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断裂力学讲义ch2-Griffith理论_474608451

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断裂力学第三讲断裂力学理论

断裂力学第三讲断裂力学理论
应力强度因子。应力强度因子是有限量，它是代表应 力场强度的物理量，用其作为参量建立破坏条件是 合适的。
27
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K Y a
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力
a ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
Y——形状系数，与裂纹大小、位置有关
应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
3
k
Hale Waihona Puke 1平面应力3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2ZΙΙI()
ZΙI ( )

第1讲 断裂力学导论

第1讲 断裂力学导论


B
Y
X
The potential or internal energy of the body is U p =U i +U a -U w
2a

Due to creation of new surface increase in surface energy is (2.17) U = 4a s The total elastic energy of the cracked plate is 2 2a 2 U t dA Fdy 4a s A 2E E

Griffith proposed that ‘There is a simple energy balance consisting of the decrease in potential energy with in the stressed body due to crack extension and this decrease is balanced by increase in surface energy due to increased crack surface’

The initial strain energy for the uncracked plate per thickness is 2 (2.14) U i dA A 2E On creating a crack of size 2a, the tensile force on an element ds on elliptic hole is relaxed from dx to zero. The elastic strain energy released per unit width due to introduction of a crack of length 2a is given by a where displacement U a 4 1 2 dx v 0 v a sin usin g x a cos E 2a 2 (2.15) Ua E

断裂力学——2Griffith 理论(1)

断裂力学——2Griffith 理论(1)
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concrete.
9
Griffith理论
C. E. Inglis
thin plate of glass with an elliptical hole in the middle He found that point A, at the end of the ellipse, was feeling the most pressure. He also found that as the ratio of a/b gets bigger (the ellipse gets longer and thinner) that the stress at A becomes greater and greater The maximum stress occurs at the ends of the major axis of the cavity and is given by Inglis’s formula
(1913), pp.219–230.
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire His mother died when he only is eleven days, he was brought up by his father’s unmarried sister.

断裂力学(5)讲义版

断裂力学(5)讲义版

J一般情况下 ，Ⅰ型裂纹尖端的变 形，往往是
两种状态（平面应力 和平面应变 ）同时存在。 Irwin建议采 用：
&
p.c. f =
Page 11 of 50
2 2 = 1.68
2009-11-10 9:41:40
厚板裂 平面应力状态 纹尖端 塑性区 的空间 形状：
平面 应力 状态
平面应变状态
J实际试样的厚度难以大到使试样具有平面应变状态
●
●
●
平面应变
J在平面应变状态 下，沿板厚方向（z方向）的弹
性约束使裂纹尖端材料处于 三向拉应力作用下。而 三向拉伸 应力状态 会对塑性流动起约束作 用，即不 易发生塑性变 形。
Page 8 of 50
2009-11-10 9:41:39
二、塑性约束系数 1.有效屈服应力 有效屈服应力 σey ——三向应力状态 下发生屈服时 的最大应力。
2009-11-10 9:41:33
司 老多媒体教学系列 师
断裂力学
华中科技大学力学系 司继文
2009年11月10日
1
Page 1 of 50
2009-11-10 9:41:34
老 司 师
多媒体教学系列
断裂力学 第五章
习题： 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5
2
Page 2 of 50
2009-11-10 9:41:35
∴在实际分析中采用：
平面 应力 情况 平面 应变 情况
p .c . f = 1
σ ey = σ s
2 2
1 KΙ 1 KΙ r0 = = 2 π σ ey 2π σs
p.c. f = 1 r0 = 2π

