第二章地图的数学基础习题及参考答案.

第二章地图的数学基础习题及参考答案习题一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。

2.在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。

3.1：100万的地形图，是按经差2º，纬差3º划分。

4.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。

5.球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。

6.长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向的变化而变化。

7.长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。

8.面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。

9.制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。

10.在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。

11.J—50—5—E表示1：5万地形图。

12.地形图通常是指比例尺小于1：100万，按照统一的数学基础，图式图例，统一的测量和编图规范要求，经过实地测绘或根据遥感资料，配合其他有关资料编绘而成的一种普通地图。

13.等积投影的面积变形接近零。

14.等角投影能保持制图区域较大面积的形状与实地相似。

15.水准面有无数个，而大地水准面只有一个。

16.地球面上点的位置是用地理坐标和高程来确定的。

17.正轴圆锥投影的各种变形都是经度的函数，与纬度无关。

18.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。

以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。

）19.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ。

20.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。

二、名词解释1.大地体2.水准面3.大地水准面4.椭球体5.天文经度6.天文纬度7.大地经度8.大地纬度9.1956年黄海高程系10.地图投影11.长度比12.长度变形13.面积比14.面积变形15.角度变形16.等变形线17.方位投影18.圆住投影19.圆锥投影20.高斯-克吕格投影21.直线定向22.真子午线23.磁子午线24.磁偏角25.子午线收敛角26.磁坐偏角27.方位角28.象限角29.三北方向三、问答题1.简述地球仪上经纬网的特点。

第二讲 地图地图是按照一定数学法则，用规定的图式符号和颜色，把地球表面的自然和社会现象，有选择地缩绘在平面图纸上的图。

如中国政区图、各种比例尺地形图等。

一、地图的三要素（一）比例尺1．定义：表示图上距离比实地距离缩小的程度 比例尺＝图上距离/实地距离2．表示形式：数字式文字式线段式例1：在一张地图上，60°N 纬线上有两地，其图上距离为11.1cm ，经度相差30°。

则此图的比例尺是A 、1：15000000B 、1：1000000C 、1：30000000D 、1：15000003例2:A 乙图上一厘米代表的水平距离是甲图的2倍B 乙图表示的范围比甲图广，内容比甲图详细C 甲图表示的范围比乙图广，内容比乙图详细D 甲图表示的范围比乙图小，内容比乙图粗略4、比例尺的放大与缩小①比例尺放大：原比例尺×放大到的倍数或原比例尺×（ 1＋放大倍数）。

例如：将1/20000的比例尺放大1倍，即比例尺放大到2倍，放大后的比例尺是：1/10000，比例尺变大。

②比例尺缩小：原比例尺×缩小到的倍数（分数倍）或原比例尺×（1－缩小倍数）例如：将1/120000的比例尺缩小1/4，即比例尺缩小到3/4，缩小后的比例尺应为：1/160000，比例尺缩小。

③缩放后图幅面积的变化：比例尺放大后的图幅面积=原图面积×放大到的倍数之平方。

例如：将比例尺放大到原图的2倍，则放大后图幅面积是原来的4倍。

比例尺缩小后的图幅面积=原图面积×缩小到的倍数之平方。

例如：将比例尺缩小到原图的1/2，则图幅面积为原图的1/4注意:比例尺缩放只是对距离的缩放,而不是对图的缩放。

地图图幅放大的倍数是其比例尺放大倍数的平方。

例3:将1：1000的地图比例尺放大1倍后，下列说法正确的是 (）A 、新图比例尺为1：2000B 、新图图幅面积比原图增加了2倍C 、新图表示的地理事物比原图简略D 、在原图上淮河的长度为10厘米，在新图上长20厘米5.比例尺大小的选定(1)给自己家绘制一张新居布置平面图选用：选用大比例尺(2)在一张边长为104cm 的白纸上绘制中国政区图，边上各留2cm 的边框，问下列比例尺中最合适的是：A ．1：5000000B ．1：5700000C ．1：6000000D ．1：5300000【解析】图上最大距离为100cm,我国行政区划的实地距离南北约5500km,东西约5000km,则分别可采用的比例尺是1：5000000和1：5500000，由于纸张大小一定，所以为了让中国的所有区域都绘制出来，应选择小的比例尺，比例尺小于1：5500000都可以，但在所给的小于1：5500000比例尺中，越大的比例尺因为反映的地理事物越详细，则应选择比较大的较为合适。

第二章位置和方向（二）第2节描述并绘制路线图测试题基础知识一、看图回答问题。

1、下图为某路公交车的行车路线。

从广场出发向（）行驶（）站到电影院，再向（）行驶（）站到商场，再向（）偏（）的方向行驶（）站到少年宫，再向（）偏（）的方向行驶（）站到动物园。

2、贝贝从幸福路站出发坐了4站，他可能在（）站或（）站下车。

3、京京坐了3站在少年宫下车，她可能是从（）站或（）上车的。

二、选择4、图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的（）。

°方向500米处°方向500米处°方向500米处°方向500米处5、如图，山东省在北京市的（）。

6、以学校为观测点，广场在西偏北30°的方向上，下图中正确的是（）。

7、如图，下面说法正确的是（）。

°方向上，距离300米处°方向上，距离200米处°方向上，距离300米处°方向上，距离200米处重点难点训练三、绘制路线图解答8、张华从家往正东方向走600米到红绿灯处，再往西北方向走300米到书店，最后往东偏北30°方向走450米到学校。

（1）画出张华到学校的路线示意图；（2）已知张华从学校回家每分钟走100米，根据路线示意图，完成下表。

9、根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。

（1）小彬家在广场西南方向1200米处；（2）小丽家在广场北偏西20°方向600米处；（3）柳柳家在广场东偏北30°方向900米处。

10、一艘军舰，从起点向东偏北60°行驶72千米后向东行驶36千米，最后向北偏西30°行驶24千米到达终点。

（1）根据上面的描述，把军舰行驶的路线图画完整；（2）根据路线图，说一说军舰按原路回程时所行驶的方向和路程；（3）如果从终点返回起点用了4小时，这艘军舰返回时的速度是多少？11、豆豆上学：（1）看图描述豆豆从家到学校的路线；（2）如果豆豆每分钟走60米，豆豆从家到学校需要多少分钟？（3）学校8:00开始上课。

一、名词解释1．地图：是遵循相应的数学法则，将地球上（包括其他星体）的地理信息，通过科学的概括，并运用符号系统表示在一定载体上的图形，以传递它们的数量和质量在空间和时间上的分布规律和发展变化。

2．地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法。

3．普通地图：是用相对平衡的详细程度来表示地球表面的地貌、水系、土质植被、居民点、交通网、境界线等自然地理要素和社会人文要素一般特征的地图。

4．分层设色法：在地图上等高线间普染不同深浅的诸种颜色来表示地貌高低起伏的方法。

5．地图概括：也称制图综合，就是采取简单扼要的手法，把空间信息中主要的、本质的数据提取后联系在一起，形成新的概念。

二、单项选择题1. 普通地图上的社会人文要素不包括（C ）。

A. 居民点B.交通网C.水系D.境界2. 下列注记字列中，各字中心线连线是一条自然弯曲的曲线的是（D ）A.水平字列B. 垂直字列C.雁行字列D.屈曲字列3. 墨卡托投影属于（ B ）A.圆锥投影B.圆柱投影C方位投影 .D任意投影4. 1985国家高程基准其比1956年黄海高程系国家水准原点的高程值（ A ）。

A. 下降29毫米B. 左移29毫米C. 上升29毫米D. 右移29毫米5. 全长572公里哈同公路在地图上为57.2厘米，则该图属于（D ）。

A.地理图B.大比例尺地图C.中比例尺地图D.小比例尺地图6. 某点在CGCS2000椭球系下，投影高为零，高斯投影3°带的坐标表示为x（北）=5146256m，y （东）=43483542m，则该点在6°带第22带的实际坐标为x（北）和y（东）（A ）。

A. 5146256，-16458B. 5151256.625，253054.481C. -16458，5146256D. 42983542，51462567. 图号为I-52-6-(48)的地图是（A ）比例尺地形图。

A. 1:1万B. 1:2.5万C. 1:5万D. 1:10万8. 一幅标准图幅（40cm×50cm）的1:10000的地形图的实际面积（ D ）平方公里。

地图的基本特征1、地图的数学基础2、使用了特殊的符号与注记3、实施了地图概括（制图综合）地图的基本矛盾是什么呢？第一是地图平面与地球曲面的矛盾第二个矛盾：缩小、简化了的地图表面与实地复杂现实之间的矛盾。

结论：解决曲面和平面矛盾的数学法则构成了地图的数学基础，这是地图的第一个基本特性。

自从人们将地球表面描绘到平面上来的时候，缩小、简化了的地图表面与实地复杂现实之间的矛盾就存在了。

解决这一矛盾，产生了地图表象的“抽象”法则或“综合”法则，包括两个方面：一是地图内容的符号化；二是地图内容的简化（选取、化简和概括）。

地图上的符号能起到定位、定性、定量的作用。

1、能分类分级地表示复杂的事物和现象。

2、表示实地形体虽小，但有重要意义的物体。

3、表示事物的质量和数量特征。

4、表示地面上被遮盖的物体。

5、表示无形的现象。

地图的基本要素：数学要素、辅助要素，地理要素。

地图的功能1、地图的模拟功能2、地图的空间信息载负功能3、地图的空间信息传输功能4、地图的空间认识功能地图学的结构及学科分支：理论地图学、地图制图学、应用地图学西晋地图学家裴秀及其《禹贡地域图十八篇》朱思本的《舆地图》与元代前的地图明代的各种地图及《郑和航海图》地图学与相关学科的关系：测量学、地理学、地名学色彩学与美学、计算机技术遥感技术、心理学符号学、地理信息系统、数学数学要素：坐标网：地理坐标网、直角坐标网控制点：（大比例尺图上）比例尺：地图相对实地的缩小程度定向：地图上图形的方向是根据一定的数学法则当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。

