2020年湖南省中考数学模拟试题含答案
温馨提示：
1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
3．本试卷满分150分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡
上．每小题4分，共40分）
1．如果a 与2017互为倒数，那么a 是（ ） A ． -2017 B ． 2017 C ． 20171- D ． 2017
1
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A ． 6
33a a a =+
B ． 33=-a a
C ． 5
23)(a a =
D ． 3
2a a a =?
4．人类的遗传物质是DNA，DNA是一个很长的链，最短的22号染色体与长达30000000个核苷酸，30000000用科学记数法表示为（ ）
A．3×107
B．30×104
C．0．3×107
D ．0．3×10
8
5．如图，过反比例函数)0(>=
x x
k
y 的图像上一点A 作 AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．下列命题：①若a＜1，则（a﹣1）
a a
--=-111
；②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；③9的算术平方根是3；④如果方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a＜1．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个
B．2个 C．3个
D．4个
7．如图，AB ∥ CD，DE⊥ CE，∠ 1=34°，则 ∠ DCE的度数为（ ） A．34°
B．54° C．66°
D．56°
（第7题图） （第9题图）
8．一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ） A．
B．
C． D ．
9．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．若OA =2,∠P =60°，则?AB 的长为( )
A．2
3
π．B．π
C．4
3
πD．
5
3
π
10、对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b 时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，ma x{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x +1}，则该函数的最小值是（）
A．0B．2C．3D．4
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．分解因式：x2y﹣4y=
12．已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是_________
13．已知反比例函数
k
y
x
=（0
k≠），如果在这个函数图像所在的每一个象限内，y的
值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是
14．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是____ 度
15．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为．
16．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．
（第16题图） （第17题图）
17．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米．
18．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…第n个三角形数记为x n ，则x n +x n+1= ．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19．(本小题8分) 计算：()02017
)10(360sin 21-+--?+-π．
20．(本小题8分) 先化简，再求值：
121
)1(222++-÷-+x x x x x x ，其中x 的值从不等式组???<-≤-4
121x x 的整数解中选取。
21．（本小题8分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法，写出点M所有可能的坐标； （2）求点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的概率．
22．（本小题10分）2016年《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词
汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A ：“互联网+政务服务”，B ：“工匠精神”，C ：“光网城市”，D ：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词．根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？
（2）条形统计图中，m=，n=；
（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？
23．(本小题10分)
随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2．88万个，求该市这两年（从2014年度到2016年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
24．（本小题10分）如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）求证：OA2=OE?OF．
25．（本小题12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：△ABD ∽△DBE； （3）若cosB=
，AE=4，求CD．
26．（本小题12分）如图①，直线 交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F 1交x轴于另一点B（1，0）． （1）求抛物线F 1所表示的二次函数的表达式；
（2）若点M是抛物线F 1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S 四
边形MAOC
和S △BOC ，记S=S 四边形MAOC ﹣S △BOC ，求S最大时点M的坐标及S的最大值；
（3）如图②，将抛物线F 1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F 2，点A、B与（2）中所求的点M 的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4
3
4
+=x y
6
数学（参考答案）
一、选择题
1-5题 DADAC 6-10 题 ADACB 二、填空题
11.)2)(2(-+x x y 12. -3 13. k>0 14. 90
15. 12 16. 17. 18. 三、解答题
19.（本小题8分）解：原式=
20.（本小题8分）解：原式=
解不等式组，得 2
5
1<≤-x
在该范围内可选取的整数为-1，0，1，2.根据分式有意义的条件可知只有2=x
当2=x 时，原式=21
22
-=--
21.（本小题8分）解：（1）画树状图得：
则点M 所有可能的坐标为：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1）， （1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；
（2）∵点M （x ，y ）在函数y=﹣ 的图象上的有：（1，﹣2），（2，﹣1），
6
22)1(+n 0132
3
21=+-?
+-1)1)(1()1()1(112)1(22222--=-++?+-=-++?+--x x
x x x x x x x x x x x x x x
∴点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的概率为：
22.（本小题10分）解：（1）105÷35%=300（人），答：一共调查了300名同学，（2）n=300×30%=90（人），m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．
故答案为：60，90；
（3） ×360° =72°．
答：扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是72度．
23.（本小题10分）解：
（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%， x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，
由题意得：t+4t+3（100-3t）=200
解得：t=25．
答：t的值是25．
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
由题意得：y=t+4t+3（100-3t）=﹣4t+300（10≤t≤30），
∵k=﹣4＜0， ∴y随t的增大而减小．
当t=10时，y的最大值为300﹣4×10=260（个），
当t=30时，y的最小值为300﹣4×30=180（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．
24.（本小题10分）证明：
（1） ∵EC∥AB，∴∠EDA=∠DAB，
∵∠EDA=∠ABF，∴∠DAB=∠ABF，∴AD∥BC，
∵DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED， ∴ =
∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA， ∴ =
∴ = ∴OA2=OE?OF．
25.(本题12分)（1）结论：BC与⊙O相切．
证明：如图连接OD．
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，
∵AC⊥BC，∴OD⊥BC．∴BC是⊙O的切线．
（2） ∵BC是⊙O切线，∴∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODE=90°，
∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∴∠BDE=∠DAB，
∵∠B=∠B，∴△ABD∽△DBE．
（3）在Rt△ODB中，∵cosB==，设BD=2 k，OB=3k，∵OD2+BD2=OB2，∴4+8k2=9k2，∴k=2，∴BO=6，BD=4，
∵DO∥AC，∴=，∴=，∴CD=．
26.(本题12分)解：（1）令y=0代入y=x+4，∴x=﹣3，A（﹣3，0），
令x=0，代入y=x+4，∴y=4，∴C（0，4），
设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），
把C（0，4）代入上式得，a=﹣，∴y=﹣x2﹣x+4，
（2）如图①，设点M（a，﹣a2﹣a+4），其中﹣3＜a＜0 ∵B（1，0），C（0，4），∴OB=1，OC=4
∴S△BOC=OB?OC=2，
过点M作MD⊥x轴于点D，
∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，
∴S四边形MAOC=AD?MD+（MD+OC）?OD
=AD?MD+OD?MD+OD?OC
=+
=+
=×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a）
=﹣2a2﹣6a+6
∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC
=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2
=﹣2a2﹣6a+4
=﹣2（a+）2+
∴当a=﹣时，S有最大值，最大值为，此时，M（﹣，5）；
（3）如图②，由题意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0），∴AB′=2设直线A′C的解析式为：y=kx+b，把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，
得：，∴∴y=﹣x+4，
令x=代入y=﹣x+4，∴y=2，∴
由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=
设P（m，0），当m＜3时，此时点P在A′的左边，
∴∠DA′P=∠CAB′，
当=时，△DA′P∽△CAB′，此时， =（3﹣m），
解得：m=2，∴P（2，0）
当=时，△DA′P∽△B′AC，此时， =（3﹣m）
m=﹣，∴P（﹣，0）
当m＞3时，此时，点P在A′右边，由于∠CB′O≠∠DA′E，
∴∠AB′C≠∠DA′P，∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，
综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．