中考数学三角函数复习试题无答案

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考点跟踪训练43 锐角三角函数A组基础过关练一、选择题1．(2013孝感)式子2ｃos30°－taｎ45°-错误!的值是（）Ａ。

2错误!－2 B. 0C。

2＼r(3) Ｄ。

2２. (2014滨州）在Rt△ＡＣB中，∠C=90°，AB＝10，sinA=＼f(3,５),coｓＡ＝错误!，tanA ＝错误!，则BC的长为( )A. 6 Ｂ。

７。

5Ｃ。

8 D。

12。

5二、填空题3。

(２014温州）如图,在△AＢC中,∠C＝９0°,AC＝２,BC=1，则tanＡ的值是_____＿__. 4。

(2013杭州）在Rt△ＡBC中，∠Ｃ=90°，AB＝2ＢＣ，现给出下列结论：①sinＡ＝错误!;②cｏsB＝12;③tanＡ＝错误!;④tａnB＝错误!,其中正确的结论是_____＿＿_.（只需填上正确结论的序号）5. (2014苏州)如图，在△ABC中,ＡB＝ＡC=5,BC＝8．若∠ＢＰＣ＝错误!∠BAC，则tan∠BPC＝___＿＿＿__．三、解答题６. 计算:（1）(2０1４黔西南)(错误!)-２+（π－２01４）0+sin60°＋｜错误!－2|.(2)(２01４成都)错误!-4siｎ30°+（2０１４－π）0-22.７。

