2020-2021天津市高二数学上期末试题(及答案)

天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +(a -1)y +a 2-1=0平行，则a 等于（ ） A ．-1 B ．-1或2 C ．2 D ．12．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=03．过点P(1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．36 B ．18 C ． D ．5．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知圆C ：x 2+y 2-8x +15=0，若直线y =kx -2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）A ．32B ．43C ．53D ．54 7．过椭圆9x 2+25y 2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB 的长为（ ） A ．5 B ．6 C ．9017 D ．78．已知椭圆x 2+4y 2=12的左、右焦点分别为F 1､F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，则∣PF 1∣是∣PF 2∣的（ ）A ．3倍B ．4倍C ．5倍D ．7倍 9．若椭圆2a 2x 2-ay 2=2的一个焦点是(-2，0)，则a =（ ）A B C D 10．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C ．13 D二、填空题11．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是________________ 12．如果x 2+y 2-2x +y +k =0是圆的方程，则实数k 的取值范围是_____.13．已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .14．过直线:0l x y +-=上一点P 作圆：221x y +=的两条切线的夹角为60°，则点P 的坐标为__________．15．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________.16．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若Rt F 1PF 2，则点P 到x 轴的距离为_____.三、解答题17．在三棱锥P -ABC 中，∠APB =90°，∠P AB =60°，AB =BC =CA ，平面P AB ⊥平面ABC . （1）求直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值；（2）求二面角B -AP -C 的余弦值.18．已知直线x +y -1=0与椭圆C ：b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线l ：x -2y =0上.（1）求此椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2+y 2=4上，求此椭圆C 的方程. 19．已知(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 取值范围. 20．已知直线l ：x =my +1过椭圆C ：b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的右焦点F ，且交椭圆C 于A ､B 两点，点A ､B 在直线G ：x =a 2上的射影依次为点D ､E .（1）若22113||e OF OA FA +=，其中O 为原点，A 2为右顶点，e 为离心率，求椭圆C 的方程；（2）连接AF ，BD ，试探索当m 变化时，直线AE ，BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.参考答案1．A【分析】根据直线平行关系可得方程组，解方程组求得结果.【详解】由1l 与2l 平行得：()()()21202161a a a a ⎧--=⎪⎨-≠-⎪⎩，解得：1a =- 故选：A .【点睛】本题考查两直线1111:+0l A x B y C +=与2222:+0l A x B y C +=平行时有12212112=A B A B B C B C ⎧⎨≠⎩， 易错点是忽略直线不能重合，造成增根.2．D【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =- .:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.3．C【详解】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意， 当直线不经过原点时，设直线方程为1x y a b+=. 由题意得141,,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得33a b =-⎧⎨=⎩或55a b =⎧⎨=⎩综上，符合题意的直线共有3条.故选：C ．【点睛】首先明白直线的截距的概念，就是直线和坐标轴的交点的坐标，可正，可负，可0，截距不是距离．截距绝对值相等，截距互为相反数，横截距是纵截距的两倍，都要考虑过原点的情况．4．C【分析】先看直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求．【详解】圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为（2，2），半径为r =，圆心到到直线x+y-14=0=，所以圆上的点到直线的距离的最大值为d r +=d r -= 因此最大距离与最小距离的差是，故选C ．5．C【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由圆心在第二象限可得0,0a b >>， 所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>， 所以直线不过第三象限.故选：C6．B【分析】圆C 化成标准方程，得圆心为C （4，0）且半径r =1，根据题意可得C 到直线y =kx ﹣2的距离小于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于k 的不等式，即可得到k 的最大值．【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x +15=0，∴整理得：（x ﹣4）2+y 2=1，可得圆心为C （4，0），半径r=1．又∵直线y =kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴点C 到直线y =kx ﹣2的距离小于或等于22≤， 化简得：3k 2﹣4k ≤0，解之得0≤k ≤43， 可得k 的最大值是43． 故选：B7．C【分析】求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.【详解】由9x 2+25y 2=225得，221259x y +=，2225,9a b ==，所以216c =，右焦点坐标为(4,0)，直线AB 的方程为4y x =-，所以2241259y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2342001750x x -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，所以1212100175,1734x x x x +==，||AB ==9017==. 故选：C.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的弦长公式||AB =应用.8．D【分析】由已知得到焦点坐标，设(,)P x y ，根据中点坐标公式得到横坐标等于零得到P 点坐标，再利用两点间的距离公式可得答案.【详解】由椭圆x 2+4y 2=12得，221123x y += ，2222212,3,9a b c a b ===-=， 所以1(3,0)F F （-3,0),，设(,)P x y ，则线段1PF 的中点坐标为3,22x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以302x -=，所以3x =，所以2231123y +=，解得y =P ⎛ ⎝⎭，1||PF ==2||2PF ==，所以12||7||PF PF =， 当3,2P ⎛- ⎝⎭，1||2PF ==，2||2PF ==，所以12||7||PF PF =， 故选：D.9．C【分析】方程化为椭圆的标准方程，根据焦点求解即可.【详解】 由原方程可得222y 112x a a-=， 因为椭圆焦点是(-2，0)， 所以2124a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得14a =±， 因为20a->，即0a <，所以14a =， 故选：C10．C【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案.【详解】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2ka k a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==， 故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于,a c 的等量关系.11．4250x y --=【解析】试题分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB 的垂直平分线的方程，再化为一般式解：线段AB 的中点为(2，32)，垂直平分线的斜率 k=1AB k -=2，∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y-32=2（x-2），4x-2y-5=0，故答案为4250x y --=． 考点：直线方程点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．12．5-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】根据2240D E F +->即可求解.【详解】由2240D E F +->即(-2)2+12-4k >0，解得k <54. 所以实数k 的取值范围是5-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故答案为：5-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了圆的一般方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 13．22(3)4x y -+= 【详解】设圆心为(,0)a ，则圆心到直线10x y --=的距离为d =因为圆截直线所得的弦长根据半弦、半径、弦心距之间的关系有222(1)a +=-，即2(1)4a -=，所以3a =或1a =-（舍去），半径r=3-1=2所以圆C 的标准方程为22(3)4x y -+=14．【详解】 设切断为E 、F60EPF ∠=由切线的性质可知30OPF ∠=，因为,OE PE ⊥所以设，由故点P 的坐标为()2,2.【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，以及切线的性质．已知切线往往连接圆心与切点，借助图形构造直角三角形解决问题，培养了学生数形结合的思想，分析问题，解决问题的能力15．221259x y +=【解析】当点P 为椭圆的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积最大，此时△PF 1F 2的面积为S ＝12×8×b ＝12，解得b ＝3.又a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆方程为22259x y ＋＝1.16．165或163【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组，再用等面积法求y. 【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得29y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165．（2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，121211||||||||22PF PF F F y =， 6|1|3y ∴=， 由（1）（2）知：P 到x 轴的距离为165或163， 故答案为：165或163． 【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件. 17．（12【分析】(1)设AB 中点为D ，AD 中点为O ，连接,,OC OP CD ，可以证出∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角.不妨设P A =2,则OD = 1 , OP AB =4，在Rt △OCP 中求解；（2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE ，可证明CED ∠就是二面角B -AP -C 的平面角，解三角求解即可. 【详解】（1）设AB 中点为D ，取AD 中点为O ，连接OC ，连接PD 、CD . 如图，因为∠APB =90°，∠P AB =60°，1,2AP AB AD PD AD ===, 所以PAD 为等边三角形， 所以PO AB ⊥，因为平面P AB ⊥平面ABC ，AB 为交线， 所以PO ⊥平面ABC所以OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成的角 因为AB =BC =CA ，所以CD ⊥AB . 因为∠APB =90°，∠P AB =60°，不妨设P A =2，则OD =1，OP AB =4.所以，OC ==在Rt OCP 中，13tan OP O C C O P ===∠，所以sin 4OCP ∠=故直线PC 与平面ABC （2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE . 如图，由已知可得，CD ⊥平面P AB. 根据三垂线定理可知，CE ⊥P A ，所以，CED ∠就是二面角B -AP -C 的平面角.由（1）知，DE 在Rt △CDE 中， tan 2CED CDDE==∠，所以cos CED ∠=故二面角B AP C --. 【点睛】求立体几何中空间的角，利用传统做法把握好两方面即可：一是要找到或作出所求角，并要适当证明，二是要把角放在合适的三角形中求解.18．（1）2（2）22184x y +=【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及中点坐标公式解得线段AB 中点M 坐标，代入直线l 的方程，解得离心率；（2）利用方程组解得右焦点关于直线l 的对称点坐标，代入圆方程，结合（1）解得a ，b ,即可求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆C ：b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)，即22221x y a b+=，（1）设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由2222101x y x y a b +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222222220a b x a x a a b +-+-=． ()()()222222220aab a a b ∆=--+->，即221a b +>．x 1+ x 2=2222a a b+， y 1+ y 2＝-( x 1+ x 2)+2=2222b a b +，∴点M 的坐标为（222a a b +，222b a b +）． 又点M 在直线l 上，∴2222222a b a b a b -++=0， ∴()222222a b a c ==-，∴222a c =，∴c e a ==． （2）由（1）知b c =，设椭圆的右焦点F （b ，0）关于直线l ： 12y x =的对称点为（x 0，y 0），由000001121222y x b y x b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得003545x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵22004x y +=，∴2234455b b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴24b =，222822b a c =∴==，显然有221a b +>．∴所求的椭圆的方程为22184x y +=．【点睛】解决此题的关键在于求出A ，B 两点的中点坐标，利用中点坐标在直线l ：x -2y =0上，建立关于,a b 的方程，结合222a b c =+，转化为关于,a c 的方程，求出椭圆的离心率e . 19．（1）3y =或34120x y +-=；（2）1205a . 【分析】（1）根据圆心在直线:24=-l y x 上也在直线1y x =-上，求得圆心坐标，可得过A 的圆C 的切线方程.（2）设圆C 的方程为22()(24)1x a y a -+-+=，再设(,)M x y ，根据2MA MO =，求得圆22:(1)4D x y ++=，根据题意，圆C 和圆D 有交点，可得2112CD -+，即221(241)3a a +-+，由此求得a 的范围.【详解】解：（1）根据圆心在直线:24=-l y x 上，若圆心C 也在直线1y x =-上，则由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，求得32x y =⎧⎨=⎩，可得圆心坐标为(3,2).设过(0,3)A 的圆C 的切线方程为3(0)y k x -=-，即30kx y -+=， 根据圆心到直线30kx y -+=的距离等于半径11=，求得0k =，或34k =-，故切线方程为3y =，或34120x y +-=.（2）根据圆心在直线:24=-l y x 上，可设圆的方程为22()(24)1x a y a -+-+=.若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，设(,)M x y ，2MA MO =，∴=化简可得22(1)4x y ++=，故点M 在以(0,1)D -为圆心、半径等于2的圆上.根据题意，点M 也在圆C 上，故圆C 和圆D 有交点，2112CD ∴-+，即221(241)3a a +-+，求得251280a a -+，且25120a a -，解得1205a . 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，圆的标准方程，考查学生的数学抽象能力与计算能力，属于中档题.20．（1）22143x y +=（2）相较于定点5(2N ，0)，证明见解析.【分析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得1c =，由已知等式可得e ，进而得到a ，b ，即可得到椭圆方程；（2）当0m =时，求得AE ，BD 的交点，猜想定点5(2N ，0)．当0m ≠时，分别设A ，B 的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，由题意可得1(4,)D y ，2(4,)E y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合三点共线的性质，计算直线BN ，DN 的斜率，可判断B ，N ，D 共线，同理可判断A ，E ，N 共线，即可得到定点N ．【详解】（1）椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，设椭圆的半焦距为c ，由题意可得1c =， 由22113||||||e OF OA FA +=，可得113ec a a c+=-， 即有113a ce c a -+-=，即14e e =，解得12e =，则2a =，b ==所以椭圆的方程为22143x y +=；（2）当0m =时，直线AB 垂直于x 轴，可得四边形ABED 为矩形，直线AE ，BD 相交于点5(2，0)，猜想定点5(2N ，0)；当0m ≠时，分别设A ，B 的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，由题意可得1(4,)D y ，2(4,)E y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩可得22(43)690m y my ++-=， 122643m y y m+=-+，122943y y m =-+， 由2252BN y k x =-，1542DN y k =-， 由212235()2235()22BN DNy y x k k x ---=-，又212121222353369(1)()()()022224343m y y my y y my y m m m -+-=+-=---=++， 则0BN DN k k -=，即BN DN k k =，所以B ，D ，N 三点共线； 同理可得A ，E ，N 三点共线．则直线AE ，BD 相交于一定点5(2N ，0)．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末语文试题一、选择题1．下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是（）A．女人的手指振动了一下，想是叫苇眉子划破了手。

