(2)群表示理论基础

4.群表示的理论基础和分子对称性教学目标与学习指导1．本章第1节讨论分子对称性。

要求掌握五种对称元素和对称操作的乘积的概念。

2．本章第2节介绍群的基本知识。

要求对群的基本知识有一般的了解。

3．本章第3节讨论分子点群。

要求掌握分子点群的确定。

4．本章第4节讨论分子对称操作的矩阵表示。

要求掌握五种对称操作的矩阵表示法。

5．本章第5节讨论群表示的基及群的表示。

要求对群表示的一般性质有所了解。

要求掌握不可约表示和可约表示的概念以及可约表示的约化，了解特征标表。

4-1分子对称性4-2群的基本知识4-3分子对称操作群4-4分子对称操作的矩阵表示（选修）4-5群表示的基及群的表示（选修）RPbPbR的键合性质Y u Chen,Michael Hartmann,Michael Diedenhofen,and Gernot Frenking*Angew.Chem.Int.Ed.2001,40,No.11，2052群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的数学。

但把它的基本理论与物质结构的具体对称性相结合之后，群论就成为研究物质微粒运动规律的一种有力工具。

在有关基本粒子、核结构、原子结构、分子结构以及晶体结构等问题的理论研究和计算中经常用到群论方法。

由于自然学科彼此间的交叉、渗透，在近代化学领域内，研究化学键理论和分子动力学，应用各种波谱技术等方面，群论已成为重要的工具。

4-1分子对称性对称性是物体所具有的,实施对称操作之前后不可分辨的性质。

通过研究分子的对称性，一方面可以把握分子结构的特点及说明分子的有关性质；另一方面，也可借助于分子对称性，使求解薛定谔方程的过程大为简化。

原子轨道、分子轨道及分子的几何构型的对称性，是电子运动状态及分子结构特点的内在反映。

4-1-1对称操作与对称元素4-1-2对称操作的乘积4-1-1对称操作与对称元素对称操作：每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的图形。

也就是，当一个操作作用于一个分子上，所产生的新分子几何图形和作用前的图形如不借助于标号是无法区分的。

数学中的群论与表示论数学是一门极其复杂的学科，其中涉及到各种各样的理论与定理。

群论与表示论是其中的两个重要的分支，广泛应用于各个领域。

本文将介绍这两个分支的基本概念和应用。

一、群论群论是一种研究变换性质的数学理论，研究的东西是所有在一定条件下的变化，这些变化之间具有某种相似的结构和规律。

群论不仅仅是一个抽象的概念，还深刻地影响到了其他学科，如物理、化学和计算机科学等领域。

群论的基本概念就是群。

群是一个集合，其中包含了一系列元素，而群论研究的就是这些元素之间的相互关系。

在群中，有一个二元运算，通常是乘法或加法运算，来定义元素之间的组合。

这个二元运算需要满足以下四个条件才能构成一个群：1. 封闭性：群中的任意两个元素进行操作后得到的结果还是群中的元素；2. 结合律：群中的元素进行操作的顺序不影响最终结果；3. 存在恒等元素：群中存在一个元素，与其进行操作不影响任何元素，这个元素就是恒等元素；4. 存在逆元素：群中的任意一个元素都有一个逆元素，它们的乘积（或和）等于恒等元素。