在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。

它实际一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。

它所包围的形体称为大地体。

在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。

椭球体三要素:。

地图学第二章复习题及答案第二章复习题一、选择题1.将地球椭球面上的点投影到平面上，必然会产生变形，长度变形是长度比与1的（B）。

A.积B.差C.和D.商2.为了阐明作为投影变形结果各点上产生的角度和面积变形的概念，法国数学家底索采用了一种图解方法，即通过（D）来论述和显示投影在各方向上的变形。

A.透视光线B.参考椭圆C.数学方法D.变形椭圆3.按投影变形性质分类，可将地图投影分为等角投影、等积投影和（A）。

A.任意投影B.方位投影C.圆柱投影D.圆锥投影4.圆锥投影中纬线投影后为（D），经线投影后为相交于一点的直线束，且夹角与经差成正比。

A.直线B.相交于圆心的直线束C.相交于某一点的弧线D.同心圆圆弧5.我国自1978年以后采用（C）作为百万分一地形图的数学基础。

A.等面积圆锥投影B.等距离圆锥投影C.等角圆锥投影D.等角方位投影6.正轴等距圆锥投影沿（A）保持等距离，即m=1。

A.经线B.纬线。

C.旋转轴D.标准纬线。

7.正轴圆锥投影的变形只与（B）发生关系，而与经差无关，因此同一条纬线上的变形是相等的，也就是说，圆锥投影的等变形线与纬线一致。

A.经线B.纬线C.距离D.方向8.圆锥投影最适宜用于（D）处沿纬线伸展的制图区域的投影。

A.高纬度B.低纬度C.赤道D.中纬度9.就制图区域形状而言，方位投影适宜于具有圆形轮廓的地区，就制图区域地理位置而言，在两极地区，适宜用（A）投影。

A.正轴B.斜轴C.横轴D.纵轴10.横轴等积方位投影在广大地区的小比例尺制图中，特别是（B）中应用得很多。

A.全球地图B.东西半球图C.各大洲地图D.两极地图11.在正常位置的圆柱投影中，纬线表象为（A），经线表象为平行直线。

A.平行直线B.相交于圆心的直线束C.相交于某一点的弧线D.同心圆圆弧12.等角航线是地面上两点之间的一条特殊的定位线，它是两点间同（C）构成相同方位角的一条曲线。

A.所有纬线B.投影轴C.所有经线D.大圆航线13.1949年中华人民共和国成立以后，就确定（D）为我国地形图系列中1：50万，1：20万，1：10万，1：5万，1：2.5万，1：1万及更大比例尺地形图的数学基础。

第二章部分习题参考答案1.证明下列结论：1）在一个无向图中，如果每个顶点的度大于等于2，则该该图一定含有圈； 2）在一个有向图D 中，如果每个顶点的出度都大于等于1，则该图一定含有一个有向圈。

1）证明：设无向图最长的迹,10k V V V P =每个顶点度大于等于2，故存在与1V 相异的点'V 与0V 相邻，若,'P V ∉则得到比P 更长的迹，与P 的取法矛盾。

因此，P V ∈'，是闭迹，从而存在圈.0'10V V V V证明*：设在无向图G 中，有n 个顶点，m 条边。

由题意知，m>=(2n)/2=n ，而一个含有n 个顶点的树有n-1条边。

因m>=n>n-1，故该图一定含有圈。

（定义：迹是指边不重复的途径，而顶点不重复的途径称为路。

起点和终点重合的途径称为闭途径，起点和终点重合的迹称为闭迹，顶点不重复的闭迹称为圈。

）2）证明：设有向图最长的有向迹,10k V V V P =每个顶点出度大于等于1，故存在'V 为k V 的出度连接点，使得'V V k 成为一条有向边，若,'P V ∉则得到比P 更长的有向迹，与P 矛盾，因此必有P V ∈'，从而该图一定含有有向圈。

2.设D 是至少有三个顶点的连通有向图。

如果D 中包含有向的Euler 环游（即是通过D 中每条有向边恰好一次的闭迹），则D 中每一顶点的出度和入度相等。

反之，如果D 中每一顶点的出度与入度都相等，则D 一定包含有向的Euler 环游。

这两个结论是正确的吗？请说明理由。

如果G 是至少有三个顶点的无向图，则G 包含Euler 环游的条件是什么？证明：1）若图D 中包含有向Euler 环游，下证明每个顶点的入度和出度相等。

如果该有向图含有Euler 环游，那么该环游必经过每个顶点至少一次，每经过一次，必为“进”一次接着“出”一次，从而入度等于出度。

从而，对于任意顶点，不管该环游经过该顶点多少次，必有入度等于出度。

新编地图学复习题答案一、选择题1. 地图的基本要素包括：A. 比例尺、图例、注记B. 比例尺、方向、图例C. 比例尺、方向、注记D. 比例尺、图例、注记、方向答案：D2. 地图比例尺表示地图上的距离与实际距离的比值，其计算公式为：A. 比例尺 = 图上距离 / 实际距离B. 比例尺 = 实际距离 / 图上距离C. 图上距离 = 比例尺× 实际距离D. 实际距离 = 图上距离 / 比例尺答案：A3. 地图上的方向表示方法主要有：A. 经纬网定向法B. 上北下南定向法C. 指向标定向法D. 所有上述方法答案：D4. 地图的分类方式包括：A. 按内容分类B. 按用途分类C. 按比例尺分类D. 所有上述方式答案：D5. 地图投影的目的在于：A. 将地球表面的曲形转换为平面图形B. 保持地球表面的面积不变C. 保持地球表面的距离不变D. 保持地球表面的方位不变答案：A二、填空题1. 地图上表示地形起伏的等高线，其间隔表示的是________。

答案：地形的坡度2. 地图上表示水系的符号通常包括________和________。

答案：河流、湖泊3. 地图上表示道路的符号通常包括________和________。

答案：公路、铁路4. 地图上表示植被的符号通常包括________和________。

答案：森林、草地5. 地图上表示建筑物的符号通常包括________和________。

答案：房屋、工厂三、简答题1. 请简述地图比例尺的作用。

答案：地图比例尺的作用是表示地图上的距离与实际距离的比值，它帮助用户理解地图上的距离与现实世界中的距离之间的关系，从而能够准确地测量和估算地图上的各种地理要素。

2. 请简述地图上的方向表示方法有哪些，并说明它们的特点。

答案：地图上的方向表示方法主要有经纬网定向法、上北下南定向法和指向标定向法。

经纬网定向法通过经纬线来确定方向，适用于所有类型的地图；上北下南定向法假设地图上方为北，下方为南，适用于没有指向标和经纬网的简单地图；指向标定向法通过地图上的指向标来指示北方，适用于需要明确方向指示的地图。

