考研数学：高数重要公式总结(柱面坐标和球面坐标)

专升本高数公式大全1.二次函数的图像方程：f(x)=a(x-h)²+k2.平面直角坐标方程：Ax+By+C=03.二次曲线方程：Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 04.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²5.椭圆的标准方程：(x-a)²/b²+(y-b)²/a²=16.双曲线的标准方程：(x-a)²/b²-(y-b)²/a²=17.抛物线的标准方程：(x-a)²=4p(y-b)8.三角函数的正余弦和差公式：(1) sin(A ± B)= sinAcosB ± cosAsinB(2) cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB(3) tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)9.三角函数的倍角公式：(1) sin2A = 2sinAcosA(2) cos2A = cos²A - sin²A(3) tan2A = (2tanA) / (1 - tan²A)10.三角函数的半角公式：(1) sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2](2) c os(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2](3) tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]注：±的选取根据A的象限确定。

11.三角方程的化简公式：(1) sin²x + cos²x = 1(2) 1 + tan²x = sec²x(3) 1 + cot²x = csc²x12.导数的基本公式：(1) (cf(x))' = cf'(x)(2)(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(3)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(4)(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²(5)(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)(6)(f(x)⋅g(x)⋅h(x))'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'( x)13.微分的基本公式：(1) dy = f'(x)dx(2) dy = dx/g'(y)(3) dy = p(x)dx + q(x)dx² + r(x)f'(x)14.积分的基本公式：(1) ∫cf(x)dx = c∫f(x)dx(2) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx(3) ∫f'(x)dx = f(x) + C(4) ∫f'(g(x))g'(x)dx = f(g(x)) + C15.牛顿-莱布尼兹公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)注：其中F(x)为f(x)的一个原函数。

柱面坐标变换和球面坐标变换
在数学和物理学中，柱面坐标和球面坐标是描述空间中点位置的两种不同坐标系。

通过对这两种坐标系进行变换，可以在不同问题中更好地描述和分析相关的物理现象。

柱面坐标变换
柱面坐标通常用于描述平面内的点位置，其坐标形式为(r, θ, z)，其中r是点到z轴的距离，θ是与x轴的夹角，z是点在z轴上的投影位置。

柱面坐标与直角坐标系之间的变换关系如下：
假设直角坐标系中的点为(x, y, z)，柱面坐标系中的点为(r, θ, z)，则有以下变换关系：
r = √(x^2 + y^2)
θ = arctan(y/x)
z = z
柱面坐标变换在解决某些旋转对称问题时非常有用，比如圆柱体或圆锥体的体积计算和空间内的电场分布等问题。

球面坐标变换
球面坐标通常用于描述空间中的点位置，其坐标形式为(r, θ, φ)，其中r是点到原点的距离，θ是与x轴的夹角，φ是与z轴的夹角。

球面坐标与直角坐标系之间的变换关系如下：
假设直角坐标系中的点为(x, y, z)，球面坐标系中的点为(r, θ, φ)，则有以下变换关系：
r = √(x^2 + y^2 + z^2)
θ = arctan(y/x)
φ = arccos(z/r)
球面坐标变换在处理一些涉及球形对称性问题时非常有用，比如天文学中的行星运动和化学中的原子排列等问题。

综上所述，柱面坐标变换和球面坐标变换是描述空间中点位置的两种重要坐标系，它们在解决不同问题中起着关键作用。

通过深入理解两种坐标系之间的变换关系，我们可以更好地解释和分析物理现象，并在应用中更加灵活地使用不同的坐标系来描述问题。

柱面坐标变换和球面坐标变换一样吗在数学和物理学领域，柱面坐标和球面坐标是常用的坐标系，它们在描述空间中的点和矢量时发挥着重要的作用。

虽然柱面坐标和球面坐标都是三维空间中的坐标系统，但它们之间存在一些显著的不同之处。

柱面坐标变换柱面坐标系是一个应用广泛的坐标系，其中一个点的位置由径向距离、极角和高度组成。

在柱面坐标系中，点的坐标表示为$(r, \\theta, z)$，其中r是点到z轴的距离，$\\theta$是与x轴的夹角，z是点到xy平面的距离。

柱面坐标系到直角坐标系的变换公式如下：$$ \\begin{aligned} x & = r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y & = r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z & = z \\end{aligned} $$球面坐标变换球面坐标系是另一种常用的坐标系，其中一个点的位置由半径、极角和方位角组成。