通过上述定义，我们可以得到一些简单的群，比如整数加法构成的群Z, 或者是非零实数乘法构成的群R*等等。

群论的应用非常广泛，不仅仅是数学领域，还涉及到了其他各个方面。

例如，在物理学中，群论被广泛地应用于研究对称性和宇称等问题。

在计算机科学中，群论可以用于解决密码学中的一些问题。

二、表示论表示论是与群论有密切关系的一个分支学科，它研究的是群的作用。

如果存在一个给定的群，我们可以将其作用于一些向量空间上，从而获得这个向量空间的一个表示。

表示论的目标是研究这些表示的性质和分类。

在表示论中，我们关注的是群G的一组表示，通常是一个线性变换T，可以写成T(g)，其中g是群G的元素。

这个线性变换通常是在一个向量空间V上进行的，我们可以将T(g)写成一个矩阵，表示矩阵的形式就是这个表示在数学上的表述。

一个重要的问题是，如何确定这些表示的性质和分类。

第二章 群表示理论基础§2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间）数域K （实数域R 或复数域C ）上的线性空间V 是一个向量集合，}{x V=；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V 在加法运算下构成交换群，满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有o x x x x o x x o o x z y x z y x x y y x V z y x=+-=-+=+=+++=+++=+∈∀,)()(,, 数乘运算KV →V 满足：x x x b x a x b a ya x a y x a xb a x ab K b a=+=++=+=∈∀1)()()()(,,【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V 中，任意n 个向量n x x x,,,21，其线性组合02211=+++n n x a x a x a当且仅当021====n a a a 时成立，则称此n 个向量线性无关，否则它们线性相关。

线性空间中线性无关向量的最大个数m ，称为空间V 的维数，记为dim V = m 。

【定义2.3】 （基矢）设V 是n 维线性空间，则V 中任意一组n 个线性无关的向量，称为空间V 的基矢，记为),,,(21n e e e 。

空间中任意矢量均可表示为n 个基矢的线性组合，∑=n ii i e x x。

矩阵形式：n i i i e e e e e e 0000121+++++=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100][,0100),,(21i n i e e e e e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n n n i ni i x x x x x x x e e e e x x 2121211][,),,,(【定义2.4】 （线性变换）线性变换A 是将V 映入V 的线性映射，满足：)()()(,)(,:,,,y A x aA y x a A V x A V V A K a V y x+=+∈→∈∈∀线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='====∑∑∑∑∑∑∑∑n n n nn n n n i j ij j i iiij jj jj j nj j j n ii ij j j jjj j j j y y e e e x x A A A A e e e x a e e a x e x A x A a a a e e e e a e e A e y y e x x y x A 12111111212121),,,(),,,())()(),,,()(,,)(故有矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n y y x x A A A A y x A 111111],[]][[ 若0]det[≠A ，则称线性变换A 非奇异，A 有逆变换A -1，[A -1]=[A ]-1。

