利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

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三重积分在柱面及球坐标系下的计算

= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考：思考：是否可考虑用切片法来求解？

例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.

柱面坐标系和球面坐标系求三重积分

z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习试用三种坐标系算分三别重计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算

2.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

规定: 规定: 0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )

利用柱面坐标计算三重积分精编版

cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz

2
d

4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
0
0

2
4 0
sin
3

1 5
(
a5 cos5

0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
规定： 0 r , 0 , 0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数为常数
球面；圆锥面；半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r M(x, y,z)

点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
用哪种坐标？柱面坐标 1
锥面化为: r = z
上顶： z = 1
下底： z r
Dxy: r 1
Dxy
0
....
x
1y
11
I

D
rdrdθ
r
r2

dz 1
2π
1r
1
0 dθ 0 r 2 1 dr r dz
2π
1 1 r
0
( 1

r
2
1)dr

(ln2 2 )
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数r，，来确定，其中r 为原点 O 与点 M 间的距离，为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角，为从正 z 轴来看自 x 轴按

柱坐标、球坐标下的三重积分

解：由图知：直角系：
D
y
x
2
4 x2
6x2 y2
I dx
dy
f (x, y, z)dz
2
4x2
x2 y2
柱标系： I
2
d
2
rdr
6r 2
f (r cos , r sin , z)dz
0
0
r
杂例
在三种坐标系下化三重积分 f (x, y, z)dv为三次积分，
z
其中：z 6 x2 y2, z x2 y2 z 6 x2 y2 6
四、柱坐标、球坐标下的三重积分
1. 柱坐标：(θ,r,z)
zz
变换为：x r cos , y r sin , z z
即：(x, y, z) (r cos , r sin , z),其中：
0 r ,0 2 ,| J || (x, y, z) | r ( , r, z)
x
注：柱坐标— 极坐标平面竖起一根Z轴。x
上顶： z 1 x2 y2
下底： z = 0
z
Dxy: x 2 y 2 1
x y
I dxdy
zdz
Dxy
用哪种坐标？柱面坐标 .
.
2π
1
1r 2
I = 0 dθ 0 rdr0 zdz
Dxy 0
1
4
x
z0
1y
注：用柱坐标求 fdv分成两个步骤：
第一步：先一后二，对z积分后将二重积分化为极坐标下的二重积分；
元素区域由六个坐标面围成：
半平面及+d ;
半径为r及 r+dr的园柱面；
平面 z及 z+dz；
dz

利用柱面坐标计算三重积分

`z
z
j r
zdv

dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv

a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq

2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、柱面坐标系的坐标面直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的三重积分

，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲

面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2．于是
zdxdydz zrdrdqdz

2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2

3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应，其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标．三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z

谈谈三重积分的定限方法

谈谈三重积分的定限方法计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算，而这里的一个关键问题是如何根据积分区域Ω来定限，下面分别介绍一下利用直角坐标，柱面坐标，球面坐标计算三重积分时如何定限的方法。

一、利用直角坐标计算三重积分时如何定限？教材中将积分区域Ω表示为:}),()(:),(),,(),(),,{(2121b x a x y x y x y x z y x z y x yy D zz xy ≤≤≤≤∈≤≤=Ω(1)从而将三重积分化为三次积分为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=D z z dz z y x f dxdy dv z y x f xyy x y x ),(),(21),,(),,(=dz y y z z z y x f dy dx x x y x y x ba ⎰⎰⎰)()(),(),(2121),,(这个公式也称为“先一后二”积分公式。

（上述公式是将Ω向xoy 平面投影得到的，将Ω向其他坐标平面投影可得到类似的公式）当积分区域的几何形体较简单时，容易写出Ω的集合表达式（1），但积分的区域的立方图形通常难以画出,因此确定Ω的集合表达式（1）较困难。

为了解决这个困难。

下面介绍一个所谓“求围定顶”的定限法：称（1）式中),(1y x z ，),(2y x z 分别为区域Ω的下顶和上顶，以D xy 的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的柱面，位于下顶和上顶之间的部分称为Ω的“围墙”，Dxy的边界曲线称为“围线”，（它是投影柱面与xoy 平面的交线），下面分三种情况来介绍“求围定顶”的定限法。

1.设Ω由曲面),(y x h z =与),(y x g z =围成，不出现“围墙”，此时两曲面的交线在xoy 平面上的投影即为“围线”。

例 1.化三重积分⎰⎰⎰Ωυd z y x f ),,(为三次积分，其中Ω为由曲面2222,2x z y x z -=+=围成的闭区域例：“求围” 由方程组{22222xz y x z -=+=消去z 得两曲面交线在xoy 平面上的投影，即“围线”：122=+y x ，因此1:22≤+y x D xy ，即 .11,11:22≤≤--≤≤--x x y x D xy“定顶” 在Dxy内任取一点代入两曲面方程),(y x h z =，),(y x g z =得到两个z 的值，大者为上顶，小者为下顶。