在球面坐标系中，点的坐标表示为$(\\rho, \\phi, \\theta)$，其中$\\rho$是点到原点的距离，$\\phi$是点到z轴的夹角，$\\theta$是与x轴的夹角。

球面坐标系到直角坐标系的变换公式如下：$$ \\begin{aligned} x & = \\rho \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y & = \\rho \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z & = \\rho \\cdot\\cos(\\phi) \\end{aligned} $$比较与总结尽管柱面坐标和球面坐标都用于描述三维空间中的点，但它们之间有一些显著的不同。

柱面坐标主要用于旋转对称的问题，球面坐标则适用于球对称的问题。

在坐标变换公式中，柱面坐标的r是一个平面距离，而球面坐标的$\\rho$是一个空间距离。

解析几何中的球面坐标与球面坐标方程球面坐标是解析几何中的一种常见的坐标系，用于描述三维空间中的球面曲线。

球面坐标系由径向距离、两个角度和一个方位角组成，可以通过球面坐标方程来表示。

本文将详细介绍球面坐标的定义、转换公式以及常见的球面坐标方程。

一、球面坐标的定义在球面坐标系中，点的位置由径向距离r、仰角θ和方位角ϕ确定。

其中，径向距离r表示点到球心的距离，仰角θ表示点与正半轴的夹角，方位角ϕ表示点在平面上的方位角度数。

球面坐标可以用三维数学向量来表示，记作(r,θ,ϕ)。

二、球面坐标的转换公式1. 球面坐标与直角坐标的转换公式将球面坐标(r,θ,ϕ)转换为直角坐标(x,y,z)的公式如下：x = r * sinθ * cosϕy = r * sinθ * sinϕz = r * cosθ将直角坐标(x,y,z)转换为球面坐标(r,θ,ϕ)的公式如下：r = √(x² + y² + z²)θ = arccos(z / √(x² + y² + z²))ϕ = arctan(y / x)2. 球面坐标与柱面坐标的转换公式将球面坐标(r,θ,ϕ)转换为柱面坐标(r,ϕ,z)的公式如下：z = r * cosθ将柱面坐标(r,ϕ,z)转换为球面坐标(r,θ,ϕ)的公式如下：r = √(z² + r²)θ = arctan(r / z)ϕ = ϕ三、球面坐标方程的表示球面坐标方程是通过给定的径向距离r、仰角θ和方位角ϕ来描述球面上的点的方程。

球面坐标方程的形式是r=f(θ,ϕ)，其中f是一个函数。

常见的球面坐标方程有以下几种：1. 简单球面坐标方程当θ和ϕ的取值范围确定时，球面坐标方程可以简化为一个具体的表达式。

例如，单位球面的球心位于原点，半径为1，其坐标方程为r=1，表示球面上所有点的径向距离均为1.2. 球面方程球面方程是一种常见的球面坐标方程形式，表示为r²=a²+b²+c²，其中a、b、c为常数。