新版高一数学必修第一册第二章全部配套练习题（含答案和解析）2.1 等式性质与不等式性质基 础 练巩固新知 夯实基础1．若1a <1b <0，则下列结论中不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |2．已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1bC ．b a >b ＋1a ＋1D ．b －1b >a －1a3．下列说法正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若1a >1b，则a <bC ．若b >c ，则|a |b ≥|a |cD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 4．若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1<y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1>y 2D ．随x 值变化而变化 5．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．6．已知三个不等式①ab >0；①c a >db ；①bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．7．若x ①R ，则x 1＋x2与12的大小关系为________． 8．已知1<α<3，－4< β <2，若z ＝12α－β，则z 的取值范围是________．9.已知a >b ，1a <1b ，求证：ab >0.10．已知－2<a ≤3，1≤b <2，试求下列代数式的取值范围．(1)|a |； (2)a ＋b ； (3)a －b ； (4)2a －3b .能 力 练综合应用 核心素养11．设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>c |b |12．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜013．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；①a ＋b ＝c ＋d ；①a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________． 14．已知|a |<1，则11＋a 与1－a 的大小关系为________．15．已知a ，b ①R ，a ＋b >0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小．16．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较： (1)a 2＋b 2与b 的大小； (2)2ab 与12的大小．17．已知1≤a －b ≤2,2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．18．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．【参考答案】1. D 解析： ①1a <1b <0，①b <a <0，①b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，①A 、B 、C 均正确，①b <a <0，①|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误．2. A 解析：因为a >b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a，故选A.3. C 解析 A 项：a ，b ，c ，d 的符号不确定，故无法判断；B 项：不知道ab 的符号，无法确定a ，b 的大小；C 项：|a |≥0，所以|a |b ≥|a |c 成立；D 项：同向不等式不能相减．4. C 解析y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以y 1>y 2.故选C.5. 8(x ＋19)>2 200 8x >9(x －12) 解析：①原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x ＋19)>2 200.①若每天行驶(x －12)km ，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”， 写成不等式为8x >9(x －12)． 6. 3 解析：①①①①，①①①①.(证明略)由①得bc －ad ab >0，又由①得bc －ad >0.所以ab >0①①.所以可以组成3个正确命题．7. x 1＋x 2≤12 解析：①x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，①x 1＋x 2≤12. 8. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪－32<z <112 解析：①1<α<3，①12<12α<32，又－4<β<2，①－2<－β<4.①－32<12α－β<112，即－32<z <112. 9.证明：①1a <1b ，①1a －1b <0，即b －a ab<0，而a >b ，①b －a <0，①ab >0. 10. 解：(1)|a |①[0，3]．(2)－1<a ＋b <5.(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2；(4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6，①由1≤b <2得－6<－3b ≤－3，①由①＋①得，－10<2a －3b ≤3. 11. C 解析：选C.因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b 可正、可负、可为零． 由b >c ，a >0知，ab >ac .12. D 解析： 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又①b ＞c ，①0＜c ＜b 或c ＜b ＜0. 13. a <c <d <b 解析：由①得a ＝c ＋d －b 代入①得c ＋d －b ＋d <b ＋c ，①c <d <b .由①得b ＝c ＋d －a 代入①得a ＋d <c ＋d －a ＋c ，①a <c .①a <c <d <b . 14.11＋a≥1－a 解析：由|a |<1，得－1<a <1. ①1＋a >0,1－a >0.即11＋a 1－a ＝11－a 2①0<1－a 2≤1，①11－a 2≥1，①11＋a≥1－a . 15.解：因为a ＋b >0，(a －b )2≥0，所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )(a －b )(a ＋b )＝(a －b )2(a ＋b )≥0，所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b .16.解：(1)因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以0<a <12<b ，则a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，所以a 2＋b 2<b .(2)因为2ab －12＝2a (1－a )－12＝－2a 2＋2a －12＝－2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＝－2⎝⎛⎭⎫a －122<0，所以2ab <12.17.解：令4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，①⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又①1≤a －b ≤2，①3≤3(a －b )≤6，又①2≤a ＋b ≤4，①5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10，即5≤4a －2b ≤10. 故4a －2b 的取值范围为5≤4a －2b ≤10.18.解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a ，b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求a <b ，且ab ≥10%.由于a ＋mb ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )>0，于是a ＋m b ＋m >a b .又a b ≥10%，因此a ＋m b ＋m >ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．2.2 第1课时 基本不等式的证明基 础 练巩固新知 夯实基础1．已知a ，b ①R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝03．对x ①R 且x ≠0都成立的不等式是( )A ．x ＋1x ≥2B ．x ＋1x ≤－2C.|x |x 2＋1≥12D.⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2 4．已知x >0，y >0，x ≠y ，则下列四个式子中值最小的是( )A.1x ＋yB.14⎝⎛⎭⎫1x ＋1yC. 12(x 2＋y 2)D.12xy5．给出下列不等式：①x ＋1x ≥2； ①⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2； ①x 2＋y 2xy ≥2； ①x 2＋y 22>xy ； ①|x ＋y |2≥|xy |.其中正确的是________(写出序号即可)．6．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1； ①a ＋b ≤2； ①a 2＋b 2≥2； ①a 3＋b 3≥3； ①1a ＋1b≥2.7．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .能 力 练综合应用 核心素养8．若0<a <b ，a ＋b ＝1，则a ，12，2ab 中最大的数为( )A ．aB ．2ab C.12D ．无法确定9．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b 2B.abC.a 2＋b 22D.2aba ＋b10．设a >0，b >0，则下列不等式中不一定成立的是( )A ．a ＋b ＋1ab≥22 B.2ab a ＋b ≥abC.a 2＋b 2ab ≥a ＋b D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 11．已知a ，b ①(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则下列各式恒成立的是( )A.1ab≥8 B.1a ＋1b≥4C.ab ≥12D.1a 2＋b2≤12 12．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________．13．给出下列结论：①若a >0，则a 2＋1>a .①若a >0，b >0，则⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4. ①若a >0，b >0，则(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4. ①若a ①R 且a ≠0，则9a ＋a ≥6.其中恒成立的是________．14．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.15．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.【参考答案】1. D 解析：选D.对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ，即b a ＋a b≥2成立．2. B [解析] a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，①a ＝1时，等号成立．3. D [解析] 因为x ①R 且x ≠0，所以当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，－x >0，所以x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫－x ＋1－x ≤－2，所以A 、B 都错误；又因为x 2＋1≥2|x |，所以|x |x 2＋1≤12，所以C 错误，故选D. 4. C [解析] 解法一：①x ＋y >2xy ，①1x ＋y <12xy，排除D ；①14⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝x ＋y 4xy ＝14xy x ＋y >1(x ＋y )2x ＋y ＝1x ＋y ，①排除B ；①(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy <2(x 2＋y 2)，①1x ＋y>12(x 2＋y 2)，排除A.解法二：取x ＝1，y ＝2.则1x ＋y ＝13；14⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝38；12(x 2＋y 2)＝110；12xy ＝122＝18.其中110最小． 5. ① 解析：当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x≤－2，①不正确；因为x 与1x 同号，所以⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，①正确； 当x ，y 异号时，①不正确； 当x ＝y 时，x 2＋y 22＝xy ，①不正确；当x ＝1，y ＝－1时，①不正确．6. ①①① [解析] 令a ＝b ＝1，排除①①；由2＝a ＋b ≥2ab ①ab ≤1，①正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，①正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，①正确．7.[证明] 因为a ，b ，c 都是正数，所以bc a ，ac b ，ab c 也都是正数．所以bc a ＋ac b ≥2c ，ac b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 8. C 解析：选C.因为0<a <b ，a ＋b ＝1，所以a <12，因为ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，所以2ab <12，则a ，12，2ab 中最大的数为12，故选C.9. D [解析] 因为a >0，b >0，所以2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，a ＋b 2≥ab ，a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4≥(a ＋b )24＝a ＋b2(当且仅当a ＝b >0时，等号成立)．所以a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2ab a ＋b 中最小的是2aba ＋b，故选D. 10. B 解析：选B.因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab即a ＝b ＝22时取等号，故A 一定成立．因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2ab a ＋b ≥ab 不一定成立，故B 不成立．因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ＝（a ＋b ）2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b ≥2ab －ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，所以a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故C 一定成立．因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立，故选B. 11. B [解析] ①当a ，b ①(0，＋∞)时，a ＋b ≥2ab ，又a ＋b ＝1，①2ab ≤1，即ab ≤12.①ab ≤14.①1ab ≥4.故选项A 不正确，选项C 也不正确．对于选项D ，①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ，当a ，b ①(0，＋∞)时，由ab ≤14可得a 2＋b 2＝1－2ab ≥12.所以1a 2＋b 2≤2，故选项D 不正确．对于选项B ，①a >0，b >0，a ＋b ＝1，①1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋ab＋1≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选B.12. a ＋1a －1≤－1 解析:因为a ＜1，即1－a >0,所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2（1－a ）·11－a＝2.即a ＋1a －1≤－1.13.①①① [解析] 因为(a 2＋1)－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，所以a 2＋1>a ，故①恒成立． 因为a >0，所以a ＋1a ≥2，因为b >0，所以b ＋1b ≥2，所以当a >0，b >0时，⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，故①恒成立． 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ，又因为a ，b ①(0，＋∞)，所以b a ＋ab ≥2，所以(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，故①恒成立． 因为a ①R 且a ≠0，不符合基本不等式的条件，故9a＋a ≥6是错误的．14.证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以y x ＋z x ≥2yz x ＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0，x z ＋y z ≥2xyz ＞0，所以⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xyxyz＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 15.[证明] 证法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．证法二：因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ， ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8，因此⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.2.2 第2课时 基本不等式的综合应用基 础 练巩固新知 夯实基础1.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－22C ．3－2 3D ．－1 3．若0＜x ＜12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1 B.12 C.14D.184．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件5．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．56．已知y ＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．7．已知y ＝x ＋1x.(1)已知x ＞0，求y 的最小值；(2)已知x ＜0，求y 的最大值．8．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab .(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋2b 的最小值．能 力 练综合应用 核心素养9．已知a <b ，则b －a ＋1b －a＋b －a 的最小值为( )A ．3B ．2C ．4D ．110．已知实数x ，y 满足x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B.12C ．1D.3212．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54za C ．最大值1D ．最小值113．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．814．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________．15．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．16．设a>b>c，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．17．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋1x－3的最大值；(2)已知x＞0，求y＝2xx2＋1的最大值．【参考答案】1. B 解析：选B.因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92.即（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为92.2. C 解析：y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－2 3x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号． 3. C 解析：因为0＜x ＜12，所以1－4x 2＞0，所以x 1－4x 2＝12×2x 1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C. 4. B 解析：设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.5. C 解析：可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2ab ＝2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C. 6. 36 解析：y ＝4x ＋ax≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时y 取得最小值4a . 又由已知x ＝3时，y 的最小值为4a ，所以a2＝3，即a ＝36. 7. 解：(1)因为x ＞0，所以x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2. (2)因为x ＜0，所以－x ＞0.所以f (x )＝－⎣⎡⎦⎤（－x ）＋1－x ≤－2（－x ）·1－x ＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立．所以y 的最大值为－2. 8. 解：因为2a ＋b ＝ab ，所以1a ＋2b＝1；(1)因为a >0，b >0， 所以1＝1a ＋2b≥22ab ，当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab ≥8，即ab 的最小值为8；(2)a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9， 当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝3时取等号，所以a ＋2b 的最小值为9.9. A 解析：因为a <b ，所以b －a >0，由基本不等式可得b －a ＋1b －a ＋b －a ＝1＋1b －a＋(b －a )≥1＋21b －a·（b －a ）＝3， 当且仅当1b －a ＝b －a (b >a )，即当b －a ＝1时，等号成立，因此，b －a ＋1b －a ＋b －a 的最小值为3,故选A.10. D 解析：因为x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·xy＝8， 当且仅当4y x ＝xy时等号成立．故选D.11. A 解析：选A.因为x ＞0，所以x ＋12＞0，所以y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立，所以函数的最小值为0. 12. D 解析：y ＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2，因为x ≥52，所以x －2＞0，所以12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2≥12·2（x －2）·1x －2＝1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．故y 的最小值为1.13. B 解析 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋ax y ＋y x ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2⎝⎛⎭⎫当且仅当y x ＝a 时取等号 .①(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，①(a ＋1)2≥9.①a ≥4.14. 32 解析：因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32.当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.15. 8 解析：因为点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，所以2m ＋n ＝1， 所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2（2m ＋n ）n＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 16.解 由a >b >c ，知a －b >0，b －c >0，a －c >0.因此，原不等式等价于a －c a －b ＋a －c b －c≥m .要使原不等式恒成立，只需a －c a －b ＋a －cb －c的最小值不小于m 即可． 因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ×a －bb －c＝4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即2b ＝a ＋c 时，等号成立．所以m ≤4，即m ①{m |m ≤4}.17.解：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎡⎦⎤2（3－x ）＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x≥22（3－x ）·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎡⎦⎤2（3－x ）＋13－x ≤－22，－⎣⎡⎦⎤2（3－x ）＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x .因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1.2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式基 础 练巩固新知 夯实基础1．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7} B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x<－2或x≥3}2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为() A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解() A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}4．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是() x|x<－1或x>3B．{x|－1<x<3}A.{}C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()6．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x①R}，则集合A∩Z中有________个元素．7．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．8．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.9． 解不等式：x 2－3|x |＋2≤0.能 力 练综合应用 核心素养10． 若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <tB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)①(3，＋∞)B ．(－3,1)①(2，＋∞)C ．(－1,1)①(3，＋∞)D ．(－∞，－3)①(1,3)12．不等式x 2－px －q <0的解集是{x |2<x <3}，则不等式qx 2－px －1>0的解是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－12或x >－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12 D.{}x | x <2或x >3 13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________．14．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根都是负数，则m 的取值范围为________．15．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 16．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．17．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.【参考答案】1. A 解析 ①M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x 2－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}，①M ∩N ＝{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}．2. D 解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，①b ＝－a ，c ＝－2a ，又①a <0，①x 2－x －2≤0，①－1≤x ≤2.3. D 解析 由方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点为2，－1，又①a <0，①函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线，①不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－1≤x ≤2}．4. A 解析 由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以(ax ＋b )(x －3)＝a (x ＋1)(x －3)>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．5. B 解析 因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.6. 6 解析 由(x －1)2<3x ＋7，解得－1<x <6，即A ＝{x |－1<x <6}，则A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}，故A ∩Z 共有6个元素．7. {x |－3≤x <－2或0<x ≤1} 解析 ①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，①－3≤x <－2或0<x ≤1.8. 解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以(1)当a <－1时，原不等式解集为{x |a <x <－1}； (2)当a ＝－1时，原不等式解集为①； (3)当a >－1时，原不等式解集为{x |－1<x <a }． 9. 解 原不等式等价于|x |2－3|x |＋2≤0，即1≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1. ①原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}．10. D 解析 ①0<t <1，①1t >1，①1t >t .①(t －x )(x －1t )>0①(x －t )(x －1t )<0①t <x <1t .11. A 解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)①(3，＋∞)．12. B [解析] 易知方程x 2－px －q ＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝p ，2×3＝－q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝－6，不等式qx 2－px －1>0为－6x 2－5x －1>0，解得－12<x <－13.13. k ≤2或k ≥4 解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.14. {m |m ≥9} 解析 ①⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m <0，x 1x 2＝m >0，①m ≥9.15. －3 －3 解析 可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根，且a <0， ①⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a 1×m ＝a解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)． 16.解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，①⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a，①b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.17.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a，x 2＝2.①当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a ，或x <2；①当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；①当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2，或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2. 综上，a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；0<a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a，或x <2； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2，或x <2a2.3 第2课时 一元二次不等式的应用基 础 练巩固新知 夯实基础1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －3≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x <1或1<x ≤3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3且x ≠1 2．不等式4x ＋23x －1>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－123．不等式2－xx ＋1<1的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |－1<x <2} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <124． 若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝①，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}5． 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ①(0,1]恒成立，则m 的最大值为 ( )A ．1B ．－1C ．－3D ．36．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．15≤x ≤30B ．12≤x ≤25C ．10≤x ≤30D ．20≤x ≤307． 若关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)①(4，＋∞)，则实数a ＝________.8.若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．9．解下列分式不等式：(1)x ＋12x －3≤1； (2)2x ＋11－x <0.10. 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R?能 力 练综合应用 核心素养11． 不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．①D ．{x |x <－2或x >2}12．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(－2,2) B．(－2,2]C．(－∞，－2)①[2，＋∞) D．(－∞，2)13．对任意a①[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是() A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<1或x>214．在R上定义运算①：x①y＝x(1－y)．若不等式(x－a)①(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________.15．已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．16．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________．17．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．18．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．【参考答案】1. D 解析①原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5≥2(x －1)2，x ≠1，①⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－5x －3≤0，x ≠1，①⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3且x ≠1. 2. A 解析4x ＋23x －1>0①(4x ＋2)(3x －1)>0①x >13或x <－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12.3. C 解析原不等式等价于2－x x ＋1－1<0①1－2x x ＋1<0①(x ＋1)·(1－2x )<0①(2x －1)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >12.4. D 解析 a ＝0时符合题意，a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}.5. C 解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ①(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，①f (x )min ＝f (1)＝－3，①m ≤－3.6. C 解析 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，①y ＝40－x ，①xy ≥300，①x (40－x )≥300，①x 2－40x ＋300≤0，①10≤x ≤30. 7. 4 解析x －ax ＋1>0①(x ＋1)(x －a )>0 ①(x ＋1)(x －4)>0，①a ＝4. 8. －2<m <2 解析 由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图象在x 轴的上方，所以Δ＝(m )2－4×1×1<0，所以－2<m <2.9. 解 (1)①x ＋12x －3≤1，①x ＋12x －3－1≤0，①－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.①原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. (2)由2x ＋11－x <0得x ＋12x －1>0，此不等式等价于⎝⎛⎭⎫x ＋12(x －1)>0，解得x <－12或x >1， ①原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1.10.解 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0即x <12，不合题意，舍去．①当a 2－1≠0时，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0.解得－35<a <1.综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－35，1. 11. A 解析①x 2＋x ＋1>0恒成立，①原不等式①x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2①x 2＋4x ＋4>0①(x ＋2)2>0，①x ≠－2. ①不等式的解集为{x |x ≠－2}．12. B 解析 ①mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ①(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x ①R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x ①R . 综上所述，－2<m ≤2.13. B 解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ①[－1,1]①⎩⎪⎨⎪⎧ g1＝x 2－3x ＋2>0g－1＝x 2－5x ＋6>0①⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3①x <1或x >3. 14. －12 <a <32 解析 根据定义得(x －a )①(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )①(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.15. a <9 解析 ①当2≤x ≤3时，2x 2－9x ＋a <0恒成立，①当2≤x ≤3时，a <－2x 2＋9x 恒成立．令y ＝－2x 2＋9x .①2≤x ≤3，且对称轴方程为x ＝94，①y min ＝9，①a <9.①a 的取值范围为a <9.16. (0,1] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －32－4m ≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1x 2＝m ＞0， 解得0＜m ≤1.17. 解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝2m ＋1<0f －1＝2>0f 1＝4m ＋2<0f 2＝6m ＋5>0解得－56<m <－12. 18. 解(1)设下调后的电价为x 元/kW·h ，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫0.2ax －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.①当电价最低定为0.60元/kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.。