知识资料Griffith理论和能量释放率

知识资料Griffith理论和能量释放率
断裂力学 第二讲
Griffith能量释放率
问题
• 寻找身边的断裂的事例，用手机或者其他手段记录下来。 • 为什么玻璃等脆性材料的强度远低于材料的理论强度？ • 把Inglis应力集中分析应用到材料强度理论，能否说明含
裂纹固体的强度丧失？ • 含有尖锐裂纹的脆性固体（如玻璃），为什么仍然具有一
定强度？什么因素阻碍了裂纹扩展？ • 脆性裂纹体的强度由什么因素控制？ • 将Griffith关于表面能的讨论应用到（脆性）金属材料，会
确定受载荷作用裂纹体的裂纹驱动力
两种载荷情况
— 恒定位移加载和恒定载荷加载
恒位移载荷和恒拉伸载荷
载荷与裂纹驱动力
通过实验确定材料的断裂阻力
R曲线方法
END
遇到什么问题？什么因素阻碍了金属材料中的裂纹扩展？ • 如何分析（计算）受载荷固体的裂纹扩展驱动力？ • 实验中如何确定材料的断裂阻力（断裂能）？
Griffith问题
受外载荷作用的裂纹体能量
虚拟裂纹扩展
裂纹驱动力： 裂纹扩展阻力：
固体强度：
金属材料的断裂能量
• 除表面能之外，材料的断裂能包括材料 发生பைடு நூலகம்离时的塑性变形能量耗散。后者 可能比表面能高两个两级。

断裂力学讲解chGriffith理论

断裂力学讲解chGriffith理论

E'/L
通过计算做功来计算
能量差异
u2
u2
对于无限大板含裂纹(a<<L) u2x14 1 a2x1 2, x1a
弹性应变能： U e
1a2B 8
2
【题
2-1】
：剪切模量， 313－4，，平平面面应应力变
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
上面是位移边界
【题 2-2】如果采用力边界，如何采用u2叠加原理计算能量？u2讨论
单边裂纹vs双边
A
代表面积，
G
的量纲为
N
/
m
，是广义能量力，
G
2
E
a
A 是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
材料对裂纹临界扩展的抗力：
Gc
A
2
（理想脆断）
Griffith 起裂准则：
不起裂 G Gc 临界状态

（针对平衡态静止裂纹）
失稳扩展 G Gc 随遇平衡
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向
◎ 热能区别于其他能量形式
◎ 很多能量都最终耗散转化为热能
◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
如何检查叠加是否正确？
线性系统（线弹性、小变形、小u2 转动）
u2
检查以下等式是否都满足
(c) (b) (d) ， (c) (b) (d)

哈工大断裂力学讲义

哈工大断裂力学讲义

裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为
S = 4aBγ
γ ——形成单位面积表面所需要的表面能
4aB ——上下表面的面积和。
4
1 能量释放率与G准则
临界状态：应变能释放率
dU (dA = 2Bda) dA
= 形成新表面所需要吸收的能量率 dS dA
d (U − S) = 0 dA
稍有干扰，裂纹就自行扩展，成为不稳定。
5
1 能量释放率与G准则
d (U − S ) = 0 dA
d (U − S ) < 0 dA
d (U − S ) > 0 dA
临界状态 裂纹稳定 裂纹不稳定
应变能释放率 能量吸收率
G1
=
dU dA
G1c
=
dS dA
I代表I型裂纹，那么裂纹的临界条件为
G1 = G1c
6
1 能量释放率与G准则
对于平面应力问题，
σz = σ
z2 − a2
( ) lim
z →∞
Z
' 1
(
z
)
=
lim
z →∞
− σa 2
z2 − a2 3/2
=0
在裂纹表面 y=0 x < a 处
Z1(z) =
σz =
z2 − a2
σx
x2 − a2
⎧σ
⎪
x
=
σ
⎨σ y = σ
⎪⎩τ xy = 0
虚数！
y=0
Re Z1(z) = 0
1 σε = 1 σ 2
2 2E
中心割开一个裂纹，那么由于裂纹表面应力消失，放出部分应变
能。
3
1 能量释放率与G准则

清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论

清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913

断裂力学讲义ch2-Griffith理论_474608451

断裂力学讲义ch2-Griffith理论_474608451



E' / L


u2
2 如果以(b) 为应变能零状态,要求解u (c) 状态能量,先转 换成求(d)状态能量
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？
若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理