目录一．高等数学公式1导数公式 12.基本积分表 13..三角函数的有理式积分 14.一些初等函数. 25.两个重要极限 26.三角函数公式： 27.高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： 38. 中值定理与导数应用： 39.曲率 3910.定积分的近似计算 411.定积分应用相关公式 412.空间解析几何和向量代数 413.多元函数微分法及应用514.微分法在几何上的应用： 615.方向导数与梯度 616.多元函数的极值及其求法 617.重积分及其应用 718.柱面坐标和球面坐标 719.曲线积分 720.曲面积分 821.高斯公式 922.斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系 923.常数项级数 924.级数审敛法 3225.绝对收敛与条件收敛 1026.幂级数 1027.函数展开成幂级数 1128.一些函数展开成幂级数 1130.三角级数 1231.傅立叶级数 1232微分方程的相关概念. 132二.概率公式整理1.随机事件及其概率 142.概率的定义及其计算 143.条件概率 154随机变量及其分布 155.离散型随机变量 156.连续性随机变量 167.多维性随机变量及其分布 178.连续型二维随机变量 179.二维随机变量的条件分布 1810.随机变量的数字特征 18三.线性代数部分1.基本运算 202.有关乘法的基本运算 213.可逆矩阵的性质 224.伴随矩阵的基本性质 235.伴随矩阵的其他性质 236.线性表示 247.线性相关 248.各性质的逆否形式 259.极大无关组 2610.矩阵的秩的简单性质 2611.矩阵在运算中秩的变化 2712.解的性质 2713.解的情况判断 2814.特征值特征向量 2915.特征值的性质 2916.特征值的应用 2917.正定二次型与正定矩阵性质与判别 3018.基本概念 3120.范德蒙行列式 3221.乘机矩阵的列向量与行向量 3322.初等矩阵及其在乘法中的作用 3423.乘法的分块法则 3424矩阵方程与可逆矩阵 3525可逆矩阵及其逆矩阵 3526.伴随矩阵 3527.线性表示 3528.线性相交性 3629..极大无关组和秩 3630.有相同线性关系的向量组 3631.矩阵的秩 3732.方程组的表达形式 3833.基础解系和通解 3834.通解 3835.特征向量与特征值 3936.特征向量与特征值计算 3937.n阶段矩阵的相似关系 3938.n阶段矩阵的对用化 3939判别法则 4040.二次型(实二次型) 4041.可逆线性变量替换 4142.实对称矩阵的合同 4143.二次型的标准化和规范化 4144.正二次型与正定矩阵 42附录一内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化1.向量的内积 452.正交矩阵 463.施密特正交化方法 474.实对称矩阵的对角化 47附录二向量空间1.n维向量空间及其子空间 492.基,维数,坐标 493.过渡矩阵,坐标变化公式 504.规范正交积..................................................................... .. (51)一．高等数学公式1.导数公式：2.基本积分表：3.三角函数的有理式积分：4.一些初等函数：5. 两个重要极限：6.三角函数公式：·诱导公式：函数sin cos tg ctg角A-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α -sinα-cosαtgαctgα270°-α -cosα-sinαctgαtgα270°+α -cosαsinα-ctgα-tgα360°-α -sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：·余弦定理：·反三角函数性质：7.高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：8.中值定理与导数应用：9.曲率：10.定积分的近似计算：11.定积分应用相关公式：12.空间解析几何和向量代数：13.多元函数微分法及应用14.微分法在几何上的应用：15.方向导数与梯度：16.多元函数的极值及其求法：17.重积分及其应用：18.柱面坐标和球面坐标：19.曲线积分：20.：曲面积分:21.高斯公式：22.斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：23.常数项级数：24.级数审敛法：25.绝对收敛与条件收敛：26.幂级数：27.函数展开成幂级数：28.一些函数展开成幂级数：29.欧拉公式：30.三角级数：31.傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：32.微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程二.概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：反演律：2．概率的定义及其计算若对任意两个事件A, B, 有加法公式：对任意两个事件A, B, 有3．条件概率乘法公式全概率公式Bayes公式4．随机变量及其分布分布函数计算5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布(2) 二项分布若P ( A ) = p*Possion定理有(3) Poisson 分布6．连续型随机变量(1) 均匀分布(2) 指数分布(3) 正态分布N ( , 2 )*N (0,1) —标准正态分布7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )(2)二维正态分布9.二维随机变量的条件分布10.随机变量的数字特征数学期望随机变量函数的数学期望X 的k阶原点矩X 的k阶绝对原点矩X 的k阶中心矩X 的方差X ,Y 的k + l阶混合原点矩X ,Y 的k + l阶混合中心矩X ,Y 的二阶混合原点矩X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差X ,Y 的相关系数X 的方差D (X ) =E ((X - E(X))2)协方差相关系数三.线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。

