地图学第二章地图的数学基础

地球仪上经纬 线网格和地图 上比较:
➢地图投影变形表现： 长度、面积、角度三个方面；
➢地图投影变形规律：
变形值是一变量变； 不同投影其投影变形值不同； 同种投影不同位置投影变形值不同；
➢变形椭圆：
图2-16 投 影 变 形 示 意 图
➢变形椭圆：
➢ 变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响， 把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆， 通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种 图解方法就叫变形椭圆。
➢数学解析投影： ➢地图投影变换：
(x,y)
(x’,y’)
2.3 地图投影变形
➢ 地图投影的任务：
• 研究和建立球面上点与平面上点一一对应的函数
关系： xf1,l yf2,l
• 研究地图投影变形：变形的大小； 变形的性质； 变形的分布规律；
➢ 投影变形的概念 • 地图投影不能保持球面与平面之间在长度（距离）、角度 （形状）、面积等方面完全不变。 • 由地图投影造成的变形——投影变形。
•形状接近于绕短轴旋转而成的椭球体
旋转椭球面
•
大地水准面
• 旋转椭球体（地球椭球体）——地球的数学表面——对 地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面
• 地球椭球体三要素：
长轴a （赤道半径） 短轴b （极半径） 椭球扁率：f＝（a－b）/a
• 数学模型：
x2 a2
y2 a2
z2 b2
1
X
Z Y
对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与
➢ 地球体的自然表面 —— 十分不规则的表面
由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，显然不能 作为测量与制图的基准面。应该寻求一种与地球自然表面 非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。
• 该几何体必须满足两个条件:
✓ 形状接近地球自然形体； ✓ 可以用简单的数学公式表示。
➢ 地球体的物理表面 —— 大地水准面
结论：
微分圆长、短半轴的大小，等于该点主方 向的长度比。
也就是说，如果一点上主方向的长度比 （极值长度比）已经确定，则微分圆的大 小和形状即可确定。
➢ 投影变形的性质和大小
• 长度比和长度变形：
投影面上一微小线段和球面上相应微小线段（已按规 定的比例缩小）之比。
长度比m ：
m ds' ds
长度变形Vm:
• 因此，解决： 球面与平面之间的矛盾——将地球椭球面上的点 转换成平面上的点。
➢ 地图投影：就是按照一定的数学法则，将椭球面上的 地理事物转换到平面上理论与方法。
xf1,l yf2,l
A,l
地图投影
y
ax, y
x
2.2 地图投影方法
➢几何透视投影： 按几何透视的法则将球面上的点投 影到一定的几何面上。
➢ 按地图投影的内在条件——变形性质
✓等角投影：
投影面上的角度与球面上相应角度相等。
角度变形为零 ；0 ab
用途：要求角度相等的地图, 航海地图、洋流图、风向图等；
特点：面积变形较大 以牺牲面积保证角度的相等；
✓等积投影：
投影面上的面积与球面相应面积相等。
面积变形为零 p 1 ab1
用途：要求面积相等的地图：自然地图、经济图； 特点：角度变形较大——以牺牲角度保证面积的相等；
陕西省泾阳 县永乐镇北 洪流村为 “1980西安 坐标系”
大地坐标的 起算点—— 大地原点。
大地原点
1.2 坐标系
大地坐标：
经度l ：指参考椭球面上过某点的大地
子午面与本初子午面间的两面角。东经
为正，西经为负。
纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（
法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南 纬为负。
一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正 交关系。在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方向。 取主方向为作为微分椭圆的坐标
特殊方向
长轴方向（极大值）a 主方向
短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
P = a·b = m ·n (q = 90)（主方向和经向纬向一致）
P = m ·n ·sin q (q≠ 90)（阿波隆尼定理）
面积比是变量，随位置的不同而变化。
• 角度变形：
投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方 向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。
最大角度变形可用极值长度比a,b表示
➢ 数字比例尺：1:1万、1:25万
➢文字比例尺： 万分之一
➢图解比例尺： 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺
•直线比例尺：
以直线线段形式标明图上线段长度对所对应的地面距离。
• 斜分比例尺：
微分比例尺，根据相似三角形原理制成。可以量取比例尺 基本长度单位的百分之一。
• 复式比例尺：
投影比例尺，小比例尺地图上使用。根据地图主比例尺
➢ 大地体
由大地水准面包围的形体——大地体。
最能代表地球的形状
➢ 地球体的数学表面 — 地球椭球体面
大地水准面仍然不是一个规则的曲面。因为重力线方 向并非恒指向地心，导致处处与重力线方向正交的大地水 准面也不是一个规则的曲面。大地水准面实际上是一个起 伏不平的重力等位面。
• 大地体特点： •形状不规则
m2
R sin
Z
p
d R 2 sin ZdZ
sin m 2 m 1 2 m2 m1
➢ 方位投影种类
透视方位投影
• 球心投影 • 球面投影 • 正射投影
• 球心投影公式
f Z
x cos y sin
R tan Z x cos R tan Z cos y sin R tan Z sin
1.3 比例尺
1) 地图比例尺的含义
当制图区域比较小、景物缩小的比率也比较小时：图 上长度与相应地面之间的长度比例。
当制图区域相当大、景物缩小的比率也相当大时：对 地球半径缩小的比率，为主比例尺。在地图上体现为个别 的点或线。因此，用图者不可随意量算。图上也不可绘制 直线比例尺。
2) 地图比例尺的表示
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
• 面积比和面积变形：
投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相 应的微小面积（微小圆面积）dF之比。
面积比P
pdF' abab dF
面积变形Vp Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
➢ 大地水准面
海洋
陆 地
大地水准面
大地水准面的意义
1. 地球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺 少的相当。
2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制 图中，均把地球当作正球体。
3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面 的高度）。
8,848.13m ——8844.43m 珠穆朗玛峰 11,034m 玛利亚那海沟
70% 海洋、30%陆地
• 25.4cm in diameter, • Mt. Everest would be a 0.176mm bump in the ball, • Mariana trench a 0.218mm scratch in the ball,
参考椭球面
• 中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ；
• 1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体
（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ；
量与地
球物理学联合会 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定 陕西泾阳县永乐镇北洪流村为大地坐标的起算点。
正轴
横轴
斜轴
▪ 圆锥投影：
• 种类：
✓ 条件投影：
不借助于一定的投影面，而根据某种条件构成的投影
• 伪方位投影 • 伪圆柱投影 • 伪圆锥投影
3. 常用的地图投影
3.1 方位投影及其应用 3.2 圆柱投影及其应用 3.3 圆锥投影及其应用 3.4 伪投影及其应用
3.1 方位投影及其应用
➢ 方位投影的概念及一般公式 ➢ 方位投影变形公式 ➢ 方位投影的种类 ➢ 方位投影的变形规律 ➢ 方位投影的应用
和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。通常 是对每一条纬线单独设计一个直线比例尺，再组合起来。
2. 地图投影概述
2.1 地图投影的概念 2.2 地图投影方法 2.3 地图投影变形 2.4 地图投影分类
2.1 地图投影的概念
地图投影
不可展曲面
平面
地图投影
• 可见,地球椭球面是不可展开的面，不采用一定 的方法而直接展为平面时，都会产生褶皱,拉伸 或断裂等无规律变形，这种不完整的平面无法绘 制科学、准确的地图。
▪ 水准面：自由静止的水面
特性： 处处与铅垂线相垂直；
离心力 地心引力
重力G 地心
有无数多个；
➢ 地球体的物理表面 —— 大地水准面
假想将静止的平均海水面延伸到大陆内部，形成一个连续不 断的，与地球比较接近的形体，其表面称为大地水准面。
地球自然表面 地 球椭球 面
平均海水 面
它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面
sin a b
2 ab
实用上常以下公式求得：
tan(45
)
b
2
a
•长度变形：
mds' f a,b
ds
•面积变形：
p df ' a b df
•角度变形：
sin
ab
2 ab