她把一个手指放在嘴里吮（shǔn）了一下。

B．长方形的、红砖墙严密地封琐着的工房区域，被一条水门汀的弄（nòng）堂划成狭长的两块。

C．至少，也当浸渍（zì）了亲族，师友，爱人的心，纵使时光流驶，洗成绯红，也会在微漠的悲哀中永存微笑的和蔼的旧影。

D．她们嘈杂起来，有的在公共自来水龙头边舀水，有的用断了齿的木梳梳掉执拗地粘（nián）在头发里的绵絮。

2．依次填入下面语段横线处的词语，最恰当的一组是（）八角坳离山有三十多里路，再加上要拐弯抹角地走小路，下半夜才赶到。

这庄子以前我来过，那时候在根据地里像这样大的庄子，每到夜间，田里的活儿干完了，老百姓开会啦，上夜校啦，_______，山歌不断，闹得可热火。

可是，现在呢，_______，连个火亮儿也没有，黑沉沉的，活像个乱葬岗子。

我_______地_______了庄子，按着政委告诉的记号，从东头数到第十七座窝棚，蹑手殴脚地走到窝棚门口。

A．锣鼓喧天鸦雀无声悄悄摸进B．沸反盈天风平浪静偷偷混进C．沸反盈天鸦雀无声悄悄混进D．锣鼓喧天风平浪静偷偷摸进3．下列各句中没有语病的一项是（）A．高速公路上交通事故的主要原因是司机违反交通规则或操作不当造成的，交通部门要加强安全宣传，提高司机的安全意识。

B．那时我在上海，也有一个唯一的不但敢于随便谈笑，而且还敢于托他办点私事的人，那就是送书去给白莽的柔石。

C．中国的哲学蕴含于人伦日用之中，中国建筑处处体现着人伦秩序与和而不同的东方智慧，五千年前的中华文明正是良渚大量建筑遗址的见证者。

D．在以后的一个多世纪中，包括彭定康在内的许多港督曾对港督府进行过大规模的装修、改建和扩建。

4．下列有关文学常识和名著阅读的表述，有错误的一项是（）A．孙犁，小说家、散文家，其作品文笔细腻婉约，浓郁的浪漫主义色彩和清新隽永的抒情诗风格，代表了“荷花淀派”的创作特色。

2020-2021学年天津市北辰区、津南区四校高一（下）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁U B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（）x0134y 3.3 4.8 5.7 A．2.2B．1.8C．1.6D．1.44．函数f（x）＝e x﹣cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（）A．60种B．50种C．30种D．24种7．曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．D．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m29．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请将正确的答案填写到答题纸上。

