等差数列中的三类难点问题解析

等差数列中的三类难点问题解析某某省利津县第一中学 胡彬 257400一.等差数列确定特殊项的序号及和序号的问题例1.已知{a n }为等差数列，公差d ≠0，{a n }中的部分项所组成的数列1k a ，2k a ，3k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17.(1)求k n ；(2)求证：k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1.分析：(1)易知n k a 是等比数列中的第n 项，于是有n k a ＝a 11-n q ；另一方面，n k a 是等差数列中的第k n 项，又有n k a ＝a 1＋(k n －1)d 。

从而得a 1q n －1＝a 1＋(k n －1)d 。

在上式中除了k n 为所求外，a 1、d 和q 均为待定系数。

虽然a 1、d 和q 不必都求出来，但从式子的结构看，需求出a 1与d 的关系和q 的值。

从何入手呢？注意到k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，我们可以利用等比数列的子数列1k a ，2k a ，3k a ，即a 1，a 5，a 17也成等比数列，据此可以求出d 与a 1的关系和q 的值。

(2)要证明k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1，实质上是求数列{k n }的前n 项的和，而这可以由通项k n 来确定。

解：(1)由题设知1k a ，2k a ，3k a 即a 1，a 5，a 17成等比数列，所以a 52＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)。

因d ≠0，所以a 1＝2d ，于是公比q ＝15a a ＝3，所以n k a ＝1k a q n －1＝a 1⋅3n －1 又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝a 1＋(k n －1) ⋅21a ，所以a 1＋(k n －1) ⋅21a ＝ a 1⋅3n －1 因而k n ＝2⋅3n －1－1(2)k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝(2⋅30－1)＋(2⋅3－1)＋…＋(2⋅3n －1－1)＝2(1＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝3n －n －1说明：在求得d ＝21a 和公比q ＝3后，还有如下更为简捷的解法： 因为3112)1(2)1(1111111=++=⋅-+⋅-+=---n n n n k k k k a k a a k a a a n n . 所以{k n ＋1}是首项为k 1＋1＝2，公比为3的等比数列，于是k n ＋1＝ 2⋅3n －1，即k n ＝2⋅3n －1－1。

专题02 等差数列一、考情分析二、经验分享【基础知识】1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

①等差数列定义：定义法或。

②分类：若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

2、等差数列的判断方法：定义法或3、等差数列的通项：或。

①当0d ≠时，等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 4、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

①前n 和是关于n 的二次函数且常数项为0.5、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

①当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 6、若{}n a 是等差数列 ，232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列. 【方法总结】1、等差数列基本运算的解题思路： （1）设基本量a 1和公差d ．（2）列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d 的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．2、求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1）定义法.（2）前n 项和法，即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解. 3、等差数列前n 项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2n n n S na d -+； 若已知通项公式，则使用1()=2n n n a a S +，同时注意与性质“”的结合使用. 4、等差数列的判定与证明的方法：①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N 是等差数列；②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ； ③等差中项法：为等差数列；④通项公式法：通项公式形如为常数)⇔为等差数列；⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔为等差数列．5、等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,m n,p, ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{a n }的前n 项和S n 中的n 为奇数时，才有S n =na 中成立.6、等差数列的前n 项和的最值问题（3）不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和n S的最大值．三、题型分析(一) 等差数列的概念及其定义一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示，即：____________________________或____________________________。