第一章导论习题及参考答案习题一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.比例尺、地图投影、各种坐标系统就构成了地图的数学法则。

（√）2.地图容纳和储存了数量巨大的信息，而作为信息的载体，只能是传统概念上的纸质地图(×)3.地图的数学要素主要包括地图投影、坐标系统、比例尺、控制点、图例等。

(×)4.实测成图法一直是测制大比例尺地图最基本的方法。

(√)5.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。

以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。

(×）6.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ(×)。

7.大规模的三角测量和地形图测绘，其成为近代地图学的主流。

(√)8.城市规划、居民地布局、地籍管理等需要以小比例尺的平面地图作为基础图件。

(×)9.实地图即为“心象地图”，虚地图即为“数字地图”(√)10.方位角是由标准方向线北端或者南端开始顺时针方向到某一直线的夹角。

(×)11.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。

(×)12.目前我国各地高程控制点的绝对高程起算面是1956黄海平均海水面。

(×)13.磁偏角只随地点的不同而不同。

(×)14.南京紫金山最高点对连云港云台山最高点的高差为正。

(×)15.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。

(×)二、名词解释1.地图2.直线定向3.真子午线4.磁子午线5.磁偏角6.子午线收敛角7.磁坐偏角8.方位角9.象限角10.地图学11.三北方向12.1956年黄海高程系三、问答题1.地图的基本特性是什么？2.我国地图学家把地图学分为哪几个分支学科组成？3.结合自己所学地图知识谈谈地图的功能有哪些？四、计算题1.已知某地的磁偏角为-5°15′，直线AB的磁方位角为134°10′，试求AB直线的真方位角。

地图学试题二一、名词解释(共20分，每小题4分)1. 地图2. 复式比例尺3. 分层设色法4. 简化5. 圆锥投影二、判断题(共20分，每小题2分)1. 数学要素是保证地图具有可量测性和直观性的基础。