2023年中考数学二轮复习之锐角三角函数一．选择题（共10小题）1．（2022秋•余姚市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值为（ ）A．B．C．D．2．（2022秋•未央区期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（ ）A．100sin28°B．100cos28°C．D．3．（2022秋•兴县期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，点A，B，C都在小正方形的顶点处，则∠BAC的余弦值是（ ）A．B．2C．D．4．（2022秋•临平区期末）sin45°的值是（ ）A．1B．C．D．5．（2022秋•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD ＝8，BD＝4，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．6．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A．+1B．2+2C．2+1D．+4 7．（2022秋•未央区期末）如图，在中Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，下列结论中，正确的是（ ）A．tan B＝B．tan A＝C．sin A＝D．cos B＝8．（2022秋•永春县期末）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的坡角（∠BAC）为30.5°，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC为5米，则自动扶梯AB的长为（ ）A．5tan30.5°米B．5sin30.5°米C．米D．米9．（2022秋•永春县期末）如图，在网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB的正弦值是（ ）A．B．C．D．2 10．（2023•市北区开学）如图，在△ACB中，∠C＝90°，sin B＝，若AC＝6，则BC的长为（ ）A．8B．12C．D．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•遂川县期末）计算：2tan45°＝ ．12．（2023•蕉岭县校级开学）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，∠B＝30°，那么S△ABC 为 ．13．（2022秋•抚州期末）如图，在网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ．14．（2022秋•兴隆县期末）已知：如图，△ABC中，AC＝10，，，则AB ＝ ．15．（2022秋•晋江市期末）如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若垂直高度AB＝15米，则迎水坡AC的长度为 米．16．（2022秋•峄城区期末）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC ＝30°，已知窗户的高度，窗台的高度CF＝1m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8m，则CP 的长度为 （结果精确到0.1m）．17．（2022秋•兴县期末）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是45°和30°，此时无人机距直线BC的垂直距离是200米，则小山两端B，C之间的直线距离是 米（结果保留准确值）．18．（2022秋•遂川县期末）如图，一个斜坡AB长130m，斜坡与水平地面夹角∠ABC的正切值为，坡顶A离水平地面的距离AC为 m．三．解答题（共3小题）19．（2022秋•余姚市期末）消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE为3米．（1）当起重臂AC的长为24米，张角∠CAE＝120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，问该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由．（参考数据：≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度．）20．（2022秋•未央区期末）夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．21．（2022秋•未央区期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，sin C＝．（1）求BC的长．（2）求tan B的值．2023年中考数学二轮复习之锐角三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2022秋•余姚市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值为（ ）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据题意画出图，再根据余弦的定义计算即可．【解答】解：根据题意画出图如图所示：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴．故选：C．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦是解题的关键．2．（2022秋•未央区期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（ ）A．100sin28°B．100cos28°C．D．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】根据三角函数定义进行解答即可．【解答】解：∵滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，∴该同学在竖直方向上下降的高度为100sin28°，故A正确．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数定义，熟练掌握正弦函数的定义，是解题的关键．3．（2022秋•兴县期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，点A，B，C都在小正方形的顶点处，则∠BAC的余弦值是（ ）A．B．2C．D．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】先根据勾股定理求出三角形三边的长，得出∠ACB＝90°，再根据求解．【解答】解：∵，，，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴．故选：D．【点评】本题考查勾股定理和三角函数，解题的关键是证明∠ACB＝90°．4．（2022秋•临平区期末）sin45°的值是（ ）A．1B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【解答】解：由特殊角的三角函数值可知，sin45°＝．故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．5．（2022秋•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD ＝8，BD＝4，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】根据相似三角形的判定和性质可以求得CD的长，然后即可求得tan B的值．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ACD∽△CBD，∴，∵AD＝8，BD＝4，∴，解得CD＝4，∴tan B＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出CD的值．6．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A．+1B．2+2C．2+1D．+4【考点】解直角三角形；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】先在Rt△ABD中，利用60°的余弦和正弦求出AD＝2，BD＝2，再在Rt△ACD中，利用正切的定义求出CD，然后计算BD+CD即可．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，sin∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝4×＝2，BD＝4sin60°＝4×＝2，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键．7．（2022秋•未央区期末）如图，在中Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，下列结论中，正确的是（ ）A．tan B＝B．tan A＝C．sin A＝D．cos B＝【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】首先利用勾股定理求得BC，再根据各三角函数的定义，即可一一判定．【解答】解：∵在中Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴，∴，，，，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握和运用各三角函数的定义是解决本题的关键．8．（2022秋•永春县期末）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的坡角（∠BAC）为30.5°，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC为5米，则自动扶梯AB的长为（ ）A．5tan30.5°米B．5sin30.5°米C．米D．米【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】根据正弦的定义计算，则得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，则AB＝＝米．故选：C．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键．9．（2022秋•永春县期末）如图，在网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB的正弦值是（ ）A．B．C．D．2【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】连接CD，先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC ＝90°，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接CD，由题意得：AC2＝12+32＝10，CD2＝12+12＝2，AD2＝22+22＝8，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，CD＝，AC＝，∴sin∠CAD＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．（2023•市北区开学）如图，在△ACB中，∠C＝90°，sin B＝，若AC＝6，则BC的长为（ ）A．8B．12C．D．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】根据锐角三角函数的边角间关系，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．【解答】解：在Rt△ACB中，sin B＝＝＝0.5，∴AB＝12．∴BC＝＝＝6．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•遂川县期末）计算：2tan45°＝　2　．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】代入45°的正切值计算即可．【解答】解：2tan45°＝2×1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．12．（2023•蕉岭县校级开学）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，∠B＝30°，那么S△ABC 为　7.5　．【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】作AD⊥BC于D，由直角三角形的性质得出AD＝AB＝2.5，由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，如图所示：则∠ADB＝90°，∵∠B＝30°，∴AD＝AB＝2.5，∴S△ABC＝BC×AD＝×6×2.5＝7.5．故答案为：7.5．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．13．（2022秋•抚州期末）如图，在网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是　3　．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】连接格点D，根据勾股定理求出AB、AC的长度，根据等腰三角形的性质，可得，最后根据勾股定理求出AD，再根据正切的定义求解即可．【解答】解：连接格点D，如图所示，∵AB2＝52+52＝50，AC2＝12+72＝50，BD2＝12+22＝5，AD2＝32+62＝45，∴AB＝AC，AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵，∴，根据勾股定理可得：，∴，故答案为：3．【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，求已知角的正切值，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形．14．（2022秋•兴隆县期末）已知：如图，△ABC中，AC＝10，，，则AB ＝　24　．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】过A作AD垂直于BC，交BC于点D，在Rt△ACD中，由AC与sin C的值，利用正弦函数定义求出AD的长，在Rt△ABD中，由AD与sin B的值，利用正弦函数定义即可求出AB的长．【解答】解：作AD⊥BC于D点，如图所示，在Rt△ADC中，AC＝10，sin C＝，∴AD＝AC sin C＝10×＝8，在Rt△ABD中，sin B＝，AD＝8，则AB＝＝＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线AD构建直角三角形、熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．15．（2022秋•晋江市期末）如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若垂直高度AB＝15米，则迎水坡AC的长度为 米．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】直接利用坡度的定义得出，进而利用坡度的定义以及勾股定理得出答案．【解答】解：∵河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，垂直高度AB＝15米，＝，解得BC＝30，则AC＝＝＝（米）．故答案为：．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．16．（2022秋•峄城区期末）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC ＝30°，已知窗户的高度，窗台的高度CF＝1m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8m，则CP 的长度为　4.4m　（结果精确到0.1m）．【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB＝30°，利用锐角三角函数可得AB＝AD×tan∠ADB＝≈0.46m，从而得到BC＝AF+CF﹣AB＝2.54m，即可求解．【解答】解：根据题意得：AD∥CP，∵∠DPC＝30°，∴∠ADB＝30°，∵AD＝0.8m，∴AB＝AD×tan∠ADB＝0.8×≈0.46（m），∵AF＝2m，CF＝1m，∴BC＝AF+CF﹣AB＝2.54m，∴CP＝＝≈4.4（m），即CP的长度为4.4m．故答案为：4.4m．【点评】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．17．（2022秋•兴县期末）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是45°和30°，此时无人机距直线BC的垂直距离是200米，则小山两端B，C之间的直线距离是 米（结果保留准确值）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】先作AD⊥BC于D，分别求出BD和CD，再相加即可．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，则AD＝200米，∵∠EAB＝45°，∠FAC＝30°，∴∠DAB＝45°，∠DAC＝60°，∴BD＝AD⋅tan45°＝200×1＝200（米），（米），∴米，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是读懂题意，构造直角三角形求解．18．（2022秋•遂川县期末）如图，一个斜坡AB长130m，斜坡与水平地面夹角∠ABC的正切值为，坡顶A离水平地面的距离AC为　50　m．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据正切的定义设AC＝5x，BC＝12x，利用勾股定理列方程求出x，从而可得AC．【解答】解：由题意可得：AB＝130，，∴设AC＝5xm，BC＝12xm，∴AC2+BC2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝1302，解得：x＝10或x＝﹣10（舍去），∴AC＝5×10＝50（m），故答案为：50．【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是掌握正切的定义．三．解答题（共3小题）19．（2022秋•余姚市期末）消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE为3米．（1）当起重臂AC的长为24米，张角∠CAE＝120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，问该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由．（参考数据：≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度．）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；（2）先计算当AC长30米且∠CAE＝150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．【解答】解：（1）作AG⊥CF于点G，由题意，得AE⊥BD，CF⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴AE＝FG＝3（米），∠GAE＝90°．∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠GAE＝30°．在Rt△CAG中，，∴（米），∴CF＝CG+GF＝12+3＝15（米）．答：云梯消防梯最高点C距离地面的高度CF为15米（2）当AC＝30米，∠CAE＝150°时，云梯顶端C可以达到最大高度则有GF＝AE＝3米，∠CAG＝∠CAE﹣∠GAE＝60°，在Rt△CAG中，，∴（米），∴（米）＞26（米）．答：该消防车在这栋楼下能实施有效救援．【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，在抽象图中找到直角三角形、熟记锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是本题的解题关键．20．（2022秋•未央区期末）夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．【考点】解直角三角形的应用；轴对称图形．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】（1）根据在Rt△AOD中，，先算出OD的长，再根据AD＝2OD 即可得到答案；（2）过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AHE中，，得，当∠CAE＝140°时和当∠CAE＝90°时，分别求出AH的值，作差即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠CAE＝140°，AC＝AD，AO⊥CD，∴，CD＝2DO，在Rt△AOD中，，即，解得：OD≈1.88m，∴CD＝2OD≈3.76m，答：遮阳宽度CD约为3.76m；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝2.2m，在Rt△AHE中，，∴，当∠CAE＝140°时，∠EAO＝70°，m，当∠CAE＝90°时，∠EAO＝45°，AH＝2.2m，2.2﹣0.8＝1.4m，答：点E下降的高度为1.4m．【点评】本题考查了锐角三角函数，矩形的判定和性质，熟练应用锐角三角函数是解本题的关键．21．（2022秋•未央区期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，sin C＝．（1）求BC的长．（2）求tan B的值．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】（1）过点A作BC边上的垂线，垂足为D．利用三角函数求出AD，根据勾股定理求出CD，BD即可；（2）根据公式直接计算可得．【解答】解：（1）如图，过点A作BC边上的垂线，垂足为D．在Rt△ADC中，，∴．由勾股定理，得，，∴BC＝BD+CD＝14．（2）在Rt△ABD中，．【点评】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟记各三角函数的计算公式是解题的关键．考点卡片1．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．4．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．即sin A＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．即cos A＝∠A的邻边除以斜边＝．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．即tan A＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．5．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．6．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）7．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．9．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．。