微专题2：数列中的奇偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征如：等差、等比数列或其他特征求解原数列．题型一：等差等比数列的奇偶项特性例1-1：已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【解析】 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10.例1-2：已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.规律方法：若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则：①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则：①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .若等比数列{a n }中，公比为q .当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q .若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q1＋q(q ≠1且q ≠－1)．1. 在等差数列{a n }中，前2m (m 为正整数)项的和为155，其中奇数项的和为70，且 a 2m －a 1＝27，则该数列的通项公式为_____________.【解析】 由题得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶－S 奇＝md ＝85－70＝15，a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝27，解得d ＝3，m ＝5.又S 2m ＝S 10＝(a 1＋a 10)×102＝155，解得a 1＝2，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3n －3＝3n －1.2. 在等比数列{a n }中，已知a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两根，则a 5等于( )A. 1B. －1C. ±1D. 3【解析】 在等比数列{a n }中，因为a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，所以a 3＋a 7＝6＞0，a 3·a 7＝1＞0，所以a 3＞0，a 7＞0，a 5＞0.因为a 3·a 7＝a 25＝1，所以a 5＝1.题型二：奇偶分析求通项例2：设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈求n a 的通项式∵1(1)2nn n n S a =--∴当2n ≥时，11111(1)2n n n n S a ----=--两式相减得111111(1)(1)22n n n n n n n n S S a a -----=----+，即111(1)(1)2n n n n n n a a a --=---+ 当n 是偶数时，112n n n n a a a -=++，所以112n n a -=-，即n 是奇数时，112n n a +=-； 当n 是奇数时，1122n n n a a -=-+，1111222n n n n a a --=-+=，即当n 是偶数时，12nna =.1.,32,122,1n n a a a a ===+，求n a 的通项式2.,52,311+=+=+n a a a n n 求n a 的通项式题型三：奇偶分析求和例3：在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n . 解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列．因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n ，n ∈N *.(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a 2n＝⎝⎛⎭⎫12n ， 所以a n ＝11221,212n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，偶，为数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n ＝21233,2432n n n n +⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.，规律方法：对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .1. 数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3) ＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.2.设数列{}n a 满足123411,1,4,4a a a a ====，数列{}n a 前n 项和是n S ，对任意的*n N ∈，()()242122cos x n n n n n n n a af x x a a a x e a a +++++=++--，若()00f '=，当n 是偶数时，n S 的表达式是___________．【解析】()()242122sin x n n n n n n n a af x a a a x e a a +++++'=-+--， 因为()00f '=，所以2420n n n n a a a a +++-=，即242n n n n a aa a +++=，所以数列{}n a 中所有的奇数项成等比数列，所有的偶数项成等比数列，所以当n 是偶数时，n S 的表达式是22111114424111433214nn n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅- ⎪⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+=-+-⨯-． 3. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，即a 2n ＋1－a 2n －1＝2， 又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *. (2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0， 即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以 T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝⎣⎡⎦⎤n ×1＋12n (n －1)×2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *.题型四：由奇偶项分类讨论求参数例4：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n n －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n (2n －1)． 因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立， 所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p ][(－1)n (2n －1)－p ]<0.①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，解得1－2n <p <2n ＋1， 因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，可得－1<p <3.②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n )]<0，解得－1－2n <p <2n －1，因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，可得－5<p <3.联立⎩⎪⎨⎪⎧－1<p <3，－5<p <3，解得－1<p <3.所以实数p 的取值范围是(－1,3)．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32nn n nS a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【解析】当1n时，134a 当2n时，11111(1)42n n n n S a n ----=-++-，所以11(1)(1)12n n n n n na a a -=-+--+ 当n 为偶数时，1112n n a -=-； 当n 为奇数时，11212n n n a a -=--+，即1112122n n n a --=--+，1232n n a -=-. 所以113,211,2nn n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数.当n 为偶数时，1113,324n n a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当n 为奇数时，11311,24n n a +⎛⎤=-∈--⎥⎝⎦又因为1()()0n n t a t a +--<恒成立，1n n a t a +<<，所以31144t.。

初三数学等差数列应用题解决技巧数学是一门需要不断练习和应用的学科，而初三数学中的等差数列应用题是让很多学生头疼的一环。

然而，只要我们掌握了一些解决技巧，这些题目也可以变得轻松起来。

本文将为大家分享初三数学等差数列应用题解决技巧，希望能对同学们的数学学习有所帮助。

一、了解等差数列的定义和性质在解决等差数列应用题之前，我们首先需要了解等差数列的定义和性质。

等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差保持恒定的数列。

而对于一个等差数列，我们可以通过以下性质来进行分析：1. 公差的求法：等差数列的公差是指相邻两项的差值，我们可以通过已知条件求得。

2. 首项和末项的求法：已知等差数列的首项、公差和项数，我们可以通过公式求得末项。

3. 求和公式的运用：对于给定的等差数列，我们可以通过求和公式来计算数列中任意一段的和。

了解了等差数列的定义和性质后，我们可以更好地应用这些知识来解决等差数列应用题。

二、应用技巧之确定已知条件在解决等差数列应用题时，我们需要首先确定已知条件。

根据题目提供的信息，我们可以将问题归纳为以下几种类型：1. 已知第几项和公差，求某项的值：对于这类问题，我们需要利用等差数列的定义和性质，通过公式计算出所求项的值。

2. 已知前几项和公差，求某项的值：这种情况下，我们可以通过已知条件计算出前几项的值，然后利用等差数列的定义和性质，求出所求项的值。

3. 已知前几项和某项的值，求公差：在这种情况下，我们可以通过已知条件列出方程组，解方程求出公差。

4. 已知前几项和公差，求项数：对于这类问题，我们可以通过已知条件列出方程，解方程求出项数。

通过确定已知条件，并根据不同题型运用相应的解题思路，我们可以更加高效地解决等差数列应用题。

三、应用技巧之列方程解题在解决等差数列应用题时，列方程是非常重要的一步。

通过列方程，我们可以将问题转化为代数方程，从而利用数学知识求解。

下面是几个常见的列方程应用技巧：1. 根据已知条件列出等差数列的通项公式。

等差数列的三种常考题型及解答方法 一、 通项公式的运用1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为（A ）2- （B ） 3- （C ） 2 （D ）32. 已知数列的等差数列，若，则数列的公差等于A ．1B ．3C ．5D ．63. 在等差数列{a n }中，a 1=13,a 3=12若a n =2，则n 等于A ．23B ．24C ．25D ．264. {a n }是首项a 1=1，公差为d=3的等差数列，如果a n =2008，则序号n 等于（ ）A 、667B 、668C 、669D 、6705. 在等差数列{a n }中，若等于 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10二、 性质：1）若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+2）若m+n=2p ，p n m a a a 2=+运用6. 数列为等差数列，且，则．7. 在等差数列{}中，已知则等于A.40B.42C.43D.458.已知等差数列中，，则________。