通过计算做功来计算 能量差异

E' / L


u2 u2
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律）
系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向 ◎ 热能区别于其他能量形式 ◎ 很多能量都最终耗散转化为热能 ◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
e GBda W dU d 最一般情形：
外势能（外力势） 杨卫教材
G
1 B a
P
1 U e 系统位移边界固定： ， B a （1.10） 1 G Ue w Ue （1.17） B a （1.18） G
P 固定情形：
材料常数？
塑性 区
F
F
1． 塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小 a 或其他 特征长度尺寸） 2． 裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变 形功 3． 塑性功的大小足以表征材料的断裂性能
一些讨论 什么是表面能？ 裂纹长度 a 是单调增的！？ 怎么理解能量释放率 G 与加载方式无关（广义构型力，能量 平衡） Legendre 变换和状态函数的选择 存在一个特征尺度，尺寸效应
上面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功 的交换，即 W 0 下面的例子试件子系统与外界会有功的交换， 但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先 仍研究没有功交换的情形

哈工大断裂力学讲义第一章

哈工大断裂力学讲义第一章

GⅠ
KⅠ2 E
E E
E
1
E
2
平面应力 平面应变
同理
GⅡ
KⅡ2 E
GⅢ
1
E
KⅢ2
32
4G 2
22
v KⅠ a x (2k 2)
4G 2
31
a
在闭合时,应力在 a那段所做旳功为
B 0
yvdx
GⅠ
B Ba
a
0 yvdx
1 a
a 0
KⅠ KⅠ
2 x 4G
a
2
x
(2k
2)dx
4k 1 4G
KⅠ2
平面应力
k
3 1
,
GⅠ
KⅠ2 E
平面应变
k 3 4
GⅠ
1 2
E
KⅠ2
13
撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面 而与裂纹前沿线方向平行旳剪应力 作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.
二.裂纹尖端附近旳应力场.位移场
1.Ⅰ型裂纹 问题旳描述:无限大板,有一长为 2a 旳穿透裂纹,在无限
远处受双向拉应力 旳作用.拟定裂纹尖端附近旳应力
场和位移场.
14
1939年Westergaurd应力函数
3
Griffith研究了如图所示厚度为B旳薄平板。上、下端受 到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到 因为裂纹存在而释放旳弹性应变能为
U 1 2 a2 2B
E
U 1 a2 2B
E
平面应变 平面应力
4
另一方面，Griffith以为，裂纹扩展形成新旳表面， 需要吸收旳能量为
解析函数性质:任意解析函数旳实部和虚部都是解析旳.

断裂力学课件-精品

断裂力学课件-精品
Weibull, W. (1951) J. Appl. Mech., 18, 293.
材料从内部应力为的某点处发生断裂的概率 P 可以写成
Pf
1 exp
V
0
m
dV
m为 Weibull 模数，表征数据的离散程度
令
Ve
m
V
陶瓷材料的强度 与断裂
v 临界应力理论引出强度的概念 v 1921年：Griffith裂纹扩展的判据 v 20世纪50年代：Irwin断裂力学出现
英国德哈维兰彗星号(de Havilland Comet)，是 方形的窗户，四个角的部位容易产生疲劳裂纹
1. 引言：Griffith理 论
应力集中效应
M 弯曲内跨距 10 mm 外跨距
四点弯曲
30 mm。
max,4-pt
3 2
P(L l ) bh 2
v 加载速率为0.5 mm/min。
弯曲强度测试的几点讨论
ü 承载点：可以自由转动的圆柱形 短棒支撑 (固定短棒支撑可能给 出偏高的结果)
ü 试样形状：平行度、高跨比、高 宽比……
ü 表面加工：受拉面抛光、边棱倒 角、(机加工缺陷及表面应力的引 进与消除)
2. 断裂强度的测试及其统计性质 3. 缺陷及其对断裂强度的影响 4. 显微结构对断裂强度的影响 5. 环境对强度的影响
强度是工程设计中最实用的一个材料性能参数。
2. 强度的测试及其统 计性质
应
ห้องสมุดไป่ตู้
力
c a
应变
b
v 陶瓷的应力 应变关系通 常表现为线 c 所示的纯线 性。
v 高温下的非线性主要源自 玻璃相的粘滞流动、蠕变
f (MPa)
400