群表⽰论基础——群在集合上的作⽤设Ω是⼀个集合,那么群G到对称群S(Ω)的每个同态ϕ:G→S(Ω)叫做群G在集合Ω上的⼀个置换表⽰.特别的如果ϕ是单的,那么称ϕ是忠实表⽰.注意群G中任意元素g在ϕ下的像ϕ(g)是Ω中的⼀个置换,因此我们可以将群G中的每个元素视作置换,即ga:=ϕ(g)a,∀a∈Ω形象的看就是群作⽤在集合上.如果我们在Ω中定义关系a∼b⇔∃g∈G使得ga=b,不难验证这是⼀个等价关系,那么Ω可被分解成⼀些等价类的⽆交并,如果我们记[a]={ga:g∈G}为等价类,那么Ω=⋃a[a]其中每个等价类称为G−轨道,元素a的轨道也记作Orb a:=[a]也记作O a.特别的如果Ω只有⼀条轨道,那么称G在Ω上的作⽤是传递的(也称为可迁的).那么显然G在每条轨道上的作⽤是传递的.我们来看具体的群作⽤的例⼦:例1.设G是群,取Ω=G,考虑映射ϕ:G→S(G),定义ϕ(g)a=ga,∀a,g∈G,那么ϕ是⼀个同态,这是因为∀g,h,a∈G有ϕ(gh)a=gha=ϕ(g)ϕ(h)a因此ϕ是群G在集合G上的⼀个置换表⽰,并且Kerϕ={1}我们也把这个表⽰称为群G的左正则表⽰,且显然这个表⽰是忠实的.类似的可以定义右正则表⽰.利⽤此我们可以得出如下的Cayley定理:每个群均同构于某个置换群.只需对例1中的左正则表⽰⽤同态基本定理G=G/Kerϕ≃Imϕ≤S(G),这就说明群G同构于某个置换群.例2.设H≤G,取Ω:={aH:a∈G}即为全体左陪集构成的集合,考虑映射πH:G→S(Ω),定义πH(g)(aH)=gaH,不难验证这也是⼀个同态,称为G对于⼦群H的左诱导表⽰.如果g∈KerπH,那么∀a∈G有πH(g)(aH)=gaH=aH⇒g∈aHa−1,注意a的任意性可知KerπH=⋂a∈G aHa−1即为H的全体共轭⼦群之交.类似的也可以定义右诱导表⽰.例3.设A⊂G是群G的任意⼦集,取Ω:={aAa−1:a∈G}即为A的共轭⼦集的全体.考虑映射ρA:G→S(Ω),定义ρA(g)aAa−1=gaAa−1g−1,这也是⼀个同态,称为群G对于⼦集A的共轭表⽰.类似的可求出其同态核KerρA=⋂a∈G aN G(A)a−1即为A的正规化⼦N G(A)的全体共轭⼦群之交.设a∈Ω,我们考虑集合Stab(a):=G a:={g∈G:ga=a},即为保持元素a不动的那些群元素之集合.不难验证其构成群G的⼦群,即Stab(a)≤G,称作元素a的稳定⼦群.我们有如下的:轨道-稳定⼦定理设有限群G作⽤在集合Ω上,那么∀a∈Ω有|G|=|Orb(a)|⋅|Stab(a)|↔|Orb(a)|=[G:Stab(a)]证明设G=∪n i=1g i Stab(a),注意到∀g,h∈G,那么g Stab(a)=h Stab(a)⇔h−1g∈Stab(a)⇔h−1ga=a⇔ga=ha这说明在同⼀陪集中的元素作⽤在a上的结果是相同的,且不同陪集的元素作⽤结果不同.这便说明了|Orb(a)|=[G:Stab(a)]特别的如果G在Ω上的作⽤是可迁的,那么|G|=|Ω|⋅|Stab(a)|,∀a∈Ω⽽若G 是⽆限群,轨道长度有限时,我们通常⽤后⾯的表达形式|Orb(a )|=[G :Stab(a )].特别的如果a ,b 位于同⼀轨道中,即存在g ∈G 使得b =ga ,那么我们看他们的稳定⼦群有什么关系.任取h ∈Stab(b ),则hb =b ⇒hga =ga ⇒g −1hg ∈Stab(a ),即Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,类似可得Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,这说明Stab(b )=g Stab(a )g −1即同⼀轨道中元素的稳定⼦群是共轭的.例4.正n (n ≥3)边形的对称群.我们把平⾯中能够使得图形Γ与⾃⾝重合的正交变换(旋转和镜⾯反射)称作称作图形Γ的对称,显然全体这种对称构成⼀个群,称为图形Γ的对称群,记作S (Γ),特别的正n 边形的对称群,记作D n .我们来考虑它的结构:显然D n 可看做是对n 个顶点的置换,我们可以视作群D n 作⽤在顶点击Ω={1,2,⋯,n }上,显然这个作⽤是传递的,⽤绕中⼼旋转2πn 的置换σ=(12⋯n )依次作⽤即可.再者对于某个顶点1,保持1不动的置换只有两个,分别是恒等置换和保持1不动的反射τ={(2,n )(3,n −1)⋯n 2,n 2+2,n ≡0(mod根据轨道-稳定⼦定理|D_n|=|\Omega|\cdot|\mathrm{Stab}(1)|=2n .注意到\sigma^i\tau^j(0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1)恰为2n 个不同的置换,因此D_n=\{\sigma^i\tau^j:0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1\}并且运算满⾜\sigma^n=\tau^2=1,\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau 且\sigma\tau=\tau\sigma^{-1},据此可以得到更⼀般的\tau\sigma^m=\sigma^{-m}\tau,\forall m\in\mathbb Z进⼀步的我们可以求出D_n 的中⼼C(D_n).显然\sigma^i\tau\notin C(D_n),⽽若\sigma^i\in C(D_n),(0\leq i\leq n-1),注意到D_n 的结构,仅需保证其与\tau 可换即可,即\sigma^i\tau=\tau\sigma^i\Leftrightarrow\sigma^{2i}=1\Leftrightarrow n\big|2i 因此C(D_n)=\left\{\begin{matrix}\{1,\sigma^m\}&n=2m\\\{1\}&n=2m+1\end{matrix}\right.与稳定⼦群类似,\forall g\in G ,我们定义元素g 作⽤下的不动点的概念N(g):=\{a\in\Omega:ga=a\},即\Omega 中在置换g 作⽤下保持不动的那些元素.关于不动点,我们有著名的Burnside 引理:设有限群G 作⽤在集合\Omega 上,那么\Omega 中轨道的条数m=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|N(g)|直观来讲就是G 在\Omega 的作⽤时,平均有t 个不动点.下⾯给出他的证明:按照定义显然有\sum\limits_{a\in\Omega}|\mathrm{Stab}(a)|=\sum\limits_{g\in G}|N(g)|,另⼀⽅⾯注意到位于同⼀轨道中两元素的稳定⼦群是共轭的,因⽽具有相同的基数,从⽽\sum_{a\in\Omega}\mathrm{Stab}(a)=\sum_{i=1}^{m}|\mathrm{Orb}(a_i)|\cdot|\mathrm{Stab}(a_i)|=m|G|因此定理成⽴.这是组合数学中⼀个重要的计数定理，但是在实际应⽤时N(g)并不好直接计算,所以有更进⼀步的的Polya 定理来处理计数问题.有兴趣不妨查阅组合数学的教材.类似的我们可以定义群G 作⽤下的不动点:\Omega_0:=\{a\in\Omega:ga=a,\forall g\in G\}即群G 每个元素都保持不动的\Omega 中的元素. 在后⾯的Sylow 定理中会涉及整个群作⽤下不动点的应⽤.()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。