考研数学高数重要公式总结高等数学是考研数学中的重要科目之一，公式的掌握对于解题非常重要。

下面是高等数学中一些重要的公式总结：1.导数公式：(1)基本公式：若y=f(x)是可导函数，则有：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h(2)常见函数的导数：（仅列举部分）常数函数k'(x)=0幂函数x^n的导数[nx^(n-1)]指数函数a^x的导数[a^x×ln⁡(a)]对数函数log⁡(a)x的导数[1/x×ln(a)](3)导数运算公式：[cf(x)]'=cf'(x)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)[f(x)×g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(g(x))]'=f'[g(x)]×g'(x)2.泰勒公式：设在x=a处进行n阶导数的计算，则：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!×f''(a)+⋯+(x-a)^n/n!×f^(n)(a)3.不定积分公式：(1)基本公式：∫f'(x)dx=f(x)+C(2)常见函数的不定积分：（仅列举部分）∫c dx=cx+C∫x^(n)dx=x^(n+1)/(n+1)+C (n≠-1)∫a^xdx=a^x/ln⁡(a)+C∫du/u=ln⁡，u，+C(3)积分运算公式：∫[cf(x)+g(x)]dx=c∫f(x)dx+∫g(x)dx∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C4.定积分公式：(1)基本公式：∫[a, b]f(x)dx=F(b)-F(a)(2)常见函数的定积分：（仅列举部分）∫[a, b]dx=b-a∫[a, b]x^(n)dx=(b^(n+1)-a^(n+1))/(n+1) (n≠-1)∫[a, b]e^xdx=e^b-e^a∫[a, b]sinθdθ=-cosθ，^b_a(3)积分运算公式：∫[a, b][cf(x)+g(x)]dx=c∫[a, b]f(x)dx+∫[a, b]g(x)dx∫[a, b]f(g(x))g'(x)dx=∫[g(a), g(b)]f(u)du (令u=g(x))以上仅是高等数学中的一部分重要公式总结，实际上还有许多其他公式和定理。

考研必备高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin udu dx x tgu uu x uu x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx xtgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aCx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec cscsinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxC ctgx x xdx Ctgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln secsin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cossin22222222222222222222220ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sincostg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinαctgαtgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα-cosα -tgα-ctg α 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos 2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos2cos 12sin-=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nu v uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

【基础公式】
1、一元二次方程基础（ax2+bx+c=0）
2、立方差公式
3、经典不等式
4、三角函数
正弦定理：
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。

则有：
一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。

余弦定理：
】
【等价无穷小（等价替换）
【极限公式】
【求导公式】1、基本求导公式
2、n阶导数
【泰勒公式】
任何可导函数f(x)一定可以写成幂函数叠加∑a n x n的形式。

1麦克劳林公式
2 六个重要的幂级数展开式
3常用泰勒公式
【积分公式】幂函数
指数函数
三角函数
其他函数
【附录：希腊字母】Α α：阿尔法Alpha
Β β：贝塔Beta
Γ γ：伽玛Gamma
Δ δ：德尔塔Delte
Ε ε：艾普西龙Epsilon Ζ ζ：捷塔Zeta
Ε η：依塔Eta
Θ θ：西塔Theta
Ι ι：艾欧塔Iota
Κ κ：喀帕Kappa
∧ λ：兰布达Lambda
Μ μ：缪Mu
Ν ν：拗Nu
Ξ ξ：克西Xi
Ο ο：欧麦克轮Omicron ∏ π：派Pi
Ρ ρ：柔Rho
∑ σ：西格玛Sigma
Τ τ：套Tau
Υ υ：宇普西龙Upsilon Φ φ：fai Phi
Χ χ：器Chi
Ψ ψ：普赛Psi
Ω ω：欧米伽Omega。

