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32处切线的斜率为－1，故倾斜角为135°. 答案：135°9. 解析：设温度的增量为Δt ，则铁板面积S 的增量ΔS ＝200(a ＋a 2t )Δt ＋100a 2(Δt )2，因此ΔS Δt＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt ， 令Δt →0，则S ′(t )＝200(a ＋a 2t )．即铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为200(a ＋a 2t )．答案：200(a ＋a 2t )10．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x，y ＝x 2得曲线的交点是A (1,1)．对曲线y ＝f (x )＝1x求导数， f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x Δx ＝－1x 2. 曲线y ＝1x在点A 处的切线斜率k 1＝f ′(1)＝－1，切线方程是l 1：y ＝－x ＋2. 对曲线y ＝f (x )＝x 2求导数，f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 曲线y ＝x 2在点A 处的切线斜率k 2＝f ′(1)＝2，切线方程是l 2：y ＝2x －1. 又l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 所以它们与x 轴所围成的三角形的面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34. 11. 解：(1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，∴切点为P (2,4)．∴Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝4＋2Δx ＋13(Δx )2， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2Δx ＋13(Δx )2＝4.∴k ＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由题意联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，即(x －2)2(x ＋4)＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－4.当x ＝2时，y ＝4，当x ＝－4时，y ＝－20.∴公共点的坐标为(2,4)或(－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点(2,4)外，还有另外一点(－4，－20).。

导数的概念和几何意义同步练习题一、选择题1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y +=【答案】B 【解析】试题分析：设()af x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =，得12a =，所以12()f x x ==()f x '=，1()14f '=，所以所求的切线方程为1124y x -=-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线.2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、4π B 、0 C 、43πD 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ，1.利用导数求切线的斜率；2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2e B.22e C.24eD.22e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2(2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'222xx x k ye e --===，∴切线的方程为22(2)y e e x -=-，即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2(0,)e -，(1,0)，∴221122e S e =⨯⨯=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式.4．函数2()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =-B ．44y x =+C ．42y x =+D ．4y =【答案】A 【解析】试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。

1导数的概念和几何意义同步练习题一、选择题1.若幂函数(y f x =的图像经过点11(,42A ,则它在A 点处的切线方程是( A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C .20x y -= D. 20x y +=【答案】B 【解析】试题分析:设(af x x =,把11(,42A 代入,得1142a =,得12a =,所以12(f x x =(f x '=,1(14f '=,所以所求的切线方程为1124y x -=-即4410x y -+=,选B.考点:幂函数、曲线的切线.2.函数(x e x f xcos =的图像在点((0,0f 处的切线的倾斜角为(A 、4π B 、0 C 、43π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析:由sin (cos ('x x e x f x -=,则在点((0,0f 处的切线的斜率10('==f k ,1.利用导数求切线的斜率;2.直线斜率与倾斜角的关系3.曲线xy e =在点2(2e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A.2e B.22e C.24eD.22e 【答案】D 【解析】试题分析:∵点2(2e ,在曲线上,∴切线的斜率'222xx x k y e e --===,∴切线的方程为22(2y e e x -=-,即220e x y e --=,与两坐标轴的交点坐标为2(0,e -,(1,0,∴221122e S e =⨯⨯=.考点:1.利用导数求切线方程;2.三角形面积公式.4.函数2(f x x =在点(2,(2f 处的切线方程为( A .44y x =-B .44y x =+C .42y x =+D .4y =【答案】A 【解析】试题分析:由x x f 2(='得切线的斜率为42(='f ,又42(=f ,所以切线方程为2(44-=-x y ,即44-=x y .也可以直接验证得到。