天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题第I 卷（共％分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的•1.在空间直角坐标系中,已知点A （2,—l,3）, 3（71,-1）,则线段AB 的中点坐标是（ ）C. (3,0,1)D. (―1 丄1)2.准线为x = 2的抛物线的标准方程方程是（3•经过4（2,1）, B （0,—3）两点的直线方程为（ A. 2x-y-3 = 04.在等比数列｛陽｝中,為=24 , % = 6,则6 = <7.《莱茵徳纸草书》是世界上最古老 数学箸作之一•书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人, 使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的*是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）5 10 5 11 A. 一B. —C. 一D.—3366&已知F 为双曲线G 冷—亠=1（G >0, Z?>0）的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点,且 cr 垂直于皿•若直线AB 的倾斜角列，则Q 的离心率炉）A. (-1,0,2)A. x 2= 8yC.D. y2=_8xB.C. x-2y-3 = 0D. x+2y —3=0A. 12B.-12C.±12D. 155・焦点在x 轴上 椭圆的长轴长为4,离心率为*,则该椭圆的标准方程为27B. 乂+ 二=116 4C. —+ /=146.已知圆方程为兀‘+ y ，-2x + 2y+ = 0 , 则实数加的取值范围是（A. m > 2B. m>2C. m<2D. in <2A. y/3B.2C. 3D. y/59.定义：两条异而直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值•在长方体ABCD-A.B^D,中，AB = 1, BC = 2, AA｝=3,则异面直线AC与之间的距离是()A.迈B. ◎C.迈D.-5 76 7第II卷(共84分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10.已知圆 G： x2 + /+2x + 8y-8 = 0,圆 C?： x2 + /-4x-4y-2 = 0 ,则圆 G 与圆 C?的位垃关系是_____________ .11.记S”为等差数列｛厲｝的前"项和，若\ = n2 (neN*),则购二___________________ •12.经过点人(3,-1),并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_________________ ■13.已知空间向=(1,0,1), ^=(2,-1,2),则向量5在向量&上的投影向量是_________________________ •14.已知数列｛"”｝的首项q=2,且满足“”+|=3冷+ 2(neN*)>贝“｛"”｝的前"项和S” = __________ •15.已知A, B两点坐标分别是(-2,0), (2,0),直线血，3M相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是4,则点M的轨迹方程为_________________ -三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知等比数列｛厲｝满足“2=6, 6®+佝=30.(I)求｛©｝通项公式：2(II)若a t>2f设化(W eN* X记数列｛®｝的前川项和为S“,求S-17.已知圆C与直线2x+y = 4相切于点4(1,2),并且圆心在直线V二一尤上，求圆C的方程.18.如图，在四而体ABCD中，丄AC, AQ丄平而ABC，点M为棱A3的中点，AB = AC = 2,AD = y/3 ・（I）求直线3C与MD所成角的余弦值：（II）求平^ABD和平而BDC的夹角的余弦值.19.已知椭圆E：二+匚=1 （a>b>0）的焦距为2JJ，且离心率为迺.cr 次 2（I）求E的方程：（II）若直线y = l<x + l（k>〔）与E相交于人B两点，A/为£的左顶点，且满足％丄MB,求化220.已知等差数列匕｝的前"项和为S“，S4 = 4S2, a2n = 2a rl +1 （,? e N*）•（I）求｛©｝的通项公式；4M・b（H）设数列他｝满足勺+3$+…+ （2〃一1）化=n（m2）,记数列］（一1『——的前“项和为「 w "訂 + 1•求人・天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题答案第I 卷(共％分)一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的•1.在空间直角坐标系中,已知点人(2,—1,3),C. (3,0,1)D. (―1 丄1)【答案】B2.准线为x = 2的抛物线的标准方程方程是(【答案】D 3•经过4(2,1), B(0,—3)两点的直线方程为 A. 2x-y-3 = 0【答案】A4.在等比数列｛a n ｝中，a 4 = 24 9 «6 = 6,则①=<【答案】C【答案】C 7.《莱茵徳纸草书》是世界上最古老 数学著作之一•书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的*是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）5“ 10厂 5小 11则线段AB 的中点坐标是()A. (-1,0,2)A. x 2=SyB. x 2=C.D.『2=_&丫B.C. x-2y-3 = 0D. 兀+ 2.y — 3 = 0A. 12B.-12C.±12D. 155.焦点在x 轴上 椭圆的长轴长为4,离心率为则该椭圆的标准方程为A . 乂+工=14 3° T6+T2=，【答案】A6.已知圆 方程为+ y 2—2x + 2y + m = 0 , 则实数加的取值范围是(A. m > 2B. m>2C. m<2D. in <2A. -B. —C. 一D.—3 3 6 6【答案】Ax2 y2&已知F为双曲线G —--r = l（G>o, /?>0）的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点,且（C Zr垂直于x轴•若直线AB的倾斜角为丄，则C的离心率为（）4A.命B.2C. 3D. y/5【答案】B9.泄义：两条异而直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值•在长方体ABCD-A.B^D,中，AB = 1, BC = 2, AA t =3,则异面直线AC与BG之间的距离是（）A.迈B. ◎C.逅D.-5 76 7【答案】D第II卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10.已知圆 G： F + y2+2x + 8y_8 = 0,圆 C2： x2 + y2-4x-4y-2 = 0,则圆 G 与圆 C?的位垃关系是_____________ .【答案】相交11.记»为等差数列｛%｝的前介项和,若S n=n2（neN*），则他= ____________________ •【答案】1712.经过点A（3,-1）,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为 ______________ .2 2【答案】—=18 813.已知空间向量"=（1,0,1）, /?=（2,—1,2）,则向量乙在向量Q上的投影向量是______________ . 【答案】（2,0,2）14.已知数列匕｝的首项勺=2,且满足昭］=3^ + 2 （心2）,则｛%｝的前川项和S”= ___________ • 【答案】l(3n+,-3)-zz15. 已知A, B 两点 坐标分别是(-2,0), (2,0),直线血，相交于点M,且直线AM 的斜率与直 线的斜率的差是4,则点M 的轨迹方程为 ____________________ - 【答案】y = 4-x 2(XH ±2)三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知等比数列｛%｝满足«2=6, &勺+他=30. (I) 求｛©｝通项公式：2(II) 若q>2,设久=_" 5eN'),记数列｛仇｝的前川项和为S"求S“・【答案】(I)a …=2x3"-1或© =3x2"“；(II) S” =(“ —1)x2^+2.17. 已知圆C 与直线2x+y = 4相切于点4(1,2),并且圆心在直线$二一X 上，求圆C 的方程. 【答案】(x + l)2+(y — l)2=5.18•如图，在四而体ABCD 中，丄AC ，AD 丄平而ABC,点M 为棱A3的中点，AB = AC = 2,【答案】(【)(II)迥.4 10(I )求E 的方程：(H)若直线y = kx + l (^>1)与E 相交于儿B 两点，M 为E 的左顶点，且满足％丄MB,求化【答案】(I )求直线与MD 所成角的余弦值; (II)求平而血和平而BDC 的夹角的余弦值.20.已知等差数列｛勺｝的前n项和为S”，S4=452, a2n=2a n + l (“!<)・(I )求｛%｝的通项公式：(II)设数列｛®｝满足勺+3仇+求：【答案】(I ) ^=2n-l： (II) 5丘2),记数列((-1)"也％In一2川 + 1 =，2“ + 2"2/1 + 1。

2020-2021学年天津市部分区高二（上）期末语文试卷1. 下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是（）A. 女人的手指振动了一下，想是叫苇眉子划破了手。

她把一个手指放在嘴里吮．（shǔn）了一下。

B. 长方形的、红砖墙严密地封琐着的工房区域，被一条水门汀的弄．（nòng）堂划成狭长的两块。

C. 至少，也当浸渍．（zì）了亲族，师友，爱人的心，纵使时光流驶，洗成绯红，也会在微漠的悲哀中永存微笑的和蔼的旧影。

D. 她们嘈杂起来，有的在公共自来水龙头边舀水，有的用断了齿的木梳梳掉执拗地粘．（nián）在头发里的绵絮。

2. 依次填入下面语段横线处的词语，最恰当的一组是（）八角坳离山有三十多里路，再加上要拐弯抹角地走小路，下半夜才赶到。

这庄子以前我来过，那时候在根据地里像这样大的庄子，每到夜间，田里的活儿干完了，老百姓开会啦，上夜校啦，_______，山歌不断，闹得可热火。

可是，现在呢，_______，连个火亮儿也没有，黑沉沉的，活像个乱葬岗子。

我_______地_______了庄子，按着政委告诉的记号，从东头数到第十七座窝棚，蹑手蹑脚地走到窝棚门口。

A. 锣鼓喧天鸦雀无声悄悄摸进B. 沸反盈天风平浪静偷偷混进C. 沸反盈天鸦雀无声悄悄混进D. 锣鼓喧天风平浪静偷偷摸进3. 下列各句中，没有语病的一项是（）A. 高速公路上交通事故的主要原因是司机违反交通规则或操作不当造成的，交通部门要加强安全宣传，提高司机的安全意识。

B. 那时我在上海，也有一个唯一的不但敢于随便谈笑，而且还敢于托他办点私事的人，那就是送书去给白莽的柔石。

C. 中国的哲学蕴含于人伦日用之中，中国建筑处处体现着人伦秩序与和而不同的东方智慧，五千年前的中华文明正是良渚大量建筑遗址的见证者。

D. 在以后的一个多世纪中，包括彭定康在内的许多港督曾对港督府进行过大规模的装修、改建和扩建。

4. 下列有关文学常识和名著阅读的表述，有错误的一项是（）A. 孙犁，小说家、散文家，其作品文笔细腻婉约，浓郁的浪漫主义色彩和清新隽永的抒情诗风格，代表了“荷花淀派”的创作特色。

哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。

绝密★启用前2020-2021学年天津市部分区高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点()2,1,3A -，()4,1,1B --，则线段AB 的中点坐标是（） A ．()1,0,2- B ．()1,0,1-C ．()3,0,1D ．()1,1,1-答案：B分析：利用中点坐标公式直接求解.解：因为点()2,1,3A -，()4,1,1B --，所以线段AB 的中点坐标是421113,,222-+-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,0,1-.故选：B2．准线为2x =的抛物线的标准方程方程是（） A ．28x y = B ．28xy C ．28y x =D ．28y x =-答案：D分析：根据抛物线的准线方程可知抛物线的焦点位置和p 的值，由此可得抛物线的标准方程. 解：因为准线为2x =，所以抛物线的焦点在x 轴负半轴上，且22p=， 所以4p =，所以抛物线的方程为228y px x =-=-.故选：D3．经过()2,1A ，()0,3B -两点的直线方程为（） A ．230x y --= B ．230x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=答案：A分析：根据斜率公式求出斜率，再根据点斜式可得结果. 解：经过()2,1A ，()0,3B -两点的直线的斜率为13220+=-， 由点斜式可得所求直线方程为12(2)y x -=-，即230x y --=.故选：A4．在等比数列{}n a 中，424a =，66a =，则5a =（） A ．12 B ．-12C ．±12D ．15答案：C分析：利用等比数列的通项公式性质直接求解.解：由等比数列{}n a ，可知6254246122a a a =⨯==⋅，解得：512a =± 故选：C.5．焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为4，离心率为12，则该椭圆的标准方程为（） A ．22143x y +=B ．221164x y +=C ．2214x y +=D ．2211612x y +=答案：A分析：由长轴长可得2a =，再由离心率求得c ，即可求出b ，得出椭圆方程.解：设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，长轴长为4，24a ∴=，即2a =， 离心率为12c e a ==，1c ∴=， 2223b a c ∴=-=，故椭圆方程为22143x y +=.故选：A.6．已知圆的方程为22220x y x y m +-++=，则实数m 的取值范围是（） A ．2m > B ．2m ≥ C ．2m < D ．2m ≤答案：C分析：根据2240D E F +->可求得结果. 解：因为22220x y x y m +-++=表示圆，所以22224(2)240D E F m +-=-+->，解得2m <. 故选：C点评：关键点点睛：掌握方程表示圆的条件是解题关键.7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．53B ．103C ．56D ．116答案：A分析：设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.解：设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.点评：本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.8．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若直线AB 的倾斜角为π4，则C 的离心率为（）A B ．2C ．3D 答案：B分析：首先求点,A B 的坐标，再求直线AB 的斜率，利用关于,a c 的齐次方程求离心率. 解：由条件可知(),0A a -，BF x ⊥轴，当x c =时，22221c y a b-=，解得：422b y a =，又因为直线AB 的倾斜角为π4，所以点B 在第一象限，所以2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21ABb a kc a==+，即()2b ac a =+，化简为2220c ac a --=，两边同时除以2a 后 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B9．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（） ABCD ．67答案：D分析：以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出AC 和1BC 的公垂线的方向向量n ，求出AB ，再由AB n d n⋅=可求出.解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ， 则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =， 67AB n d n⋅∴==. 故选：D.点评：本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解. 二、填空题10．已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是_____________. 答案：相交分析：分别求出圆1C 与圆2C 的圆心与半径，再利用圆心距与半径之间的关系确定两圆的位置关系. 解：圆()()222211:2880:1425C x y x y C x y +++-=⇒+++=，圆心1(1,4)C --，15r = 圆()()22222:44202210C x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心2(2,2)C ，210r =又圆心距2212(21)(24)35C C =+++=12510510C C <<的.故答案为：相交点评：方法点睛：本题考查两圆的位置关系，利用几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系判断：方法位置关系 几何法：圆心距d 与12,r r 的关系外离12d r r >+ 外切12d r r =+相交1212||r r d r r <+<- 内切1212||()d r r r r =≠-11．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2n S n =（*n ∈N ），则9a =_____________.答案：17分析：利用n S 求出n a ，则可得9a .解：因为2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，所以221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又1n =时，111a S ==也适合上式， 所以21n a n =-， 所以929117a =⨯-=. 故答案为：17点评：关键点点睛：利用n S 求出n a 是解题关键.12．经过点()3,1A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________.答案：22188x y -=分析：设出方程()220x y λλ-=≠，代入点A 即可求出.解：双曲线为等轴双曲线，则可设方程为()220x y λλ-=≠，将()3,1A -代入可得91λ-=，即8λ=，故方程为228x y -=，化为标准方程为22188x y -=.故答案为：22188x y -=.13．已知空间向量a ()1,0,1=，()2,1,2b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是_____________. 答案：()2,0,2分析：利用向量b 在向量a 上的投影乘以与a 同向的单位向量即可得解.解：向量b 在向量a 上的投影是a ba ⋅==， 所以向量b 在向量a2a a =⨯2a ==(2,0,2)， 故答案为：()2,0,2点评：关键点点睛：理解向量b 在向量a 上的投影向量的概念是解题关键.14．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.答案：()11332n n +-- 分析：根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 解：由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n n n a -+=⨯=，所以31nn a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 点评：关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.15．已知A ，B 两点的坐标分别是()2,0-，()2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是4，则点M 的轨迹方程为_____________. 答案：24y x =-（2x ≠±）分析：设(),M x y ，表示出直线AM 与BM 的斜率，由斜率之差为4建立关系可求. 解：设点(),M x y ，其中2x ≠±，则2AM y k x =+，2BM y k x =-， 由题可得422AM BM y y k k x x -=-=+-，整理可得24(2)y x x =-≠±. 即点M 的轨迹方程为24(2)y x x =-≠±. 故答案为：24(2)y x x =-≠±. 三、解答题16．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a >，设23n n b n a =⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S . 答案：（Ⅰ）123n n a -=⨯或132n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.分析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和．解：解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①． 又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩，故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知132n n a -=⨯，所以223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ）， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯③ 231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯④③－④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，所以1(1)22n n S n +=-⨯+．点评：方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.17．已知圆C 与直线24x y +=相切于点()1,2A ，并且圆心在直线y x =-上，求圆C 的方程. 答案：22(1)(1)5x y ++-=.分析：根据过圆心和点()1,2A 的直线与直线24x y +=垂直，得到过圆心和点()1,2A 的直线的斜率，进而得到过圆心和点()1,2A 的直线方程，将此直线与直线24x y +=方程联立解得圆心坐标，再求出圆的半径，然后可得圆C 的标准方程.解：依题意，过圆心和点()1,2A 的直线与直线24x y +=垂直， 故这条直线的斜率为12所以这条直线的方程230x y -+=． 由已知，所求圆的圆心C 在直线y x =-上．解方程组230x y y x -+=⎧⎨=-⎩，可得1x =-，1y =．所以圆心C 的坐标为()1,1-．半径为AC =所求圆C 的方程为22(1)(1)5x y ++-=．点评：关键点点睛：利用两直线方程联立求出圆心坐标是解题关键.18．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AD ⊥平面ABC ，点M 为棱AB 的中点，2AB AC ==，AD =（Ⅰ）求直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.答案：（Ⅰ）2 4；（Ⅱ）30.分析：（Ⅰ）以A为原点，分别以AB，AC，AD的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系,利用空间向量的夹角公式可求得结果；（Ⅱ）利用两个平面的法向量可求得结果.解：依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，AC，AD的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0A，()1,0,0M，()2,0,0B，()0,2,0C，()0,0,3D（Ⅰ）依题意()2,2,0BC=-，(3MD=-．2(1)20032cos,440103BC MDBC MDBC MD-⨯-+⨯+⨯⋅<>===++⨯++所以直线BC与MD2（Ⅱ）易知，()0,2,0AC=为平面ABD的一个法向量，依题意，可得()2,2,0BC =-，(BD =-． 设(),,m x y z =为平面BCD 的法向量，则0,0,m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22020x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 不妨令2z =，可得()3,3,2m =．因此有3cos ,3m ACm AC m AC ⋅<>===由图可知平面ABD 和平面BDC 的夹角为锐角，所以平面ABD 和平面BDC．点评：关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.19．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若直线1y kx =+（12k >）与E 相交于A ，B 两点，M 为E 的左顶点，且满足MA MB ⊥，求k.答案：（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）56k =. 分析：（Ⅰ）由题可得2c =c a=,a b 即得椭圆方程； （Ⅱ）联立直线与椭圆方程，得出,A B 坐标关系，由0MA MB ⋅=建立方程即可求出.解：（Ⅰ）解：由题意知2c=c a = 又因为222a b c =+解得2a =，1b =，c =故E 的标准方程为2214x y += （Ⅱ）由22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221480k x kx ++=，得0x =或2814k x k=-+不妨设()0,1A ，(),B B B x y ，则2814B k x k =-+，221414B k y k-=+ 由（Ⅰ）知()2,0M -，故()2,1MA =，222288214,1414k k k MB k k ⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭， 由MA MB ⊥，知0MA MB ⋅=()22222882141414k k k MA MB k k⨯-+-⋅=+++ ()()2222165128501414k k k k k k---+===++ 又因为12k >，故56k =． 点评：方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，221n n a a =+（*N n ∈）.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足123(21)n b b n b n +++-=（*n ∈N ），记数列14(1)n n n n b a +⎧⎫⋅-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 答案：（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数. 分析：（Ⅰ）根据条件求出等差数列的首项和公差，即可求出通项公式；（Ⅱ）先由已知可求出121n b n =-，进而可得1411(1)(1)2121n n n n n b a n n +⋅⎛⎫-=-+ ⎪-+⎝⎭，分n 为奇数和n 为偶数时可求n T .解：解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =，可得()114642a d a d +=+，即12a d =记为①．又因为221n n a a =+（*n ∈N ），取1n =，所以2121a a =+，即11a d +=记为②，由①②可得11a =，2d =，故{}n a 的通项公式为21n a n =-．（Ⅱ）由123(21)n b b n b n +++-=可得11b =且1213(23)1n b b n b n -+++-=-（2n ≥）， 上述两式作差可得121n b n =-（2n ≥），满足11b =， ∴121n b n =-（*n ∈N ） 所以14411(1)(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n b n a n n n n +⋅⎛⎫-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭当n 为偶数时11111111113355723212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴1212121n n T n n =-+=-++ 当n 为奇数时，11111111335572121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴12212121n n T n n +=--=-++ 所以2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数． 点评：本题考查数列的求和方法，解题的关键是将所求数列裂项得出1411(1)(1)2121n n n n n b a n n +⋅⎛⎫-=-+ ⎪-+⎝⎭，进而对n 分奇偶进行求和.。