9. （2008•海南）已知{a n}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=_____________10.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=_______________11.已知等差数列中，和是方程的两根，则——————————————12.在等差数列中，若，则等于 A．30 B．40 C．60 D．80 13. 已知数列{a n}是等差数列，且a4+a7+a10=17，a8+a9+a10=21，若a k=13，则k=14.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差________。

15.等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则中间项为16.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于______________17.等差数列{a n}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a1=1，求其项数和中间项．18.（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A、a1+a8＞a4+a5B、a1+a8=a4+a5C、a1+a8＜a4+a5D、a1a8=a4a519.（2005•黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A、a1a8＞a4a5B、a1a8＜a4a5C、a1+a8＞a4+a5D、a1a8=a4a5三、灵活求解20.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成的一个首项为1/4的等差数列,则|m-n|等于______________21.首项为-30的等差数列，从第7项开始为正，则公差d的取值范围是（）A 、5≤d ＜6B 、d ＜6C 、5＜d ≤6D 、d ＞522. 已知动点P(x,y)，若lgy,lg|x|,lg2x y -成等差数列，则点P 的轨迹图形是什么？23. 已知数列{}n a 的首项135a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈，求{}n a 的通项公式。

高中数学等差数列问题解答易错点探析作者：***来源：《中学生数理化·高考理化》2020年第06期等差数列是高中数学的重要内容，有关等差数列定义的判断，相对比较简单，但是其涉及的题型变化是多样的，如何从多变的题型中回归到最初等差数列的定义上来，这是我们要研究的解决等差数列的最好方式。

从高中数学等差数列问题的解答易错点分析，能够真正了解当前同学们在等差数列学习中存在的问题，针对当前问题进行针对性的解决，可以提升同学们的学习能力。

一、高中数学等差数列问题解答易错点1.错误理解等差数列公差的取值对于等差数列公差的取值，根据等差数列的定义进行判断比较简单，但是一旦放在实际问题中，同学们就极容易错误理解等差数列的公差，从而出现错误。

例1 已知log2 （a+1），log2（b-1），log2（c- 1）成等差数列，且b是a，c的等差中项，a+b+c=15，求abc的值。

分析：由等差数列的定义列方程组，并解出来，应该有两组解，a=1，b=5，c=9或a=7，b=5，c=3。

根据等差数列的定义进行解题相对比较简单。

但是，在解题过程中，同学们极易受到自身观念的影响，默认为公差为正数，从而舍去a=7，b=5，c=3这组解。

因此，在学习时，同学们要不断加强对等差数列定义的理解，强化等差数列及公差的特点，以便更加全面、系统地理解等差数列公差的取值——公差不仅可以是正数，还可以是负数，也可以是零。

2.错误理解等差数列的性质分析：同学们错误地理解等差数列的性质，归根结底是同学们不能正确理解等差数列的取值，因为同学们的抽象思维不够，没有建立对数的具体认知，这就需要同学们在今后的学习过程中，有意识地利用具体的数值总结推导出相应的规律，并将规律普遍化，充分运用于解题之中。

二、提升高中数学等差数列答题效率的措施解答等差数列的试题时，一方面，要理解等差数列的性质;另一方面，要进行有针对性的训练，不断夯实基础。

与此同时，等差数列和等比数列也经常一起考查，同学们要对两者的性质进行清晰、明确的划分，什么时候用什么性质。

数列知识点归纳总结难点数列作为数学中的重要概念和工具，常常在各个学科和实际问题中出现。

在学习数列的过程中，我们需要理解和掌握一系列的知识点，其中包括数列的定义、分类、通项公式、递推关系、求和公式等等。

同时，也存在一些难点和容易混淆的概念。

本文将对数列的知识点进行归纳总结，并针对其难点进行深入讲解。

一、数列的定义和分类数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的有序集合。

数列中的每个数字称为数列的项，通常用$a_1,a_2,a_3,...$表示。

数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列、Fibonacci数列等等。

等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定，等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定，递推数列是指数列中的每一项都依赖于它前面的一项或多项。