三角函数篇1．在学校组织的实践活动中，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量绿博园观光塔的高度．如图，小轩同学先在湖对面的广场A处放置做好的测倾器，测得观光塔的塔尖F的仰角为37°，接下来小轩向前走20m之后到达B处，测得此时观光塔的塔尖F的仰角为45°，已知测倾器的高度为0.8m，点A、B、E在同一直线上，求观光塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414）2．如图，海中有一个小岛A，小岛周围8海里范围内有暗礁，轮船在B点测得小岛A在北偏东45°方向上，轮船由西向东航行20海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，求继续航行轮船是否有触礁危险？（参考数值：≈1.414，≈1.732）．3．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求DE的值；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．4．如图，某政府大楼的顶部竖有一块“民族要复兴，乡村要振兴”的宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．（1）∠BAH＝°；点B距水平面AE的高度BH＝米；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.41，≈1.73．）5．开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚P处，测得铁塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走35m到达D处，测得铁塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）．6．李老师给班级布置了一个实践活动，测量云南某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量．如图，纪念碑AG设在1.2米的石台DG上，他们先在水平地面点B处测得石碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进21米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.7米，求纪念碑AG的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）7．2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）8．如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得桥两端B和C的俯角分别为45°和30°，求桥BC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73）9．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝1：2.4，在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）10．为进一步加强疫情防控工作，长清区某学校决定安装红外线体温检测仪，对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP 上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为61°，探测最小角（∠OAC）为37°．若该校要求测温区域的宽度AB为1.4米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.8，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）11．如图，在小山的东侧A处有一热气球，由于受风力影响，它以20m/min的速度沿着与水平线成75°角的方向飞行，30min后到达C处，此时热气球上的人发现热气球与山顶P及小山西侧的B处在一条直线上，同时测得B处的俯角为30°．在A处测得山顶P的仰角为45°，求A与B间的距离及山高（结果保留根号）．12．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度，AB＝16米，AE＝24米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，）13．如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB．测量人员从C点处测得吊灯顶端A的仰角为37°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为60°，求吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）14．如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为3m的宣传牌，即CD＝3m．数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离．根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是AE＝BF＝1.5m，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为31°，站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为45°，AB＝6m．依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点D 到地面的距离DH的长？若能，请求出；若不能，请说明理由．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）15．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是40m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是37°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为60°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为30°，求乙楼的高度DG．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）16．为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的（参考数据：sin50°坡度i＝1：，坡长CD＝20米，求建筑物AB的高度．（精确到1米）≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.41，≈1.73）17．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．。

