群表示理论

数学中的群论与表示论数学是一门极其复杂的学科，其中涉及到各种各样的理论与定理。

群论与表示论是其中的两个重要的分支，广泛应用于各个领域。

本文将介绍这两个分支的基本概念和应用。

一、群论群论是一种研究变换性质的数学理论，研究的东西是所有在一定条件下的变化，这些变化之间具有某种相似的结构和规律。

群论不仅仅是一个抽象的概念，还深刻地影响到了其他学科，如物理、化学和计算机科学等领域。

群论的基本概念就是群。

群是一个集合，其中包含了一系列元素，而群论研究的就是这些元素之间的相互关系。

在群中，有一个二元运算，通常是乘法或加法运算，来定义元素之间的组合。

这个二元运算需要满足以下四个条件才能构成一个群：1. 封闭性：群中的任意两个元素进行操作后得到的结果还是群中的元素；2. 结合律：群中的元素进行操作的顺序不影响最终结果；3. 存在恒等元素：群中存在一个元素，与其进行操作不影响任何元素，这个元素就是恒等元素；4. 存在逆元素：群中的任意一个元素都有一个逆元素，它们的乘积（或和）等于恒等元素。

通过上述定义，我们可以得到一些简单的群，比如整数加法构成的群Z, 或者是非零实数乘法构成的群R*等等。

群论的应用非常广泛，不仅仅是数学领域，还涉及到了其他各个方面。

例如，在物理学中，群论被广泛地应用于研究对称性和宇称等问题。

在计算机科学中，群论可以用于解决密码学中的一些问题。

二、表示论表示论是与群论有密切关系的一个分支学科，它研究的是群的作用。

如果存在一个给定的群，我们可以将其作用于一些向量空间上，从而获得这个向量空间的一个表示。

表示论的目标是研究这些表示的性质和分类。

在表示论中，我们关注的是群G的一组表示，通常是一个线性变换T，可以写成T(g)，其中g是群G的元素。

这个线性变换通常是在一个向量空间V上进行的，我们可以将T(g)写成一个矩阵，表示矩阵的形式就是这个表示在数学上的表述。

一个重要的问题是，如何确定这些表示的性质和分类。

群表示论解决同调代数的例子同调代数是代数学中的一个重要分支，主要研究代数结构中的同调对象及其性质。

群表示论是同调代数的一个重要工具，可以帮助我们研究群的结构和性质。

在本文中，我们将列举一些群表示论解决同调代数问题的例子，以帮助读者更好地理解这个领域的研究方法。

1. 置换群的表示论：置换群是一类重要的群结构，它由有限个元素的置换构成。

通过群表示论，我们可以将置换群表示为矩阵群，从而更好地研究置换群的性质。

2. 对称群的不可约表示：对称群是置换群中最重要的一类群，它由n个元素的全排列构成。

通过群表示论，我们可以将对称群表示为一系列矩阵群，从而研究对称群的结构和性质。

3. 紧致Lie群的表示论：Lie群是具有光滑流形结构的群，紧致Lie 群是其中一类重要的子群。

通过群表示论，我们可以将紧致Lie群表示为一系列矩阵群，从而研究紧致Lie群的性质和表示。

4. 简单有限群的表示论：简单有限群是群论中非常重要的一类群，它们的结构非常复杂。

通过群表示论，我们可以将简单有限群表示为一系列矩阵群，从而更好地理解和研究这些群的性质。

5. 群环的同调代数：群环是一种特殊的环结构，它由一个群和一个环构成。

通过群表示论，我们可以将群环的同调代数表示为一系列矩阵代数，从而研究群环的同调性质。

6. 集合的对称群的表示论：集合的对称群是由集合上的所有置换构成的群。

通过群表示论，我们可以将集合的对称群表示为一系列矩阵群，从而研究集合的对称群的性质和结构。

7. 群的单位表示：群的单位表示是群的一个重要概念，它将群的元素表示为矩阵。

通过群表示论，我们可以将群的单位表示表示为一系列矩阵群，从而更好地研究群的结构和性质。

8. 有限群的不可约表示：有限群的不可约表示是群表示论中的一个重要概念，它将有限群表示为一系列不可约矩阵群。

通过群表示论，我们可以研究有限群的不可约表示及其性质。

9. 群的特征标理论：特征标是群表示论中的一个重要概念，它将群的单位表示的迹表示为一系列数值。