数学中的群表示和代数表示理论在数学中，表示理论是一个重要的研究领域。

它涉及到许多不同的数学对象，如群、李群、 Lie 代数等等。

其中，群表示和代数表示理论是其中最为重要的两个分支。

群表示理论是研究群在线性变换空间上的表示的理论。

群表示可以用来描述群在不同对象上的对称性，比如在几何或物理学中描述对称性操作、化学中的对称性等。

群表示的关键是研究群元素作用于向量空间上的线性变换。

给定一个群$G$ 和一个域$k$，我们可以找到一个向量空间 $V$ 和群 $G$ 的一个表示 $\rho$，满足 $\rho(g)$ 对于任意 $g\in G$ 都是 $V$ 中的线性变换。

群表示是$G$ 的一个表示矩阵的集合，每个矩阵对应于群 $G$ 中的一个元素 $g$。

代数表示理论是研究代数对象在线性变换空间上的表示的理论。

代数表示和群表示的区别是，代数表示通常涉及到无限维向量空间，而群表示涉及到有限维向量空间。

代数表示理论主要研究 Lie 代数在向量空间上的表示。

Lie 代数是一种特殊的代数结构，它的元素是向量空间上的线性变换，满足某些限制条件。

代数表示能够描述 Lie 代数在不同向量空间上的对称性，这对于研究几何、物理学、量子场论等领域非常重要。

群表示和代数表示的理论基础是一个叫做Schur引理的定理。

Schur定理告诉我们，对于有限群和有限维表示，每个不等于恒等变换的群元 $g$ 在该表示下的矩阵都是不可约矩阵。

简单来说就是，不可约表示是群表示的最简单的形式之一。

这个定理对于代数表示也同样适用。

在表示理论中，不可约表示是非常重要的。

一个表示是可约的就表示它可以写成几个不可约表示的直和形式。

不可约表示是表示矩阵不可同时具有两个以上不变子空间的表示，这个定义等价于表示矩阵在某个极小不变子空间上的限制表示不可约。

通俗地说，正如素数是整数的最基本构造块，不可约表示是表示的最基本构造块。

可以发现，表示理论不仅在数学上非常重要，而且在物理和工程学科中也占有重要地位。

第三节群表示的基及群的表示一、基本概念1、基：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。

基可以有各种类型，如矢量（x，y，z），波函数（p x，p y，p z）2、群的表示：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。