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数一．选择题（共13小题）1．（2022•椒江区校级二模）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则图中∠ACB 的正切值为（ ）A ．23B ．13C ．√22D ．√10102．（2022•鹿城区校级模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE ＝1m ，则DF 的长为（ ）A ．tanαtanβB ．tanβtanαC ．sinβsinαD ．sinαsinβ3．（2022•鹿城区校级二模）如图，梯子AB ＝AC ＝l ，∠ACB ＝α，两梯脚之间的距离BC 的长为d ．则d 与l 的关系式为（ ）A ．d ＝l •sin αB ．d ＝2l •cos αC ．d ＝2l •sin αD ．d ＝l •cos α4．（2022•婺城区模拟）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A 处测得旗杆顶部B 的仰角为α，并测得到旗杆的距离AC 为m 米，若AD 为h 米，则红旗的高度BE为（）A．（m tanα+h）米B．（mtana+h）米C．m tanαD．mtana米5．（2022•景宁县模拟）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB 于点D，下列用线段比表示tanα的值，错误的是（）A．CDBD B．ACBCC．CDACD．ADCD6．（2022•浦江县模拟）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转A′到A′B′的位置，已知OA＝a米，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆最外点A升高的高度为（）A．a tanα米B．a cosα米C．asina米D．a sinα米7．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE 的长为（）A ．(3tanα−0.5)米B ．(3sinα−0.5)米C ．（3tan α﹣0.5）米D ．（3sin α﹣0.5）米8．（2022•温州校级模拟）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离DE ＝2.7米，小明身高BF ＝1.5米，他在点A 测得点D 的仰角是在点B 测得点D 仰角的2倍，已知小明在点B 测得的仰角是a ，则体温监测有效识别区域AB 的长为（ ）米．A ．65tan α−65tan2αB ．65tanα−65tan2α C ．65tan2α−65tanα D ．56tanα−56tan2α9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、E 在格点上，连接AE 、BC ，点D 在BC 上且满足AD ⊥BC ，则∠AED 的正切值是（ ）A ．12B ．2C ．√52D ．√5510．（2022•杭州模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝2，∠BOC ＝α，则OA 2的值为（ ）A．4tan2α−4B．sin2α﹣4C．4sin2α−4D．tan2α﹣411．（2022•乐清市一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C＝α，箱高AB ＝1米，当BC＝2米时，点A离地面CE的距离是（）米．A．1cosα+2sinαB．1cosα+12sinαC．cosα+2sinαD．2cosα+sinα12．（2022•洞头区模拟）如图1是放置在水平地面上的落地式话筒架．图2是其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠CAB＝α，AB＝120cm，AD＝40cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为（）cmA．120+40sinαB．120+40cosαC．120+40sinαD．120+40cosα13．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC ＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+3sinα）m D．（4+3tanα）m二．填空题（共7小题）14．（2022•婺城区校级模拟）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点Q（PQ＝10米）．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于214米．吊装时，通过钢索MQ牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时∠PON＝60°，此时一名工作人员在离M6.4米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正好是他的身高1.6米．（1）主塔OP的高度为米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索QN也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，QN与水平桥面的最大张角在37°到53°之间（即37°≤∠QNM≤53°），ON的取值范围是．（注：tan37°≈0.75，√3≈1.73）．15．（2022•丽水模拟）如图，图1是图2推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边AB＝1米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动．若AF＝2EF＝1米．（1）当E与B重合时，则∠AFE＝．（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为米．（结果保留π，参考数据：若sinα＝0.25，则α取14°）16．（2022•鹿城区校级三模）图1是一款摆臂遮阳蓬的实物图，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摆臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，∠AOB＝90°，OA＝OB＝1.5米，光线l与水平地面的夹角约为tanα＝3，此时身高为1米的小朋友（MN＝1米）站在遮阳蓬下距离墙角1.2米（QN＝1.2米）处，刚好不被阳光照射到，此时小朋友的头顶M距离遮阳蓬的竖直高度（MP）为米；同一时刻下，旋转摆臂OB，点B的对应点B'恰好位于小朋友头顶M的正上方，当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度为米．17．（2022•鹿城区二模）小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象：（1）他先用图形①②③④拼出矩形ABCD．（2）接着拿出图形⑤．（3）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN．已知AE：EO＝2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为：，当CO=31 2，EH＝4时，tan∠BAO＝．18．（2022•义乌市模拟）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD 是矩形，AB ＝20cm ，AD ＝30√5cm ，DE ＝60cm ，BF ＝30cm ．点H 在BC 上，椅子的支撑杆AF 、BG 、CE 分别绕B 、H 、D 转动并带动AI 转动，支撑杆LK 、JM 不动．躺椅在转动时：（1）若直线EF 过点J ，当∠ADE ＝120°时，△AFJ 的面积是 cm 2．（2）若12＜tan ∠EDI ＜2，EF 与地面的夹角为α，则tan α的取值范围是 ．19．（2022•衢州一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2﹣9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF 和四边形DGMN 都是平行四边形，AC ＝BC ＝13cm ，DE ＝2cm ，DN ＝1cm ．（1）若关闭折伞后，点A 、E 、H 三点重合，点B 与点M 重合，则BN ＝ cm ．（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC ＝75°，则点H 到伞柄AB 距离是 cm ．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm ）20．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8√3m，在点A观测点F的仰角为45°．（1）点F的高度EF为m．（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是．三．解答题（共11小题）21．（2022•宁波模拟）21、由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点c处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2m，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果精确到0.1米）22．（2022•婺城区模拟）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB＝100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：（1）若AD＝140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？（2）若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4：√3，求路线AD的长．23．（2022•北仑区校级三模）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC＝∠BCD≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm．（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离；（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）24．（2022•嘉兴一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC ＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，D′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：√3≈ 1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）25．（2022•嘉兴二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）26．（2022•金东区三模）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为60cm，∠CDE＝53°，档案盒长度AB＝35cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求点C到书架底部距离CE的长度；（2）求ED的长度；（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．27．（2022•奉化区二模）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆AB＝BC＝20cm，可绕支点C，B调节角度，DE为手机的支撑面，DE ＝18cm，支点A为DE的中点，且DE⊥AB．（1）若支杆BC与桌面的夹角∠BCM＝70°，求支点B到桌面的距离；（2）在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角∠ABC＝110°，求支撑面下端E到桌面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.78，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）28．（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）29．（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC 垂直圭BC ，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为4米．（1）求∠BAD 的度数．（2）求表AC 的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192） 30．（2022•绍兴）（1）计算：6tan30°+（π+1）0−√12． （2）解方程组：{2x −y =4x +y =2．31．（2022•舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD ＝BE ＝10cm ，CD ＝CE ＝5cm ，AD ⊥CD ，BE ⊥CE ，∠DCE ＝40°．（1）连结DE ，求线段DE 的长． （2）求点A ，B 之间的距离．（结果精确到0.1cm ．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2022•椒江区校级二模）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则图中∠ACB 的正切值为（ ）A ．23B ．13C ．√22D ．√1010【解答】解：由勾股定理 可求出：BC ＝2√2，AC ＝2√5，DF =√10，DE =√2， ∴FD AC =√22FE BC =√22，ED AB =√22， ∴FD AC=ED AB=EF BC，∴△FDE ∽△CAB ， ∴∠DFE ＝∠ACB ， ∴tan ∠DFE ＝tan ∠ACB =13， 故选：B ．2．（2022•鹿城区校级模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE ＝1m ，则DF 的长为（ ）A ．