西青区2020~2021学年度第一学期期末考试高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上；答卷时，考生务必把答案涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一.选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()UA B =（ ）A. {}2,3B. {}1,2,3,4C. {}1,4D. {}2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得集合()UA B .【详解】已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，{}2,3A B ∴=，因此，(){}1,4UA B ⋂=.故选：C.2. 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是（ ）A. x y e =B. sin y x =C. y =D. 3y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可． 【详解】对A:xy e =它不奇函数也不是偶函数; 对B: sin y x =是奇函数，它在区间(2,2)()22k k k Z ππππ-+∈上递增，在定义域内不能说对C: y =对D:3y x =是奇函数，在定义域内是增函数． 故选：D ．3. 设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b >> D. 若a b <，则11a b> 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合不等式的性质可判断C 正确；举反例可判断ABD 错误. 【详解】对于A ，若0c，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，若1,2a b ==-，则22a b <，故B 错误； 对于C ，若0a b <<，则22a ab b >>，故C 正确； 对于D ，若1,1a b =-=，则11a b<，故D 错误.5. 设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =（ ） A. 在区间1(,1),(1,e)e 内均有零点.B. 在区间1(,1),(1,e)e内均无零点.C. 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点.D. 在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e 内无零点.【答案】C 【解析】 【分析】令()0f x =，画出函数13y x =和ln y x =的图像，观察两图像的交点所在的区间，即可得答案【详解】解：令()0f x =，得1ln 3x x =，作出函数13y x =和ln y x =的图像，如图所示根据图像可知，()y f x =区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点，故选：C6. 已知函数()sin 12f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 是偶函数，最大值为1 B. ()f x 是偶函数，最大值为2 C. ()f x 是奇函数，最大值为1 D. ()f x 是奇函数，最大值为2【答案】B【分析】利用诱导公式进行化简，得到()cos 1f x x =+，结合余弦函数的性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin 1cos 12f x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， 则()cos()1cos 1()f x x x f x -=-+=+=，所以()f x 是偶函数； 又由cos y x =的最大值为1，()f x ∴的最大值为2； 故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及三角函数的性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 7. 设1ln2a =，12eb =，2c e -=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】1lnln102a =<=，10221eb =>=，2001c e e -<=<=，因此，a c b <<. 故选：A8. 对于函数()sin(2)6f x x π=+,下列命题①函数图象关于直线12x π=-对称; ②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把sin 2y x =的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把sin()6y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( ▲ ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C考点：正弦函数的对称性；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题：综合题． 分析：①把x=-π12代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误； ②把x=5π12，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误； ③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移个 π6单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．解答：解：①把x=-π12代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，所以，①不正确； ②把x=5π12，代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移π6个单位得到函数为f （x ）=sin （2x+3π），所以不正确；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数f （x ）=sin （2x+π6），正确； 故选C ．点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型． 9. 定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ） A. f()sin αf >(cos β)B. f ()sin αf < (cos β)C. f (sin α)f > (sin β)D. f()cos αf <(cos β)【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得f （﹣x ）＝f （x +2），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，据此分析可得f （x ）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sin α＞cos β，从而根据f （x ）在（0，1）上是增函数即可得出f （sin α）＞f （cos β），即可得答案． 【详解】根据题意，定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ）， 则有f （﹣x ）＝f （x +2），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 又由函数f （x ）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数， 若α，β是锐角三角形的两个内角， 则α+β2＞π，则有α2＞π-β，则有sin α＞sin （2π-β）＝cos β， 又由函数f （x ）在[0，1]上是增函数， 则f （sin α）＞f （cos β）； 故选A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．第Ⅱ卷温馨提示：请将答案写在答题纸上，写在卷面上无效.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知幂函数()y f x =的图象过点，则()f x =_____________．【答案】12x 【解析】 【分析】设出幂函数解析式，根据点(求得幂函数的解析式.【详解】由于()f x 为幂函数，设()f x x α=，将(代入得122αα==，所以()12f x x=.故答案为12x【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.11. 132327log 3log 48⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭______.【答案】112【分析】根据指数、对数的运算性质计算即可得答案.【详解】原式=1323227311log 3log 4log +2=822⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭.故答案为：11212. 命题“x ∀∈R ，*n ∃∈N ，使得2n x ≥”的否定形式是__________． 【答案】x ∃∈R ，*n ∀∈N ，使2n x < 【解析】因为“∀”的否定是“∃”，“∃”的否定是“∀”，“2n x ≥”的否定是“2n x <”，所以命题“x R ∀∈，*n N ∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是x R ∃∈，*n N ∀∈，使2n x <，故答案为x ∃∈R ，*n ∀∈N ，使2n x <．13. 函数tan y x =的定义域为______；若tan 2x =，则5cos sin sin 2cos x xx x-=+______.【答案】 (1). ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭(2). 34 【解析】 【分析】根据正切函数的性质可直接得出定义域，将5cos sin sin 2cos x xx x-+化为关于tan x 的式子即可求出.【详解】可知tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， tan 2x =，5cos sin 5tan 523sin 2cos tan 2224x x x x x x ---∴===+++.故答案为：,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；34. 14. 用长度为28米的篱笆围成一边靠墙的矩形花园，墙长为16米，则矩形花园面积的最大值是______平方米.【解析】 【分析】设与墙平行的篱笆长为x 米，表示出矩形花园面积，利用二次函数的性质可求出. 【详解】设与墙平行的篱笆长为x 米，由题可得016x <≤， 则花园面积()2281149822x S x x -=⋅=--+，016x <≤， 则当14x =时，S 取得最大值为98，故矩形花园面积的最大值是98平方米. 故答案为：98.15. 已知函数()()232115,14ln ,1x a x x f x a a x x ⎧+-+≤=⎨-+>⎩，若对任意的1x 、2x R ∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】8,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】分析出函数()f x 为R 上的减函数，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】设12x x <，则120x x -<，由()()12120f x f x x x -<-可得()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数.由于()()232115,14ln ,1x a x x f x a a x x ⎧+-+≤=⎨-+>⎩，由题意可知，函数()232115y x a x =+-+在(],1-∞上为减函数，则113a-≥， 函数ln 4y a x a =-在()1,+∞上为减函数，则0a <，且有()321154a a +-+≥-，所以11301624a a a a-⎧≥⎪⎪<⎨⎪+≥-⎪⎩，解得823a -≤≤-.因此，实数a 的取值范围是8,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：8,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.三.解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=.（1）求tan α的值； （2）求cos2α的值； （3）若0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，()5sin 13αβ+=-，求sin β. 【答案】（1）34-；（2）725；（3）5665. 【解析】 【分析】( 1 ) 根据同角的三角函数的关系即可求出； ( 2 ) 根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出； ( 3 ) 由 β=[(α+β)−α] ，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出． 【详解】(1)3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.4cos 5α∴==-.sin 3tan cos 4ααα∴==-. ( 2) 27cos 22cos 125αα=-=. （3）0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭322ππαβ∴<+<()5sin 13αβ+=-. 32ππαβ∴<+<()12cos 13αβ∴+==-. ()()()5412356sin sin sin cos cos sin 13513565βαβααβααβα⎛⎫=+-=+-+=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭.17. 若()()211f x ax a x =-++，a R ∈.（Ⅰ）若()0f x <的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值； （Ⅱ）求关于x 的不等式()0f x <的解集. 【答案】（Ⅰ）4a =；（Ⅱ）答案见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）14，1为方程()0f x =的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可. （Ⅱ）(1)(1)0ax x -->，分0a <、0a =、01a <<、1a =和1a >五种情况讨论即可 【详解】（Ⅰ）()2110ax a x -++<的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，14，1是()2110ax a x -++=的解.1114114a aa+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 解得：4a =（Ⅱ）当0a =时，不等式的解为1x >，解集为{}1x x > 当0a ≠时，分解因式()()110x ax --<()()110x ax --=的根为11x =，21x a=. 当0a <时，11a >，不等式的解为1x >或1x a <；解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.当01a <<时，11a <，不等式的解为11x a <<；解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.当1a >时，11a <，不等式的解为11x a <<；等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 当1a =时，原不等式为()210x -<，不等式的解集为∅. 综上：当0a =时，不等式的解集为{}1x x >； 当0a <时，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或； 当01a <<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当1a >时，不等式的解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当1a =时，不等式的解集为∅. 18. 已知函数log ay x =过定点(),m n ，函数()2xf x n x m=++的定义域为[]1,1-. （Ⅰ）求定点(),m n 并证明函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）判断并证明函数()f x 在[]1,1-上的单调性；（Ⅲ）解不等式()()210f x f x -+<.【答案】（Ⅰ）定点为()1,0，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）()f x 在[]1,1-上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为()1,0，即可得()f x 的解析式，根据奇函数的定义，即可得证； （Ⅱ）利用定义法即可证明()f x 的单调性；（Ⅲ）根据()f x 的单调性和奇偶性，化简整理，可得()()21f x f x -<-，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】（Ⅰ）函数log ay x =过定点(),m n ，∴定点为()1,0，()21xf x x ∴=+，定义域为[]1,1-， ()()21xf x f x x -∴-==-+. ∴函数()f x 为奇函数.（Ⅱ）()f x 在[]1,1-上单调递增. 证明：任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122112121212222222121212*********x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++. []12,1,1x x ∈-，12x x <，120x x ∴-<，1210x x ->，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数.（Ⅲ）()()210f x f x -+<，即()()21f x f x -<-， 函数()f x 为奇函数()()21f x f x ∴-<-()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，12111121x x x x -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， 011113x x x ⎧⎪≤≤⎪∴-≤≤⎨⎪⎪<⎩，解得：103x ≤<.故不等式的解集为：1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案. 19. 已知函数()2231f x x x =-+.（Ⅰ）函数()h x 是奇函数，当0x >时，()()h x f x =，求()h x 在x ∈R 上的解析式； （Ⅱ）若()()1g x f x mx =-++，当[]1,2x ∈时，若()g x 的最大值为2，求m 的值.【答案】（Ⅰ）()222310002310x x x h x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（Ⅱ）1.【解析】 【分析】（Ⅰ）首先设0x <，利用函数是奇函数，求函数的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()223g x x m x =-++，讨论对称轴和定义域的关系，讨论函数的最大值，列式求m 的值.【详解】（Ⅰ）设0x <则0x -> 函数()h x 是奇函数，()()2231h x h x x x ∴=--=---()222310002310x x x h x x x x x ⎧---<⎪∴==⎨⎪-+>⎩（Ⅱ）()()1g x f x mx =-++，()()223g x x m x ∴=-++.()g x 二次函数开口向下，对称轴34mx +=， 在[]1,2x ∈时，()g x 的最大值为2， ①当314m+≤，即1m 时，()()max 1232g x g m ==-++=，解得1m =； ②当3124m +<<，即15m <<时，()2max 369248m m m g x g +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得1m =（舍）或7m =-（舍）；③当324m+≥，即5m ≥时，()()max 28262g x g m ==-++=，解得2m =（舍）； 综上所述，m 的值为1，即1m =.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是：因为重点求0x <的解析式，所以设0x <，而不要设0x >；第二问的关键是讨论对称轴和定义域的关系，由函数在区间[]1,2的单调性，求函数的最大值.20. 已知函数()4cos cos 3f x x x a π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间； （Ⅲ）若23π是函数()f x 的一个零点，求实数a 的值及函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（Ⅰ）T π=；（Ⅱ）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）[]1,4.【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式2T πω=求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.【详解】解：（Ⅰ）()4cos cos 4cos cos cos sin sin 333f x x x a x x x a πππ⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos cos cos 2122sin 216x x x a x x a x a π⎛⎫=++=++=+++ ⎪⎝⎭，22T ππ==； （Ⅱ）法一： 令26z x π=+；0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. sin y z =，7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调增区间为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 2662x πππ∴≤+≤，解得06x π∴≤≤.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.法二：222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦画数轴与所有区间取交集可知：06x π∴≤≤.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）23π是函数()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的一个零点 242sin 10336f a πππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 32sin102a π∴++= 解得：1a =.()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin y z ∴=，当7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.72266x πππ∴≤+≤，解得62x ππ∴≤≤ f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦()02sin236f π=+=，2sin 2462f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，72sin 2126f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,4.【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．。