哈工大断裂力学讲义

哈工大断裂力学讲义

处
τ xy = 0
在 z →∞处
Z1 ( z ) =
能够满足全部边界条件 我们可以考察一下
σz
z −a
2 2
25
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
无穷远处
lim Z 1 ( z ) = lim
z →∞ '
σz
z −a − σa 2
2 2 2
z →∞
=σ =0
lim Z 1 ( z ) = lim
对于平面应力问题， dA = 2 Bda
U=
πσ 2 a 2 B
E
dU σ 2π a = dA E
临界条件
dS = 2γ dA
或
σ πa
2 c
E
= 2γ
σ 2π ac
E
= 2γ
临界应力：
2 Eγ 1 )2 σc = ( πa
表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展 时，拉应力的临界值——剩余强度。
∂2 ∂ 2ϕ ∂2 Re Z y Im Z1 + ＝ 1 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2
(
)
(
)
σ x＝Re Z1 − y Im Z
同理(自行推导)可得：
' 1
∂ 2ϕ ‘ σ y＝ 2 ＝Re Z 1 + y Im Z 1 ∂x 2 ∂ϕ ‘ τ xy＝ − ＝ − y Re Z1
∂x∂y
23
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能
金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为P 剩余强度和临界裂纹长度
9
1 能量释放率与G准则
例如：设裂纹扩展单位面积所需要的塑性变形能为P ,则 对金属p比
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E' / L


u2
2 如果以(b) 为应变能零状态,要求解u (c) 状态能量,先转 换成求(d)状态能量
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？
若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理

通过计算做功来计算 能量差异

E' / L


u2 u2
e
外势能（外力势）
G
1 B a
P
Anderson 教材（2.26-） 系统位移边界固定： Ue
G 1 B a

1 U e B a

P 固定情形： Ue P ， Ue P / 2 ， Ue ，
G 1 B a
E' / L

为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?
u2 u2



E' / L
ห้องสมุดไป่ตู้
自杨卫书


如何检查叠加是否正确？

E' / L


2
线性系统（线弹性、小变形、小转动） u 检查以下等式是否都满足
( c ) (b ) ( d ) ， ( c ) (b ) ( d )
材料常数？
塑性 区
F
F
1． 塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小 a 或其他 特征长度尺寸） 2． 裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变 形功 3． 塑性功的大小足以表征材料的断裂性能
一些讨论 什么是表面能？ 裂纹长度 a 是单调增的！？ 怎么理解能量释放率 G 与加载方式无关（广义构型力，能量 平衡） Legendre 变换和状态函数的选择 存在一个特征尺度，尺寸效应
W dU d 0
e
GBda W dU e d
d da ，B:试件厚度 da
断裂的驱动力
断裂阻力
断裂是一个材料生成新表面的过程！
GBda W dU e d d da da
阻力：表面能 d 2daB 单位面积表面能，或表面张力 驱动力：
GBda W dU e
G:裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为能量释放率。
d GBda W dU d da da
e
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子， 在断裂过程中没有系统和外 界功的交换，即 W 0
一个例子:Griffith 脆断理论(1920，1924)
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律）
系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向 ◎ 热能区别于其他能量形式 ◎ 很多能量都最终耗散转化为热能 ◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
1 U e 2 B a

材料对裂纹临界扩展的抗力： Gc 2 （理想脆断） A
Griffith 起裂准则：
不起裂 G Gc 临界状态
（针对平衡态静止裂纹）
失稳扩展 G Gc 随遇平衡 裂纹扩展稳定性条件： a a 稳定裂纹 更准确的应该是？
Gc 随 a 的变化称为材料的断裂阻力曲线
U e G 能量释放率： A 1 U e 2 B a
为什么是2，与前面不同?哪个公 式更普适？


单边裂纹vs双边
2 A 代表面积， G 的量纲为 N / m ，是广义能量力， G E a A 是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半
能量释放率：
G
U e A