tanαtanβB ．tanβtanαC ．sinβsinαD ．sinαsinβ【解答】解：∵tanα=BEAE ，AE ＝1m ， ∴BE ＝tan α，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝tanα，∴tanβ=CF DF，∴DF=CFtanβ=tanαtanβ．故选：A．3．（2022•鹿城区校级二模）如图，梯子AB＝AC＝l，∠ACB＝α，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（）A．d＝l•sinαB．d＝2l•cosαC．d＝2l•sinαD．d＝l•cosα【解答】解：作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝l，BC＝d，∴CD=12d，∵∠ACB＝α，cos∠ACD=CD AC，∴cosα=12d l，∴d＝2l cosα，故选：B．4．（2022•婺城区模拟）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为α，并测得到旗杆的距离AC为m米，若AD为h米，则红旗的高度BE为（）A．（m tanα+h）米B．（mtana+h）米C．m tanαD．mtana米【解答】解：如图，DE＝m米，∠BAC＝α，DE＝h米，∵四边形ADEC为矩形，∴DE＝AC＝m米，AD＝CE＝h米，在Rt△ADC中，∵tan∠BAC=BC AC，∴BC＝m tanα，∴BE＝BC+CE＝（m tanα+h）米．故选：A．5．（2022•景宁县模拟）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB 于点D，下列用线段比表示tanα的值，错误的是（）A．CDBD B．ACBCC．CDACD．ADCD【解答】解：∵AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD＝∠α，∴tan B＝tan∠ACD，∴tan B＝tanα=CDBD=ACBC=ADCD，故选：C．6．（2022•浦江县模拟）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转A′到A′B′的位置，已知OA＝a米，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆最外点A升高的高度为（）A．a tanα米B．a cosα米C．asina米D．a sinα米【解答】解：过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，由旋转得：OA＝OA′＝a米，在Rt△A′DO中，∠AOA′＝α，∴A′D＝A′O•sin∠AOA′＝a sinα（米），∴栏杆最外点A升高的高度为a sinα米，故选：D．7．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE 的长为（）A．(3tanα−0.5)米B．(3sinα−0.5)米C．（3tanα﹣0.5）米D．（3sinα﹣0.5）米【解答】解：如图：过点A 作AF ∥DE ，交CE 的延长线于点F ， ∵CE ⊥DE ， ∴∠CED ＝90°， ∵AF ∥DE ，∴∠CF A ＝∠CED ＝90°，∠CAF ＝∠CBE ＝α， 由题意可知：EF ＝AD ＝0.5米，AC ＝3米， ∵sin ∠CAF =CFAC ， ∴CF ＝3sin α（米），∴CE ＝CF ﹣EF ＝（3sin α﹣0.5）（米），即栏杆末端上升的垂直距离CE 的长为（3sin α﹣0.5）米． 故选：D ．8．（2022•温州校级模拟）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离DE ＝2.7米，小明身高BF ＝1.5米，他在点A 测得点D 的仰角是在点B 测得点D 仰角的2倍，已知小明在点B 测得的仰角是a ，则体温监测有效识别区域AB 的长为（ ）米．A ．65tan α−65tan2αB ．65tanα−65tan2αC ．65tan2α−65tanαD ．56tanα−56tan2α【解答】解：由题意得： ∠DCA ＝90°，CE ＝BF ＝1.5米，∵DE ＝2.7米，∴DC ＝DE ﹣CE ＝2.7﹣1.5＝1.2（米）， 在Rt △DCB 中，∠DBC ＝α， ∴BC =DCtanα= 1.2tanα=65tanα（米）， 在Rt △DCA 中，∠DAC ＝2∠DBC ＝2α， ∴AC =DCtan2α= 1.2tan2α=65tan2α（米）， ∴AB ＝BC ﹣AC ＝（65tanα−62tan2α）米，故选：B ．9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、E 在格点上，连接AE 、BC ，点D 在BC 上且满足AD ⊥BC ，则∠AED 的正切值是（ ）A ．12B ．2C ．√52D ．√55【解答】解：连接OD ，∵AD ⊥BC ，O 是AB 中点， ∴OD =12AB ＝1， ∴OD ＝OA ＝OE ＝OD ，∴点A 、D 、B 、E 在以O 为圆心，1为半径的同一个圆上， ∴∠ABC ＝∠AED ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD =12，故选：A．10．（2022•杭州模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC ＝2，∠BOC＝α，则OA2的值为（）A．4tan2α−4B．sin2α﹣4C．4sin2α−4D．tan2α﹣4【解答】解：在Rt△OBC中，BC＝2，∠BOC＝α，∴OB=BCtanα=2tanα，在Rt△ABO中，AB＝2，∴OA2＝OB2﹣AB2＝（2tanα）2﹣22=4tan2α−4，故选：A．11．（2022•乐清市一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C＝α，箱高AB ＝1米，当BC＝2米时，点A离地面CE的距离是（）米．A．1cosα+2sinαB．1cosα+12sinαC．cosα+2sinαD．2cosα+sinα【解答】解：过点B作BM⊥AD，垂足为M，由题意得：BE＝DM，∠ABC＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠CFD＝90°，∠AFB+∠BAF＝90°，∵∠CFD＝∠AFB，∴∠C＝∠BAF＝α，在Rt△ABM中，AB＝1米，∴AM＝AB•cosα＝cosα（米），在Rt△CBE中，BC＝2米，∴BE＝BC•sinα＝2sinα（米），∴DM＝BE＝2sinα米，∴AD＝AM+DM＝（cosα+2sinα）米，∴点A离地面CE的距离是（cosα+2sinα）米，故选：C．12．（2022•洞头区模拟）如图1是放置在水平地面上的落地式话筒架．图2是其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠CAB＝α，AB＝120cm，AD＝40cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为（）cmA．120+40sinαB．120+40cosαC．120+40sinαD．120+40cosα【解答】解：过点A作AF⊥DE，垂足为F，∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠AFE＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四边形AFEB是矩形，∴AB＝FE＝120cm，AB∥EF，∴∠D＝∠CAB＝α，在Rt△ADF中，AD＝40cm，∴DF＝AD•cosα＝40cosα（cm），∴DE＝DF+EF＝（40cosα+120）cm，∴话筒夹点D离地面的高度DE为（40cosα+120）cm，故选：B．13．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC ＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+3sinα）m D．（4+3tanα）m【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD=12BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC=AD BD，∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故选：B．二．填空题（共7小题）14．（2022•婺城区校级模拟）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点Q（PQ＝10米）．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于214米．吊装时，通过钢索MQ牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时∠PON＝60°，此时一名工作人员在离M6.4米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正好是他的身高1.6米．（1）主塔OP的高度为82米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索QN也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，QN与水平桥面的最大张角在37°到53°之间（即37°≤∠QNM≤53°），ON的取值范围是90≤ON≤120．（注：tan37°≈0.75，√3≈1.73）．【解答】解：（1）过点Q作QG⊥MN交于G点，∵MB ＝6.4米，AB ＝1.6米， ∴tan ∠AMB =14， ∴MG ＝4QG ， ∵∠PON ＝60°，∴QG ＝OG •tan60°=√3OG ， ∵MO ＝214米， ∴214+√33OG ＝4OG ， 解得OG =64212−√3米， ∴OQ =QGsin60°≈72米， ∵QP ＝10米， ∴OP ≈82米， 故答案为：82；（2）在Rt △QNG 中，GN ＝QG •tan ∠NQG ， 在Rt △OGQ 中，OG =64212−√3米，QG =64212−√3×√3米， ∴GN =12−√3×√3•tan ∠NQG ，∴ON =12−√312−√3√3•tan ∠NQG ，∵37°≤∠QNM ≤53°， ∴37°≤∠NQG ≤53°， ∵tan37°≈0.75， ∴tan53°≈43， ∴34≤tan ∠NQG ≤43，∴90≤ON ≤120， 故答案为：90≤ON ≤120．15．（2022•丽水模拟）如图，图1是图2推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边AB＝1米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动．若AF＝2EF＝1米．（1）当E与B重合时，则∠AFE＝76°．（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为8π45米．（结果保留π，参考数据：若sinα＝0.25，则α取14°）【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥EF，交EF于点D，则∠ADF＝90°，∵AF＝AE＝1米，AF＝2EF，∴EF＝0.5米，DF＝DE＝0.25米，在Rt△ADE中，sin∠EAD=DEAE=0.251=0.25，∴∠EAD＝14°，∴∠AFE＝∠AEF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣14°＝76°；故答案为：76°；（2）点E 从点C 到点B 的移动过程中，当EF 垂直于AB 时， ∵AF ＝2EF ， ∴∠EF A ＝30°，即此时∠EAF 取得最大值， 当点E 与点B 重合时，由（1）知，∠EAD ＝14°，AF ＝AE ，AD ⊥EF ， ∴∠EAF ＝28°， 当E 与B 重合时， 此时AF 和AB 重合，∴当E 从点C 到点B 的移动过程中，点F 的移动路径是以点A 为圆心，1米长为半径，圆心角为32°的弧， 路径长为：32π×1180=8π45（米）．故答案为：8π45．16．（2022•鹿城区校级三模）图1是一款摆臂遮阳蓬的实物图，图2是其侧面示意图，点A ，O 为墙壁上的固定点，摆臂OB 绕点O 旋转过程中，遮阳蓬AB 可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝1.5米，光线l 与水平地面的夹角约为tan α＝3，此时身高为1米的小朋友（MN ＝1米）站在遮阳蓬下距离墙角1.2米（QN ＝1.2米）处，刚好不被阳光照射到，此时小朋友的头顶M 距离遮阳蓬的竖直高度（MP ）为 0.3 米；同一时刻下，旋转摆臂OB ，点B 的对应点B '恰好位于小朋友头顶M 的正上方，当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度为 1.3 米．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴MP＝MB，∵OM＝QN＝1.2m，OB＝1.5m，∴MP＝MB＝1.5﹣1.2＝0.3（m），过点B′作B′C∥BN，与QN交于点C，过B′作B′F⊥AQ于F，过C作CD⊥B′F 于点D，与AB′交于点E，则B′F＝OM＝QN＝1.2（m），∴FO＝B′M=√OB′2−OM2=√1．52−1．22=0.9（m），∴B′N＝B′M+MN＝1.9（m），AF＝OA﹣FO＝0.6（m），∵B′C∥BN，∴∠B′CN＝∠α，∴tan∠B′CN=B′NCN=3，∴B′D＝CN=1.93=1930（m），∵DE ∥AF ， ∴B′D B′F=DEAF ，即19301.2=DE0.6∴DE =1915≈1.3（m ），即当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度约为1.3m ． 故答案为：0.3；1.3．17．（2022•鹿城区二模）小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象： （1）他先用图形①②③④拼出矩形ABCD ． （2）接着拿出图形⑤．（3）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN ． 已知AE ：EO ＝2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为： 152，当CO =312，EH ＝4时，tan ∠BAO ＝ 13．