* 群的表示不是唯一的。

二、群的表示（可约与不可约表示）1、可约表示1）定理：设一组矩阵（E，A，B，C…）构成一个群的表示。

若对每个矩阵进行同样的相似变换：E´=X-1EXA´=X-1AXB´=X-1BX…………..则（E´，A´，B´……）也是群的一个表示。

证明（封闭性）：若AB = CA´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX = X-1(AB)X = X-1CX = C´若每个矩阵A´，B´，C´, … 均按同样的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对应方块可以单独地相乘：A1´B1´=C1´A2´B2´=C2´A3´B3´=C3´………..因此各组矩阵E1´，A1´，B1´，C1´, …E2´，A2´，B2´，C2´, ……………………….本身都是一个群的表示。

因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一个新矩阵，所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。

因此我们称（E，A，B，C,…）为可约表示。

2、不可约表示若找不到矩阵X，按照上述方式约化给定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约表示。

不可约表示具有特殊的重要性。

三、广义正交定理1、向量的正交1）向量及其标积。

向量的定义：向量标积：AθBA·B = A·Bcosθ2）向量正交若A·B = 0，则称A与B正交。

群论课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；所属专业：理论物理课程性质：专业基础课学分：3（二）课程简介、目标与任务；课程简介：群论作为一种数学工具，已广泛应用于粒子物理、核物理、固体物理等物理分支。

群论课程主要介绍群的基本知识、有限期的基本表示理论、点群、李群和李代数的基本知识。

通过本课程的学习，使学生掌握群论的基本概念、基本性质和基本方法，理解对称性及其在物理学中的应用，为学生继续深造和从事科学研究工作打下必要的数学基础。

本课程是为本科高年级学生所开设的课程，总教学时数为54学时，3学分，开课学期为本科生第七学期。

目标与任务：让大学四年级理论物理专业的研究生掌握《群论》这一门数学工具的基础知识，为研究生阶段的课程(如《量子场论》、《高等量子力学》、《李群和李代数》等)打下坚实的数学基础。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；先修课程：线性代数、微积分后续相关课程：李群和李代数关系：《群论》课的基础主要为《线性代数》和《微积分》，《线性代数》的线性空间理论和矩阵理论为《群论》线性表示理论的基础，《微积分》为《群论》中微积分相关内容的基础知识。

《群论》课为后续课程《李群和李代数》的基础，《李群和李代数》是《群论》课的关于连续群的进一步深入，两者之间在内容上为承上启下的关系。

（四）教材与主要参考书。

教材：自编讲义主要参考书：1. 段一士教授《群论》讲义2. 韩其志、孙洪洲，《群论》，北京师范大学出版社，1987年3. 马中骐，《物理学中的群论》3. 约什，《物理学中的群论基础》［M］4. 怀邦，《典型群及其在物理中的应用》［M］5. 徐婉棠、喀兴林，《群论及其在固体物理学中的应用》6. W. Joshim, 《Elements of Group Theory for Physics》7. Hamermesh, 《Group Theory and its Application to Physical problems》二、课程内容与安排第一章群的基本知识1.1 群的定义1.2 子群和陪集1.3 共轭元素和类1.4 不变子群和商群1.5 同态和同构1.6 直积群1.7 变换群（一）教学方法：讲授学时分配：12学时（二）内容及基本要求主要内容：本章主要介绍群的基本知识，包括群的定义和举例，群的重排定理，一个群的子群与陪集、不变子群与商群的基本概念，以及相应的拉格朗日定理和商群相关定理，然后介绍两个群之间的关系，即同态关系和同构关系，以及相应的定理，最后介绍由两个群来构造一个比较大的群的基本方法，即直积群。