考研数学常见曲面方程考研数学中常见的曲面方程有以下几类：1. 二次曲面方程：- 平面：Ax + By + Cz + D = 0- 球面：(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²- 椭球面：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1 - 马鞍面：x² / a² - y² / b² + z / c = 0- 抛物面：z = ax² + by² + c- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c2. 旋转曲面方程：- 圆锥面：z² = x² + y²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c- 双曲双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 13. 参数方程：- 椭圆柱面：x = a cosθ, y = b sinθ, z = ct- 双曲柱面：x = a secθ, y = b tanθ, z = ct4. 其他方程：- 圆环面：(x - a)² + y² = r²- 双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1- 椭圆抛物面：z = ax² + by²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z- 零亏格曲面：x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0这些是考研数学中常见的曲面方程，但也可能会出现其他不太常见的曲面方程题目。

考研高等数学知识点总结高等数学知识点总结导数公式：导数公式是高等数学中的重要内容，其中一些常见的导数公式包括：frac{d(\tan x)}{dx}=\sec x$frac{d(\cot x)}{dx}=-\csc x$frac{d(\sec x)}{dx}=\sec x\tan x$frac{d(\csc x)}{dx}=-\csc x\cot x$frac{d(ax)}{dx}=ax\ln a$frac{d(\log_a x)}{dx}=\frac{1}{x\ln a}$frac{d(\arcsin x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$frac{d(\arccos x)}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$frac{d(\arctan x)}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$frac{d(\text{arccot} x)}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$基本积分表：基本积分表是高等数学中的重要内容，其中一些常见的积分公式包括：int \tan x dx=-\ln|\cos x|+C$int \cot x dx=\ln|\sin x|+C$int \sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$int \csc x dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$int\frac{dx}{x\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}} {a}|+C$int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$int \frac{dx}{a+x}=\ln|a+x|+C$int \sin^2 x dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin 2x)+C$int \cos^2 x dx=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x)+C$int \sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$int \csc x dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$一些初等函数：初等函数包括指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

柱面坐标和球面坐标转换一、介绍在数学和物理学中，坐标系是描述空间中点位置的重要工具。

柱面坐标和球面坐标是常见的描述点位置的坐标系。

本文将介绍柱面坐标和球面坐标之间的转换关系及其应用。

二、柱面坐标系柱面坐标系是三维笛卡尔坐标系的一种替代表示方法。

柱面坐标系由径向距离r、极角$\\theta$和z坐标组成。

点$(r, \\theta, z)$在柱面坐标系中表示。

柱面坐标系的转换公式如下：$$ x = r \\cos(\\theta) \\\\ y = r \\sin(\\theta) \\\\ z = z $$三、球面坐标系球面坐标系是另一种描述三维空间中点位置的坐标系。

球面坐标系由径向距离r、极角$\\theta$和方位角$\\phi$组成。

点$(r, \\theta, \\phi)$在球面坐标系中表示。

球面坐标系的转换公式如下：$$ x = r \\sin(\\theta) \\cos(\\phi) \\\\ y = r \\sin(\\theta) \\sin(\\phi) \\\\ z = r \\cos(\\theta) $$四、柱面坐标到球面坐标的转换从柱面坐标$(r, \\theta, z)$到球面坐标$(r, \\theta, \\phi)$的转换可以通过以下公式完成：$$ r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\\\ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{\\sqrt{x^2 + y^2}}{z}\\right) \\\\ \\phi = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) $$五、球面坐标到柱面坐标的转换如果要将球面坐标$(r, \\theta, \\phi)$转换为柱面坐标$(r, \\theta, z)$，则可以使用以下公式进行计算：$$ r = r \\sin(\\theta) \\\\ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{r \\cos(\\theta)}{r \\sin(\\theta)}\\right) \\\\ z = r \\cos(\\theta) $$六、应用实例柱面坐标和球面坐标的转换在物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。