【解答】解：（1）如图，在平移后的图形中分别标记O ′，O ″，F ′，H ′，E ′和G ′，由题意可知，AE ：EO ＝2：3 G ′H ′＝FC ＝NF ′ ∴DF ：FC ＝2：3，NO ′：O ′F ′＝1：2 又∵图⑤和图④的高相等， ∴图⑤和图④的面积比为1：2， ∴图⑤的面积为152．故答案为：152．（3）由题意可知，S 四边形AOCD =12×(CO +AD)×CD ， S 四边形AOMN =12×(MO +AN)×NF ， S 四边形AOCD +152=S 四边形AOMN 设DF ＝2a ，DG ＝x ，则CF ＝G ′H ′＝3a ，CO ＝H ′E ′=312，CD ＝NF ＝5a ， EF ＝AG ′＝4+x ，AG ＝E ′F ′=312+x ， ∴AD ＝x +312+x =312+2x ， AN ＝4+x +x ＝4+2x ， 又∵ax =152，综上解得：a ＝3，x =52， ∵OB ＝2x ＝5，AB ＝5a ＝15， ∴tan ∠BAO =OB AB =515=13， 故答案为：13．18．（2022•义乌市模拟）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD 是矩形，AB ＝20cm ，AD ＝30√5cm ，DE ＝60cm ，BF ＝30cm ．点H 在BC 上，椅子的支撑杆AF 、BG 、CE 分别绕B 、H 、D 转动并带动AI 转动，支撑杆LK 、JM 不动．躺椅在转动时：（1）若直线EF 过点J ，当∠ADE ＝120°时，△AFJ 的面积是1875√1511cm 2． （2）若12＜tan ∠EDI ＜2，EF 与地面的夹角为α，则tan α的取值范围是 1137＜tan α＜1113 ．【解答】解：（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，如图1所示，由题意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠E，∠F AJ＝∠ADE＝120°，∴△F AJ∽△EDJ，∴AFDE =AJDJ，∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE =AJDJ=5060=56，∴AJ=511AD=150√511cm，过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N，则∠ANF＝90°，在Rt△AFN中，∠F AN＝180°﹣∠F AJ＝60°，AF＝50cm，∴FN＝AF sin∠F AN＝50×sin60°＝25√3，∴△AFJ的面积=12×AJ×FN=1875√1511cm2；（2）当tan∠EDI=12时，如图2所示，作EP⊥DI于点P，则∠EPD＝90°，设EF交AD于点Q，由题意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠QED，∠F AQ＝∠QDE，∴△F AQ∽△EDQ，∴AFDE =AQDQ，∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE =AQDQ=5060=56，∴DQ=611AD=180√511cm，设EP＝x，则DP＝2x，由勾股定理得：EP2+DP2＝DE2，∴x2+（2x）2＝602，解得x＝12√5cm，∴EP＝12√5cm，DP＝24√5cm，PQ＝DP+DQ=444√511cm，∴tanα＝tan∠EQP=EPPQ=√5444√511=1137；当tan∠EDI＝2时，如图所示，同理可求得DQ=180√511cm，DP＝12√5cm，EP＝24√5cm，∴PQ＝DP+DQ=312√511cm，∴tanα＝tan∠EQP=EPPQ=24√5312√511=1113；∵EF与地面的夹角α随着∠EDI的增大而增大，∴当12＜tan ∠EDI ＜2时，tan α的取值范围是1137＜tan α＜1113． 故答案为：1875√1511cm 2；1137＜tan α＜1113． 19．（2022•衢州一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2﹣9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF 和四边形DGMN 都是平行四边形，AC ＝BC ＝13cm ，DE ＝2cm ，DN ＝1cm ．（1）若关闭折伞后，点A 、E 、H 三点重合，点B 与点M 重合，则BN ＝ 23 cm ．（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC ＝75°，则点H 到伞柄AB 距离是 69.8 cm ．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm ）【解答】解：（1）∵关闭折伞后，点A 、E 、H 三点重合，∴AC ＝CD +DE ，∴CD ＝13﹣2＝11，∴CN ＝CD ﹣DN ＝11﹣1＝10，∴BN ＝BC +CN ＝13+10＝23（cm ），故答案为：23；（2）如图2，A 、E 、H 三点共线并且AH ⊥AB ，过点F 作FK ⊥AE 于点K ，过点G 作GJ ⊥EH 于点J ，∵∠BAC ＝75°，AC ＝BC ＝13cm ，∴∠ACB＝30°，∵AC∥DE，DG∥MN，∴∠AFE＝∠EGH＝150°，∵AF＝EF，FK⊥AE，∴∠AFK＝∠EFK＝75°，AK＝EK，∵DE＝2cm，∴FC＝DE＝2cm，∴AF＝EF＝AC﹣FC＝13﹣2＝11cm，∴AK＝AF•sin75°＝11×0.97≈10.67，∴AE＝21.34，∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，∴BN＝MN＝23cm，EG＝GH，∴EG＝MN+DE＝23+2＝25cm，同理，EJ＝EG•sin75°＝25×0.97＝24.25，∴EH＝2EJ＝2×24.25＝48.5，∵∠BAC＝75°，∠F AE＝15°，∴AH＝AE+EH＝21.34+48.5≈69.8．∴AE⊥AB，∴点H到伞柄AB距离为69.8cm．故答案为：69.8．20．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8√3m，在点A观测点F的仰角为45°．（1）点F的高度EF为9m．（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是α﹣β＝7.5°．【解答】解：（1）连接A′A并延长交EF于点H，如图，则四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均为矩形，∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8√3m，∵在点A观测点F的仰角为45°，∴∠HAF＝45°，∴∠HF A＝45°，∴HF＝HD＝8，∴EF＝8+1＝9（m），故答案为：9；（2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，如图所示：则∠F AM＝2∠F AK，∠F A′N＝2∠F A′R，∵HF＝8m，HA′＝8√3m，∴tan∠HF A′=√3，∴∠HF A′＝60°，∴∠AF A′＝60°﹣45°＝15°，∵太阳光线是平行光线，∴A′N∥AM，∴∠NA′M＝∠AMA′，∵∠AMA′＝∠AFM+∠F AM，∴∠NA′M＝∠AFM+∠F AM，∴2∠F A′R＝15°+2∠F AK，∴∠F A′R＝7.5°+∠F AK，∵AB∥EF，A′B′∥EF，∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAB＝∠BAF+∠F AK﹣∠DAK＝135°+∠F AK﹣90°＝45°+∠F AK，同理，∠D′A′B′＝120°+∠F A′R﹣90°＝30°+∠F A′R＝30°+7.5°+∠F AK＝37.5+F AK，∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，故答案为：α﹣β＝7.5°．三．解答题（共11小题）21．（2022•宁波模拟）21、由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点c处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2m，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果精确到0.1米）【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，设CD＝x米，则BD=xtan60°，AD=xtan30°，∵AB＝2米，AD＝AB+BD，∴AD＝2+BD，∴2+xtan60°=xtan30°，解得x≈1.7，即生命所在点C的深度是1.7米．22．（2022•婺城区模拟）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB＝100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：（1）若AD＝140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？（2）若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4：√3，求路线AD的长．【解答】解：（1）如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，由题意得：DE＝BF，BE＝DF，AG∥DE，DH∥BC，∴∠GAD＝∠ADE＝30°，∠HDC＝∠DCF＝60°，在Rt△ADE中，AD＝140米，∴AE ＝AD •sin30°＝140×12=70（米）， DE ＝AD •cos30°＝140×√32=70√3（米），∴DE ＝BF ＝70√3米，∵AB ＝100米，∴BE ＝AB ﹣AE ＝30（米），∴BE ＝DF ＝30米，在Rt △DFC 中，CF =DF tan60°=√3=10√3（米）， ∴BC ＝BF +CF ＝80√3（米），∴她滑行的水平距离BC 为80√3米；（2）∵AD 与CD 的长度比为4：√3，∴设AD ＝4x 米，则CD =√3x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，∴AE =12AD ＝2x （米），在Rt △DFC 中，∠DCF ＝60°，∴DF ＝CD •sin60°=√3x •√32=32x （米）， ∴BE ＝DF =32x 米，∵AB ＝100米，∴AE +BE ＝100，∴2x +32x ＝100，解得：x =2007， ∴AD ＝4x =8007（米）， ∴路线AD 的长为8007米．23．（2022•北仑区校级三模）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC ＝∠BCD ≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD ＝BC ＝30cm ，CD ＝40cm ．（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离；（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【解答】解：（1）过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N，则CD ＝MN＝40cm，AM＝BN＝cos∠DAB•AD≈0.77×30＝23.1（cm），∴AB＝23.1×2+40＝86.2（cm），答：AB的距离约为86.2cm；（2）由题意得，桌子要抬高34.8﹣30＝4.8（cm），即DM要变为sin∠DAB×30+4.8＝24（cm），∴AM=√AD2−DM2=√302−242＝18cm，即点A要向内移动23.1﹣18＝5.1（cm），答：向内移动5.1cm．24．（2022•嘉兴一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC ＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A ，D ′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：√3≈ 1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）【解答】解：（1）∵“125°阅读”模式下∠ABC ＝125°，∴∠DCD '＝∠ABC ﹣80°＝125°﹣80°＝45°；（2）∵∠DCD ′＝45°，CD ＝40cm ，∴点D 运动的路径长为：45π×40180=10π（cm 2）；（3）如图，过点作AN ⊥BC ，交CB 的延长线于点N ，过点D ′M ⊥CD 于点M ，∵“150°听音乐”模式时∠ABC ＝150°，∴∠DCD '＝∠ABC ﹣80°＝150°﹣80°＝70°，∠ABN ＝30°，在Rt △ABN 中，BN ＝AB •cos30°＝50×√32=25√3≈43，在Rt △CMD ′中，MD ′＝CD ′•sin70°≈40×0.9＝36，∴点A ，D ′之间的水平距离为：BN +BC +MD ′＝43+54+36＝133（cm ）．25．（2022•嘉兴二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB ＝8mm ，两脚BC ＝BD ＝56mm ，如图2所示，当∠CBD ＝74°时．（1）求A 离纸面CD 的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）【解答】解：（1）连接CD，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，∵BC＝BD＝56mm，∴∠CBE=12∠CBD＝37°，CD＝2CE，在Rt△BCE中，BE＝BC•cos37°≈56×0.8＝44.8（mm），∵AB＝8mm，∴AE＝AB+BE＝8+44.8＝52.8（mm），∴A离纸面CD的距离约为52.8mm；（2）在Rt△BCE中，∠CBE＝37°，BC＝56mm，∴CE＝BC•sin37°≈56×0.6＝33.6（mm），∴CD＝2CE＝67.2（mm），∴正六边形的边长为67.2mm，∴正六边形的周长＝6×67.2＝403.2（mm），∴正六边形的周长约为403.2mm．26．（2022•金东区三模）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为60cm，∠CDE＝53°，档案盒长度AB＝35cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）。