（）2. 在任何地图上都存在长度变形。

（）3. 如果最大长度比、最小长度比、经线长度比和纬线长度比均相等，则肯定是等角投影。

（）4. 如果制图区域呈现南北、东西差别不大的圆形区域，则应选择圆锥投影。

（）5. 分类和选取是地图概括的主要手段。

（）6. 尺寸变量是组成不同形状的符号在度量上的变量。

（）7. 绘制线状符号选择色相或彩度应以较深的色彩为宜。

（）8. 移图是主图的一部分。

（）9. 海岸线通常是以蓝实线表示的平均低潮线。

（）10.基础资料与地理底图的提供者不拥有地图的著作权。

（）三、简答题(共40分，每小题8分)1. 如何理解地图投影对地图比例尺的影响？2. 编制印度尼西亚地图适宜采用什么地图投影？为什么？3. 影响地图概括的主要因素有哪些？4. 在专题地图中色彩有哪些作用？5. 专题地图由哪两部分组成？它们之间有何关系？四、论述题(共20分)试述构成符号的视觉变量及其作用。

答案要点一、名词解释(每道小题4分共20分)1、地图是遵循一定的数学法则（1分），将客体上的地理信息，通过科学的概括（1分），并运用符号系统表示在一定载体上的图形（1分），以传递它们的数量和质量在时空上的分布规律和发展变化（1分）。

2、复式比例尺又称投影比例尺，是一种根据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。

（4分）3、是在等高线的基础上（1分），根据地图的用途、比例尺和区域特征，将等高线划分一些层级（1分），并在每一层级的面积内普染不同的颜色（1分），以色相、色调的差异表示地势高低的方法（1分）。

4、简化是显示空间数据的重要特征，删弃不重要的细部。

（4分）5、以圆锥表面作为辅助投影面（1分），使球体与圆柱表面相切或相割（1分），将球体表面上的经纬线网投影到圆锥表面展成平面而构成的一种投影（2分）。

第二章地图的数学基础习题及参考答案习题一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。

2.在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。

3.1：100万的地形图，是按经差2º，纬差3º划分。

4.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。

5.球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。

6.长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向的变化而变化。

7.长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。

8.面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。

9.制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。

10.在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。

11.J—50—5—E表示1：5万地形图。

12.地形图通常是指比例尺小于1：100万，按照统一的数学基础，图式图例，统一的测量和编图规范要求，经过实地测绘或根据遥感资料，配合其他有关资料编绘而成的一种普通地图。

13.等积投影的面积变形接近零。

14.等角投影能保持制图区域较大面积的形状与实地相似。

15.水准面有无数个，而大地水准面只有一个。

16.地球面上点的位置是用地理坐标和高程来确定的。

17.正轴圆锥投影的各种变形都是经度的函数，与纬度无关。

18.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。

以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。

）19.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ。

20.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。

二、名词解释1.大地体2.水准面3.大地水准面4.椭球体5.天文经度6.天文纬度7.大地经度8.大地纬度9.1956年黄海高程系10.地图投影11.长度比12.长度变形13.面积比14.面积变形15.角度变形16.等变形线17.方位投影18.圆住投影19.圆锥投影20.高斯-克吕格投影21.直线定向22.真子午线23.磁子午线24.磁偏角25.子午线收敛角26.磁坐偏角27.方位角28.象限角29.三北方向三、问答题1.简述地球仪上经纬网的特点。