柱坐标和球坐标公式
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标是表示空间中点的两种常用坐标系。

这两种坐标系是笛卡尔坐标系的重要扩展，能够更好地描述三维空间中的点的位置。

柱坐标
柱坐标是三维空间中的一种坐标系，通常用来描述点相对于原点的位置。

在柱坐标系中，一个点的位置由径向(r)、极角(θ)和高度(z)三个坐标值来确定。

柱坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ) - z = z
其中，r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面内的极角，z表示点在z轴上的高度。

球坐标
球坐标是另一种常用的三维空间坐标系，用来描述点相对于原点的位置。

球坐标系由径向(r)、极角(θ)和方位角(φ)三个坐标值来确定一个点的位置。

球坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * sin(θ) * cos(φ) - y = r * sin(θ) * sin(φ) - z = r * cos(θ)
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正z轴的倾角，φ表示点在xy平面上的旋转角度。

柱坐标和球坐标的应用
柱坐标和球坐标在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，利用柱坐标和球坐标可以更方便地描述和计算力、电场等的分布情况；在工程学中，柱坐标和球坐标可以简化对结构的分析和设计；在计算机图形学中，通过柱坐标和球坐标可以更加自然地进行三维建模和渲染。

总的来说，柱坐标和球坐标是解决三维空间中点位置描述问题的有力工具，它们为研究人员和工程师提供了更多的选择和便利。

通过深入理解柱坐标和球坐标的原理和转换关系，可以更好地应用它们解决实际问题。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a cotx x x tanx x x x cotx x tanx a x x ln 1) (log ln ) ( csc ) (csc sec ) (sec csc ) ( sec ) ( 2 2 = ' = ' ⋅ - = ' ⋅ = ' - = ' = ' 2 2 2 2 1 1 ) ( 1 1 )( 1 1 ) (arccos 1 1 ) (arcsin x arccotx x arctanx x x x x + - = ' + = ' - - = ' - = ' Cax x a dx C x a xa a x a dx Ca x a x a a x dx Ca x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx + = - + - + = - + + - = - + = + + - = + + = + = + - = ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ⎰⎰ ⎰ arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎰ ⎰ ⎰⎰ ⎰ ⎰⎰ ⎰ ⎰ ⎰+ ± + = ± + = + = + =+ - = ⋅ + = ⋅ + - = = + = = C a x x a x dx Cshx chxdx Cchx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x ) ln( ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ + + - = - + - + - - = - + + + + + = + - = = = - Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ) ln( 2 2 1 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0 2 0 ππ222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式： cossin 2sin sin βαβαβα-+=+βαβαβα±=±sin cos cos sin )sin(x xarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx xx xx x x xx - + = - + ± = + + = + - = = + = - =- - - - 1 1 ln 2 1 ) 1 ln( 1 ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ... 59045 7182818284 . 2 ) 1 1 ( lim 1 sin lim 0 = = + = ∞ → → e x x x x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