d da da
对于这种位移固定加载的系统，
d U e d 裂纹扩展的临界状态对应于 da da d U e d 裂纹扩展需满足 da da ， 即 d U e 0 da
对于这种位移固定加载的系统，可以用 总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue 作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演 化。
※裂纹扩展的稳定性讨论
2 G P 2 d 2C 2 dC 2 a T 2 B da C CM da 【题 2-4】 失稳扩展 2 2 d C 2 dC 2 B Gc 随遇平衡 2 2 da C CM da P a 稳定裂纹
考察一个断裂过程中的能量平衡 W dU e d dUT Q (*) W ：外界对系统做的功 dU e ：系统的弹性应变能增加 d ：系统新增表面能 dUT Q ：断裂过程中系统产生的热 dU T 是系统内部热能增加， Q 传出系统 的热量。
T 热力学第二定律要求 dU Q 0 ，由(*)式得
u( c ) u ( b ) u ( d ) ， t ( c ) t (b ) t ( d ) ，
u2
f ( c ) f (b) f ( d )
其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？ 若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理
e U 计算弹性应变能 （有限板情形） ，采用叠加原理
d 【题 2-5】利用 GBda W dU d da da ，设
e
CM 0
（ i） （ii）
G 推导 P 给定时的 G 和 a P ；
以上都是针对给定位移 或载荷 P 的特
殊情况，一般情况下，如果已知 Pa ，
G 求 G 和 a ；
（iii） *以上推导都是针对线弹性情况的，即柔度 C 只是裂纹长度 a 的函数， 若对于非线性弹性， 则可以假设切线柔度与载荷有关， 如果我们已知
a 2E
载荷与裂纹几何参数组合 纯粹的材料参数组合

Y
载荷参数
纯粹的材料参数组合
相似性？
位移固定边界下裂纹扩展的临界状态： d U e 0 da dU e d
da da
裂纹扩展的驱动力＝裂纹扩展的阻力 随裂纹扩展释放的应变能＝生成新表面需要能量
e GBda W dU d 最一般情形：
外势能（外力势） 杨卫教材
G
1 B a
P
1 U e 系统位移边界固定： ， B a （1.10） 1 G Ue w Ue （1.17） B a （1.18） G
P 固定情形：
整个加载系统的总弹性能为
U
total e 2 1 1 T PT 2 2 C a CM
能量释放率：
U etotal 1 U etotal P 2 dC G A B a 2 B da T T
与加载方式（即 C M ）无关！
最一般形式
GBda W dU e d
d da da
对于这种位移固定加载的系统，可以用 总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue 作为状态函数来确定系统演化的方向， 系统朝总能量减小方向演 化。
【题2-3】固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化 方向？
※一些讨论
2 E 临界裂纹长度 acr 2 =>
Ue P （1.34）
G 1 B a P （1.38）
我的讲述：
d 最一般情形： GBda W dU d da da 。 系统位移边界固定：与外界无能量交换，弹性应变内能 U e 是 1 U e G 合适的状态函数来描述系统演化过程， B a P 固定情形， 采用总势能 Ue P ， 可视为将 U e 做 Legendre 变换而得到， 是描述系统在固定力边界下面的状态函数， U e 是系统内势能， P 是系统
C p, a
d G dp a 和 Pa ，求 G 和 a
杨卫书p20（1.17）-（1.18）的论述合适吗?
我的讲述：
d da 。 da 系统位移边界固定： 与外界无能量交换， 弹性应变内能 U e 是合 1 U e G 适的状态函数来描述系统演化过程， B a P 固定情形， 采用总势能 Ue P ， 可视为将 U e 做 Legendre 变换而得到， 是描述系统在固定力边界下面的状态函数， U e 是系统内势能， P 是系统
P
1 U e B a
P
【 题 2-6】如何设计变截面双悬臂梁试件的高度，即求 h(a) 或 h( x) ，使得在恒定载荷 P 下，能量释放率 G 不随裂纹扩展而改 变？如果是恒定位移加载，如何设计 h(a) 来保持能量释放率 G 不随裂纹扩展而改变？
能量平衡方法小结 在一个断裂过程中，外界做的功一部分用于改变系统的应变 能，一部分用于生成新表面的表面能，剩下的就是最终变成 热。 能量释放率，裂纹扩展单位面积时势能的减少。能量释放率 与加载方式无关，但裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！ G 的实验测量—柔度标定 Griffith 理论在非理想脆性材料中的修正 内能，总势能，Legendre 变换，以及如何判断一般情形下的 演化过程
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d d da da
表面能： 4aB ， （单位面积表面能） 外界对系统做功 W 0 ，位移固定边界。
如何计算弹性应变能的改变 dU ？
e
为什么是4倍?
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理



上面是位移边界

E' / L


u2 u2
【题 2-2】如果采用力边界，如何采用叠加原理计算能量？讨论 有限板和无限大板？仍假设裂纹面位移 u2 x1 , x1 a 可以由其他 方法得到