中考复习初中数学中的三角函数计算题三角函数是中学数学中的重要内容之一，在中考中也是一个常见的考点。

掌握好三角函数的计算方法对于解题非常有帮助。

本文将从不同角度介绍三角函数的计算问题。

一、三角函数的基本概念在介绍计算问题之前，我们首先来回顾一下三角函数的基本概念。

三角函数包括正弦函数sin，余弦函数cos，正切函数tan等。

它们的定义如下：正弦函数sinθ = 对边 / 斜边余弦函数cosθ = 临边 / 斜边正切函数tanθ = 对边 / 临边这些基本的定义是我们进行计算的基础。

二、三角函数的计算方法1. 已知一个角度求三角函数值有时题目可能给出一个角度，要求计算该角度对应的三角函数值。

这种情况下，我们根据角度的定义可以直接计算出sin、cos、tan的值。

例如，如果给定一个角度θ，求sinθ的值，只需根据sin的定义计算出对应的比值即可。

2. 已知一个三角函数值求角度另一种情况是已知一个三角函数值，要求求出对应的角度。

这时我们需要运用反函数来计算。

例如，如果已知sinθ的值，要求求出对应的角度θ，我们需要使用反正弦函数arcsin。

3. 利用三角函数求解三角形的边长和角度三角函数不仅可以应用在一个角度的计算中，还可以在解决三角形的问题中发挥作用。

例如，已知一个三角形的两边长度和夹角，可以利用三角函数计算出第三边的长度。

又如，已知一个三角形的两边长度和一个角度，可以利用三角函数计算出另外两个角度的大小。

4. 利用三角函数解决实际问题除了在纯数学计算中应用，三角函数还可以应用在实际问题的解决中。

例如，要计算一个倾斜面上物体的滑动速度、计算两个建筑物之间的高度差等等。

在这些问题中，我们会利用三角函数的计算来求解。

三、例题分析为了更好地理解三角函数的计算问题，我们来看几个例题：例题1：已知三角形ABC中，∠B = 30°，边AC = 4cm，边BC =6cm，求边AB的长度。

解析：根据已知条件，我们可以利用余弦定理来计算边AB的长度。

2020年中考数学复习微专题锐角三角函数的实际应用三大模型模型一背靠背型一．模型分析1.若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键．等量关系：CD为公共边，AD＋BD＝AB.2.模型变式如图①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如图②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF ＝AB.二.练习反馈1.某条道路上通行车辆限速为72千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区(如图)．在△ABP中，已知∠PAB＝30°，∠PBA＝37°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(结果精确到0.1秒，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，.模型二母子型一．模型分析1.若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键．等量关系：BC为公共边，如图①，AD＋DC＝AC；如图②，DC－BC＝DB.2.模型变形（1）：等量关系：.模型变形（2）：如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.等量关系：如图⑤，BE＋EC＝BC；如图⑥，EC－BC＝BE；如图⑦，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG..模型变形（3）：等量关系：如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG.二．练习反馈1.如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1 km，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)2.如图，一幢楼的楼顶端挂着一幅长10米的宣传条幅AB，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物FGHM挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点D处测得条幅顶端A的仰角∠CDA＝45°，向后退8米到达点E 处，测得条幅底端B的仰角∠CEB＝30°(点C，D，E在同一直线上，EC⊥AC)．请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC.(结果精确到0.01米，参考数据：√ 3 ≈1.732，√ 2 ≈1.414)模型三拥抱型一．模型分析：1.分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键．等量关系：BC为公共边2.模型变形：等量关系：如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.二．练习反馈1.如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m．AB和CD 之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)。

