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第七章群论§1 群的基本概念和一般理论一、群的定义和例子群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。
不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：1.封闭性G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中的元素。
如A属于G：B属于G：则有()（7.1-1）“乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。
一个数学群必须首先定义一种乘法。
2.缔合性三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。
如A B C=A ( B C )= (A B ) C (7.1-2)即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。
3.单位元素G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即E A=A E=A,(7.1-3)称E为单位元素或恒等元素。
4.逆元素G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘等于单位元素E，即A=A=E,(7.1-4) 称为的逆元素。
逆元素可以是该元素本身。
下面我们举几个群的例子（2）G={所有大于0的实数}集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。
满足封闭性和缔合性是显然的。
1是单位元素，任一实数m的逆元素为。
(3) G={0,±1, ±2, ±3……±n…}集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。
此例中“乘”的意思是加。
1+2=3 封闭性满足1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6 缔合性满足0+3=3+0=3 0是单位元素n+(-n)=0 n有逆元素-n 213（4）G={E、I} ( C i )这个群（称为C i）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。
这种群（组成元素是一些对称操作）称为对称群或点群。
数学中的群论与表示论数学是一门极其复杂的学科，其中涉及到各种各样的理论与定理。
群论与表示论是其中的两个重要的分支，广泛应用于各个领域。
本文将介绍这两个分支的基本概念和应用。
一、群论群论是一种研究变换性质的数学理论，研究的东西是所有在一定条件下的变化，这些变化之间具有某种相似的结构和规律。
群论不仅仅是一个抽象的概念，还深刻地影响到了其他学科，如物理、化学和计算机科学等领域。
群论的基本概念就是群。
群是一个集合，其中包含了一系列元素，而群论研究的就是这些元素之间的相互关系。
在群中，有一个二元运算，通常是乘法或加法运算，来定义元素之间的组合。
这个二元运算需要满足以下四个条件才能构成一个群：1. 封闭性：群中的任意两个元素进行操作后得到的结果还是群中的元素；2. 结合律：群中的元素进行操作的顺序不影响最终结果；3. 存在恒等元素：群中存在一个元素，与其进行操作不影响任何元素，这个元素就是恒等元素；4. 存在逆元素：群中的任意一个元素都有一个逆元素，它们的乘积（或和）等于恒等元素。
通过上述定义，我们可以得到一些简单的群，比如整数加法构成的群Z, 或者是非零实数乘法构成的群R*等等。
群论的应用非常广泛，不仅仅是数学领域，还涉及到了其他各个方面。
例如，在物理学中，群论被广泛地应用于研究对称性和宇称等问题。
在计算机科学中，群论可以用于解决密码学中的一些问题。
二、表示论表示论是与群论有密切关系的一个分支学科，它研究的是群的作用。
如果存在一个给定的群，我们可以将其作用于一些向量空间上，从而获得这个向量空间的一个表示。
表示论的目标是研究这些表示的性质和分类。
在表示论中，我们关注的是群G的一组表示，通常是一个线性变换T，可以写成T(g)，其中g是群G的元素。
这个线性变换通常是在一个向量空间V上进行的，我们可以将T(g)写成一个矩阵，表示矩阵的形式就是这个表示在数学上的表述。
一个重要的问题是，如何确定这些表示的性质和分类。
群论的基本理论及其应用群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象和思想对现代科学和技术的发展具有深远影响。
本文将简要介绍群论的基本理论，包括群的定义和基本性质、同构与同态、正则表示等，以及群论在物理、化学、密码学等领域的应用。
一、群的定义和基本性质群是指一个集合G，和一个二元运算“·”，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b∈G。
2. 结合律：对于任意的a，b，c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e=e·a=a。
4. 逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a^-1∈G，使得a·a^-1=a^-1·a=e。
以上四个条件被称作群的基本公理，满足这些公理的集合和运算就构成了一个群。
除了以上四个基本性质，群还具有一些重要的衍生性质，如：1. 唯一性：群的单位元和逆元是唯一的。
2. 闭合性：群的任意子集在运算下仍构成一个群。
3. 基本定理：任意群都同构于一个置换群。
二、同构与同态同构和同态是群论中最重要的概念之一。
同构指两个群之间存在一个双射函数，满足这个函数保持乘法运算，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)。
同构很像一种数学上的等价关系，它说明两个群结构上是相同的。
同态指两个群之间存在一个映射，满足这个映射保持群的乘法和单位元素，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)且f(e)=e'，其中e和e'分别是两个群的单位元素。
同态具有保持群结构的性质，它将一个群映射到另一个群上，并保留了群的结构特征。
三、正则表示群的正则表示是指把一个任意群转化成可逆矩阵群的一种数学方法。
这种转化方法常用于群论与物理学、化学等学科的交叉研究领域。