数学试卷第1页（共9页）天津市第二十五中学2020—2021学年度第一学期期末考试模拟试卷高二年级数学学科2021.01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）数列{}n a 的通项公式是22n n a n-=，则5a =（）．（A ）165（B ）4（C ）185（D ）6（2）直线3210x y +-=的一个方向向量是（）．（A ）23-(，)（B ）2 3(，)（C ）3 2-(，)（D ）3 2(，)（3）若两直线1:220l mx y m ++-=，2:4(2)20l x m y +-+=互相平行，则m 等于（）．（A ）2-（B ）4（C ）2-或4（D ）0（4）已知双曲线222210 0y x a b a b -=>>(，)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为（）．（A（B）2（C）2（D（5）圆221:9C x y +=与圆222:68110C x y x y ++--=的位置关系是（）．（A ）相交（B ）外切（C ）内切（D ）外离（6）经点01P -(，)作直线l ，若直线l 与连接12 2 1A B -(，)，(，)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）．数学试卷第2页（共9页）（A ）[0 ][ 44π3ππ) ，（B ）[0 ]4π，（C ）[ 43ππ)，（D ）[0 ][ 44π3ππ] ，（7）已知数列{}n a满足*110 ()n a a n +==∈N ，，则2020a 等于（）．（A ）3-（B ）0（C）（D ）3（8）若{ }，，a b c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）．（A ） +-，，b c b b c （B ） +-，，a a b a b （C ） +-，，a b a b c（D ） +++，，a b a b c c备1：有以下命题：①如果向量 a b ，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 a b ，的关系是不共线；② O A B C ，，，为空间的四个点，且向量 O A O B O C，，不构成空间的一个基底，则点 O A B C ，，，一定共面；③已知{ }a b c ，，是空间的一个基底，则向量 +-，，a b a b c也是空间的一个基底.其中正确的命题是（）．（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②①②（9）已知抛物线21:20C y px p =>()的焦点F 恰好与双曲线22222:10 0x y C a b a b-=>>(，)的右焦点重合，且两曲线交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（）．（A1（B）12（C）2+（D（9）备1：已知双曲线2222:10 0x y C a b a b-=>>(，)与抛物线220y px p =>()的交点为 A B ，，A B 、连线经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率（）．（A1（B ）3（C）（D ）2数学试卷第3页（共9页）（9）备2：双曲线222210 0y x a b a b-=>>(，)与抛物线218y x =有一个公共焦点F ，双曲线上过点F且垂直于实轴的弦长为3，则双曲线的离心率（）．（A ）2（B（C）2（D）3（10）与圆221x y +=及228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（）．（A ）椭圆上（B ）双曲线的一支上（C ）抛物线上（D ）圆上（10）备1：与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切的动圆的圆心在（）．（A ）椭圆上（B ）双曲线的一支上（C ）抛物线上（D ）圆上（10）备2：线段AB 的端点B 的坐标是01-(，)，端点A 在抛物线212x y =上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为（）．（A ）220x y -=（B ）280x y -=（C ）28210x y --=（D ）28210x y -+=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．（11）已知 4 1 2 1 32 a b c a b b c x y z ==--=-⊥(，，)，(，，)，(，，)，， 则c =．（12）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交点为M .设11111 a b c A B A D A A === ，，，若1a b c B M x y z =++，则x y z ++=．数学试卷第4页（共9页）（12）备1：如图，在四面体OABC 中， a b c OA OB OC ===，，，点M 在OA 上，且2 OM MA N =，为BC 中点，若a b c MN x y z =++，则x y z ++=．（13）在等差数列{}n a 中，135792354a a a a a ++++=()()，则此数列的前10项和10S =．（13）备1：设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119SS =．（13）备2：在等差数列{}n a 中，1010010010S S ==，，则110S =．（14）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于 A B ，两点.若||3||A F B F =，则l 的方程为．（14）备1：设抛物线2:20C y px p =>()的焦点为F 的直线交抛物线于点 A B ，，交其准线l 于点C ，若||2||B C B F =，且||3A F =，则此抛物线的方程为．（15）椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于 A B ，两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为2，则ab的值为．（15）备1：过椭圆2222:10 0x y C a b a b+=>>(，)右焦点的直线0x y +=交椭圆于A B ，两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率12，则椭圆C 的标准方程为．数学试卷第5页（共9页）三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分评卷人（16）（本小题满分14分）（Ⅰ）已知点34A-(，)和点5 8B (，)，求过线段AB 中点且与AB 所在直线垂直的直线l 的方程；（Ⅱ）求过直线3210x y -+=和340x y ++=的交点，且平行于230x y -+=的直线l 的方程．数学试卷第6页（共9页）得分评卷人（17）（本小题满分15分）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为*n S n ∈()N ；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为*n T n ∈()N ，已知1324355461 2 2b b b b a a b a a ==+=+=+，，，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求n S 和n T ；（III ）若124n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+()，求正整数n 的值．备1：已知数列{}n a 的前n 项和为2*n n S S n n =∈，()N ，数列{}n b 为等比数列，且22341 1b a b a =+=+，，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -+的前n 项和n T ；（III ）若11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n R ；．数学试卷第7页（共9页）得分评卷人（18）（本小题满分15分）已知圆心为C 的圆经过(1 1) (22)A B -，，，两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=上.（Ⅰ）求圆C 的标准方程，并判断点21M --(，)是否在这个圆上；（Ⅱ）求过点M 作直线l ，截圆产生的最长弦所在的直线方程；（III ）求过点M 作直线l 截圆产生的最短弦的弦长.备1：已知圆C 经过点0 2 0 6 2 4-(，)，(，)，(，).（Ⅰ）求圆心坐标及半径长，并写出圆的标准方程；（Ⅱ）若圆C 关于直线:20l ax y a++=对称，求a 的值；（Ⅱ）若直线l 被圆C 截得的弦长为l 的方程.数学试卷第8页（共9页）得分评卷人（19）（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（Ⅰ）求证：PA 平面EDB ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ；（III ）求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小.数学试卷第9页（共9页）得分评卷人（20）（本小题满分16分）已知点F 为椭圆222210 0x y a b a b+=>>(，)的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到F 距离的最大值为3，最小值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若 M N ，在椭圆上，且异于椭圆的顶点，直线AM直线BN ，直线 AN BM ，的斜率分别为1k 和2k ，求证：2121k k e ⋅=-（e 为椭圆的离心率）.备1:如图，椭圆22221(>>0)x y C a b a b +=：经过点3(1 ) 2P ，，离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记 PA PB PM ，，的斜率分别为123 k k k ，，.问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ若存在求λ的值；若不存在，说明理由.备2:椭圆22221(>>0)x y C a b a b+=：的离心率3 32e a b =+=，.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m -k 为定值.。

2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝22．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣13．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．58．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m ＝．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2【解答】解：圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的标准方程是：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：C．2．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：数列{a n}，满足a n+1＝，当a1＝时，解得a2＝2，当n＝2，解得，当n＝3时，解得，所以数列的周期为3．故．故选：A．3．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，而直线x+2y＝5与x轴交点为（5，0），则c＝5，进而有9+a2＝25，解可得a2＝16，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y＝±x；故选：A．4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，将点P（2，2）代入圆（x﹣1）2+y2＝5恒成立，则点P在圆上．即过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切的切线只有一条，令过点P（2，2）的切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由此切线与ax﹣y+1＝0平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，可得k＝a且﹣2k+2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r＝＝，k＝﹣，即a＝﹣；故选：C．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质可得：＝＝＝＝．故选：C．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±【解答】解：由题意a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，故有a2a4＝4又{a n}为等比数列∴a2a4＝a32，∴a3＝±2．故选：B．7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y＝﹣1，∴点A到准线的距离为4+1＝5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．8．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0），则有，联立可得：y＝，即两圆公共弦所在直线的方程为y＝，圆C1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，若公共弦的弦长为2，则圆C1的圆心C1到公共弦的距离d＝＝，又由a＞0，则有＝，解可得a＝，故选：A．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e＝故选：D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线方程y2＝﹣8x，∴焦点在x轴，p＝4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m＝．【解答】解：直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，得3m+（m﹣2）＝0，即4m＝2，解得m＝．故答案为：．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），∴点B到平面D1EC的距离：d＝＝＝．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝2n﹣1．【解答】解：数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），所以，，…，，所以＝，所以．故答案为：2n﹣1．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．【解答】解：如图所示：曲线y＝3﹣，即y﹣3＝﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，可得＝2，∴b＝1+，或b＝1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和为T n＝+…+＝＝．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），C（0，2，0），＝（2，2，0），＝（0，1，1），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，设x＝1，则＝（1，﹣1，1），平面DEC的法向量＝（1，0，0），设平面BDE与平面DEC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由e＝＝，且a＝2，则c＝1，b＝＝，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），设经过右焦点F2的直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由⊥，即AF1⊥BF1，k•k＝•＝﹣1，即有（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（my1+2）（my2+2）+y1y2＝（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4＝（1+m2）•（﹣）+2m•（﹣）+4＝0，解得m＝±，则直线l的方程为x＝±y+1，即为y＝±（x﹣1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n①．所以当n＝1时，．当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，整理得2a n＝a n﹣1，故（常数），所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列；所以，首项符合通项，所以．证明：（2）设，所以①，②，①﹣②得：＝，所以．。

