北师大版中考数学模拟试题

北师大版中考数学模拟试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1．如图，数轴的单位长度为1，如果点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是( B )A ．－4B ．－2C ．0D ．42．南海资源丰富，其面积约为3 500 000 km 2，相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍，其中3 500 000用科学记数法表示为( C )A ．0.35×108B ．3.5×107C ．3.5×106D ．3.5×1053．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝55°，则∠1等于( C )A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°4．如图，一个碗摆放在桌面上，则它的俯视图是( C ),A ) ,B ) ,C ) ,D )5．数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签法确定一个小组进行展示活动，则第3小组被抽到的概率是( A )A .71B .31C .211D .1016．如果两个相似三角形的面积比是1∶6，则它们的相似比是( D )A ．1∶36B ．1∶6C ．1∶3D ．1∶7．为响应“书香校园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中阅读时间的众数和中位数分别是( C )A ．2和1B ．1.25和1C ．1和1D ．1和1.258．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( C )A ．3B ．3C .23D .239．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t ，△APQ 的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象是( D ),A ) ,B ) ,C ) ,D )10．如图，直线y ＝32x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－23，0)D ．(－25，0)二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)11．化简：(a －3a2＋3－a 9)÷a a ＋3＝__a __．12．若关于x 的一元二次方程x 2－4x －m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是__m>－4__．13．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为__4__．,(第13题图)) ,(第14题图))14．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别是AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，EF ，若四边形ABCD 的面积为6，则△BEF 的面积为__25__．15．已知⊙O 的半径R ＝5 cm ，弦AB ∥CD ，且AB ＝6 cm ，CD ＝8 cm ，则弦AB 与CD 之间的距离等于__7或1__cm .三、解答题(本大题共10个小题，共100分)16．(6分)先化简，再求值：已知4x ＝3y ，求代数式(x －2y)2－(x －y)(x ＋y)－2y 2的值．解：原式＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2－2y 2＝－4xy ＋3y 2＝y(3y －4x)．∵4x ＝3y ，∴原式＝y·(4x －4x)＝0.17．(10分)某中学为了解八年级学生体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A ，B ，C ，D 四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？(2)求测试结果为C 等级的学生人数，并补全条形图；(3)若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名．解：(1)20%10＝50(名)．答：本次抽样共抽取了50名学生；(2)50－10－20－4＝16(名)．答：测试结果为C 等级的学生有16名，补全条形图如图；(3)700×504＝56(名)．答：估计该中学八年级700名学生中体能测试结果为D 等级的学生有56名．18．(10分)某地区2014年投入教育经费2 900万元，2016年投入教育经费3 509万元．(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4 250万元，如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4 250万元？请说明理由．(参考数据：＝1.1，＝1.2，＝1.3，＝1.4)解：(1)设该地区教育经费的年平均增长率为x ，由题意得2 900(1＋x)2＝3 509，解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不符合题意，舍去)．答：2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%；(2)按10%的增长率，到2018年投入教育经费为3 509(1＋10%)2＝4 245.89(万元)，因为4 245.89<4 250.答：按此增长率到2018该地区投入的教育经费不能达到4 250万元．19．(10分)某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，当每次转盘停止后指针所指扇形内的数字为每次所得的数(若指针指在分界线时重转)；当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时，返现金10元．(1)试用画树状图或列表的方法表示出一次抽奖所有可能出现的结果；(2)某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少？解：(1)解法一：根据题意可列表解法二：根据题意画树状图如下：从列表或树状图中可以看出所有可能结果共有16种，并且每种结果出现的可能性相等；(2)两数字之和为8(记为事件A)的概率为：P(A)＝161，两数字之和为7(记为事件B)的概率为：P(B)＝162＝81，两数字之和为6(记为事件C)的概率为：P(C)＝163，所以某顾客抽奖一次可能返还现金的概率为：P ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝161＋81＋163＝83.20．(10分)已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为线段AB 上一动点．(1)求证：BD ＝AE ；(2)当D 是线段AB 中点时，求证：四边形AECD 是正方形．证明：(1)∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°.