第二章 群表示理论基础§2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间）数域K （实数域R 或复数域C ）上的线性空间V 是一个向量集合，}{x V=；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V 在加法运算下构成交换群，满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有o x x x x o x x o o x z y x z y x x y y x V z y x=+-=-+=+=+++=+++=+∈∀,)()(,, 数乘运算KV →V 满足：x x x b x a x b a ya x a y x a xb a x ab K b a=+=++=+=∈∀1)()()()(,,【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V 中，任意n 个向量n x x x,,,21，其线性组合02211=+++n n x a x a x a当且仅当021====n a a a 时成立，则称此n 个向量线性无关，否则它们线性相关。

线性空间中线性无关向量的最大个数m ，称为空间V 的维数，记为dim V = m 。

【定义2.3】 （基矢）设V 是n 维线性空间，则V 中任意一组n 个线性无关的向量，称为空间V 的基矢，记为),,,(21n e e e 。

空间中任意矢量均可表示为n 个基矢的线性组合，∑=n ii i e x x。

矩阵形式：n i i i e e e e e e 0000121+++++=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100][,0100),,(21i n i e e e e e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n n n i ni i x x x x x x x e e e e x x 2121211][,),,,(【定义2.4】 （线性变换）线性变换A 是将V 映入V 的线性映射，满足：)()()(,)(,:,,,y A x aA y x a A V x A V V A K a V y x+=+∈→∈∈∀线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='====∑∑∑∑∑∑∑∑n n n nn n n n i j ij j i iiij jj jj j nj j j n ii ij j j jjj j j j y y e e e x x A A A A e e e x a e e a x e x A x A a a a e e e e a e e A e y y e x x y x A 12111111212121),,,(),,,())()(),,,()(,,)(故有矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n y y x x A A A A y x A 111111],[]][[ 若0]det[≠A ，则称线性变换A 非奇异，A 有逆变换A -1，[A -1]=[A ]-1。

第二章习题1．设A(g)是群G＝{g}的一个表示，证明：复共轭矩阵A*(g)也是G的一个表示。

当A(g)是不可约的或幺正的，则*A(g)也是不可约的或幺正的。

2．设A(g)是G＝{g}的一个表示，证明：转置逆矩阵[A t(g)]－1、厄密共轭逆矩阵[A＋(g)]－1也是G的表示，并且当A(g)是不可约的或幺正的，则它们分别也是不可约的或幺正的。

试问[A t(g)]、[A＋(g)]也是G的表示吗？3．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，C是G中一个共轭类，λ为常数，E为单位矩阵，证明：Σg∈C A(g)＝λE。

4．证明群G中属于同一类的各元的表示矩阵之和，必与群G的一切元的表示矩阵对易。

5．求三阶群的所有不等价不可约表示。

6．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，B(g)是G的一个一维非恒等表示，证明：A(g)⊗B(g)也是G的一个不可约表示。

7．V的所有不等价不可约表示。

8.9求出D3群在二次齐次函数空间中的群表示，求出它所包含的不可约表示。

10.写出4阶循环群的左正则表示和右正则表示。

11．设A p(g)和A r(g)是群G的两个不等价不可约表示，证明：直积表示A p(g) ⊗A r*(g)不包含恒等表示，而A p(g) ⊗ A p*(g)包含恒等表示一次且仅一次。

12．求正三角形对称群D3的群表示，表示空间为三维线性函数空间，其基底为：φ1(θ)=cos2θ, φ2(θ)=sin2θ, φ3(θ)=√2cosθsinθ，并将其约化为不可约表示。

13．求正三角形对称群D3的子群{e, a}的恒等表示所诱导的表示，它包含哪些不可约表示。

14. 求出D3群所有不可约表示的直积，并把它们约化为不可约表示的直和。