等差数列的前n项和的最值PPT课件

∴当n=7时,Sn取最. 大值49.
13
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法2 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为

3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大. 值49.
例3设等差数列 an 的前n项和为s n ,
已知a324,s110 求：
②s①2当数2最n列为大a何n 值的时通，项s公n 式最大an，=-8n+48
.
18
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由Sn
dn2 2
(a1
d)n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号
这个数列共有1_3_____项。
例2 已知数列{an}中Sn=2n2+3n，求证： {an}是等差数列.
.
10
例1、若等差数列{an}前4项和是2，前9 项和是－6，求其前n 项和的公式。
解：设首项为a1，公差为d，则有：
2
6
4a1 9a1
1 2
1 2
4 9
3d 8d
，解之得：
43n。
. 30
12
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
3 1 3 1 3 2 d 1 1 1 3 1 1 1 1 0 d
2
2
∴ d=－2
1 Sn13n2n(n1)(2)
n2 14n(n7)2 49
a d
1
18
15 7
15
∴S n1 1n 5 8 1 2n (1 n .( ) 1 7) 53 7n 0 24 3n 113 0 。
另解：
设 Sn= an2 + bn，依题意得： S4=2, S9= －6,
解之得：
即
2a42 b4
6a92
, b9
a
b
7 30
43
,
30
Sn
7 n2 30
{an}是等差数列 Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)
结论2：设数列{an}的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）
2.2等差数列的前n项和 （第二课时）
——等差数列的前n项和的函数特 性及最大致与最小值
.
1
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
形式1:
Sn
n（a1 an) 2
形式2:
n（n1)
Snn1a 2 d
.
2
新课讲授
一、常用数列的求和方法：
1 1 2+ 2 2+ 3 2+ L+ n 2= 1n n + 1 2 n + 1
A.12 B.13 D.14
C.12或13
.
20
小结
Sn
dn2 2
(a1
d)n 2
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则
Sn=An2+Bn
Sn是关于n的二次式，常数项为 零。（d可以为零）
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
.
21
小结
结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn，
(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an} 是等差数列。
{an}是等差数列 Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)
结论2：设数列{an}的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数） 若C=0，则{an}为等差数列； 若C≠0，则数列{an}不. 是等差数列。 6
.
7
.
8
.
9
例1 若一个等差数列前3项和为34，最 后三项和为146，且所有项的和为390，则
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最. 大值49.
6
213+23+33+L+n3=nn2+12
(3)裂项法：设{an}是等差数列，公差d≠0
111
1n
+ + +L+ =
a1a2 a2a3 a3a4
anan + 1 a1an + 1
其中ana1n+1
1 1 =dan
1 -an+1.
3
求 和 S n= 1 1 g 3+ 3 1 g 5+ 5 1 g 7+ L+ 2 n -1 1 2 n + 1
16
例1的变式题一：等差数列{an}中，首 项a1>０，S3 = S11，问：这个数列的前 几项的和最大？
解: 由S3=S11得 d<0，则d/2＜0
则Sn的图象开口向下，如 Sn 图所示 又S3=S11
所以图象的对称轴为
3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大. 值49.
17
例2：已知数列{an}是等差数列，且 a1= 21，公差d=－2，求这个数列的前 n项和Sn的最大值。S11最大为121
特点？
Sn
dn2 2
(a1
d)n 2
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则
Sn=An2+Bn
Sn是关于n的二次式，常数项为
零。（d可以为零）.
5
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 当d=0时,Sn=na1不是二次函数
结论1：若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn，
(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列{an} 是等差数列。
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此 时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由 an≥0且an+1≤0求得.
②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此 时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由
an ≤0且an+1 ≥ 0求得. .
19
练习:已知数列{an}的通项为 an=26-2n,要使此数列的前n项和 最大,则n的值为( C )
S n=1 2 1 -1 3+1 3-1 5+1 5-7 1+ L+2 n 1 -1-2 n 1 + 1 =121-2n1+1=2nn+1
(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和 相等。
.
4
新课讲授
.将等差数列前n项和公式
Sn n
a 1n(n2 1)d
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么
14
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
a a
n
n1
0
0
n
15 2
得
n
13 2
∴当n=7时,Sn取最. 大值49.
15
等差数列的前n项的最值问题