∵∠ACE＋∠ACD ＝∠BCD ＋∠ACD ，∴∠ACE ＝∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS )，∴BD ＝AE ；(2)∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝45°，AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ECA ，在△ACE 和△BCD 中，CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠B ＝45°，∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAB ＝45°＋45°＝90°，∴∠ECD ＝∠ADC ＝∠DAE ＝90°，∴四边形AECD 是矩形．∵CE ＝CD ，∴矩形AECD 是正方形．21．(10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象与反比例函数y ＝x m (m ≠0)的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为(n ，6)，点C 的坐标为(－2，0)，且tan ∠ACO ＝2.(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；(2)求点B 的坐标．解：(1)过点A 作AD ⊥x 轴于D.∵C 的坐标为(－2，0)，A 的坐标为(n ，6)，∴AD ＝6，CD ＝n ＋2.∵tan ∠ACO＝2，∴CD AD ＝n ＋26＝2，解得：n ＝1，故A(1，6)，∴m ＝1×6＝6，∴反比例函数表达式为y ＝x 6.又∵点A ，C 在直线y ＝kx ＋b 上，∴－2k ＋b ＝0，k ＋b ＝6，解得b ＝4，k ＝2，∴一次函数的表达式为y ＝2x ＋4；(2)由y ＝2x ＋4，，得x 6＝2x ＋4，解得x ＝1或x ＝－3.∵A(1，6)，∴B(－3，－2)．22．(10分)如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B ，C ，E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B ，C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：≈1.414，≈1.732)解：过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F.则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE.由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°.∵FD ∥BE ，∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°.在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE＝30°.∵tan ∠DCE ＝CE DE ，∴CE ＝tan30°10＝10.在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°，∴FD ＝AF.又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－10＝52.7(m )．答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7 m .23．(10分)如图，已知⊙O 的直径AB ＝4 cm .(1)作一条弦CD ，使CD 垂直平分半径OB ，垂足为E ；(点C 在点D 的左边，要求尺规作图，保留痕迹，不写作法)(2)点F 是⊙O 上一点(点F 不与C ，D 重合)，求∠CFD 的度数；(3)求︵CD 的长及︵CD 与弦CD 所围成的扇形的面积．解：(1)略；(2)①若点F 在︵CAD 上，连接OC ，OD.在Rt △OCE 中，cos ∠COE ＝OC OE ＝21，∴∠COE ＝60°.又∵OC＝OD ，OE ⊥CD ，∴∠COE ＝∠DOE ＝60°，∴∠COD ＝120°，∴∠CFD ＝21∠COD ＝60°；②若点F′在︵CBD 上，∵四边形CFDF′是⊙O 的内接四边形，∴∠F ＋∠F′＝180°，∴∠CF ′D ＝120°，∴∠CFD 的度数为60°或120°；(3)︵CD 的长为：180120π×2＝34π(cm )．在Rt △COE 中，CE ＝＝＝(cm )，∴CD ＝2CE ＝2(cm )，∴S 扇形CBD ＝S 扇形OCD －S △OCD ＝360120π×22－21×2×1＝(34π－)cm 2.24．(12分)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)解：(1)连接AC.∵点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，EF ＝21AC ，同理，HG ∥AC ，HG ＝21AC ，∴EF 綊HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)中点四边形EFGH 是菱形，理由如下：连接AC ，BD.∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，∴∠BPD ＝∠APC.在△APC 和△BPD 中．∵PC ＝PD ，∠APC ＝∠BPD ，∴△APC ≌△BPD(SAS )，∴AC ＝BD.由(1)可知：EF ＝HG ＝21AC ，EH ＝FG ＝21BD.又∵AC ＝BD ，∴EF ＝HG ＝EH ＝FG ，∴中点四边形EFGH 是菱形；(3)中点四边形EFGH 是正方形．25．(12分)如图，顶点为A(，1)的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△O CD ≌△OAB ；(3)在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．解：(1)∵抛物线顶点为A(，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a(x －)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a ＝－31，∴抛物线对应的二次函数的表达式为：y ＝－31x 2＋33x ；(2)将y ＝0代入y ＝－31x 2＋33x 中，得B点坐标为(2，0)，设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝k x ，将A(，1)代入表达式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x.∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B(2，0)代入y ＝33x ＋b 中，得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由3得交点D 的坐标为(－，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得：OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝2＝OD.在△OAB 与△OCD 中，OB ＝OD ，AB ＝CD ，∴△OAB ≌△OCD ；(3)点C 关于x 轴的对称点C′的坐标为(0，2)，则C′D 与x轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小．过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ，∴△C ′PO ∽△C ′DQ ，∴DQ PO ＝C ′Q C ′O ，即3PO ＝52，∴PO ＝53，∴点P 的坐标为(－53，0)。