【领航考研数学】：考研高等数学公式集锦导数公式：(tgx)'=sec2x(ctgx)'=-csc2x(secx)'=secx⋅tgx(cscx)'=-cscx⋅ctgx(ax)'=axlna1(logax)'=xlna基本积分表： (arcsinx)'=1-x21(arccosx)'=--x21(arctgx)'=1+x21(arcctgx)'=-1+x2⎰tgxdx=-lncosx+C⎰ctgxdx=lnsinx+C⎰secxdx=lnsecx+tgx+C⎰cscxdx=lncscx-ctgx+Cdx1x=arctg+C⎰a2+x2aadx1x-a=ln⎰x2-a22ax+a+Cdx1a+x=⎰a2-x22alna-x+Cdxx=arcsin+C⎰a2-x2aπ2ndx2=sec⎰cos2x⎰xdx=tgx+Cdx2⎰sin2x=⎰cscxdx=-ctgx+C⎰secx⋅tgxdx=secx+C⎰cscx⋅ctgxdx=-cscx+Cax⎰adx=lna+Cx⎰shxdx=chx+C⎰chxdx=shx+C⎰dxx2±a2=ln(x+x2±a2)+Cπ2 In=⎰sinxdx=⎰cosnxdx=00n-1In-2n⎰⎰⎰x2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22x2a2222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22x2a2x222a-xdx=a-x+arcsin+C22a22三角函数的有理式积分：2u1-u2x2dusinx=，cosx=，u=tgdx= 21+u21+u21+u2一些初等函数：两个重要极限：ex-e-x双曲正弦:shx=2ex+e-x双曲余弦:chx=shxex-e-x双曲正切:thx==chxex+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函数公式： ·诱导公式：sinx lim=1x→0 x1lim(1+)x=e=2.718281828459045...x→∞ x·和差角公式： ·和差化积公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβtg(α±β)= tgα±tgβ1 tgα⋅tgβctgα⋅ctgβ 1ctg(α±β)=ctgβ±ctgαsinα+sinβ=2s inα+β22α+βα-βsinα-sinβ=2cossin22α+βα-βcosα+cosβ=2coscos22α+βα-βcosα-cosβ=2sinsin22cosα-β·倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2αctg2α-1ctg2α=2ctgα2tgαtg2α=1-tg2α·半角公式：sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα3tgα-tg3αtg3α=1-3tg2αsintgα2=±=±-cosα+cos cos=±2221-cosα1-cosαsinαα+cosα1+cosαsinα==ctg=±==1+cosαsinα1+cosα21-cosαsinα1-cosαabc===2R ·余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinCα2 ·正弦定理：·反三角函数性质：arcsinx=π2-arccosx arctgx=π2-arcctgx高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv)(n)k(n-k)(k)=∑Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)(n-2)n(n-1) (n-k+1)(n-k)(k)uv''+ +uv+ +uv(n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)f(b)-f(a)f'(ξ)=F(b)-F(a)F'(ξ)曲率：当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

考研高等数学公式和十大考点考研数学常考的十种题型列出如下：一、运用洛必达法则和等价无穷小量求极限问题，直接求极限或给出一个分段函数讨论基连续性及间断点问题。

二、运用导数求最值、极值或证明不等式。

三、微积分中值定理的运用，证明一个关于“存在一个点，使得……成立”的命题或者证明不等式。

四、重积分的计算，包括二重积分和三重积分的计算及其应用。

五、曲线积分和曲面积分的计算。

六、幂级数问题，计算幂级数的和函数，将一个已知函数用间接法展开为幂级数。

七、常微分方程问题。

可分离变量方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等的通解、特解及幂级数解法。

八、解线性方程组，求线性方程组的待定常数等。

九、矩阵的相似对角化，求矩阵的特征值，特征向量，相似矩阵等。

十、概率论与数理统计。

求概率分布或随机变量的分布密度及一些数字特征，参数的点估计和区间估计。

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高等数学公式汇总锐角三角函数定义如右图，当平面上的三点A 、B 、C 的连线，AB 、AC 、BC ，构成一个直角三角形，其中∠ACB 为直角。

对于AB 与AC 的夹角∠BAC 而言：对边（opposite ）a=BC斜边（hypotenuse ）h=AB 邻边（adjacent ）b=AC 基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述 正弦函数 Sine sin a/h ∠A 的对边比斜边 余弦函数 cosine cos b/h ∠A 的邻边比斜边 正切函数 Tangent tan a/b ∠A 的对边比邻边 余切函数 Cotangent cot b/a ∠A 的邻边比对边 正割函数Secant sec h/b ∠A 的斜边比邻边 余割函数 Cosecant csc h/a ∠A 的斜边比对边(注：tan 、cot 曾被写作tg 、ctg ，现已不用这种写法。

)1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式： ::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=第一章 一元函数的极限与连续1、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,1n a >=;1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++2、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。