2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式基 础 练巩固新知 夯实基础 1.若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，则用不等式表示为( ) A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 mB ．⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120 km/h ，d ≥10 mC ．v ≤120 km/hD ．d ≥10 m2.若x <y <0，设M ＝(x 2＋y 2)(x －y )，N ＝(x 2－y 2)(x ＋y )，则( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ≤ND ．M ≥N3.若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1<y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1>y 2D ．随x 值变化而变化4.(多选题)下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋2>2a B ．a 2＋1>2a C ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)D ．a 2＋b 2>ab 5.完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元．设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )A ．4x ＋5y ≤200B ．4x ＋5y <200C ．5x ＋4y ≤200D ．5x ＋4y <2006.已知两实数a ＝－2x 2＋2x －10，b ＝－x 2＋3x －9，a ，b 分别对应数轴上两点A ，B ，则点A 在点B 的 (填“左边”或“右边”)．7.比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小．8.已知a >b >c >0，试比较a －c b 与b －c a 的大小；能 力 练综合应用 核心素养9.已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，将上述文字语言用不等式(组)可表示为( ) A ．a ＋b >cB ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c a ＋c >bC ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ≥bb ＋c ≥aD ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c a ＋c >bb ＋c >a10.不等式a 2+1≥2a 中等号成立的条件是( )A.a=±1B.a=1C.a=-1D.a=011.下列不等式:△a 2+3>2a ;△a 2+b 2>2(a -b -1);△x 2+y 2>xy.其中恒成立的不等式的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12.(多选题)若x <a <0，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>ax13.已知b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式，当b >a >0且m >0时， .14.已知|a |<1，则11＋a与1－a 的大小关系为 .15.用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,靠墙的一边长为x m . (1)若要求菜园的面积不小于110 m 2,试用不等式组表示其中的不等关系; (2)若矩形的长、宽都不能超过11 m,试求x 满足的不等关系.16.已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．【参考答案】1.B 解析：考虑实际意义，知v ≤120 km/h ，且d ≥10 m.2.A 解析：M －N ＝(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )， 又△x <y <0，△xy >0，x －y <0，△－2xy (x －y )>0，△M >N .3. C 解析：y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以y 1>y 2.故选C.4.AC 解析：对于A ，a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1>0，故A 成立；对于B ，因a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，故B 不成立；对于C ，a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，故C 成立；对于D ，a 2＋b 2－ab ＝(a －b 2)2＋34b 2≥0，故D 不成立，故选AC ．5.A 解析：由题意，可得400x ＋500y ≤20 000，化简得4x ＋5y ≤200，故选A ．6.左边 解析：△a －b ＝－2x 2＋2x －10－(－x 2＋3x －9)＝－2x 2＋2x －10＋x 2－3x ＋9 ＝－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34<0，△a <b ，△点A 在点B 的左边．7.解：(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34.因为(x ＋12)2≥0，所以(x ＋12)2＋34≥34>0，所以(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)>0，所以2x 2＋5x ＋3>x 2＋4x ＋2. 8.解：a －c b －b －c a＝aa －c －b b －cab＝a 2－ac －b 2＋bc ab ＝a 2－b 2－a －bc ab＝a －ba ＋b －cab.因为a >b >c >0，所以a －b >0，ab >0，a ＋b －c >0.所以a －ba ＋b －c ab >0，即a －c b >b －ca.9.D 解析：由三角形三边关系及题意易知选D ． 10.B11.B 解析：∵a 2+3-2a=(a -1)2+2>0,∵a 2+3>2a ,即△正确; ∵a 2+b 2-2(a -b -1)=(a -1)2+(b+1)2≥0,∵△错误; ∵x 2+y 2-xy=(x -y 2)2+34y 2≥0,∵△错误,选B .12.ACD 解析：△x 2－ax ＝x (x －a )>0，△x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0，△ax >a 2，△x 2>ax >a 2，故选项B 一定成立，故选ACD ．13.a ＋m b ＋m >a b 解析：变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，所以当b >a >0且m >0时，a ＋m b ＋m >a b . 14. 11＋a ≥1－a 解析：由|a |<1，得－1<a <1.△1＋a >0,1－a >0.△11＋a 1－a ＝11－a 2.15.(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18m,所以0<x ≤18,这时菜园的另一边长为30-x2=(15-x2)(m).所以菜园的面积S=x ·(15-x2),依题意有S ≥110,即x (15-x2)≥110,故该题中的不等关系可用不等式组表示为{0<x ≤18,x (15-x 2)≥110.(2)因为矩形的另一边长15-x2≤11,所以x ≥8,又0<x ≤18,且x ≤11,所以8≤x ≤11. 16.解析：x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34. △x <1，△x －1<0.又⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， △(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0， △x 3－1<2x 2－2x .2.1 第2课时 等式性质与不等式性质基 础 练巩固新知 夯实基础1.下列运用等式的性质，变形不正确的是( )A ．若x ＝y ，则x ＋5＝y ＋5B ．若a ＝b ，则ac ＝bcC ．若a c ＝bc，则a ＝bD ．若x ＝y ，则x a ＝ya2.若1a <1b<0，则下列结论中不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 3.已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1bC ．b a >b ＋1a ＋1D ．b －1b >a －1a4.(多选题)下列说法中正确的是( )A ．若a >b ，则a c 2＋1>bc 2＋1B ．若－2<a <3,1<b <2，则－3<a －b <1C ．若a >b >0，m >0，则m a <mbD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd5.已知三个不等式△ab >0；△c a >db；△bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．6.已知1<α<3，－4< β <2，若z ＝12α－β，则z 的取值范围是________．7.已知a >b ，1a <1b，求证：ab >0.8.已知－2<a ≤3，1≤b <2，试求下列代数式的取值范围． (1)|a |； (2)a ＋b ； (3)a －b ； (4)2a －3b .能 力 练综合应用 核心素养9.设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >ac D ．a |b |>c |b | 10.(多选题)设0<b <a <1，则下列不等式不成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．a <b <1 C ．1<1a <1b D ．a 2<ab <111.若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( )A ．b ＜0，c ＜0B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0 12.给出下列命题： ①若a <b ，c <0，则c a <cb ；②若ac －3>bc －3，则a >b ； ③若a >b 且k ∈N ＋，则a k >b k ； ④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b .其中正确命题的序号是____.13.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：△d >c ；△a ＋b ＝c ＋d ；△a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________． 14.已知2b <a <－b ，则ab 的取值范围为 .15.已知a >b >0，c <d <0，比较b a －c 与ab －d 的大小．16.已知1≤a －b ≤2,2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．【参考答案】1.D 解析：对于选项A ，由等式的性质3知，若x ＝y ，则x ＋5＝y ＋5，正确；对于选项B ，由等式的性质4知，若a ＝b ，则ac ＝bc ，正确；对于选项C ，由等式的性质4知，若a c ＝bc ，则a ＝b ，正确；对于选项D ，若x ＝y ，则x a ＝ya的前提条件为a ≠0，故此选项错误．2.D 解析：△1a <1b <0，△b <a <0，△b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，△A 、B 、C 均正确，△b <a <0，△|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误．3. A 解析：因为a >b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a，故选A.4.AC 解析：对于A ，∵c 2＋1>0，∴1c 2＋1>0，∵a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1，故A 正确；对于B ，因为1<b <2，所以－2<－b <－1，同向不等式相加得－4<a －b <2，故B 中说法错误；对于C ，因为a >b >0，所以1a <1b ，又因为m >0，所以m a <mb ，故C 中说法正确；对于D ，只有当a >b >0，c >d >0时，才有ac >bd ，故D 中说法错误，故选AC ．5. 3 解析：△△△△，△△△△.(证明略)由△得bc －ad ab>0，又由△得bc －ad >0.所以ab >0△△.所以可以组成3个正确命题．6. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪－32<z <112 解析：△1<α<3，△12<12α<32，又－4<β<2，△－2<－β<4.△－32<12α－β<112，即－32<z <112. 7.证明：△1a <1b ，△1a －1b <0，即b －a ab <0，而a >b ，△b －a <0，△ab >0. 8. 解：(1)|a |△[0，3]．(2)－1<a ＋b <5.(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2；(4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6，△由1≤b <2得－6<－3b ≤－3，△由△＋△得，－10<2a －3b ≤3. 9. C 解析：选C.因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b 可正、可负、可为零． 由b >c ，a >0知，ab >ac .10.ABD 解析：取a ＝12，b ＝13验证可得A ，B ，D 不正确．11. D 解析： 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又△b ＞c ，△0＜c ＜b 或c ＜b ＜0. 12.④ 解析：①当ab <0时，c a <cb 不成立，故①不正确；②当c <0时，a <b ，故②不正确；③当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，命题不成立，故③不正确； ④a >b >0⇒－a <－b <0⇒0<c －a <c －b ， 两边同乘以1(c －a )(c －b )，得0<1c －b <1c －a，又a >b >0，∴a c －a >bc －b，故④正确．13. a <c <d <b 解析：由△得a ＝c ＋d －b 代入△得c ＋d －b ＋d <b ＋c ，△c <d <b . 由△得b ＝c ＋d －a 代入△得a ＋d <c ＋d －a ＋c ，△a <c .△a <c <d <b .14.－1<a b <2 解析：∵2b <a <－b ，∴2b <－b .∴b <0. ∴－b b <a b <2b b ，即－1<ab <2.15.解：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0， ∴a －c >b －d >0， ∴1b －d >1a －c>0， 又a >b >0，∴a b －d >ba －c.16.解：令4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，△⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又△1≤a －b ≤2，△3≤3(a －b )≤6，又△2≤a ＋b ≤4，△5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10，即5≤4a －2b ≤10. 故4a －2b 的取值范围为5≤4a －2b ≤10.2.2 基本不等式1． 已知0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥C ．222a b +≥D ．223a b +≤2． 设0a >，0b >，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．143． 已知()110m a a a=++>，()31x n x =<，则m ，n 之间的大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．m n ≤ 4． 已知0a >，0b >，则112ab a b++的最小值为（ ） A ．2 B ．22C ．4D ．55． 已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b=+的最小值是（ ） A ．72B ．4C ．92D ．56． 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件7． 已知54x <，则函数1445y x x =+-的最大值为___________．8．设点(),P x y 在直线1x y +=位于第一象限内的图象上运动，则22log log x y +的最大值是________． 9． 设0a >，0b >，且不等式110k a b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值为___________． 10．函数()log 31a y x =+-（0a >，1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线+1=0mx ny +上，其中0mn >，则12m n+的最小值为___________． 11．求()()2252log 01log f x x x x=++<<的最小值．12．住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EF GH构成的面积为2200m的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/2m，在四个相同的矩形上（如图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/2m．m，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/2⑴设总造价为S元，AD的边长为xm，试建立S关于x的函数关系式；⑵计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？答案与解析1． C 解析：由2a b +=，得212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，排除选项A ，B ．由22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，得222a b +≥． 2． B 解析：由题意，知333a b ⋅=，即33a b +=，故1a b +=．因为0a >，0b >，所以()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2224b a b aa b a b=++≥+⋅=，当且仅当a b =时，等号成立． 3． A 解析：因为0a >，所以111213m a a a a=++≥⋅+=，当且仅当1a =时，等号成立．又因为1x <，所以1333x n =<=，所以m n >．4． C 解析：1122a bab ab a b ab+++=+，因为0a >，0b >，所以2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．所以21222224a b ab ab ab ab ab ab ab +⎛⎫+≥+=+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1ab ab =时，等号成立．综上所述，1a b ==时，取等号． 5． C 解析：因为2a b +=，所以12a b+=，又因为0a >，0b >，所以14142a b y a b a b +⎛⎫=+=+⋅⎪⎝⎭52529222222a b a b b a b a ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22a b b a =，即2b a =时，等号成立），故14a b+的最小值为92． 6． B 解析：设每件产品的平均费用为y 元，由题意，得80080022088x xy x x =+≥⋅=． 当且仅当()80008xx x =>，即80x =时，等号成立．故选B ． 7． 3 解析：因为54x <，所以450x -<，所以540x ->．所以()1144554545y x x x x =+=-++--()()11545254535454x x x x⎡⎤=--++≤--⋅+=⎢⎥--⎣⎦当且仅当15454x x-=-，即1x =时，等号成立．故当1x =时，y 取最大值，即max 3y =． 8． 2- 解析：要求22log log x y +的最大值，即求()2log xy 的最大值，应先求xy 的最大值．显然当12x y ==时，xy 的最大值为14，故22log log x y +的最大值为2-． 9． 4- 解析：由0a >，0b >，110ka b a b++≥+，得()2a b k ab +≥-．又因为()224a b b a ab a b +=++≥（a b =时，取等号），所以()24a b ab+-≤-．因此要使()2a b k ab+≥-恒成立，应有4k ≥-，即实数k 的最小值为4-．10．8 解析：因为()log 31a y x =+-恒过点()2,1--，所以()2,1A --．因为A 在直线上，所以210m n --+=，即21m n +=．又因为0mn >，所以0m >，0n >．又因为122m n m n m ++=42m nn++4224248n m m n =+++≥+=，当12n =，14m =时，等号成立，所以12m n +的最小值为8． 11．解：因为01x <<，所以2log 0x <，所以2log 0x ->，250log x->．所以()()222255log 2log log log x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-≥--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=，即225log 25log x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．所以225log 25log x x +≤-．所以()2252log 225log f x x x =++≤-，当且仅当225log log x x =，即512x =时，等号成立．所以()max 225f x =-．12．解：⑴设DQ y =，则24200x xy +=，22004x y x -=．221420021048042S x xy y =+⨯+⨯⨯()224000003800040000102x x x=++<< ． ⑵2824000003800040003800021610118000S x x =++≥+⨯=，当且仅当224000004000x x =，即10x =时，min 118000S =，即计划至少要投入11.8万元才能建造2.3 第2课时 一元二次不等式的应用基 础 练巩固新知 夯实基础1.不等式4x ＋23x －1>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－12 2.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是 ( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x △(0,1]恒成立，则m 的最大值为 ( )A ．1B ．－1C ．－3D ．34.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( ) A ．15≤x ≤30 B ．12≤x ≤25 C ．10≤x ≤30 D ．20≤x ≤305.若关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)△(4，＋∞)，则实数a ＝________.6.若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．7.解下列分式不等式： (1)x ＋12x －3≤1； (2)2x ＋11－x<0.8.当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R?能 力 练综合应用 核心素养9.不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．△D ．{x |x <－2或x >2}10.若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)△[2，＋∞)D ．(－∞，2)11.下列结论错误的是 ( )A.若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2+bx +c >0的解集为RB.不等式ax 2+bx +c =0≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0C.若关于x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则a ≤-D.不等式>1的解集为x <112.对任意a △[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 13.在R 上定义运算△：x △y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )△(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是________.14.已知2≤x ≤3时，不等式2x 2－9x ＋a <0恒成立，则a 的取值范围为________．15.已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．16.