柱面坐标系

π 0≤≤ , 4
0 ≤ θ ≤ 2π ,
zdv = ∫ dθ ∫ 4 d ∫ r cos r 2 sin dr ∫∫∫ 0 0 0
2a
2π
π
= 2π ∫
=
π
π
2
4 0
4
1 2a sin cos d |0 4
a
例 4 计算 ∫∫∫ x + y + z dv , 其中由 x + y + z = z
:r ≤ z ≤ a, 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π ,
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r 2 dz 0 0 r
2 2
2π
a
a
a a π 5 = 2π ∫0 r (a r )dr= 2π [a ] = a . 4 5 10
a
4
5
3
补充：利用对称性化简三重积分计算
( x 2 + y 2 + z 2 )dv ∫∫∫
在球面坐标系下为
0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 2.
∴ I = ∫0 dθ ∫0 d ∫0 r r sin dr
2 2 2
2π
π
= 2π ∫0 sin d ∫0 r dr
2 4
π
16 = 2π . 5
五、小结
使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：积分区域关于坐标面的对称性；１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．的奇偶性．
一般地，平面对称，一般地，当积分区域关于xoy平面对称，的奇函数，且被积函数 f (x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分为零，重积分为零，若被积函数 f (x, y, z)是关于 z的偶函数，上方的半个闭偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍. 区域的三重积分的两倍.

利用柱面坐标和球面坐标

o

y
为常数半平
面．
x
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,

y

r
sin

sin
,
z r cos .
z
r M(x,y,z)
z
o
x
A

y
x

P
y
如图，球面坐标系中的体积元素为
d vr2sin dd r d,
z
dr
d
rsin
r

rsin d
例3 计算三重积分 (x2y2)dv, 其中是由曲

面 z x2y2与平 zH 面 (H0)所围成
z
解将向 xoy 面投影，得
D: x2y2H2
HH
或
D:
0 2,
0rH.
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
rzH .
o(r,)
r sin cos , r sin sin , r cos.
02d0 co2ssinr551 0d d vr2sin drd d
1 50 2 d0 co 2sin d
1 50 2d0 co 2s d(co ) s
例4 用球面坐标计算 z2dv . 其中
z

: x2y2z21.
解画图。
o
y
确定 r，，的上下限。 x
(1) 将向 xoy 面投影，得
0 2 .
(2) 任取一 [0,2],过 z 轴作半平面，得
0.
(3) 在半平面上，任取一 [0,], 过原点作
rd
d

柱面坐标系.

I 0 d 0 d 0 r r sin dr
2 2
2

2
2 0 sin d 0 r dr
4

2
16 2 . 5
五、小结
三重积分换元法
柱面坐标球面坐标
（1）柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
（2）球面坐标的体积元素
dxdydz r sin drdd
则 OA x , AP y, PM z .
A
r

M ( x, y, z )
z
o

球面坐标与直角坐标的关系为
x
y
P

y
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
四利用球面坐标计算三重积分
z
球面坐标系中的体积元素为
2

2

4 0
4
1 2a sin cos d |0 4
2
a
由x y z z 例 4 计算 x y z dv , 其中
2 2 2
2 2 2

2 2 2 x y z 2 z 所围空间闭区域．和为0 2 ,0 , cos r 2 cos ．解 2
I ( x y )dxdydz d rdr r 2 dz 0 0 r
2 2
2
a
a
a a 5 2 0 r (a r )dr 2 [a ] a . 4 5 10
a
4 5

3
补充：利用对称性化简三重积分计算

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2
D2 : x2 y 2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
3.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分
三、小结
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面；平面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系中的体积元素为
x2 y2 z2，与平面z a (a 0) 所围的立体.
解: 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点
M 可用三个有次序的数r，，来确 z
定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离，
r • M(x, y,z)
解法（一）
在球面坐标下分成两个部分：
V1
:
0
2
,0
4
,0
r
2;
V2
:0
2 ,
4
2
,0
r
cos sin2
;
解法（二）(类似于例1) 在柱面坐标下：
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
2
1
I d rdr
2r2 z2 2r(cos sin )z r2 (1 sin 2 ) dz
球面；圆锥面；半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r
• M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
o
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中是锥面
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
例２计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中
是曲线 y2 2z ，x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8 所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
4
0 2,
由三重积分的性质知 V dxdydz,
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sin
(
2a )3 d
4 (
2 1)a3 .
0
3
3
例 5 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物
面 z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭区域.
dv rdrddz,
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
例1 计算I zdxdydz，其中是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x
sin
,
z z
为有向线段OM与 z轴正向所夹的角， o
z
为从正 z 轴来看自x 轴按逆时针方向
转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M
x
A
xy
•
P
y
在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，，
就叫做点M 的球面坐标．
规定： 0 r , 0 , 0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数为常数
0
0
r2
(90 2 89). 60
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．
一般地，当积分区域关于 xoy平面对称，且被积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z的偶函数，则三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.
例 6 利用对称性简化计算
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围成的立体体积.
解由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,