河西区2020-2021学年度第一学期高二年级期中质量调查数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角是2π3，则该直线的斜率是（ ）A.1B.C.D.-12.已知两条平行直线1l ：3460x y −+=与2l ：340x y C −+=间的距离为3，则C =（ ）A.9或21B.-9或21C.9或-9D.9或33.直线3210x y +−=的一个方向向量是（ ）A.(2,3)−B.(2,3)C.(3,2)−D.(3,2)4.若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A.b c +，b ，b c −B.a ，a b +，a b −C.a b +，a b −，cD.a b +，a b c ++，c5.焦点在x 轴，一条渐近线的方程为y =，虚轴长为 ） A.221412x y −= B.221124x y −= C.2214816x y −= D.2211648x y −= 6.已知直线1l ：210x ay +−=与直线2l ：(31)10a x ay −−−=平行，则a =（ ）A.0B.0或16−C.16 D.0或167.在平行六面体1111ABCD A B C D −中，AC 与BD 的交点为M ，设11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ） A.1122a b c −++ B.1122a b c ++ C.1122a b c −+ D.1122a b c −−+ 8.已知点是点(3,4,5)A 在坐标平面Oxy 内的射影，则||OB =（ ）C.5D.9.与圆221x y +=及圆228120x y x +−+=都外切的圆的圆心在（ ）A.椭圆上B.双曲线的一支上C.线段上D.圆上二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.10.经过(18,8)A ，(4,4)B −两点的直线的斜率k =________.11.双曲线224640x y −+=上一点P 与它的一个焦点的距离等于1，那么点P 与另一个焦点的距离等于________.12.已知直线/经过两条直线23100x y −+=和3420x y +−=的交点，且垂直于直线3240x y −+=，则直线l 方程为________.13.已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B −，(1,1,5)C −，向量a 分别与AB ，AC 都垂直，且||3a =，且a 的横、纵、竖坐标均为正，则向量a 的坐标为________.14.设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________.15.动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线l ：254x =的距离的比是常数45，则动点M 的轨迹方程是________.三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分10分）已知圆P ：2240x y +−=，圆Q ：2244120x y x y +−+−=.（Ⅰ）分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离；（Ⅱ）求这两个圆的公共弦的长.17.（本小题满分12分）在长方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别在1BB ，1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面AEF ； （Ⅱ）当4AB =，3AD =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.18.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2，离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过椭圆的左焦点1F 作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.参考答案一、选择题BBAC ADACB二、填空题10.6711.17 12.2320x y +−= 13.(1,1,1) 1 15.221259x y += 三、解答题16.（Ⅰ）根据题意，圆P ：2240x y +−=，即224x y +=，圆心P 为(0,0)，半径2R =，圆Q ：2244120x y x y +−+−=，即22(2)(2)20x y −++=，其圆心Q 为(2,2)−，半径r =d ==，（Ⅱ）根据题意，22224044120x y x y x y ⎧+−=⎨+−+−=⎩，联立可得：444120x y −+−=，变形可得20x y −+=，即公共弦所在直线的方程为20x y −+=，圆心P 到直线20x y −+=的距离d '==则公共弦的弦长2l ==17.解析1.在长方体1111ABCD A B C D −中，BC ⊥平面11AA B B ，AE ⊂平面11AA B B ，所以：BC AE ⊥， 由于1AE A B ⊥，BC ，1A B ⊂平面1A BC ，所以：AE ⊥平面1A BC ，1AE AC ⊥①， 同理：DC ⊥平面11ADD A ，AF⊂平面11ADD A ，所以：DC AF ⊥，由于：1AF A D ⊥， 所以：AF ⊥平面1A CD ，1AF AC ⊥②，由①②知：1AC ⊥平面AEF .2.分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，连接AC ， 由于：4AB =，4AD =，15AA =，所以：(4,3,0)AC =，(4,3,0)BD =−，1(0,0,5)DD =，由于：10AC DD ⋅=，0AC BD ⋅=，所以：1AC DD ⊥，AC BD ⊥，AC ⊥平面11DBB D ，所以可以把AC 看做是平面11DBB D 的法向量，又由于：1AC ⊥平面AEF ，所以：1AC 看做是平面AEF 的法向量，1(4,3,5)AC =−，设平面AEF 和平面11D B BD 所成的角为θ，则：1112cos 25||AC AC AC AC θ⋅==⋅， 所以：平面AEF 和平面11D B BD所成的角的余弦值为25. 18.（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得1c =，2c e a ==，解得a =1b ==， 则椭圆的方程为2212x y+=； （Ⅰ）过椭圆的左焦点1(2,0)F −，倾斜角为60°的直线l 的方程为1)y x =+，与椭圆方程2222x y +=联立，可得271240x x ++=，设A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，可得12127x x +=−，1247x x =，则||27AB ===.。

