柱面坐标和球面坐标计算定积分

.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dx x f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y vdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

§9.５ 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分，由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。

一、利用柱面坐标计算三重积分１、柱面坐标设M x y z (,,)为空间的一点,该点在xoy 面上的投影为P ,P 点的极坐标为r ,θ,则r z ,,θ三个数称作点M 的柱面坐标。

规定r z ,,θ的取值范围是0≤<+∞r ，02≤≤θπ，-∞<<+∞z柱面坐标系的三组坐标面分别为r =常数,即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数,即过z 轴的半平面;z =常数,即与xoy 面平行的平面。

点M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式x r y r z z ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪cos sin θθ (1) ２、三重积分f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面r=常数，θ=常数,z =常数,将Ω分割成许多小区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。

考察由r z ,,θ各取得微小增量dr d dz ,,θ所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd θ,高为dz 的柱体,其体积为dv rdrd dz =θ这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到（１)式有f x y z dv f r r z rdrd dz (,,)(cos ,sin ,)ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθ(２)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。

(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量z r ,,θ的三次积分,其积分限要由z r ,,θ在Ω中的变化情况来确定。

3、用柱面坐标r z ,,θ表示积分区域Ω的方法(1)、找出Ω在xoy 面上的投影区域D xy , 并用极坐标变量r ,θ表示之;(2)、在D xy 内任取一点(,)r θ, 过此点作平行于z 轴的直线穿过区域, 此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成r ,θ的函数)即为z 的变化范围。

圆柱坐标系积分公式圆柱坐标系是空间中常见的一种坐标系，它由径向(r)、极角($\\theta$)和高度(z)三个参数组成。

在数学和物理学中，对于一些涉及到圆柱坐标系的问题，我们经常需要进行积分运算。

而圆柱坐标系积分公式就是用于在圆柱坐标系中计算各种函数的积分的重要工具。

一、积分的基本概念在数学中，积分是基于求和的概念发展而来的。

对于一个函数f(x)在区间[a,b]上的积分，可以理解为将这个区间等分成无穷个小区间，然后求出每个小区间上函数值与小区间长度的乘积再求和。

积分的符号表示为$\\int$，即$\\int_a^b f(x)\\,dx$。

在圆柱坐标系中的积分，将会用到径向(r)、极角($\\theta$)和高度(z)三个坐标参数。

二、坐标系转换公式在进行圆柱坐标系中的积分运算之前，首先需要了解圆柱坐标系与直角坐标系之间的转换公式。

以下是常用的坐标系转换公式：1.空间点(x,y,z)到圆柱坐标系$(r, \\theta, z)$的转换公式：$x = r\\cos\\theta$$y = r\\sin\\theta$z=z2.单位体积元dV在圆柱坐标系中的表示：$dV = r \\,dr \\,d\\theta \\,dz$三、积分公式的推导圆柱坐标系下的积分公式的推导过程是基于坐标系转换公式的。

对于一般的三重积分，其公式形式如下：$\\iiint f(x, y, z) \\,dV = \\int_a^b\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\int_c^df(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z) \\,r \\,dr \\,d\\theta \\,dz$这里$f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z)$表示函数f在圆柱坐标系下的表示形式。

四、常见的圆柱坐标系积分公式在实际的计算中，经常会遇到一些具体的函数形式，下面是一些常见的圆柱坐标系积分公式：1.线积分公式：$\\int_C f(x, y, z) \\,ds = \\int_{\\alpha}^{\\beta} f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z) \\sqrt{(r\\sin\\theta)^2 + (r\\cos\\theta)^2 +\\left(\\frac{dz}{d\\theta}\\right)^2} \\,d\\theta$2.曲面积分公式：$\\iint_S f(x, y, z) \\,dS = \\int_c^d\\int_{\\alpha}^{\\beta} f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z) \\sqrt{\\left(\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(r, \\theta)}\\right)^2 + \\left(\\frac{\\partial(y, z)}{\\partial(r, \\theta)}\\right)^2 + \\left(\\frac{\\partial(z, x)}{\\partial(r,\\theta)}\\right)^2} \\,r \\,dr \\,d\\theta$3.体积分公式：$\\iiint_V f(x, y, z) \\,dV =\\int_c^d\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\int_a^b f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z) \\,r \\,dr \\,d\\theta \\,dz$其中，V表示一个空间区域。

95利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分§9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。

一、利用柱面坐标计算三重积分1、柱面坐标设«Skip Record If...»为空间的一点,该点在«Skip Record If...»面上的投影为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»点的极坐标为«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»三个数称作点«Skip Record If...»的柱面坐标。

规定«Skip Record If...»的取值范围是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»柱面坐标系的三组坐标面分别为«Skip Record If...»,即以«Skip Record If...»轴为轴的圆柱面；«Skip Record If...»,即过«Skip Record If...»轴的半平面；«Skip Record If...»,即与«Skip Record If...»面平行的平面。

点«Skip Record If...»的直角坐标与柱面坐标之间有关系式«Skip Record If...»(1)2、三重积分«Skip Record If...»在柱面坐标系中的计算公式«Skip Record If...»用三组坐标面«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,将«Skip Record If...»分割成许多小区域,除了含«Skip Record If...»的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。

高等数学公式基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x =-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰ （17）2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sinxarc C a=+（19）ln(x C =++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。

注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。

考研数学公式完整版高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec seccscsinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxC ctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdxC x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ三角函数的有理式积分： 222212211cos 12sin udu dx x tg u uu x uu x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R CcBb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。