二、数列的通项公式和递推关系数列的通项公式是指可以通过项号$n$来表示数列中第$n$项的公式。

通项公式在数列的研究和分析中起到了至关重要的作用，它能帮助我们快速计算和推导数列中的各个项。

对于等差数列，通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$表示首项，$d$表示公差；对于等比数列，通项公式为$a_n=a_1\cdot r^{(n-1)}$，其中$a_1$表示首项，$r$表示公比。

递推关系是指数列中的每一项都通过前面一项或多项进行计算得到的关系式。

通过递推关系，我们可以递推出数列中的每一项，从而不需要知道特定项号的具体值。

递推关系的建立需要根据数列的特点和规律进行分析和推导，通常可以通过观察数列前几项的变化规律来确定。

三、数列的求和公式和性质数列的求和是指对数列中的若干项进行求和运算。

求和公式是用来计算数列前$n$项和的公式。

对于等差数列，求和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和；对于等比数列，求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前$n$项和。

等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。

在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。

让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。

简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。

通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。

二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。

任意两项之差为公差的倍数。

2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。

3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。

通项公式为：an = a1 + (n-1)d。

4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。

5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。

数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。

三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。

2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。

可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。

3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。

4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。

四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。

在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。

在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。

数列难题知识点总结及归纳数列是数学中常见的概念，它是一系列按照特定规律排列的数的集合。

在数列的研究中，难题常常是学生们在学习过程中遇到的挑战之一。

本文将对数列难题的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和解决数列难题。

一、等差数列等差数列是最简单的一种数列，其规律是每一项与前一项之差都相等。

在解决等差数列难题时，我们常常关注以下几个重要的知识点：1. 公差（d）：等差数列中相邻两项之差称为公差。

在数列题中，要注意根据已知条件求解公差的值，进而利用公差求出数列中的其他项。

2. 通项公式：对于等差数列，我们可以通过求解通项公式来确定数列中任意一项的值。

通项公式的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an 表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

3. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求解求和公式来得到。

求和公式的一般形式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。

二、等比数列等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值都相等。

在解决等比数列难题时，我们需要关注以下几个关键的知识点：1. 公比（q）：等比数列中相邻两项的比值称为公比。

在解决数列问题时，要注意利用已知条件求解公比的值，并根据公比确定数列中的其他项。

2. 通项公式：对于等比数列，我们可以通过求解通项公式来确定数列中任意一项的值。

通项公式的一般形式为an = a1 * q^(n-1)，其中an 表示第n项，a1表示首项，q表示公比。

3. 求和公式：等比数列的前n项和可以通过求解求和公式来得到。

求和公式的一般形式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。

三、递推数列递推数列是一种数列，其中每一项都由前一项推导而来。

在解决递推数列难题时，以下几个关键的知识点需要引起我们的注意：1. 递推关系式：递推关系式描述了数列中每一项与前一项之间的关系。

等差数列问题一直都是高中数学的重要组成部分，为学生解决现实问题提供有效的解决方案，但学生在学习过程中或多或少的受到自身学习水平的影响，出现系列错题思维，为此笔者结合我班学生易错类型总结出以下四点。

希望能够给各位同仁一定的帮助，让广大师生朋友在本文中了解自己出错或者是班级学生出错的原因。

一、取值理解错误在等差数列的学习过程中由于教师一般都会选择一些正值作为等差数列中的公差，这样的题型能够帮助学生快速的理解等差数列，但是这样的题型变多之后就会让学生产生等差数列的公差基本都是正值的惯性思维，从而导致学生在解题过程中会主观的认为公差大于0而疏漏。

例如：已知c 是a 、b 的等差中项，且lg （a+1），lg （c-1），lg （b-1）为等差数列，a+b+c=15，求a ，b ，c 的值。

学生从等差中项中可以清楚2c=a+b ，而a+b+c=15可以得出c=5，在求公差的过程中学生会得出（d-1）2=9的这一步，学生就会想当然的认为d=4，但是事实上d 还可能等于-2，学生因为没有思考周到，就会在结果处失了分数。

因此教师在讲解如何解题的过程中，应该要求学生将自己所解的每一个答案都在解题步骤中写出。

一旦遇到算数平方根的时候应该将答案全都写出来，然后再根据题目条件来取舍答案。

二、等差数列性质理解错误在等差数列的解答过程中，学生或多或少会出现没有正确理解等差数列的性质而造成的错解，例如在等差数列{a n }中a q =p ，a p =q ，且p≠q ，试求a q+p 的值。

学生清楚m+n=p+q ，则a m +a n =a q +a p 的等差数列性质，但学生却会想当然的认为a q+p =a q +a p ，因此遇上上文出现的例题学生机会想当然的认为a q+p =q+p 。

实际上这样的题目不应该如此简单，但仔细解答还是能够利用等差数列的性质来获得一定的解答的。

因此教师在讲解等差数列的时候，应该要避免学生出现这个想当然的想法。