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。

三角函数学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 18 小题，每题 3 分，共计54分，）1. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，己知AC=a，∠A=α，∠B=β，则BD的长是( )A.a⋅sinαtanβB.a⋅cosαtanβC.a⋅sinα⋅tanβD.a⋅cosα⋅tanβ2. 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan C 的值为()A.3 5B.45C.34D.433. 如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡比为3:4，则坡面AC的长度为()m．A.10B.8C.6D.6√34. 在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan∠ABC的值为（）A.3√1313B.2√1313C.32D.235. 如图，OA是北偏东30∘方向的一条射线，将射线OA绕点O逆时针旋转80∘得到射线OB，则OB的方位角是（）A.北偏西30∘B.北偏西50∘C.东偏北30∘D.东偏北50∘6. 直角△ABC中，∠C=90∘，tan∠BAC=13，则sin∠ABC的值是（）A.√1010B.23C.34D.3√10107. 若a=sin36∘，b=sin28∘，c=cos28∘，则a、b、c的大小关系是（）A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D.如果AD=8，BD=4，那么tan A的值是( )A.1 2B.√22C.√33D.√29. 聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早起，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ=1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为（参考数据：√10≈3.162）（）A.15.81米B.16.81米C.30.62米D.31.62米10. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M，对于下列结论：①△BAE∼△CAD；②MP⋅MD=MA⋅MC；③2CB2=CP⋅ME．其屮正确的是（）A.①②③B.①C.①②D.②③11. 在△ABC中，AC≠BC，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D，则下列比值中不等于 sin A的是( )A.CDAC B.BDCBC.CBABD.CDCB12. 在△ABC中，sin A=cos(90∘−C)=√22，则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定13. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子不一定成立的是（）A.tan A=cot BB.sin2A+cos2A=1C.sin2A+sin2B=1D.tan A⋅cot B=114. 如图，在平面直角坐标系中，边长为√3的菱形AOBC按如图所示方式放置，∠AOB=60∘，现进行如下操作：将菱形AOBC绕点O逆时针旋转30∘得到菱形OA1C1B1，又将菱形OA1C1B1绕点O逆时针旋转30∘得到菱形OA2C2B2，如此重复操作，得到菱形OA3C3B3，菱形OA4C4B4，⋯⋯，则点C2020的坐标为( )A.(0,−3)B.(−3√32,32) C.(−3,0) D.(−32,3√32)15. 如图，小惠家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，测得一水塔（图中点A 处），在她家北偏东60∘方向600米处，那么他所在位置到公路的距离AB为（）米．A.300√2B.300√3C.300D.200√316. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C, AD⊥BC于点D，设AD=m, BD=n，则DC=( )A.m+√m2+n2B.2n+√m2+n2C.n+√m2+n2D.n+2√m2+n217. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，已知tan A=√52，那么cos A的值是（）A.√52B.√53C.2√53D.2318. 如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．若△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值是( )A.1 3B.12C.√55D.2√55二、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分，）19. 计算：2sin30∘−2cos60∘+tan45∘+cot44∘cot46∘．20. 在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点C在FD的延长线上，AB // CF，∠F=∠ACB=90∘，∠E=45∘，∠A=60∘，AC=10，试求CD的长．21. 如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45∘，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30∘，楼高BD为20米．求旗杆AC的高度．（结果保留根式）22. 已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．（1）已知sinα=0.5018，求锐角α；（2）已知tanθ=5，求锐角θ．23. 某小区欲建两栋新楼房，它们的高AB=CD=20米，两楼间距设计为30米．现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况，冬日正午太阳光与水平线的夹角为30∘时，（1）求甲楼的影子在乙楼上有多高？（2）若乙楼1楼住户的窗台距地面1米，为不影响乙楼的采光，两楼间距应至少为多少米？（精确到0.1米．√3≈1.73，√2≈1.41）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 18 小题，每题 3 分，共计54分）1.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】在直角△ACD中首先利用正弦定义求得CD的长，然后在直角△BCD中利用正切函数定义求得BD的长．【解答】解：∵ 在直角三角形ACD中，sin A=CDAC ，即sinα=CDa，∵ CD=a sinα．∵ 直角三角形BCD中，tan B=CDBD ，即CDBD=tanβ，∵ BD=CDtanβ=a sinαtanβ．故选A．2.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义--利用网格【解析】过A点做AD⊥BC于D，根据网格的特征可知D是格点，在Rt△ACD中根据三角函数进行分析运算即可．【解答】解：作AD⊥BC于点D，如图，根据网格可知：点D是格点，在Rt△ACD中，tan C=ADCD =43．故选D．3.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】利用已知的坡度等于AB与BC的比和AB的长，求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC 的长即可；【解答】解：∵ 天桥的坡比=AB:BC=3:4，AB=6∵ BC=8，在直角三角形ABC中，AC=√AB2+BC2=10m故选A．4.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】首先过点A向CB引垂线，与CB交于D，表示出BD、AD的长，根据tan A=∠A的对边：∠A的邻边可算出答案．【解答】解：过点A向CB引垂线，与CB交于D，在△ABD是直角三角形，∵ BD=3，AD=2，∵ tan∠ABC=ADDB =23，故选：D．5.【答案】B【考点】方位角【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意可得∠AOB=80∘，求出∠1的度数即可确定OB的方位角。

九年级数学三角函数50道练习题（以上为标题，不计入800字）1. 已知一个角的补角是60度，求该角的大小。

2. 求解sin45°的值。

3. 已知tanθ = 1/√3，求θ的度数。

4. 求解cos30°的值。

5. 若sinθ = cos(180° - θ)，求θ的度数。

6. 求解tan60°的值。

7. 若secθ = 2，求cosθ的值。

8. 若tanθ = 2，求cotθ的值。

9. 求解sin60°的值。

10. 若sinθ = cos90° - θ，求θ的度数。

11. 已知sinθ = 1/2，求θ的度数。

12. 求解tan30°的值。

13. 若cscθ = 4/3，求sinθ的值。

14. 已知cosθ = 1/√2，求θ的度数。

15. 求解cos45°的值。

16. 若secθ = -2，求cosθ的值。

17. 如果tanθ = 4/3，求cotθ的值。

18. 求解sin30°的值。

19. 若sinθ = cos(90° - θ)，求θ的度数。

20. 已知cosθ = 1/2，求θ的度数。

21. 求解tan45°的值。

22. 若secθ = -1/2，求cosθ的值。

23. 如果tanθ = 3/4，求cotθ的值。

24. 求解sin120°的值。

25. 若sinθ - cosθ = 0，求θ的度数。

26. 已知tanθ = √3，求θ的度数。

27. 求解cos60°的值。

28. 若secθ = -√2，求cosθ的值。

29. 如果tanθ = -2/3，求cotθ的值。

30. 求解sin150°的值。

31. 若sinθ + cosθ = 1，求θ的度数。

32. 已知cotθ = 4/3，求θ的度数。

33. 求解cos75°的值。

34. 若secθ = -1/√3，求cosθ的值。