2020-2021学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）在等比数列{a n}中，a1•a7＝16，则a4的值为（）A．4B．±8C．±4D．82．（5分）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k＝（）A．2B．﹣4C．﹣2D．43．（5分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．04．（5分）直线2x﹣y+2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的位置关系为（）A．相交且直线过圆心B．相切C．相离D．相交且直线不过圆心5．（5分）设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为（）A．15B．16C．49D．646．（5分）下列命题中正确的个数为（）①直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量为；②双曲线的渐近线方程为y＝±2x；③椭圆的长轴长为2；④圆x2+y2+2x﹣4y＝0的半径为．A．1B．2C．3D．47．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）已知三个实数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或9．（5分）2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京．某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（）A．a（1+P）6B．a（1+P）7C．D．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）已知椭圆+＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为．11．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且OM ＝2MA，N为NC中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，＝．12．（5分）已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣6x+2y+6＝0关于直线l对称，则直线l方程．13．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则＝．14．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0与圆x2+y2+2x+8y﹣8＝0的公共弦所在的直线方程为，公共弦长＝．15．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2）．①抛物线y2＝4x焦点到准线的距离为2；②若x1+x2＝6，则|PQ|＝8；③；④过点P和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A，则直线AQ∥抛物线的对称轴；⑤绕点（﹣2，1）旋转且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条．以上结论中正确的序号为．三.解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n，a3＝﹣4，a6＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n的最小值及其相应的n值．17．（15分）已知圆C的圆心在x+y＝0上，点A（2，0）在圆C上，且圆C与直线x﹣y﹣4＝0相切．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A和点（3，2）的直线l交圆C于A、E两点，求弦|AE|的长．18．（15分）已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）∁n＝a2n b2n+1，求数列{∁n}的前n项和S n．19．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D I中，E为BB1的中点．（Ⅰ）证明：平面AD1E；（Ⅱ）求直线BC1到平面AD1E的距离；（Ⅲ）求平面AD1E与平面ABCD夹角的余弦值．20．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知定点E（1，0），若直线y＝kx﹣2（k≠0）与椭圆C相交于M、N两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由．2020-2021学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）在等比数列{a n}中，a1•a7＝16，则a4的值为（）A．4B．±8C．±4D．8【解答】解：由等比数列的性质可得：a4＝±＝±4．故选：C．2．（5分）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k＝（）A．2B．﹣4C．﹣2D．4【解答】解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，∵α∥β，由题意可得，∴k＝4．故选：D．3．（5分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．0【解答】解：∵直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，∴1×4﹣a•a＝0，解得a＝2或a＝﹣2，经验证当a＝﹣2时两直线重合，应舍去故选：A．4．（5分）直线2x﹣y+2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的位置关系为（）A．相交且直线过圆心B．相切C．相离D．相交且直线不过圆心【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的圆心坐标（1，2），半径为：2．圆心到直线的距离为：＝＜2．圆与直线相交．圆的圆心不在直线2x﹣y+2＝0上，所以相交且直线不过圆心．故选：D．5．（5分）设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为（）A．15B．16C．49D．64【解答】解：a8＝S8﹣S7＝64﹣49＝15，故选：A．6．（5分）下列命题中正确的个数为（）①直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量为；②双曲线的渐近线方程为y＝±2x；③椭圆的长轴长为2；④圆x2+y2+2x﹣4y＝0的半径为．A．1B．2C．3D．4【解答】解：直线3x+2y﹣1＝0的斜率为k＝，故直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量为，故选项①正确；双曲线的渐近线方程为，故选项②错误；因为椭圆，所以a＝2，则长轴长为2a＝4，故选项③错误；圆x2+y2+2x﹣4y＝0可变形为（x+1）2+（y﹣2）2＝5，故圆的半径为，故选项④正确．故选：B．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，A1（1，0，1），P（0，1，1），B1（1，2，1），C（0，2，0），∴，，设与所成角为θ，＝，∴θ＝60°．故选：C．8．（5分）已知三个实数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵三个数2，m，8构成一个等比数列，∴m2＝2×8，解得m＝±4．①当m＝4时，圆锥曲线表示的是椭圆，其离心率e＝＝＝＝；②当m＝﹣4时，圆锥曲线表示的是双曲线，其离心率e＝＝＝＝．故选：C．9．（5分）2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京．某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（）A．a（1+P）6B．a（1+P）7C．D．【解答】解：由题意可知，可取出钱的总数为：a（1+p）7+a（1+p）6+a（1+p）5+a（1+p）4+a（1+p）3+a（1+p）2+a（1+p）＝＝，故选：D．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）已知椭圆+＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为2．【解答】解：由已知椭圆的方程可得a2＝16，所以a＝4，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，则由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝8，不妨设|PF1|＝6，则|PF2|＝2，即点P到另一个焦点的距离为2，故答案为：2．11．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且OM ＝2MA，N为NC中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，＝﹣++．【解答】解：如图，连接ON，在三棱锥O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且OM＝2MA，N为NC 中点，所以＝＝（+）﹣＝﹣++＝﹣++．故答案为：﹣++．12．（5分）已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣6x+2y+6＝0关于直线l对称，则直线l方程3x﹣y﹣5＝0．【解答】解：由于两个圆的圆心分别为O（0，0）、C（3，﹣1），由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为（，﹣），CO的斜率为﹣，故直线l的斜率为3，利用点斜式求得直线l的方程为：y+＝3（x﹣），即3x﹣y﹣5＝0，故答案为：3x﹣y﹣5＝0．13．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则＝1．【解答】解：由等差数列的性质：a1+a11＝2a6，a1+a5＝2a3，故＝＝＝1，故答案为：1．14．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0与圆x2+y2+2x+8y﹣8＝0的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣1＝0，公共弦长＝．【解答】解：根据题意，两个圆的方程为x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0与x2+y2+2x+8y﹣8＝0，联立可得，则有6x+12y﹣6＝0，即x+2y﹣1＝0，圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10，其圆心为（2，2），半径r＝，圆心（2，2）到直线x+2y﹣1＝0的距离d＝＝，则公共弦长l＝2×＝2，故答案为：x+2y﹣1＝0，2．15．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2）．①抛物线y2＝4x焦点到准线的距离为2；②若x1+x2＝6，则|PQ|＝8；③；④过点P和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A，则直线AQ∥抛物线的对称轴；⑤绕点（﹣2，1）旋转且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条．以上结论中正确的序号为①②④．【解答】解：由抛物线的方程可得：p＝2，且焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，对于①：由抛物线的焦点坐标以及准线方程可得焦点到准线的距离为2，故①正确，对于②：由抛物线的定义可得：|PQ|＝x x+x2+p＝x1+x2+2＝8，故②正确，对于③：设直线PQ的方程为：x＝my+1，代入抛物线方程可得：y2﹣4my﹣4＝0，所以y，故③错误，对于④：由点P的坐标可设直线OP的方程为：y＝，令x＝﹣1，则y＝﹣，所以A（﹣1，﹣），又因为由③知：y1y2＝﹣4，y1+y2＝4m，所以点Q的坐标为（x），而点P满足方程y，即x，所以A（﹣1，﹣），所以AQ∥x轴，即直线AQ∥抛物线的对称轴，故④正确，对于⑤：当y＝1时，显然与抛物线只有一个公共点，设过M的直线的方程为：x＝my﹣m﹣2，代入抛物线的方程可得：y2﹣4my+4m+8＝0，令Δ＝16m2﹣4（4m+8）＝0，解得m＝2或﹣1，故绕点（﹣2，1）旋转且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条．，故⑤错误，故答案为：①②④．三.解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n，a3＝﹣4，a6＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n的最小值及其相应的n值．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的前n项的和记为S n，a3＝﹣4，a6＝8．∴由已知得：，解得：，∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）解法一：＝﹣12n+2n（n﹣1）＝2n2﹣14n＝，当n取最接近3.5的整数，即n＝3或4时，S n有最小值，∴S n最小值为18﹣42＝﹣24．解法二：∵d＝4＞0，∴{a n}为递增数列，当n＞4时，a n＝4n﹣16＞0，当n＝4时，a n＝4n﹣16＝0，当n＜4时，a n＝4n﹣16＜0，∴n＝3或4时，S n有最小值，S n最小值为18﹣42＝﹣24．17．（15分）已知圆C的圆心在x+y＝0上，点A（2，0）在圆C上，且圆C与直线x﹣y﹣4＝0相切．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A和点（3，2）的直线l交圆C于A、E两点，求弦|AE|的长．【解答】解：（Ⅰ）设圆的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2………………………（1分）由题意得：，…………………………………………………………（4分）解得：，……………………………………………………………………（7分）圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y+1）2＝2………………………………………（8分）（Ⅱ）直线l过点A和点（3，2），直线的斜率为k l＝2，……………………………………………………………．（9分）直线l为：y＝2（x﹣2）2x﹣y﹣4＝0，……………………………………………………………．（10分）设圆心到直线的距离为d，…………………………………………..（12分）∵，∵…………………………………………………（14分）＝，…………………………………………………………（15分）∴弦|AE|的长为．18．（15分）已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）∁n＝a2n b2n+1，求数列{∁n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝1，a5＝5（a4﹣a3），则1+4d＝5d，可得d＝1，∴a n＝1+n﹣1＝n．由a1＝b1＝1，b5＝4（b4﹣b3），∵b1＝1，b5＝4（b4﹣b3），∴q4＝4（q3﹣q2），解得q＝2，∴；（II）由a2n＝2n，，有，故，，上述两式相减，得，＝，＝，得．19．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D I中，E为BB1的中点．（Ⅰ）证明：平面AD1E；（Ⅱ）求直线BC1到平面AD1E的距离；（Ⅲ）求平面AD1E与平面ABCD夹角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵D1C1∥AB，D1C1＝AB，∴四边形D1ABC1为平行四边形，∴D1A∥C1B，∵D1A⊂面AD1E，C1B⊄面AD1E，∴平面AD1E．解：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），B（0，2，0），D1（2，0，2），C1（2，2，2），E（0，2，1），∵平面AD1E，∴直线BC1到平面AD1E的距离即为点B到平面AD1E的距离，，＝（2，0，2），，设平面AD1E的一个法向量为，则，取z＝﹣1，得，∴＝＝＝，∴直线BC1到平面AD1E的距离为；解：（Ⅲ）平面ABCD的一个法向量为，由（Ⅱ）知平面AD1E的一个法向量为．设平面AD1E与平面ABCD夹角为θ，则＝＝，故平面AD1E与平面ABCD夹角的余弦值．20．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知定点E（1，0），若直线y＝kx﹣2（k≠0）与椭圆C相交于M、N两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题得，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）假设存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去y得：（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，∴Δ＝（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，∴（*），若以MN为直径的圆过定点E，则EM⊥EN，则：＝（x1﹣1）（x2﹣1）+（kx1﹣2）（kx2﹣2）＝（1+k2）x1x2﹣（2k+1）（x1+x2）+5＝0，将（*）代入此式得：，解得：，满足Δ＞0．。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

专题26 双曲线（解答题）1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2,0）,实轴长为2. （1） 求双曲线C 的标准方程；（2）若直线/： y = A X +A /2与双曲线C 的左支交于A , B 两点，求k 的取值范围.【试题来源】宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二上期期中考试（文） 【答案】（1） —-/=1; （2）3 ~ 3【分析】（1）由条件可得a =也,c = 2,然后可得答案；1-3宀 0△ = 36（1次）〉0,6s/2k 门® +X B 二― V °，'解出即可.1 — 5k再由―所以心，所以双曲线方程为F".1-3宀 0A = 36（l-^）＞0,所以当时，，与双曲线左支有两个交点.（2）联立直线与双曲线的方程消元，然后可得＜ （2）设A （X A , y A ）, Bg, y B ）r 22.已知双曲线C: - — / =1.2 （1） 求与双曲线c 有共同的渐近线，且过点（-血,Q 的双曲线的标准方程；（2）若直线/与双曲线c 交于A 、B 两点，且A, B 的中点坐标为（1, 1）,求直线/的斜率.【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）1【答案】（1）—= 1;（2）-. ‘2 2【分析】（1）设所求双曲线方程为才-）?=斤伙工0）,代入点坐标，求得怎即可得答案；（2）设人（召,必）,3（兀2，丁2），利用点差法，代入久B 的中点坐标为（1，1），即可求得斜 率.【解析】（1）因为所求双曲线与双曲线C 有共同的渐近线， 所以设所求双曲线方程为~y 2=k （k^0）,代入（—血,得k = -l,r 2所以所求双曲线方程为r-y = l ：（2）设7401，必）3（兀2，丁2），因为A 、B 在双曲线上，互-X=i （1） 所以2?,⑴一⑵得3 7夕乜）"厂％心+%），⑵ 2因为A 、B 的中点坐标为（1, 1）,即西+吃=2,必+% =2 ,3.已知点A （->/3,0）和B （J 亍,0），动点C 到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2,记点c 的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线y^x-2交于两点M, N ,求线段MN 的长度.【试题来源】福建省南平市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试2 _所以心=兀 1 +兀22(% + %)【答案】（1）宀亍1；（2） 4屈【分析】（1）设C（x,y）,由于||C4|-|CB| = 2, \AB\=2^3 ,利用双曲线的定义求解即可；（2）直线和双曲线方程联立消y,利用根与系数关系以及弦长公式求解即可.【解析】（1）设C（x,y）,贝ij||G4|-|CB|| = 2,2 2所以点C的轨迹E为双曲线二一笃= l（a>0上>0）,且2a = 2, 2c=|4B|=2jLa b2则a=l,戾之2—/=2,所以轨迹E的方程为21 = 1；2—1（2）由］2 ，得宀仆-6 = 0,y = x-2因为A〉。