某地区上年度电价为0.8元/kW·h ，年用电量为a kW·h ，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h 至0.75元/kW·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．【参考答案】1. A 解析：4x ＋23x －1>0△(4x ＋2)(3x －1)>0△x >13或x <－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12.2.D 解析：a ＝0时符合题意，a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}.3.C 解析：由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x △(0,1]恒成立， 又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，△f (x )min ＝f (1)＝－3，△m ≤－3.4.C 解析：设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，△y ＝40－x ，△xy ≥300，△x (40－x )≥300，△x 2－40x ＋300≤0，△10≤x ≤30.5. 4解析：x －ax ＋1>0△(x ＋1)(x －a )>0 △(x ＋1)(x －4)>0，△a ＝4.6.－2<m <2 解析：由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图象在x 轴的上方，所以Δ＝(m )2－4×1×1<0，所以－2<m <2.7. 解 (1)△x ＋12x －3≤1，△x ＋12x －3－1≤0，△－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.△原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. (2)由2x ＋11－x <0得x ＋12x －1>0，此不等式等价于⎝⎛⎭⎫x ＋12(x －1)>0，解得x <－12或x >1， △原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1. 8.解 △当a 2－1＝0时，a ＝1或－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0即x <12，不合题意，舍去．△当a 2－1≠0时，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0.解得－35<a <1.综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－35，1. 9.A 解析：△x 2＋x ＋1>0恒成立，△原不等式△x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2△x 2＋4x ＋4>0△(x ＋2)2>0，△x ≠－2. △不等式的解集为{x |x ≠－2}．10.B 解析：△mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， △(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x △R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x △R . 综上所述，－2<m ≤2.11.ABD 解析：A 选项中，只有a>0时才成立；B 选项当a=b=0，c≤0时也成立；D 选项x 是大于0的.12.B 解析：设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a △[－1,1]△⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝x 2－3x ＋2>0g －1＝x 2－5x ＋6>0△⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3△x <1或x >3. 13. －12<a <32 解析：根据定义得(x －a )△(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )△(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.14. a <9 解析：△当2≤x ≤3时，2x 2－9x ＋a <0恒成立，△当2≤x ≤3时，a <－2x 2＋9x 恒成立． 令y ＝－2x 2＋9x .△2≤x ≤3，且对称轴方程为x ＝94，△y min ＝9，△a <9.△a 的取值范围为a <9.15.解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得， m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0解得－56<m <－12.16.解(1)设下调后的电价为x 元/kW·h ，依题意知，用电量增至kx －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎫k x －0.4＋a(x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.△当电价最低定为0.60元/kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式基础练巩固新知夯实基础1.（多选）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是( )A.3x+4<0B.x2+m x-1>0C.a x2+4x-7>0D.x2<02.已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7} B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x<－2或x≥3}3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解()A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}4．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是() x|x<－1或x>3B．{x|－1<x<3}A.{}C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()6. 不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．7.方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．8. 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.能 力 练综合应用 核心素养9.若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是 ( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是 ( )A ．(－3,1)△(3，＋∞)B ．(－3,1)△(2，＋∞)C ．(－1,1)△(3，＋∞)D ．(－∞，－3)△(1,3)11.不等式x 2－px －q <0的解集是{x |2<x <3}，则不等式qx 2－px －1>0的解是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－12或x >－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12 D.{}x | x <2或x >3 12. (多选题)已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是( ) A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9} B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0} C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1} D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}13.已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 14.若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 15.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．16.解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.【参考答案】1.BD 解析：根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A 一定不是，C 不一定是，B ，D 一定是.2.A 解析：△M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x 2－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}， △M ∩N ＝{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}．3. D 解析：由方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点为2，－1，又△a <0，△函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线，△不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－1≤x ≤2}．4. A 解析：由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以(ax ＋b )(x －3)＝a (x ＋1)(x －3)>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．5. B 解析：因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.6. {x |－3≤x <－2或0<x ≤1} 解析： △⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，△－3≤x <－2或0<x ≤1.7.{m |m ≥9} 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m <0，x 1x 2＝m >0，∴m ≥9.8. 解：方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式解集为{x |a <x <－1}； (2)当a ＝－1时，原不等式解集为△； (3)当a >－1时，原不等式解集为{x |－1<x <a }．9.D 解析：△0<t <1，△1t >1，△1t >t .△(t －x )(x －1t )>0△(x －t )(x －1t )<0△t <x <1t .10.A 解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)△(3，＋∞)．11. B 解析：易知方程x 2－px －q ＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝p ，2×3＝－q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝－6，不等式qx 2－px －1>0为－6x 2－5x －1>0，解得－12<x <－13.12. BCD 解析：在A 中，由Δ＝(m －3)2－4m ≥0得m ≤1或m ≥9，故A 错误；在B 中，当x ＝0时，函数y ＝x 2＋(m －3)x ＋m 的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}，故B 正确；在C 中，由题意得m>0，3－m>0，解得0<m ≤1，故C 正确；在D 中，由Δ＝(m －3)2－4m <0得1<m <9，又{m |1<m <9}⊆{m |m >1}，故D 正确，故选BCD ．13.k ≤2或k ≥4解析：x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 14. －3 －3 解析：在A 中，由Δ＝(m －3)2－4m ≥0得m ≤1或m ≥9，故A 错误；在B 中，当x ＝0时，函数y ＝x 2＋(m －3)x ＋m 的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}，故B 正确；在C 中，由题意得m>0，3－m>0，解得0<m ≤1，故C 正确；在D 中，由Δ＝(m －3)2－4m <0得1<m <9，又{m |1<m <9}⊆{m |m >1}，故D 正确，故选BCD ． 可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根，且a <0， △⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a 1×m ＝a解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)． 15.解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，△⎩⎨⎧－13＋2＝－ba－13×2＝ca，△b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.16.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}． (2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a，x 2＝2.△当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a ，或x <2； △当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；△当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2，或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2. 综上，a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；0<a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2a，或x <2； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2，或x <2a .2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.1|3x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B.11|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．∅D.1|3x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭2．下列不等式中，解集是R 的是( ) A ．x 2＋4x ＋4>0B.20x >C.1102x⎛⎫+> ⎪⎝⎭D ．－x 2＋2x －1>03．不等式ax 2+5x+c ＞0的解集为11{|}32x x <<，则a ，c 的值为（ ） A ．a=6，c=1 B ．a=－6，c=－1 C ．a=1，c=1 D ．a=－1，c=－6 4．若0＜t ＜1，则不等式1()()0x t x t--<的解集为( ) A.1|x x t t⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B.1|x x x t t ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 C.1|x x x t t⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或D.1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭5．不等式x 2－ax －b ＜0的解集是{x|2＜x ＜3}，则bx 2－ax －1＞0的解集是（ ） A ．{|23}x x << B ．11{|}32x x << C ．11{|}23x x -<<- D ．{|32}x x -<<- 6. 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(－∞，0]D ．(－∞，0]∪4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题7．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．8．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则m 的取值范围是________. 9. 函数21()31f x ax ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．10.若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 三、解答题 11.解下列不等式(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－x 2＋8x －3＞0；12. 不等式mx 2+1＞mx 的解集为实数集R ，求实数m 的取值范围．13. 解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(其中m ∈R )．14．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，(1)如果对一切x ∈R ，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)如果对x ∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围. 15.解下列关于x 的不等式 0)1)(1(>+-x ax ；答案与解析1．【答案】 D【解析】 9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≤0 ∴13x =-，故选D.2．【答案】 C【解析】 ∵x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0， ∴A 不正确；∵2||0x x =≥，∴B 不正确；∵102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴11102x⎛⎫+>> ⎪⎝⎭(x ∈R )，故C 正确；∵－x 2＋2x －1>0 ∴x 2－2x ＋1＝(x －1)2<0， ∴D 不正确．3.【答案】B【解析】由题意可知方程250ax x c ++>的两根为12x =和13x =，由韦达定理得： 11115,2323c a a⨯=+=-，求得a=－6，c=－14．【答案】 D【解析】 ∵0＜t ＜1，∴11t >，∴1t t< ∴11()()0x t x t x t t--<⇔<<.5.【答案】C【解析】由题意得，方程x 2－ax －b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得23a +=，23b ⨯=-，求得5 a =，b=-6，从而解得bx 2－ax －1＞0的解集为11{|}23x x -<<-6. 【答案】C【解析】 原不等式等价于mx 2＋mx＋m －1＜0对x ∈R恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R恒成立． 当m ≠0时，由题意，得220000404103403m m m m m m m mm m m <⎧<<⎧⎧⎪⇔⇔⇔<⎨⎨⎨<>∆=--<->⎩⎩⎪⎩或. 综上，m 的取值范围为(－∞，0]．7．【答案】 [0,4)【解析】 由题意知2040a a a >⎧⎨∆=--<⎩，∴0＜a ＜4. 当a ＝0时，A ＝{x |1＜0}＝∅，符合题意．8．【答案】{|1222}m m -+<< 【解析】由题意得：1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得1222m -+<<9. 【答案】 40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 由已知f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2＋3ax ＋1＞0恒成立．(1)当a ＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立； (2)当a ≠0时，则有2000400(94)09(3)40a a a a a a a a >>>⎧⎧⎧⎧⇔⇔⇔<<⎨⎨⎨⎨∆<-<-<⎩⎩⎩⎩. 由(1)(2)知，409a ≤<. 即所求a 的取值范围是40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10.【答案】2【解析】由题意，得1，m 是关于x 的方程2260ax x a -+=的两根，则2611m a ama ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得 23m m ==-或（舍去）11．【解析】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，212x =-. 又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为1|32x x x ⎧⎫>-<-⎨⎬⎩⎭或. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根1413x =-，2413x =+.又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{}|413413x x -<<+．12.【解析】当m ＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．当m≠0时，若不等式的解集为R ，则应有⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆>0m 4)m (0m 2， 解得0＜m ＜4．综上，m 的取值范围是{m|0≤m<4}.13.【解析】 当m ＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x ∈R 都成立， 所以原不等式的解集为R . 当m ≠0时，m 2＞0，由m 2x 2＋2mx －3＜0，得(mx －1)(mx ＋3)＜0， 即130x x m m ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 若m ＞0，则13m m>-， 所以原不等式的解集为31,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 若m ＜0，则13m m<-，所以原不等式的解集为13,m m ⎛⎫-⎪⎝⎭.综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ；当m＞0时，原不等式的解集为31,m m⎛⎫-⎪⎝⎭；当m＜0时，原不等式的解集为13,m m⎛⎫-⎪⎝⎭.14．【解析】(1)由题意得：△=2[2(2)]160a--<，即0<a<4；(2)由x∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：2[3,1](3)0(1)0aff-∉-⎧⎪->⎨⎪>⎩或2[3,1](2)0af a-∈-⎧⎨->⎩综上所述：1,42a⎛⎫∈-⎪⎝⎭.15.【解析】当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1；当a≠0时，原不等式为关于x的一元二次不等式，方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根ax11=和12-=x.(Ⅰ)当21xx<，即11-<a，01<<-a时，函数)1)(1()(+-=xaxxf的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-xax的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a；(Ⅱ)当，即1,11-=-=aa时，函数)1)(1()(+-=xaxxf的图象开口向下，与x轴有一个交点，其简图如下：21xx=故不等式0)1)(1(>+-xax的解集为空集；(Ⅲ)当21xx>，即11->a，1-<a或0>a，①若1-<a，函数)1)(1()(+-=xaxxf的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-xax的解集为11,a⎛⎫-⎪⎝⎭；②若a>0，数()(1)(1)f x ax x=-+的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等0)1)(1(>+-xax的解集为1(,1),a⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭；综上所述，当a<-1时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-a1,1；当a=-1时，不等式的解集为空集；当-1<a<0时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a；当a=0时，不等式的解集为)1,(--∞；当a>0时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞--∞,1)1,(a.必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法 0a b a b >⇔->； 0a b a b =⇔-=； 0a b a b <⇔-<。

地图学习题集参考答案一、名词解释1．大地经纬度：大地经纬度是建立在地球参考椭球面上的地理坐标系，大地经度是指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角(1分)。

自本初面向东为东经0-180度，向西为西经0-180度（1分）。

大地纬度是指过该点与椭球面垂直的直线与赤道面的夹角。

（1分）自赤道向北为北纬0-90度，向南为南纬0-90度。

(1分)2. 墨卡多投影：墨卡托投影是正轴等角圆柱投影，由墨卡托于1569年专门为航海的目的设计的，故名。

其设计思想是令一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于地球，将球面上的经纬网按等角条件投影于圆柱表面上，然后将圆柱面沿一条母线剪开展展成平面，即得墨卡托投影。

在墨卡托投影中，面积变形最大。

在纬度60度地区，经线和纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬地区通常就不绘出来了。

在墨卡托投影上等角航线表现为直线。

3．变形椭圆：取地面上一个微分圆，将它投影到平面上将为一个椭圆（少数情况下为正圆），（1分）通过研究其在投影平面上的变化，作为地图投影变形的几何解释，这样的椭圆称为变形椭圆。

（2分）利用变形椭圆能更为科学和准确地阐述地图投影变形的概念、变形性质及变形大小。

（1分）。

4.视觉变量：视觉变量是构成图形的基本要素，它包括：形状、尺寸、方向、颜色、网纹5个方面（2分）。

在细分时，颜色的色相、亮度、彩度也可以理解为独立的视觉变量；网纹的排列、纹理、方向也具备视觉变量特性（2分）。

5．地图：是遵循一定的数学法则，将地理信息通过科学的概括综合，运用符号系统表示在一定的载体上的图形，以传递它们的数量、质量在时间和空间上的分布规律和发展变化。

6地球参考椭球体：地球椭球体是对地球形状的理想模拟，参考椭球体是对地球形状的第三级逼近，即与局部地区大地水准面切合的最好的椭球体。

地图学第⼆章复习题及答案地图学第⼆章复习题及答案第⼆章复习题⼀、选择题1.将地球椭球⾯上的点投影到平⾯上，必然会产⽣变形，长度变形是长度⽐与1的（B）。

A.积B.差C.和D.商2.为了阐明作为投影变形结果各点上产⽣的⾓度和⾯积变形的概念，法国数学家底索采⽤了⼀种图解⽅法，即通过（D）来论述和显⽰投影在各⽅向上的变形。

A.透视光线B.参考椭圆C.数学⽅法D.变形椭圆3.按投影变形性质分类，可将地图投影分为等⾓投影、等积投影和（A）。

A.任意投影B.⽅位投影C.圆柱投影D.圆锥投影4.圆锥投影中纬线投影后为（D），经线投影后为相交于⼀点的直线束，且夹⾓与经差成正⽐。

A.直线B.相交于圆⼼的直线束C.相交于某⼀点的弧线D.同⼼圆圆弧5.我国⾃1978年以后采⽤（C）作为百万分⼀地形图的数学基础。

A.等⾯积圆锥投影B.等距离圆锥投影C.等⾓圆锥投影D.等⾓⽅位投影6.正轴等距圆锥投影沿（A）保持等距离，即m=1。

A.经线B.纬线。

C.旋转轴D.标准纬线。

7.正轴圆锥投影的变形只与（B）发⽣关系，⽽与经差⽆关，因此同⼀条纬线上的变形是相等的，也就是说，圆锥投影的等变形线与纬线⼀致。

A.经线B.纬线C.距离D.⽅向8.圆锥投影最适宜⽤于（D）处沿纬线伸展的制图区域的投影。

A.⾼纬度B.低纬度C.⾚道D.中纬度9.就制图区域形状⽽⾔，⽅位投影适宜于具有圆形轮廓的地区，就制图区域地理位置⽽⾔，在两极地区，适宜⽤（A）投影。

A.正轴B.斜轴C.横轴D.纵轴10.横轴等积⽅位投影在⼴⼤地区的⼩⽐例尺制图中，特别是（B）中应⽤得很多。

A.全球地图B.东西半球图C.各⼤洲地图D.两极地图11.在正常位置的圆柱投影中，纬线表象为（A），经线表象为平⾏直线。

A.平⾏直线B.相交于圆⼼的直线束C.相交于某⼀点的弧线D.同⼼圆圆弧12.等⾓航线是地⾯上两点之间的⼀条特殊的定位线，它是两点间同（C）构成相同⽅位⾓的⼀条曲线。

A.所有纬线B.投影轴C.所有经线D.⼤圆航线13.1949年中华⼈民共和国成⽴以后，就确定（D）为我国地形图系列中1：50万，1：20万，1：10万，1：5万，1：2.5万，1：1万及更⼤⽐例尺地形图的数学基础。

第二章地图的数学基础习题及参考答案习题一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。

2.在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。

3.在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。

4.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。

5.球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。

6.长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向的变化而变化。

7.长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。

8.面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。

9.制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。

10.在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。

11.无论是正轴方位投影还是横轴方位投影或是斜轴方位投影，他们的误差分布规律是一致的。

12.等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于1569年所创，所以又称墨卡托投影。

13.等积投影的面积变形接近零。

14.等角投影能保持制图区域较大面积的形状与实地相似。

15.经线在任何球心投影中的表象都是直线。

16.一般情况下，等角航线是与所有经线相交成相同方位角的大圆弧线，它在圆柱投影上的表象是直线。

17.水准面有无数个，而大地水准面只有一个。

18.地球面上点的位置是用地理坐标和高程来确定的。

19.等角航线是地球面上两点间的最短航线。

20.正轴圆锥投影的各种变形都是经度的函数，与纬度无关。

二、名词解释1.大地体2.水准面3.大地水准面4.椭球体5.天文经度6.天文纬度7.大地经度8.大地纬度9.1956年黄海高程系10.地图投影11.地图比例尺12.主比例尺13.局部比例尺14.长度比15.长度变形16.面积比17.面积变形18.角度变形19.等变形线20.方位投影21.圆住投影22.圆锥投影23.等角航线24.高斯-克吕格投影25.墨卡托投影三、问答题1.简述地球仪上经纬网的特点。

《地图学》习题集王仕莲编第一章、导论1、地图的基本特征及定义。

2、地图是由那些要素构成的？3、地图学的定义及三大分支学科是什么？4、地图的主要成图方法有哪些？5、测量的基本原则和基本工作及什么是方向测量？6、什么是方位角、象限角？及两者的换算。

7、已知直线OA的真方位角是130°，OB的象限角是NE16°，OA 与 OB的夹角是多少？8、地图具有什么功能？9、地图按内容、按比例尺的分类。

第二章、地图的数学基础1、大地水准面、地球椭球体、绝对高程、相对高程、高差、全球定位系统。

2、比例尺的含义及表现形式。

3、已知一块耕地的实地面积为6.25km，图上面积为25cm，求该图的比例尺是多少？并用不同的比例尺形式加以表示。

4、什么是比例尺精度？在1：5万地形图上其比例尺精度为多少？要求在图上至少能表示出2米的地物，则地图的比例尺不应小于多少？5、试述地球仪上经纬网的特点？6、地图投影的概念和实质是什么？7、什么是主比例尺、局部比例尺？一般地图上标的比例尺是属于那一种？8、何为变形椭圆？有何作用？9、地图投影变形表现在那几个方面？为什么说长度变形是主要变形？10、什么是长度比与长度变形、面积比与面积变形、角度变形、主方向？11、地图投影是怎样分类的（按变形性质及构成可分为那几种）？各有何特性？12、何谓等角投影、等积投影、等距投影、方位投影、圆柱投影、圆锥投影？13、方位投影有什么特点？14、极地图、南北半球图用什么投影？15、如何区别正轴方位投影和正轴圆锥投影？16、非洲地图常用那两个投影？17、为什么伪圆柱投影没有等角投影？18、亚洲政区图常用那两个投影？19、比较几种（等积、等角、等距）正轴方位投影的经纬网格和变形规律，各适用作什么地图？20、墨卡托投影的经纬网格、变形规律、特性和用途？（根据墨卡托投影的经纬线形状，分析这个投影的特性和用途？）21、正轴等积、等角、等距圆锥投影的经纬网格、变形规律及用途？22、为什么说圆锥投影适于作东西方向延伸地区的地图？23、我国建国后编制的世界政区图采用那两种投影？24、中国政区图采用哪两种投影？25、用等差分纬线多圆锥投影编制世界地图的优点？26、地球仪上的地图、我国大中比例尺地形图、小比例尺地形图分别用什么投影？27、说明高斯—克吕格投影的变形性质、变形分布规律及用途。